2022屆高考數(shù)學(xué)考前模擬題

2022年高考數(shù)學(xué)考前模擬題

1.如圖，在四棱柱A8C￡>-4BiG￡>i中，AM_L底面ABCQ,NBAC=90°.AD//BC.且

4/=A8=AZ)=2BC=2,點E在棱匕平面4EC與棱相交于點F.

(I)證明：AiF〃平面BiCE；

1AE

(II)棱AB上是否存在點E,使二面角Ai-EC-D的余弦值為若存在，求出「的

3AB

值；若不存在，說明理由.

(III)求三棱錐Bi-AiEF的體積的最大值.

【分析】(I)利用棱柱的性質(zhì)以及面面平行的性質(zhì)定理證明AiF〃EC,由線面平行的判

定定理證明即可：

(II)建立合適的空間直角坐標系，設(shè)E(Z,0,0),0WfW2,求出所需點的坐標和向

量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面A\EC的法向量，由向量的夾角公式列式求解

即可；

(IU)過點尸作FM_LAi8i于點M,由面面垂直的性質(zhì)定理證明下“，平面A1A2B1，利

用等體積法/「公門=4-8送述，將問題轉(zhuǎn)化為求解FM最大值，即可得到答案.

【解答】(I)證明：因為ABCD-481C1G為棱柱，

則平面A8CD〃平面AiBiCi。，

又平面ABCCn平面A\ECF=EC,平面AiBiCOiC平面A\ECF=A\F,

則A\F//EC,

又AiFC平面BiCE,ECu平面B\CE,

故AiF〃平面BiCE；

(II)解：因為AiA_L平面4BCD,NBAO=90°,

則A4,AB,40兩兩垂直，

故以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則A(0,0,2),C(2,1,0),

設(shè)E(/,0,0),0W/W2,

貝必:E=(t,0,-2),4；C=(2,1,-2),

設(shè)平面AiEC的法向量為云=(x,y,z),

則口碓=0即母:2z=0

比M：C=0.+y-2z=0

令■z=t,則x=2,y—2t-4,

故m=(2,2t-4,t),

又平面OEC的一個法向量為曾=(0,0,1),

因為二面角A\-EC-D的余弦值為手

所以|cos<m，n>|=蛆叫=[舊=i,

問㈤j4+(2t-4)2+t2

整理可得P+4f-5=0,

解得f=l或f=-5,

又0WW2,

所以f=l，

則E(1,0,0),

1AE1

所以棱AB上存在中點E,使二面角4-EC-。的余弦值為,，此時77=不

3AB2

(III)解：過點尸作尸何1_481于點M,

因為平面4AB81J_平面AIBCIOI，且平面AiABB]_L平面4BiCiG=AiBi,BWu平面

A\B\C\D\,

則尸MJ_平面AiABBi，

由等體積法可得，％i-RiEF=^F-B^E=3，F(xiàn)M=可x—xFM=gFM,

因為當點產(chǎn)與點。重合時，EM取得最大值2,此時點E與點B重合，

4

所以當點尸與點。1重合時，三棱錐Bi-AiE/的體積取得最大值

【點評】本題考查了面面平行的性質(zhì)定理以及線面平行的判定定理的應(yīng)用，面面垂直的

性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的應(yīng)用以及等體積法的應(yīng)用，在求解有

關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向

量問題進行研究，屬于中檔題.

2.如圖，已知A4i_L平面ABC,BB\//AA],AB=AC=3,BC=2再，AAi=V7,BB\=2小,

點E分別是BC的中點.

(1)求證：AEJ_平面8cBi；

(2)求直線AiBi與平面8cBi所成角的大小.

【分析】(1)推導(dǎo)出AELBC,由此能證明平面BCBi；

(2)以E為原點，EC為x軸，EA為y軸，過E作平面ABC的垂線為z軸，建立空間

直角坐標系，利用向量法能求出直線481與平面3cBi所成角的大小.

【解答】解：(1)證明：平面48C,平面ABC,

：AEu平面ABC,：.AE±BB\,

；AB=AC=3,點E分別是BC的中點，

：.AE±BC,

:BCCBBi=B,...AfiLL平面BCBi；

(2)以E為原點，EC為x軸，EA為y軸，過E作平面4BC的垂線為z軸，建立空間

直角坐標系，

Ai(0,2,V7),B\(-V5,0,2V7),

=(-V5,-2,V7),

平面8cBi的法向量蔡=(0,1,0),

設(shè)直線481與平面BCBi所成角為0,

rji.i.Mi?rnl21

則siQn0=，i二=-===-,

HlBd-hl門6

二直線4出與平面8cBi所成角的大小為30°.

【點評】本題考查線面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

3.如圖，已知正方形ABE。的邊長為VLO為兩條對角線的交點，如圖所示，將RtaBEC

沿8。所在的直線折起，使得點E移至點C,滿足AB=AC.

(1)求四面體ABCD的體積V；

(2)請計算：

①直線BC與AD所成角的大??；

②直線BC與平面ACD所成的角的正弦.

B

【分析】(1)利用勾股定理證明CO_LA。，結(jié)合COA-BD,證明COJ?平面48。，從而

得到CO是三棱錐C-ABD的高，再由錐體的體積公式求解即可；

(2)建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標.

①利用異面直線所成角的計算公式求解即可；

②求出平面ACO的法向量，然后由線面角的計算公式求解即可.

【解答】解：(1)由已知，可得40=C0=l,AB=AC=V2,

：.AO2+CO2=AC2,故CO_LAO,

又CO_LB。，BDHAO=O,AB,AOu平面ABO,

；.CO_L平面ABD,

故CO是三棱錐C-ABD的高，

三棱錐C-ABD的體積V=^SAABD^CO=1xlxV2XV2xl=1;

(2)分別以04,OB,OC為x軸，y軸，z軸

建立空間直角坐標系如圖所示，

則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(0,-I,0),

故局=(0,-1,1),而=(-1,-1,0),就1=(-1,0,1),

①IcosV應(yīng)?，AD>\=

\BC\-\AD\V2XV2”

...線BC與所成角的大小為60°；

②設(shè)平面ACZ)的法向量為1=(x,y,z),

則有=-令》=1,貝仃=-i,z=i,

n?AC=—x+z=0

故九=(1,-1,1),

設(shè)直線BC與平面ACD所成的角為e,

阮=2=屈

/.sin0=|cos<BC,n>|=

|BC|-|n|&x右3

故直線BC與平面ACD所成的角的正弦值為三.

【點評】本題考查了錐體體積的求解以及線線角與線面角的求解，在求解有關(guān)空間角問

題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行

研究，屬于中檔題.

4.在平面直角坐標系中，A(-1,0),B(1,0),設(shè)AABC的內(nèi)切圓分別與邊AC,BC,

AB相切于點P,Q,R,已知|CP|=1,記動點C的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)過點B(1,0)作直線/交曲線E于M,N兩點，且點M位于x軸上方，已知4

(-2,0),A2(2,0)記直線Ai",A2MAiN的斜率分別為所，依，依.

①證明：&次3，/為定值；

②設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為M，求面積的最大值.

【分析】(1)利用三角形內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，得到|C4|+|C8|=4>H8],由橢圓的定義可

得曲線E為橢圓，然后利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①設(shè)直線I的方程,與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達定理，由兩點間距離公式表示出hk3,

詈，結(jié)合韋達定理以及點在橢圓上以及點在直線上，化簡求解即可；

②求出M的坐標，得到直線的方程，令y=0,求解x的值，可得直線MM恒過點

D(4,0),然后利用三角形的面積公式化簡，再利用基本不等式求解最值即可.

【解答】(1)解：由題意可知，|CA|+|C8|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+HB|=4>|AB|,

所以曲線￡是以A,B為焦點，長軸長為4的橢圓(除去與x軸的交點)，

x2y2

設(shè)曲線E：—+=l(a>&>0,yH0),

則c=L2a=4f

解得4=2,序=a-C2=3,

xy

所以曲線E的方程為二+—=i（yw0）；

43

（2）①證明：設(shè)直線/的方程為x=〃2），+l,M（xi,y\）,N（X2，>2）（yi>0,y2V0）,

x=my+1

聯(lián)立方程組y2,可得(3加2+4))2+6,*,-9=0,

(T+T=1

則%+丫2=一3'%丫2=-&'

9

因此kk=-22_,_Z^=32_________==_工,

122

3X2+2X]+2my1y2+37n(y1+y2)+9_9m+(_3x6m>,+94,

3m2+4、3m2+4,

fci=X2+2=(久I-2)J/2=(my「l)y2="1-2—2=6昭2-01+-2)+丁1

七-一(%2+2)yi一(my2+3)yx-myxy2+3yr-my^+Syr

9m6m

-----9—------7------HVi-3徵2+4+月

37712+43叱+4八1

9m9m

+3%+3yi3

3m2+4377l2+4

②解：由題意點M的坐標為（12，-”），

則直線MM的方程為y-乃=巖（x—a,

。2一/）為

令y=0,可得％=+%!

為+為

二％2%+巧丫2

%+丫2

（秋、2+1）丫1+（初為+1）及

丫1+丫2

2犯人及

+1

乃+及

2m(---1—)

3m2+4I1-A

6m十工一'，

3m2+4

故直線MM恒過點。（4,0）,

11

所以SABMM=層冏加一分3僅2II

3

=和為1-仇11

3.,,

=2似1+、2|

=3617nl

23m2+4

9,93V3

31刑+向一2阿扁4

當且僅當血2=*即7n=±^時取等號，

3A/3

此時△BMNI面積的最大值為了.

【點評】本題考查了動點軌跡方程的求解，待定系數(shù)法求解橢圓標準方程的應(yīng)用，橢圓

定義的運用，直線馬橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，

一般會聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達定理和“設(shè)而不求”的方法進行研究，屬

于中檔題.

5.設(shè)A,8為曲線C：y=卷上兩點，A與8的橫坐標之和為8.

(1)求直線48的斜率；

(2)已知不過原點的直線/〃A8,且交曲線C于M,N兩點，若原點。在以為直徑

的圓上，求直線/的方程.

【分析】(1)設(shè)A(xi，yi),B(x2，”)，則a=q-，”=等，XI+X2=8,再計算直線

AB的斜率.

(2)設(shè)直線/的方程為y=2r+成5W0),M(x3,”)，N5,)*)，聯(lián)立拋物線的方程，

T—>y2y2

結(jié)合韋達定理可得x3工4，則OM?ON=X3A4+y3y4=13工4+“號-=0,解得冷必，解得加，

即可得出答案.

22

【解答】解：(1)設(shè)A5，y\),B(X2?")，則用之無2，yi=+，”=等，用+及=8,

于是直線AB的斜率k=空二烏=汨攵=2.

(2)設(shè)直線/的方程為y=2x+〃?(/%W0),M(孫)3)，N(%4?54)，

(_工2

由/一彳消去y整理得--8%-4加=0,所以

(y=2%4-m

TTy2y2

因為原點。在以MN為直徑的圓上，所以。M?ON=xM4+y3y4=%3利+告泮=0，

解得X3X4=-16,

所以-4/n=-16,解得m=4,

所以直線I的方程為2x->'+4=0.

【點評】本題考查直線與拋物線的相交問題，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

6.在平面直角坐標系xOy中，已知動點P到點尸(2,0)的距離與它到直線x=|的距離之

比為記點P的軌跡為曲線c.

3

(1)求曲線C的方程；

(2)過點/作兩條互相垂直的直線/i，/2./1交曲線C于A,B兩點,〃交曲線C于S,T

兩點，線段48的中點為M,線段ST的中點為N.證明：直線過定點，并求出該定

點坐標.

【分析】(1)設(shè)尸(x,y),由動點P到點F(2,0)的距離與它到直線x=|的距離之比

22

為2V*5,得J“(x一-2}替+y上=2TV3-,化簡即可得出答案.

3|x-||3

(2)設(shè)AGi，巾)，BG2,”)，分兩種情況：①若直線人，/2都存且不為零，設(shè)直線

/I的方程為、=左(X-2),聯(lián)立雙曲線的方程，結(jié)合韋達定理可得X1+X2,進而可得線段

A8的中點M坐標，同理，線段PQ的中點N的坐標，寫出當上#±1時，當上=±1時，

直線MN的方程，②若直線小/2中其中一條的斜率為0,另一條的斜率不存在，寫出直

線/1，/2方程，即可得出答案.

【解答】解：(1)設(shè)P(x,y),根據(jù)題意可得21+'=

|x-|l3

x2

化簡得曲線C的方程為一-/=1.

3

(2)證明：設(shè)4