遼寧省錦州市2023年中考數(shù)學(xué)試題（附真題答案）

遼寧省錦州市2023年中考數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．的相反數(shù)是（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：的相反數(shù)是-2023，

故答案為：B.

2．如圖所示的幾何體是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的，它的俯視圖是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：從上面看共有兩層，由上往下第一層是三個(gè)小正方形，第二層中間一個(gè)小正方形.

故答案為：B.

3．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：A、a2與a3不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a2×a3=a5，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

C、(a2)3=a6，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、（-2a2）3=-8a6，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意.故答案為：B.4．如圖，將一個(gè)含角的直角三角板按如圖所示的位置擺放在直尺上．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：如圖，∵∠1=28°，

∴∠3=180°-∠1-45°=107°，

∵a∥b，

∴∠3=∠2=107°.

故答案為：C.5．在一次跳繩測(cè)試中，參與測(cè)試的10名學(xué)生一分鐘跳繩成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)/次129130132135137人數(shù)/人13222這10名學(xué)生跳繩成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．132，130 B．132，132 C．130，130 D．130，132【解析】【解答】解：這10名同學(xué)的成績(jī)從低到高排列后排第5與6位的成績(jī)都是132次，

所以這10名學(xué)生跳繩成績(jī)的中位數(shù)為（132+132）÷2=132；

這10名學(xué)生跳繩成績(jī)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是130次，出現(xiàn)了3次，

所以這這10名學(xué)生跳繩成績(jī)的眾數(shù)為130.故答案為：A.6．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴，解得：且k≠0.

故答案為：D.2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，且a≠0），當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根，據(jù)此并結(jié)合題意列出關(guān)于字母k的不等式組，求解即可.7．如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（）A． B． C． D．【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，

∴∠AOC=2∠ABC=80°，

∴S扇形AOC=.故答案為：D.”計(jì)算即可.8．如圖，在中，，，，在中，，，與在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段所在直線向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重疊部分的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥EF于點(diǎn)H，

∵DE=DF=5，EF=8，

∴EH=FH=EF=4，

∴；

①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖，重疊部分為△EPQ，此時(shí)EQ=t，PQ∥DH，

∴△EPQ∽△EDH，

∴，即，

∴，

∴；

②當(dāng)4≤t＜8時(shí)，如圖，重疊部分為四邊形POC'B'，此時(shí)CC'=t，PB'∥DE，

∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，CF=8-t，

∵PB'∥DE，

∴△PB'F∽△DCF，

∴，

又∵S△DCF=×8×3=12，

∴，

∵DH⊥BC，∠AB'C'=90°，

∴AC'∥DH，

∴△C'QF∽△HFD，

∴，即，

∴，

∴；

③當(dāng)8＜t≤12時(shí)，如圖，重疊部分為△PFB'，此時(shí)BB'=CC'=t，PB'∥DE，

∴B'F=BC+CF-BB'=12-t，

∵PB'∥DE，

∴△PB'F∽△DCF，

∴，即，

∴，

綜上

∴函數(shù)分為三段，第一段是開口向上的拋物線，第二段是開口向下的拋物線，第三段又是開口向上的拋物線，

∴符合題意得函數(shù)圖象是A選項(xiàng).

故答案為：A.EF=4，然后根據(jù)勾股定理算出DH的長(zhǎng)；然后分類討論：①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，如圖，重疊部分為△EPQ，此時(shí)EQ=t，PQ∥DH，判斷出△EPQ∽△EDH，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例用含t的式子表示出PQ，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式表示出S；②當(dāng)4≤t＜8時(shí)，如圖，重疊部分為四邊形POC'B'，此時(shí)CC'=t，PB'∥DE，判斷出△PB'F∽△DCF，△C'QF∽△HFD，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出△PB'F及△C'FQ的面積，進(jìn)而根據(jù)S=S△PB'F-S△C'QF表示出S；③當(dāng)8＜t≤12時(shí)，如圖，重疊部分為△PFB'，此時(shí)BB'=CC'=t，PB'∥DE，???????判斷出△PB'F∽△DCF，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方表示出三角形PB'F的面積，從而根據(jù)各段函數(shù)圖象的開口方向判斷得出答案.二、填空題9．近年來，跑步成為越來越多人的一種生活方式．據(jù)官方數(shù)據(jù)顯示，2023年上海半程馬拉松報(bào)名人數(shù)達(dá)到78922人．將數(shù)據(jù)78922用科學(xué)記數(shù)法表示為．【解析】【解答】解：78922用科學(xué)記數(shù)法表示為：7.8922×104.故答案為：7.8922×104.n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1，據(jù)此可得答案.10．因式分解：.【解析】【解答】.故答案為：.11．甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員在5次射擊訓(xùn)練中，平均成績(jī)都是8.5環(huán)，方差分別是，，，則三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績(jī)最穩(wěn)定的是．（填“甲”或“乙”或“丙”）【解析】【解答】解：∵，而0.20＜0.78＜1.28，

∴三名運(yùn)動(dòng)員中這5次訓(xùn)練成績(jī)最穩(wěn)定的是乙.故答案為：乙.12．一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為．【解析】【解答】解：∵一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和5個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．經(jīng)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，

∴摸到黑色的概率為0.25；

設(shè)盒子中有紅色的小球x個(gè)，

由題意得，

解得x=15，

經(jīng)檢驗(yàn)x=15是原方程的根，

∴盒子中紅色的個(gè)數(shù)為15個(gè).故答案為：15.13．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為．【解析】【解答】解：設(shè)∠B=x，

∵DE是線段BC的垂直平分線，

∴BE=CE，

∴∠ECB=∠B=x，

∴∠AEC=∠B+∠ECB=2x，

∵AC=CE，

∴∠A=∠AEC=2x，

∵∠ACE=40°，∠A+∠AEC+∠ACE=180°，

∴2x+2x+40°=180°，

∴x=35°，即∠B=35°.故答案為：35°.14．如圖，在中，，，，按下列步驟作圖：①在和上分別截取、，使．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線交于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是．【解析】【解答】解：由題意可得射線AM是為∠CAB的角平分線，

在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠BAC=60°，

∵AM平分∠BAC，

∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=30°，

過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)N，交AF于點(diǎn)P，如圖，

在Rt△APN中，∠BAF=30°，

∴PN=AP，

∴CP+AP=CP+PN=CN，

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時(shí)CP+PN最短，

在Rt△ACN中，∵∠CAN=60°，

∴，

∴，

∴CP+AP=CP+PN=CN=.故答案為：.∠BAC=30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得PN=AP，則CP+AP=CP+PN=CN，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，此時(shí)CP+PN最短，進(jìn)而根據(jù)∠CAN的正弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可算出CN的長(zhǎng)，從而此題得解.15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，點(diǎn)B為的中點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．若的面積是6，則k的值為．【解析】【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D，

設(shè)點(diǎn)C（a，b），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，c），

∴CD=a，OA=c，

∵△AOC的面積為6，

∴S△AOC=，

∴ac=12，

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，

∴ab=k，

∵點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，

∴，

∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，

∴，

∴4k=ab+ac，

將ab=ky與ac=12代入得k=4.故答案為：4.，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得ab=k，4k=ab+ac，進(jìn)而整體代入可求出k的值.16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形，，，，…都是平行四邊形，頂點(diǎn)，，，，，…都在軸上，頂點(diǎn)，，，，…都在正比例函數(shù)（）的圖象上，且，，，…，連接，，，，…，分別交射線于點(diǎn)，，，，…，連接，，，…，得到，，，…．若，，，則的面積為．【解析】【解答】解：∵B2（3，0），A1（3，1），

∴O1，A1B2⊥x軸，

同理A2B3⊥x軸，A3B4⊥x軸，

∴△A1B1B2∽△A2B2B3，

∴，

∵A1B1=B2C1，

∴，

∴B2B3=，

∴，

可得△O2A3B3∽△O1A2B2，

∴，

∴，……，

∴.故答案為：.2與A1的坐標(biāo)可得點(diǎn)O1的坐標(biāo)及A1B2⊥x軸，從而判斷出△A1B1B2∽△A2B2B3，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求出B2B3=，進(jìn)而根據(jù)三角形面積計(jì)算公式算出△OA2B2的面積，再判斷出△O2A3B3∽△O1A2B2，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方可算出△O2A3B3的面積，從而找到規(guī)律，進(jìn)而根據(jù)規(guī)律即可得出答案.三、解答題17．化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【解析】18．2023年，教育部等八部門聯(lián)合印發(fā)了《全國(guó)青少年學(xué)生讀書行動(dòng)實(shí)施方案》，某校為落實(shí)該方案，成立了四個(gè)主題閱讀社團(tuán)：A．民俗文化，B．節(jié)日文化，C．古曲詩(shī)詞，D．紅色經(jīng)典．學(xué)校規(guī)定：每名學(xué)生必須參加且只能參加一個(gè)社團(tuán)．學(xué)校隨機(jī)對(duì)部分學(xué)生選擇社團(tuán)的情況進(jìn)了調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）本次隨機(jī)調(diào)查的學(xué)生有名，在扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”部分圓心角的度數(shù)為；（2）通過計(jì)算補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有1800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)全校參加“D”社團(tuán)的人數(shù)．【解析】【解答】解：（1）本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)（名），扇形統(tǒng)計(jì)圖中，A所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是；扇形統(tǒng)計(jì)圖中“A”部分圓心角的度數(shù)；

（2）用本次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)分別減去參加A、C、D三個(gè)社團(tuán)的人數(shù)可求出參加B社團(tuán)的人數(shù)，據(jù)此可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（3）用該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)乘以樣本中參加“D社團(tuán)”的人數(shù)所占的百分比可估計(jì)出該校學(xué)生參加“D”社團(tuán)的人數(shù).19．垃圾分類工作是今年全國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)工作會(huì)議部署的重點(diǎn)工作之一．為營(yíng)造人人參與垃圾分類的良好氛圍，某市環(huán)保部門開展了“讓垃圾分類成為低碳生活新時(shí)尚”宣傳活動(dòng)，決定從A，B，C三名志愿者中通過抽簽的方式確定兩名志愿者到社區(qū)進(jìn)行垃圾分類知識(shí)宣講，抽簽規(guī)則：將三名志愿者的名字分別寫在三張完全相同且不透明卡片的正面，把三張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下名字，再?gòu)氖Ｓ嗟膬蓮埧ㄆ须S機(jī)抽取第二張卡片，記下名字．（1）從三張卡片中隨機(jī)抽取一張，恰好是“B志愿者”的概率是；（2）按照抽簽規(guī)則，請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法表示出兩次抽簽所有可能的結(jié)果，并求出A，B兩名志愿者同時(shí)被抽中的概率．【解析】

（2）根據(jù)題意列出樹狀圖，由樹狀圖可知共有6種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中A，B兩名志愿者同時(shí)被選中的有2種，從而根據(jù)概率公式計(jì)算即可得出答案.20．2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運(yùn)動(dòng)員的拼搏精神感染了眾多球迷．某?；@球社團(tuán)人數(shù)迅增，急需購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價(jià)比B品牌籃球單價(jià)的2倍少48元，采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費(fèi)9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價(jià)分別是多少元？【解析】采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費(fèi)9600元和7200元”列出方程，求解并檢驗(yàn)即可.21．如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量此展板的最高點(diǎn)到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測(cè)得，，，，底座四邊形為矩形，．請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點(diǎn)A到地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，）【解析】于點(diǎn)G，與直線QE交于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥AG于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，易得四邊形DHMN，四邊形EFGH均為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行線的性質(zhì)可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可算出AM的長(zhǎng)，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函數(shù)及特殊銳角三角函數(shù)值可算出ND的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段的和差由AG=AM+MH+GH計(jì)算可得答案.22．如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，與相切于點(diǎn)A，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：；（2）點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)G．若，，，求的半徑及的長(zhǎng)．【解析】

（2）連接OF，過點(diǎn)D作DM⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，在Rt△ABG中，由∠ABG的正切函數(shù)可求出AG=，由圓周角定理得∠AOF=90°，再由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得OF∥AB，由二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得∠OFG=∠ABG，再等角的同名三角函數(shù)值相等并結(jié)合正切函數(shù)的定義可求出該圓的半徑；由同角的余角相等得∠BDM=∠OBA，由等角的同名三角函數(shù)值相等得，，在Rt△DBM中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，從而求出BM、DM的長(zhǎng)，最后再根據(jù)勾股定理可算出AD的長(zhǎng).23．端午節(jié)前夕，某批發(fā)部購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為8元/袋的粽子，銷售過程中發(fā)現(xiàn)：日銷量y（袋）與售價(jià)x（元/袋）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）每袋粽子的售價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少元？【解析】y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w，根據(jù)每袋粽子的利潤(rùn)乘以銷售數(shù)量等于總利潤(rùn)建立出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可解決此題.24．【問題情境】如圖，在中，，．點(diǎn)D在邊上將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，，以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．（1）【嘗試探究】如圖1，當(dāng)時(shí)，易知；如圖2，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖3，寫出與的數(shù)量關(guān)系（用含α的三角函數(shù)表示）．并說明理由；（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，當(dāng)，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)．若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【解析】，則，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得，由等腰三角形的三線合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函數(shù)可得，最后根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可得；

（2），過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可找出∠BAC=∠EFC，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得△ABC∽△FEC，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得，則，由∠ACB=∠FCE推出∠BCE∽△ACF，由兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得△BCE∽△ACF，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得，由等腰三角形的三線合一得BC=2CH，在Rt△AHC中，由∠ACH的余弦函數(shù)可得；

（3）過點(diǎn)D作DM⊥BF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CH⊥BF，交BF延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行得DM∥CH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DB=DE，由等腰三角形的三線合一得BM=EM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)得∠HFC=∠FEC+∠FCE=60°，由含30°角直角三角形的性質(zhì)可得FC=2FH，設(shè)BM=x，則BE=2x，由平行線分線段成比例定理得，從而可得BH=5x，EH=3x，F(xiàn)E=FC=2x，F(xiàn)H=x，則，在Rt△BHC中，由勾股定理建立方程可求出x的值，從而得到BE=4，從而可得答