2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第10講 指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)-解析版50

第10講、指數(shù)運算及指數(shù)函數(shù)通關一、根式的概念和性質(zhì)n次方根概念一般地，如果，那么x叫作a的n次方根，其中.性質(zhì)①當是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負數(shù)的次方根是一個負數(shù).這時,的次方根用符號表示.②當是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號表示.正的次方根與負的次方根可以合并寫成.負數(shù)沒有偶次方根.③0的任何次方根都為0，記作.根式概念式子叫作根式，這里n叫作根指數(shù)，a叫作被開方數(shù).性質(zhì)①②當n為奇數(shù)時,.③當n為偶數(shù)時,.通關二、指數(shù)函數(shù),且的圖像與性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖像定義域R值域(0，＋∞)奇偶性非奇非偶函數(shù)對稱性函數(shù)y＝a－x與y＝ax的圖像關于y軸對稱過定點過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)函數(shù)值的變化情況當時,當時,當時當時,0<y<1底數(shù)對圖像的影響指數(shù)函數(shù)在同一坐標系中的圖像的相對位置與底數(shù)大小關系如圖所示,其中.①在軸右側,圖像從上到下相應的底數(shù)由大變小;②在軸左側,圖像從下到上相應的底數(shù)由大變小.結論一、指數(shù)基本運算當時,有:①;②;③;④;⑤;⑥.【例1】化簡并求值.(1);(2)【解析】(1);(2).【變式】化簡并求值.(1)若,求的值;(2)若,求的值;(3)設,求的值.【解析】(1)時,原式.先對所給條件等價變形:,.故.(3)因為,所以,所以.所以.結論二、指數(shù)比較大小1.對于底數(shù)相同,指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷;2.對于底數(shù)不同,指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來判斷;3.對于底數(shù)不同,且指數(shù)也不同的冪的大小比較,可先化為同底的兩個冪,或者通過中間值來比較.【例2】設,則的大小關系是()A. B. C. D.【答案】A【解析】對于函數(shù),在其定義域上是減函數(shù).因為,所以,即.在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)和函數(shù)的圖像,可知,即.從而.故選A.【變式】若,則().A. B. C. D.【答案】D【解析】因為,所以由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.因為的符號不確定,所以當時,可排除選項;當時,可排除選項;由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷正確.故選D.結論三、指數(shù)函數(shù)過定點指數(shù)函數(shù)的圖像恒過點，且函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二象限.【例3】函數(shù)的圖像必過定點__________.【答案】【解析】,令,則.當時，,所以必過點.【變式】已數(shù)函數(shù)且的圖像恒過定點,則__________.__________.【答案】2,0【解析】令,求得,圖像經(jīng)過定點,即.結論四、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖像的影響1．底數(shù)與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升降”：當時，指數(shù)函數(shù)的圖像“上升”；當時，指數(shù)函數(shù)的圖像“下降”.2.底數(shù)的大小決定了圖像相對位置的高低:不論是還是,在第一象限內(nèi)，自上向下，圖像對應的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變小.3.作直線所給指數(shù)函數(shù)圖像相交,交點的縱坐標為該指數(shù)函數(shù)的底數(shù),由此可判斷多個指數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小關系.4.在第一象限的圖像,越大,圖像越靠近軸;越小,圖像越靠近軸.【例4】右圖是指數(shù)函數(shù)(1),(3),(4)的圖像,則與1的大小關系為（）.A. B. C. D.【答案】B.【解析】有圖像可知=3\*GB3③=4\*GB3④的底數(shù)必大于1，=1\*GB3①=2\*GB3②的底數(shù)必小于1，過點作直線,在第一象限內(nèi)分別與各曲線相交,由圖像可知,從而可得與1的大小關系為.【變式】已知函數(shù)的圖像不經(jīng)過第一象限,則實數(shù)的取值范圍是（）. A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)為減函數(shù),所以若函數(shù)的圖像不經(jīng)過第一象限,則滿足,即.故選.結論五、指數(shù)數(shù)數(shù)單調(diào)若在上是增函數(shù);若在上是増函數(shù).要點詮釋：指數(shù)增減要看清,抓著底數(shù)不放松，反正底數(shù)大于零，不等于1已表明.底數(shù)若是大于1,圖像從下向上增；底數(shù)0到1之間，圖像從上往下減.無論函數(shù)增和減，圖像都過點.【例5】函數(shù)且在上的最大值比最小值大，則的值是__________.【答案】或【解析】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為，最小值為,則,得.又，所以.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為,最小值為,那么,得.又,所以.綜上，的值是或.【變式】函數(shù)在上的最大值與最小值的和為3,則等于（）. A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】解法一：當時,為單調(diào)遞增函數(shù),在上的最值分別為,