浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月綜合測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月綜合測試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合的真子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意可知集合中有3個(gè)元素，所以共有個(gè)，即有三個(gè)真子集.故選：A.2.若，則的否定為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以命題的否定為.故選：.3.若，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗取，，滿足，但，充分性不滿足；反過來，成立，故必要性成立.故選：A．4.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則此圓弧所對的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)正的外接圓半徑，圓心為，取的中點(diǎn)為，連接，易知在上，且，；如下圖所示：在中，，所以；依題意可知該圓弧長，所以圓心角.故選：C.5.已知為角終邊上一點(diǎn)，則（）A.7 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗為角終邊上一點(diǎn)，故，故.故選：B.6.若，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋院鸵粋€(gè)大于，一個(gè)小于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以和一個(gè)大于，一個(gè)小于，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?故選：C.7.已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(1－x)的大致圖象是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的圖象過點(diǎn)(0，3)，排除A；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的圖象過點(diǎn)(－2，－1)，排除B；當(dāng)時(shí)，，排除C.故選：D．8.已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則的最小值是（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由一元二次不等式的解集為可得，利用韋達(dá)定理可得，即可得，且，；所以可得；易知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立；即的最小值是2.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)：由，得，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.10.已知，且，則的值可能是（）A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由題意得，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故B項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故C項(xiàng)正確.故選：BC11.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列命題成立的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于軸對稱，且，又，所以，且，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且周期為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；由向右平移一個(gè)單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由向左平移一個(gè)單位得到，則關(guān)于點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：BD.12.函數(shù)，已知實(shí)數(shù)，，且，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.存在，使得D.恒成立〖答案〗D〖解析〗由，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則，即，可得，A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，則，則恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，又，所以，則，即，D選項(xiàng)正確.故選：D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.（其中第16題第一空2分，第二空3分）13.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由函數(shù)為冪函數(shù)，得，即，所以，又函數(shù)過點(diǎn)，則.故〖答案〗為：.14.在中國，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜邊.現(xiàn)將兩個(gè)全等的直角三角形拼接成一個(gè)矩形，若其中一個(gè)三角形“弦”的長度為4，則該矩形周長的最大值為____________.〖答案〗〖解析〗設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為，，則，，矩形周長為，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故周長的最大值為.故〖答案〗為：.15.已知實(shí)數(shù)，且，則__________.〖答案〗〖解析〗由，換成以為底，可得，設(shè)，則，解得或，又，，則，所以，即即.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)為__________；若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗和〖解析〗根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，，令，解得或（舍）；當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以可得函數(shù)的零點(diǎn)為和；因此可得，畫出函數(shù)圖象如下圖所示：令，則方程可轉(zhuǎn)化為；結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，且滿足或；若可得，解得，；經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，方程即為，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程可化為，解得，不合題意；所以可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根需滿足且；若，故，解得或，若，可得，即或；檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程可化為，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程可化為，此時(shí)，滿足題意；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：和.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，可得，由可得.（2）若可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸的非負(fù)半軸為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn).（1）若，求及的值；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由已知角的終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點(diǎn)，則，，，，且，由，得，則，再由誘導(dǎo)公式可得：.（2）由，得，，又，則，解得，所以，所以，所以，，即.19.某園林建設(shè)公司計(jì)劃購買一批機(jī)器投入施工.據(jù)分析，這批機(jī)器可獲得的利潤（單位：萬元）與運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間（單位：年）的函數(shù)關(guān)系式為（，且）（1）當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第幾年時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？（2）當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)多少年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤最大？解：（1）由，，可知當(dāng)時(shí)，取最大值為，即當(dāng)這批機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)第年時(shí)，可獲得最大利潤，最大利潤為.（2）由已知可得年平均利潤，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí)，這批機(jī)器的年平均利潤最大.20.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的〖解析〗式；（2）利用單調(diào)性定義證明在上為增函數(shù)；（3）解不等式.解：（1）對于，都有，所以；又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，可得，所以；由可得，解得；所以，因此的〖解析〗式為.（2）取，且，則，因?yàn)椋?，所以，即，可得，所以，即；所以在上為增函?shù).（3）將不等式轉(zhuǎn)化為，又是定義在上的奇函數(shù)，所以可得，再根據(jù)（2）中的結(jié)論可知，解得；即不等式的解集為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的方程；（2）當(dāng)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）解關(guān)于的不等式.解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，解得或.（2）當(dāng)時(shí)，不等式可化為，依題意可知，需滿足，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由可得，①當(dāng)時(shí)，可得，不等式等價(jià)，此時(shí)不等式解集為；②當(dāng)時(shí)，方程有兩根，即，且；此時(shí)不等式解集為；③當(dāng)時(shí)，方程僅有一根，即，此時(shí)不等式解集為；④當(dāng)時(shí)，方程有兩根，即，且；此時(shí)不等式解集為.22.設(shè)，若滿足，則稱比更接近.（1）設(shè)比更接近0，求的取值范圍；（2）判斷“”是“比更接近”的什么條件，并說明理由；（3）設(shè)且，試判斷與哪一個(gè)更接近.解：（1）根據(jù)題意可得，即；可得，解得；即的取值范圍為.（2）充分性：顯然，由可得，①若，則，可得；又可得，所以；即可得，此時(shí)可以得出“比更接近”；②若，則，可得；又可得，所以；即可得，此時(shí)可以得