四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的學(xué)校、姓名、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色簽字筆填寫(xiě)清楚，考生考試條碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“條碼粘貼處”.2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它〖答案〗；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的〖答案〗無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為，所以.故選：C.2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A.1 B.3 C.4 D.9〖答案〗C〖解析〗已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，記數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，故數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選：C.3.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，?dòng)點(diǎn)滿足，由雙曲線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)雙曲線方程為，則有，，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.4.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機(jī)地選取兩張?zhí)柡?，事件“取到?biāo)號(hào)為1和3的號(hào)簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號(hào)之和為5”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與互斥 B.與獨(dú)立 C.與對(duì)立 D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，選取兩張?zhí)柡炗帽硎疽淮螌?shí)驗(yàn)結(jié)果，則隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的樣本空間，，.對(duì)A，，所以與互斥，故A選項(xiàng)正確；對(duì)B，，，，所以，與不獨(dú)立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，，，所以與不對(duì)立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.5.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.6 B.8 C.10 D.16〖答案〗D〖解析〗橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以的周長(zhǎng)為.故選：D6.某學(xué)校高一高二年級(jí)共1000人，其中高一年級(jí)400人，現(xiàn)按照年級(jí)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣調(diào)查學(xué)生身高，得到高一、高二兩個(gè)年級(jí)的樣本平均數(shù)分別為，和樣本方差分別為3，4，則總體方差（）A.18.5 B.19.2 C.19.4 D.20〖答案〗B〖解析〗總體樣本平均數(shù)，.故選：B.7.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，所以：，即得，而，解得：，所以：，故，所以：，故選：A.8.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槠矫媾c平面平行，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，由面面平行的性質(zhì)可得，又，故此時(shí)，分別為，的中點(diǎn)，連接EF，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，，即.其中，，，，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，，故，，所以.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為某地2014年至2023年的糧食年產(chǎn)量折線圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.這10年糧食年產(chǎn)量的極差為15B.這10年糧食年產(chǎn)量的第65百分位數(shù)為33C.這10年糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為29D.前5年的糧食年產(chǎn)量的方差大于后5年糧食年產(chǎn)量的方差〖答案〗ABC〖解析〗A選項(xiàng)，將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，這10年的糧食年產(chǎn)量極差為，故A正確；B選項(xiàng)，，結(jié)合A選項(xiàng)可知第65百分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)33，故B正確；C選項(xiàng)，從小到大，選取第5個(gè)和第6個(gè)的數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，這10年的糧食年產(chǎn)量的中位數(shù)為，故C正確；D選項(xiàng)，結(jié)合圖形可知，前5年的糧食年產(chǎn)量的波動(dòng)小于后5年的糧食產(chǎn)量波動(dòng)，所以前5年的糧食年產(chǎn)量的方差小于后5年的糧食年產(chǎn)量的方差，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.以下四個(gè)命題正確的是（）A.雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)不同B.，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓上存在點(diǎn)滿足C.曲線的漸近線方程為D.曲線，“曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓”是“”的充要條件〖答案〗CD〖解析〗A選項(xiàng)，雙曲線，即，焦點(diǎn)在軸上，由于，故其焦點(diǎn)為，，而橢圓，焦點(diǎn)在軸上，且，故焦點(diǎn)為，，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，橢圓，則，，即，所以，，則，要使，則，即，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或即可，而橢圓上的點(diǎn)縱坐標(biāo)取值范圍為，則不存在點(diǎn)滿足，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，故C正確；D選項(xiàng)，曲線，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，故D正確.故選：CD.11.已知直線和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.的最小值為C.的最小值為D.圓上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，則〖答案〗AC〖解析〗A選項(xiàng)，根據(jù)題意變形為，故直線過(guò)定點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)最小，其中，此時(shí)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑，，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值為，C正確；D選項(xiàng)，，因?yàn)閳A上到直線的距離為的點(diǎn)恰好有三個(gè)，所以圓心到直線的距離，即，解得，D錯(cuò)誤；故選：AC.12.在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，且滿足，點(diǎn)滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的面積的最大值為B.當(dāng)時(shí)，三棱雉的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，的最小值為D.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則此時(shí)面積取得最大值，，由于直三棱柱，則，為等腰直角三角形，則，又由，面，則面，因?yàn)槊?，所以，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，則，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則，由于點(diǎn)到平面的距離為定值，點(diǎn)到線段的距離恒為，則，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，，所以?dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，因?yàn)?，平面，則面，又因?yàn)槊?，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，面，即面，則，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線，，當(dāng)直線與垂直時(shí)，________.〖答案〗〖解析〗由直線，，因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得.故〖答案〗為：.14.甲乙兩人參加一場(chǎng)比賽，假設(shè)甲乙獲勝的概率分別為，，則兩人中至少有一人獲勝的概率為_(kāi)_______.〖答案〗〖解析〗兩人均沒(méi)有獲勝的概率為，故兩人中至少有一人獲勝的概率為.故〖答案〗為：.15.點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，所以點(diǎn)（3，4）關(guān)于直線x＋y＋1＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故〖答案〗為：16.已知是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線，垂足為，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，，則的取值范圍是________.〖答案〗〖解析〗由題意設(shè)，所以，因?yàn)?，所?將點(diǎn)帶入圓，則點(diǎn)滿足橢圓的方程.所以，又，即，當(dāng)時(shí)，最大，最小且為；當(dāng)或時(shí)，最小，最大且為，即，即，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求直線的方程.（2）直線恒過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.解：（1）由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過(guò)點(diǎn)，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；（2）∵直線化簡(jiǎn)得：，∴定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，∴到直線的距離為.18.2023年中國(guó)田協(xié)召開(kāi)了2023路跑工作會(huì)議，會(huì)議對(duì)《2022年中國(guó)田徑協(xié)會(huì)路跑管理文件匯編》進(jìn)行了修訂.新版在年齡組別上調(diào)整為8個(gè)：34歲以下組、35-39歲組、40-44歲組、45-49歲組、50-54歲組、55-59歲組、60-64歲組、65歲以上組.現(xiàn)抽取了1000名年齡在35-64歲的參賽人員，得到各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并估計(jì)這1000人年齡的中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從年齡在內(nèi)的人數(shù)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，再?gòu)臉颖局腥我獬槿?人，求這兩人中至少一人的年齡在中的概率.解：（1）由題可得，∴，∵的頻率為，的頻率為，∴中位數(shù)在之間，設(shè)中位數(shù)為，則，∴，即中位數(shù)為46.5.（2）∵的頻率為，的頻率為，∴這兩組的頻率之比為，∴抽取的人數(shù)為：（人），記為，，，抽取的人數(shù)為：（人），記為，，則5人中抽取2人的基本事件包含：、，共10種，其中至少1人在的基本事件包含：，共有7種.∴這兩人中至少1人的年齡在中的概率為.19.將長(zhǎng)方體沿截面截去一個(gè)三棱錐后剩下的幾何體如圖所示，其中，，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連接，如圖所示，∵長(zhǎng)方形中，，分別是，的中點(diǎn)，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴且，又∵長(zhǎng)方體中且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，得.又∵平面，平面，∴平面（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線為軸，軸，以點(diǎn)為垂足，垂直于平面直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，即，設(shè)為直線與平面所成角，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.如圖，已知圓，點(diǎn).（1）求圓心在直線上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓相外切的圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長(zhǎng)的，求直線的方程.解：（1）由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得所以圓的圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)閳A的圓心在直線上，所以當(dāng)兩圓外切時(shí)，切點(diǎn)為，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，因?yàn)樵趫A上，可得，則有解得，所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，故圓的方程為.（2）因?yàn)閳A弧恰為圓周長(zhǎng)的，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)到軸的距離為，直線即為軸，此時(shí)直線的方程為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.可得，即，解得，所以直線的方程，即，故所求直線的方程為或.21.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使該弦被點(diǎn)平分.（1）求該弦所在的直線方程；（2）求該弦的弦長(zhǎng).解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的弦與橢圓相交于，兩點(diǎn)，∵為的中點(diǎn)，∴，又∵，兩點(diǎn)在橢圓上，∴，，兩式相減得，即由題意當(dāng)時(shí)，不能平分該弦，因此，故直線AB的斜率為，∴該弦所在的直線方程為，即；（2）聯(lián)