第五章 萬有引力定律及其應(yīng)用教案 徐衍福

萬有引力定律及其應(yīng)用徐衍福萬有引力定律天體運(yùn)動萬有引力定律天體運(yùn)動地球衛(wèi)星教學(xué)目標(biāo)：1．掌握萬有引力定律的內(nèi)容并能夠應(yīng)用萬有引力定律解決天體、衛(wèi)星的運(yùn)動問題2．掌握宇宙速度的概念3．掌握用萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律解決衛(wèi)星運(yùn)動問題的基本方法和基本技能教學(xué)重點(diǎn)：萬有引力定律的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：宇宙速度、人造衛(wèi)星的運(yùn)動教學(xué)方法：講練結(jié)合，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)教學(xué)過程：一、萬有引力定律：（1687年） 適用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)或均勻球體；r為兩質(zhì)點(diǎn)或球心間的距離；G為萬有引力恒量（1798年由英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測出）二、萬有引力定律的應(yīng)用1．解題的相關(guān)知識：（1）在高考試題中，應(yīng)用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點(diǎn)：一是天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即＝；二是地球?qū)ξ矬w的萬有引力近似等于物體的重力，即G＝mg從而得出GM＝Rg。（2）圓周運(yùn)動的有關(guān)公式：＝，v=r。討論：=1\*GB3①由可得：r越大，v越小。=2\*GB3②由可得：r越大，ω越小。=3\*GB3③由可得：r越大，T越大。=4\*GB3④由可得：r越大，a向越小。點(diǎn)評：需要說明的是，萬有引力定律中兩個(gè)物體的距離，對于相距很遠(yuǎn)因而可以看作質(zhì)點(diǎn)的物體就是指兩質(zhì)點(diǎn)的距離；對于未特別說明的天體，都可認(rèn)為是均勻球體，則指的是兩個(gè)球心的距離。人造衛(wèi)星及天體的運(yùn)動都近似為勻速圓周運(yùn)動。2．常見題型萬有引力定律的應(yīng)用主要涉及幾個(gè)方面：（1）測天體的質(zhì)量及密度：（萬有引力全部提供向心力）由得又得【例1】中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期為T=s。問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G=6.6710m/kg.s)解析：設(shè)想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時(shí)，中子星才不會瓦解。設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小物塊質(zhì)量為m，則有由以上各式得，代入數(shù)據(jù)解得：。點(diǎn)評：在應(yīng)用萬有引力定律解題時(shí)，經(jīng)常需要像本題一樣先假設(shè)某處存在一個(gè)物體再分析求解是應(yīng)用萬有引力定律解題慣用的一種方法。（2）行星表面重力加速度、軌道重力加速度問題：（重力近似等于萬有引力）表面重力加速度：軌道重力加速度：【例2】一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運(yùn)動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質(zhì)量M與衛(wèi)星的質(zhì)量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R＝3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R0＝60。設(shè)衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有……經(jīng)過計(jì)算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結(jié)果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結(jié)果。解析：題中所列關(guān)于g的表達(dá)式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度。正確的解法是衛(wèi)星表面＝g行星表面=g0即=即g=0.16g0（3）人造衛(wèi)星、宇宙速度：人造衛(wèi)星分類（略）：其中重點(diǎn)了解同步衛(wèi)星宇宙速度：（弄清第一宇宙速度與發(fā)衛(wèi)星發(fā)射速度的區(qū)別）【例3】我國自行研制的“風(fēng)云一號”、“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比號離地面較高；號觀察范圍較大；號運(yùn)行速度較大。若某天上午8點(diǎn)“風(fēng)云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時(shí)刻將是。解析：根據(jù)周期公式T=知，高度越大，周期越大，則“風(fēng)云二號”氣象衛(wèi)星離地面較高；根據(jù)運(yùn)行軌道的特點(diǎn)知，“風(fēng)云一號”觀察范圍較大；根據(jù)運(yùn)行速度公式V=知，高度越小，速度越大，則“風(fēng)云一號”運(yùn)行速度較大，由于“風(fēng)云一號”衛(wèi)星的周期是12h，每天能對同一地區(qū)進(jìn)行兩次觀測，在這種軌道上運(yùn)動的衛(wèi)星通過任意緯度的地方時(shí)時(shí)間保持不變。則下一次它通過該城市上空的時(shí)刻將是第二天上午8點(diǎn)?！纠?】在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）A．它們的質(zhì)量可能不同 B．它們的速度可能不同C．它們的向心加速度可能不同 D．它們離地心的距離可能不同解析：同步衛(wèi)星繞地球近似作勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由同步衛(wèi)星的地球間的萬有引力提供。設(shè)地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球半徑為R，同步衛(wèi)星距離地面的高度為h，由F引=F向，G=m（R+h）得：h=-R，可見同步衛(wèi)星離地心的距離是一定的。由G=m得：v=,所以同步衛(wèi)星的速度相同。由G=ma得：a=G即同步衛(wèi)星的向心加速度相同。由以上各式均可看出地球同步衛(wèi)星的除質(zhì)量可以不同外，其它物理量值都應(yīng)是固定的。所以正確選項(xiàng)為A。點(diǎn)評：需要特別提出的是：地球同步衛(wèi)星的有關(guān)知識必須引起高度重視，因?yàn)樵诟呖荚囶}中多次出現(xiàn)。所謂地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的且和地球有相同周期、角速度的衛(wèi)星。其運(yùn)行軌道與赤道平面重合。（4）雙星問題：【例5】兩個(gè)星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動。現(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運(yùn)動周期為T，求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得M1：G＝M1（）2l1∴M2＝對M2：G＝M2（）2l2∴M1＝兩式相加得M1＋M2＝（l1＋l2）＝。（5）有關(guān)航天問題的分析：【例6】無人飛船“神州二號”曾在離地高度為H＝3.4105m的圓軌道上運(yùn)行了47小時(shí)。求在這段時(shí)間內(nèi)它繞行地球多少圈？（地球半徑R=6.37106m，重力加速度g＝9.解析：用r表示飛船圓軌道半徑r=H+R==6.71106mM表示地球質(zhì)量，m表示飛船質(zhì)量，表示飛船繞地球運(yùn)行的角速度，G表示萬有引力常數(shù)。由萬有引力定律和牛頓定律得利用G＝g得＝2由于＝，T表示周期。解得T＝，又n=代入數(shù)值解得繞行圈數(shù)為n=31。（6）天體問題為背景的信息給予題近兩年，以天體問題為背景的信息給予題在全國各類高考試卷中頻頻出現(xiàn)，不僅考查學(xué)生對知識的掌握，而且考查考生從材料、信息中獲取有用信息以及綜合能力。這類題目一般由兩部分組成：信息給予部分和問題部分。信息給予部分是向?qū)W生提供解題信息，包括文字?jǐn)⑹?、?shù)據(jù)等，內(nèi)容是物理學(xué)研究的概念、定律、規(guī)律等，問題部分是圍繞信息給予部分來展開，考查學(xué)生能否從信息給予部分獲得有用信息，以及能否遷移到回答的問題中來。從題目中提煉有效信息是解決此類問題的關(guān)鍵所在?！纠?】地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為。萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢能可表示為。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個(gè)巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間站離地面高度為h，如果雜該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動能？解析：由得，衛(wèi)星在空間站上動能為衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為機(jī)械能為同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時(shí)有故其軌道半徑由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒