線性系統(tǒng)理論課程論文

線性系統(tǒng)理論課程論文目錄一、報告目的(2)二、報告內(nèi)容(2)1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的地位和作用概述(2)2.內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定(3)2.1知識結(jié)構(gòu)(3)2.2內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定的關(guān)系：(3)3.李亞普諾夫穩(wěn)定性定義(4)3.1幾種穩(wěn)定性的區(qū)別(4)3.2幾種穩(wěn)定性的關(guān)系(5)4.李亞普諾夫穩(wěn)定性理論(6)4.1李亞普諾夫穩(wěn)定性第一方法(6)4.2李亞普諾夫穩(wěn)定性第二方法(6)4.3Lyapunov第二方法在線性時不變系統(tǒng)中的應(yīng)用(7)三、總結(jié)(11)參考文獻：(11)一、報告目的1、對已學(xué)過的知識有個更好的復(fù)習(xí)穩(wěn)固的過程；2、加深對線性系統(tǒng)這門課的了解；3、對第五章的知識進行歸納整理；4、提高自己課程設(shè)計的寫作水平。二、報告內(nèi)容系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性通過這段時間對《線性系統(tǒng)理論》這本書的學(xué)習(xí)，和有關(guān)資料的查閱，讓我了解到，在系統(tǒng)與控制科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，線性系統(tǒng)是根本的研究對象，并在過去幾十年中取得了很多結(jié)果和進展，已經(jīng)形成和開展為相當完整和相當成熟的線性系統(tǒng)理論。線性系統(tǒng)理論的重要性首先在于它的根底性，其大量的概念、方法、原理和結(jié)論，對于系統(tǒng)與控制理論的許多學(xué)科分支，如最優(yōu)控制、非線性控制、魯棒控制、隨機控制、智能控制、系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計、過程控制、數(shù)字濾波和通信系統(tǒng)等，都具有重要和根本的作用，成為學(xué)習(xí)和研究這些學(xué)科必不可少的根底知識。有鑒于此，國內(nèi)外許多大學(xué)都毫無例外地把線性系統(tǒng)理論列為系統(tǒng)與控制科學(xué)方向的一門最為根底的課程。1.系統(tǒng)穩(wěn)定性的地位和作用概述在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是首先要考慮的問題之一，因為它關(guān)系到系統(tǒng)是否能正常工作，它同系統(tǒng)的能空性和能觀測性一樣，也是系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)性質(zhì)。所謂穩(wěn)定性指在各種不利因素的影響下，系統(tǒng)能夠保持預(yù)定工作狀態(tài)能力的一種度量，穩(wěn)定性問題實質(zhì)上是控制系統(tǒng)自身屬性的問題。在大多數(shù)情況下，穩(wěn)定是系統(tǒng)能夠正常運行的前提，如何根據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)成分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性已經(jīng)引起研究人員的普遍重視。在控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，李亞普諾夫方法得到廣泛應(yīng)用，該方法還在最優(yōu)估計、最優(yōu)控制、自適應(yīng)濾波等領(lǐng)域占有重要地位。系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性可分為基于輸入輸出描述的外部穩(wěn)定性和基于狀態(tài)空間描述的內(nèi)部穩(wěn)定性，我們先通過了解線性系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性的定義，然后結(jié)合實例討論李亞普諾夫穩(wěn)定性的定義和一些定理以及用于分析線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性等方面內(nèi)容。2.內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定2.1知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)時不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣時變系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定傳遞函數(shù)矩陣脈沖響應(yīng)矩陣時不變系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣時變系統(tǒng)外部穩(wěn)定線性系統(tǒng)穩(wěn)定性2.2內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定的關(guān)系：線性定常系統(tǒng)如果是內(nèi)部穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)一定是外部穩(wěn)定的；反之，卻不成立，這是因為，根據(jù)線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解定理知，任一線性定常系統(tǒng)通過線性變換，總可以分解成四個子系統(tǒng)，即能控、能觀測子系統(tǒng)，能控、不能觀測子系統(tǒng)，不能控、能觀測子系統(tǒng)，不能控、不能觀測子系統(tǒng)。系統(tǒng)的輸入—輸出特性僅能反映系統(tǒng)的能控能觀測局部，系統(tǒng)的其余三個局部的運動狀態(tài)并不能反映出來，外部穩(wěn)定性僅意味著能控、能觀測子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，而其余子系統(tǒng)，假設(shè)不能控不能觀測子系統(tǒng)是發(fā)散的，在外部穩(wěn)定性中并不能表現(xiàn)出來。對于完全能控、完全能觀測線性定常系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定與外部穩(wěn)定是等價的。[注]在討論外部穩(wěn)定時，是以系統(tǒng)的初始條件為零作為根本假設(shè)的，在這種假設(shè)下，系統(tǒng)的輸入輸出描述是唯一的。對連續(xù)時間線性系統(tǒng)，外部穩(wěn)定可根據(jù)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣或傳遞函數(shù)矩陣進行判別。3.李亞普諾夫穩(wěn)定性定義不穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定一致穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定性定義LyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunovLyapunov3.1幾種穩(wěn)定性的區(qū)別李亞普諾夫穩(wěn)定性理論主要闡述了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的兩種方法。Lyapunov第一方法又稱為Lyapunov直接法，屬于小范圍穩(wěn)定性分析方法。Lyapunov第二方法屬于直接根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，該方法通過構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)，〔Lyapunov函數(shù)在物理上是一種能量函數(shù)〕，根據(jù)該函數(shù)的性質(zhì)判斷控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，又稱為Lyapunov直接法。Lyapunov第二理論體系完整，推導(dǎo)證明嚴密，其研究對象包括任何復(fù)雜的系統(tǒng)，因此在控制理論的研究中得到了廣泛的應(yīng)用。從工程上來看，系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性是指，在系統(tǒng)的工作過程中，如果在受到長時間起作用的初始擾動時，經(jīng)過“足夠長”的時間以后，系統(tǒng)恢復(fù)的平衡狀態(tài)的能力，這種穩(wěn)性包括了一大類工程系統(tǒng)設(shè)計中出現(xiàn)的穩(wěn)定性問題。在Lyapunov穩(wěn)定性定義中，00>〕，〔tεδ是一個與0t、ε有關(guān)的實數(shù)。假設(shè)δ的取值與0t無關(guān)，那么稱系統(tǒng)在平衡狀態(tài)ex時Lyapunov一致穩(wěn)定的。對于時變系統(tǒng)而言，一致穩(wěn)定比穩(wěn)定更有實際意義。一致穩(wěn)定意味著，假設(shè)系統(tǒng)在一個初始時刻0t是Lyapunov意義下穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)在時間定義區(qū)間內(nèi)任意初始時刻0t均為Lyapunov意義下穩(wěn)定的。對于時不變系統(tǒng)而言，δ的取值與0t無關(guān)，因此時不變系統(tǒng)在穩(wěn)定的平衡狀態(tài)ex處一定是Lyapunov一致穩(wěn)定的。系統(tǒng)在平衡狀態(tài)ex附近的穩(wěn)定范圍：對于一般系統(tǒng)而言，可能存在有多個平衡狀態(tài)點，因此由Lyapunov穩(wěn)定的定義可知，系統(tǒng)在平衡狀態(tài)點ex附近存在一個穩(wěn)定范圍。一般而言，給定解的偏差范圍ε越小，容許的初始條件的取值范圍δ也越??；反之，如果給定的ε較大，相應(yīng)的δ的取值也可能較大。假設(shè)無論如何給定ε的值相應(yīng)的δ的取值總不能超出某一個正數(shù)α，那么稱α為系統(tǒng)在ex處的穩(wěn)定范圍。如果δ的取值可以任意大，即∞→α，那么稱系統(tǒng)在ex處是大范圍穩(wěn)定的。Lyapunov漸近穩(wěn)定比Lyapunov穩(wěn)定具有更嚴格的要求，在工程上，常常要求系統(tǒng)是Lyapunov漸近穩(wěn)定的，而把Lyapunov穩(wěn)定與不穩(wěn)定同樣對待。如果系統(tǒng)),(tfxx=?在任意給定初始狀態(tài)0x下的每一個解，當∞→t時都收斂于平衡狀態(tài)ex，那么稱系統(tǒng)在平衡狀態(tài)ex是大范圍漸近穩(wěn)定的。實質(zhì)上，大范圍漸進穩(wěn)定是把初始狀態(tài)0x的取值范圍擴展到了整個狀態(tài)空間，對于狀態(tài)空間中的所有點，如果從它們出發(fā)的所有軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，那么將系統(tǒng)的平衡狀態(tài)稱為是大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，系統(tǒng)由各初始狀態(tài)0x發(fā)出的都收斂于平衡狀態(tài)ex，此時系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間中只能有唯一的一個平衡狀態(tài)，這也是系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件。對于線性時不變系統(tǒng)Axx=?，當系數(shù)矩陣A非奇異時，滿足平衡點方程0Ax=的解只有唯一的零解，系統(tǒng)只有唯一的平衡狀態(tài)0xe=，因此，假設(shè)線性時不變系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，那么一定是大范圍漸近穩(wěn)定的，這也驗證了線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)的特性。對于非線性系統(tǒng)，穩(wěn)定與初始條件密切相關(guān)，δ的取值總是有限的。對于多個平衡狀態(tài)的情況更是如此，故通常只能在小范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。3.2幾種穩(wěn)定性的關(guān)系由穩(wěn)定性的定義易見，對于一個固定的平衡點而言，我們可以得到下面所示的蘊含關(guān)系：大范圍一致漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定一致穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定穩(wěn)定???????4.李亞普諾夫穩(wěn)定性理論4.1李亞普諾夫穩(wěn)定性第一方法Lyapunov第一方法是一種利用狀態(tài)方程的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性時不變、時變以及非線性函數(shù)可以線性化的情況，可以描述如下。如果是非線性系統(tǒng)，那么首先將非線性自制系統(tǒng)運動方程在平衡狀態(tài)ex的鄰域展開泰勒級數(shù)，導(dǎo)出一次近似線性化系統(tǒng)；然后計算線性化方程的特征值，根據(jù)該特征值在復(fù)平面上的分布判斷原非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性。假設(shè)線性化系統(tǒng)的特征值均具有負實部，那么非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)穩(wěn)定；假設(shè)線性化系統(tǒng)包含具有正實部的特征值，那么非線性系統(tǒng)在鄰域內(nèi)不穩(wěn)定。假設(shè)線性化系統(tǒng)除負實部特征值外還包含具有零實部的特征值，那么非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)ex的鄰域是否穩(wěn)定需通過高次項分析進行判斷。在討論線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可以不必求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，而直接由系統(tǒng)矩陣A的特征值判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；而對于線性時變系統(tǒng)，那么應(yīng)用矩陣范數(shù)來判斷。一般系統(tǒng)往往是非線性的，為了研究的方便，常常采用工作點鄰域線性化的方法，即用一個近似的線性系統(tǒng)來代替原系統(tǒng)。Lyapunov第一方法使非線性系統(tǒng)的線性化研究方法有了堅實可靠的理論根底，從而使線性化研究方法在工程上變得切實可行。對于含有不光滑非線性函數(shù)的系統(tǒng)，由于不能通過求偏導(dǎo)進行線性化，因而不能應(yīng)用Lyapunov第一方法，其穩(wěn)定性問題需要應(yīng)用Lyapunov第二方法進行研究。4.2李亞普諾夫穩(wěn)定性第二方法Lyapunov第二方法通過構(gòu)造一個具有廣義能量屬性的“能量函數(shù)”，并分析該函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定好性來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。該能量函數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)nxxx,,,21和時間t有關(guān)，稱為李亞普諾夫函數(shù)，用),(tVx或者),,,,(21txxxVn來表示。在Lyapunov第二方法中，),(tVx和其對時間的導(dǎo)數(shù)dttdVtV),(),(xx=?的符號特征，提供了判斷平衡狀態(tài)穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準那么，而不必求出方程的解。Lyapunov第二方法概念直觀，理論嚴禁，物理概念清晰，方法具有一般性，既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。應(yīng)該指出的是，Lyapunov方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別條件是充分的，而非必要的。這就是說，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)至少存在一個Lyapunov函數(shù)。對于一個特定系統(tǒng)而言，找不到該系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)也不能說該系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，如何選取Lyapunov函數(shù)十分重要?；谝陨现R，我們又得出一系列判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一些判據(jù)，對于不同的系統(tǒng)有不同的判斷方法。由Lyapunov第二方法的主要定理，對于連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性，有哪些判別方法，線性時不變系統(tǒng)與線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)的不同之處，進而推得離散系統(tǒng)的一系列穩(wěn)定性判據(jù)。Lyapunov第二方法在線性時不變系統(tǒng)中還有一些應(yīng)用，如，對控制系統(tǒng)過渡過程時間的估計、估算系統(tǒng)的動態(tài)性能、校正線性時不變系統(tǒng)、求解參數(shù)最優(yōu)化問題、平方積分值的計算等。4.3Lyapunov第二方法在線性時不變系統(tǒng)中的應(yīng)用對漸近穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，一個需要進一步研究的問題是，分析或估計系統(tǒng)自由運動即零輸入響應(yīng)趨向原點平衡狀態(tài)的收斂性能。教材5.6節(jié)基于李亞普諾夫判據(jù)討論了系統(tǒng)自由運動衰減性能的估計問題，特點是可在不必求解系統(tǒng)自由運動解即零輸入響應(yīng)解情形下直接估計運動過程的衰減性能。基于5.6節(jié)內(nèi)容給出兩個它的應(yīng)用。1.控制系統(tǒng)過渡過程時間的估計考慮如下漸近穩(wěn)定的連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)0,)0(,0≥==?txxAxx〔4.11〕設(shè)原點為唯一的平衡狀態(tài)，且是漸近穩(wěn)定的。由此可知，系統(tǒng)由任意初始狀態(tài)0x出發(fā)，其自由運動軌跡隨∞→t而趨于原點，假設(shè)把系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù))(xV看成是系統(tǒng)運動軌跡上動點到平衡狀態(tài)0=ex之間的距離度量〔或者看成是一種能量度量〕，那么)(xV隨時間衰減的速率)(xV?可看成是一種速度，因此可用于估計系統(tǒng)動點向平衡點收斂的速率。根據(jù)5.6節(jié)介紹的衰減系數(shù)的有關(guān)知識，給出下面一個例子。例設(shè)系統(tǒng)方程為????????????--=??????21211110xxxx，試求系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)，并估算系統(tǒng)從封閉曲線150)(=xV邊界上的一點到封閉曲線06.0)(=xV內(nèi)一點的響應(yīng)時間上界。解設(shè)IQ=，由IPAPA-=+T求矩陣P，即--=--+--10011110111求得==121212322211211ppppP于是，李亞普諾夫函數(shù)為〕〔222121T22321)(xxxxV++==Pxxx。設(shè)IQ=，得011=-=---IPIQPλλ，求1-P的特征值相當于解0=-PIλ，即012121231=----λλλλ得到兩個特征值553.0,447.121==λλ，即553.02min==λη。因此，148.1415006.0ln553.01),(),(ln100min0=-=-≤-tVtVttxxη此結(jié)果表示，系統(tǒng)從曲線150)(=xV上一點所發(fā)出的任意軌線，進入到被封閉曲線06.0)(=xV所包圍的區(qū)域內(nèi)，所需的響應(yīng)時間不超過14.148個時間單位。此結(jié)果與所選的矩陣P和Q有關(guān)，如果選擇到適宜的P和Q，還可能得到比14.148個單位更小的時間上界。如果認為min1η為李亞普諾夫函數(shù)的收斂時間常數(shù)，那么最大時間常數(shù)為81.11min=η。2.用Lyapunov第二方法求解參數(shù)最優(yōu)化問題〔1〕最優(yōu)控制問題最優(yōu)的含義指在系統(tǒng)的運行過程中某一項性能指標最優(yōu)，通常指使該項指標取得最小值，如控制過程的時間最短、耗能最少、控制誤差最小等。最優(yōu)控制問題即尋求一個適宜的控制規(guī)律，使被控系統(tǒng)按照一種最優(yōu)的方式運行。性能指標不考慮在實際系統(tǒng)中的物理意義，最優(yōu)控制中的性能指標通常用性能指標泛函J來表示，即=fttdttttLJ0]),(),([ux式中，L為與系統(tǒng)的狀態(tài)、控制作用和時間有關(guān)的泛函，0t為初始時刻，ft為終止時刻。積分型指標用于表示從0t到ft期間所積累的誤差或能量等。假設(shè)上述性能指標泛函可表示為二次型函數(shù)，那么稱為二次型性能指標。作為最常用的一種平方積分指標，其一般形式為dtJ][0TT?∞+=RuuQxx式中，QxxT為狀態(tài)的偏差項，RuuT為控制的能量項，Q與R為正定〔或半正定〕的實對稱加權(quán)矩陣。參數(shù)最優(yōu)化問題參數(shù)最優(yōu)化問題實際上是確定系數(shù)參數(shù)最正確值的問題，即在系統(tǒng)的設(shè)計中，通過確定可調(diào)參數(shù)的值，使系統(tǒng)的性能指標到達極小。設(shè)系統(tǒng)方程為Axx=?，初始狀態(tài)為)0(x。假設(shè)A的某個〔些〕參數(shù)為可調(diào)參數(shù)，那么確定這些可調(diào)參數(shù)，使得在從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到平衡狀態(tài)0x=e的過程中系統(tǒng)的性能指標∞=0TdtJQxx到達極小，這個問題就是一個參數(shù)最優(yōu)化問題。〔2〕用Lyapunov函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題對于一大類控制問題，可以在李亞普諾夫函數(shù)與系統(tǒng)的廣義二次型性能指標之間建立一種直接的關(guān)系式，從而可以求解出系統(tǒng)的最正確參數(shù)。設(shè)任意給定一個正定〔或半正定〕的實對稱矩陣Q，由于系統(tǒng)在0x=e處是漸近穩(wěn)定的，那么一定存在一個實對稱正定矩陣P，滿足條件QPAPA-=+T且有PxxxT)(=VQxxxT)(-=?V既然Q是任意給定的，不妨令其與二次型性能指標中的Q相等，那么)0()0()()(00)()(TT00TPxxPxxPxxxxQxx+∞∞-=∞-=∞-=-==??∞?∞VdtVdtJ上式，當0)(→∞x時，為)]0([)0()0(TxPxxVJ==這說明，二次型性能指標J與初始條件下的李亞普諾夫函數(shù)是等價的。顯然，對上式求極小值，即可確定可調(diào)參數(shù)值，得到最優(yōu)參數(shù)。問題求解的一般步驟如下：Step1將所求問題化為參數(shù)最優(yōu)化問題，即建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程Axx=?，確定初始狀態(tài))0(x和加權(quán)矩陣Q，判定系統(tǒng)矩陣A是否為穩(wěn)定矩陣〔特征值均為負值〕，指定可調(diào)參數(shù)),,2,1(niai=。Step2確定矩陣P，即QPAPA-=+T。Step3求二次型性能指標，即0()0(TPxx=J。Step4求J的最小值，即對每一個可調(diào)參數(shù)ia