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第22講同角三角函數(shù)關(guān)系通關(guān)一、三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角,是角終邊上任意一點(與原點不重合),它與原點的距離(如圖所示).(1)比值叫作的正弦,記作,即;(2)比值叫作的余弦,記作,即;(3)比值叫作的正切,記作,即.要點詮釋:(1)三角函數(shù)的值與點在終邊上的位置無關(guān),僅與角的大小有關(guān).我們只需計算點到原點的距離,那么.(2)三角函數(shù)符號是一個整體,離開的,tan等是沒有意義的,它們表示的是一個比值,而不是,與的積.通關(guān)二、三角函數(shù)在各象限的符號在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號時,有以下口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦。通關(guān)三、特殊角的三角函數(shù)值α0πππππ3sin?012310?1cos?13210?10tan?0313不存在0不存在結(jié)論一、任意角的三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系中,設(shè)是一個任意角,終邊上任意一點除了原點)的坐標(biāo)為,它與原點的距離為,那么(1)比值叫作的正弦,記作,即;(2)比值叫作的余弦,記作,即;(3)比值叫作的正切,記作,即.【例1】已知角的終邊上一點的坐標(biāo)是,且,求和的值.【解析】,又即rx=3x.由于x≠0,所以r=3,所以,即.(1)當(dāng)時,點的坐標(biāo)是.(2)當(dāng)時,點的坐標(biāo)是.【變式】已知角的終邊上的一點的坐標(biāo)為,且,求和值.【解析】由三角函數(shù)的定義知.當(dāng)時,為第二象限角,;當(dāng)時,為第三象限角,.結(jié)論二、三角函數(shù)值在各象限的符號當(dāng)角為第一象限角時,,反之也成立;當(dāng)角為第二象限角時,,反之也成立;當(dāng)角為第三象限角時,,反之也成立;當(dāng)角為第四象限角時,,反之也成立.三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號口認(rèn):一全正、二正弦、三正切、四余弦.【例2】已知,則函數(shù)的值域為____________.【答案】【解析】由題知原函數(shù)定義域為當(dāng)是第一像限角時,;當(dāng)是第二象限角時,當(dāng)是第三象限角時,當(dāng)是第四象限角時,.所以函數(shù)的值域為.【變式】若,則的值.A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不確定,與有關(guān)【答案】D【解析】異號為第二像限或第四象限角.(1)若是第二象限角,則,又由正余弦函數(shù)的定義知1,故,將它看成一個弧度數(shù),為第四象限角,從而;同理,為第一象限角,故.所以,當(dāng)是第二象限角時,.(2)若是第四象限角,類似討論得綜上,故選D.結(jié)論三、已知一個三角函數(shù)值,求其余兩個三角函數(shù)值一畫,畫一個直角三角形;二用,用勾股定理求出各條邊;三求,求出當(dāng)角為銳角時的三角函數(shù)值;四定,利用α所在象限確定符號.(特例:如出現(xiàn)以5、13、17、25為分母的應(yīng)考慮其特殊角的三角函數(shù)值).【例3】已知是第一象限角,,則等于. A. B. C. D.【答案】【解析】因為,所以,因為,所以.因為是第一象限角,所以.故選B.【變式】已知,且,則.A. B. C. D.【答案】D【解析】因為,且,所以,所以.故選.結(jié)論四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系:2.公式常見變形:【例4】已知是第三象限角,則_________.【答案】【解析】原式因為是第三象限角,所以.所以原式.【變式】已知是第四象限角,化簡為() A. B. C. D.【答案】【解析】原式因為是第四象限角,所以所以原式故選.結(jié)論五、已知值的求值問題(齊次式)1.利用商的關(guān)系,實現(xiàn)角的弦切互化.2.沒有分式的變成分式,利用分母為1,且,然后使分子、分母的次數(shù)相同,如果次數(shù)不夠,要補次,主要利用,再令分子、分母同除以,得到,代入可求值.【例5】已知,則. A. B. C. D.【答案】【解析】原式,代入.故選D.【變式】若,則() A. B. C. D.【答案】A.【解析】因為,所以.故選A.結(jié)論六、三角函數(shù)“三劍客”對于,,這三個式子,若已知其中某一個式子的值,可利用平方關(guān)系“”,靈活地運用方程思想,求出另兩個式子的值,即;;.【例6】已知,則(). A. B. C. D. 【答案】A.【解析】因為,所以,所以.
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