13章-能量方法-習題課

習題課第十三章能量方法莫爾積分的應用：1、計算梁發(fā)生彎曲變形的位移：2、計算小曲率曲梁發(fā)生彎曲變形的位移：3、計算圓軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的位移：4、計算桿發(fā)生軸向拉壓變形的位移：5、計算桁架節(jié)點位移：6、計算結構組合變形的位移：三、莫爾積分的應用范圍：線彈性結構四、的符號的含義：1、+：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相同2、-：所求位移的實際方向與所加的單位載荷方向相反用莫爾積分計算的步驟：1、寫出結構在原載荷作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程2、將結構單獨取出，在結構上施加一與所求位移對應的單位載荷即：3、寫出結構在單位載荷單獨作用下引起的各段的各種內(nèi)力方程4、將同一段的同一種內(nèi)力方程相乘積分注意：在列原載荷和單位載荷引起的內(nèi)力方程時，必須保證分段相同，并且每段自變量的基準點相同組合變形：求轉(zhuǎn)角時施加單位力偶；求相對轉(zhuǎn)角時施加一對相反單位力偶。求位移時施加單位力；求相對位移時施加一對相反單位力。

所以：其中:為原載荷引起的彎矩，為單位載荷引起的彎矩，注意單位載荷一定要與所求位移：在種類和位置上對應。莫爾積分的應用范圍：

線彈性結構例：圖（a）所示重為P的重物于薄壁圓環(huán)頂點A，已知：EI為常數(shù)，求A點的位移。解：根據(jù)莫爾積分，利用對稱性計算一半1θBP/2θBBC:在B點加單位力PAB解：也可以根據(jù)莫爾積分計算整體靜變形，在C點加單位力ABPCAB1CBC:AC:RABPP例1:開口圓環(huán),EI為常量,求AB之間相對水平位移1、求原載荷引起的內(nèi)力：2、求水平相對位移，施加單位載荷：113、根據(jù)莫爾積分RABPP例2:開口圓環(huán),EI為常量,求AB之間相對轉(zhuǎn)角1、求原載荷引起的內(nèi)力：2、求相對轉(zhuǎn)角，施加單位載荷113、根據(jù)莫爾積分:PPRAB例3:開口圓環(huán),EI為常量,求AB之間相對豎直位移1、求原載荷引起的內(nèi)力：2、求豎直相對位移，施加單位載荷113、根據(jù)莫爾積分，利用對稱性例4:開口圓環(huán),EI，GIP為常量,求AB之間垂直于紙面方向的相對位移1、求原載荷引起的內(nèi)力：2、求原載荷引起的內(nèi)力：3、求豎直相對位移，施加單位載荷4、根據(jù)莫爾積分，利用對稱性RABPPRAB11RRP開口兩側分別作用一垂直于剛架平面的水平力P,PP求切口兩側垂直于紙面方向的水平相對位移.xy解:1、求原載荷引起的內(nèi)力：由于對稱于y軸，僅考慮一半:ED段ABCDE例5:圖示正方形剛架,邊長為L,各部分剛度均相同,E處有一開口,F彎曲變形DA段彎曲變形扭轉(zhuǎn)變形FA段扭轉(zhuǎn)變形彎曲變形2、求切口水平相對位移，施加單位載荷ABCDEFxy113、求由單位載荷引起的內(nèi)力彎曲變形DA段彎曲變形扭轉(zhuǎn)變形FA段扭轉(zhuǎn)變形彎曲變形ED段4、積分：扭轉(zhuǎn)變形ED段彎曲變形DA段彎曲變形扭轉(zhuǎn)變形FA段彎曲變形彎曲變形DA段彎曲變形扭轉(zhuǎn)變形FA段扭轉(zhuǎn)變形彎曲變形ED段ABCDEF例6：圖示桁架，所有桿長均為L，且抗拉壓剛度均為EA，P求：B點沿鉛垂方向的位移。分析：根據(jù)莫爾積分求桁架結點位移公式在B點沿鉛垂方向加一單位力。列表如下：桿號桿長123456132465A1B132465AB練習:剛架的EI為常量,求：A點豎直位移ABAC段DB段CD段CDCE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。EFABDCEFAC段DB段CD段CE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。ABDCEF功的互等定理：第一組力A點在第二組力B點引起的位移上所作的功==〉(等于)第二組力B點在第一組力A點引起的位移上所作的功。i表示位移產(chǎn)生的位置，j表示引起位移的力。注：位移互等定理中位移一般用δij雙角標表示，即：例7:選擇題1、如圖所示，隨著載荷P的移動，自由端B的撓度由撓度表讀出，問方程表示：A）力P的作用點的撓度與x的關系B）梁在自由端受集中力P的作用時的撓曲線方程C）梁在自由端受集中力P的作用時的轉(zhuǎn)角方程D）無任何力學意義Px2、如圖所示，同一剛架的兩種受力形式，若P與數(shù)值相同，則比較二者變形，可知：答案：B答案：C3、如圖所示，一簡支梁分別承受兩種形式的單位力，則CAB114、兩懸臂梁，設BD之間的距離為，CE之間的距離為，則BCEDA）增大，不變B）增大，改變C）減小，不變B）減小，改變答案：D答案：A三、應用圖乘法的注意事項：1、有正負號：原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的同側，為正原載荷與單位載荷引起的內(nèi)力圖在軸的異側，為負2、當為一條光滑的的曲線，為一條折線時，必須以折點為界,分段圖乘,即:可將4、當圖很復雜時，分成若干個簡單圖形,分部分圖乘3、若梁的抗彎剛度EI在整個梁上呈階梯變化，則圖乘時也要分段5、圖乘時，只有對同一段梁上的同一種內(nèi)力才能互乘，注：綜合來講，決定圖乘分段的因素有三個：的折點；圖是否需要劃分為若干簡單圖形；(2)EI是否階梯變化；BADCPPaaa例8:圖示剛架,各部分剛度均相同,求在P的作用下,A,C兩截面的水平位移解：1、求A點水平位移，畫原載荷引起的內(nèi)力圖CDPaABABPa3PaM圖PaPaT圖2、求A的水平位移施加單位載荷BADC1M圖圖ABAB2aa圖圖3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：解：5、求C點水平位移，畫原載荷引起的內(nèi)力圖CDM圖PaABPa3PaM圖ABPaPaT圖6、求C的水平位移施加單位載荷BADC17、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖CDa圖ABABa圖aa圖8、圖乘：PL例9：求圖示梁的撓曲線方程解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖PLM圖2、求任一點撓度，施加單位載荷13、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖圖4、圖乘例10：平面結構空間受力，AB和BC兩桿具有相同的剛度，求：1.A端的鉛垂位移；2.A端繞BC軸線（X軸）的轉(zhuǎn)角。解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖X2、求A點豎直位移施加單位載荷3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：解：1、畫原載荷引起的內(nèi)力圖2、求A點繞BC軸轉(zhuǎn)角施加單位載荷3、畫單位載荷引起的內(nèi)力圖4、圖乘：例11：圖示桁架，所有桿長均為L，且抗拉壓剛度均