2024年高考數學優(yōu)等生培優(yōu)第4講 函數三要素-原卷版 41

第4講函數三要素通關一、函數符號的理解對應法則是函數概念的核心，的含義是：等于在法則下的對應值，而是對應得以實現(xiàn)的方法和途徑，是聯(lián)系與的紐帶，因此是函數關系的本質特征，甚至用什么字母表示自變量、因變量和對應法則，是無關緊要的.的含義與又不同，前者表示自變量時所得的函數值，它是一個常量，后者是的函數，在通常情況下，是一個變量，是的一個特殊值.通關二、函數的值域 （1）觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；（2）利用常見函數的值域：一次函數的值域為；二次函數利用配方法，結合定義域求出值域；反比例函數的值域為；指數函數的值域是；對數函數的值域是；正、余弦函數的值域是；正切函數的值域是；（3）單調性法：先利用函數的單調性，再由單調性求函數的值域；（4）分離常數法：即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；（5）換元法：對于一些無理函數（如），通過換元把它們轉化為有理函數，然后通過求有理函數的值域，間接地求解原函數的值域；（6）不等式法;利用幾個重要不等式及推論來求得最值，進而求得值域，如：，，當且僅當時等號成立；（7）判別式法：把函數解析式化為關于的一元二次方程，利用判別式求值域，形如或的函數適用，注意的取值范圍；（8）有界性法：充分利用三角函數或一些代數表達式的有界性，求出值域，因為常出現(xiàn)反解出的表達式的過程，也稱為反解有界性法；（9）配方法：它是求“二次函數型函數”值域的基本方法，形如的函數的值域問題，均可使用配方法；（10）數形結合法：若函數的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數形結合法；（11）導數法：利用導數求函數值域時，一種是利用導數判斷函數的單調性，進而根據單調性求值域；另一種是利用導數與極值、最值的關系求函數的值域.【結論第講】1．是整式時，定義域是全體實數.1．是整式時，定義域是全體實數.2.是分式時，定義域是使分母不為零的一切實數的集合.3.是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負數的實數的集合.4．對數函數中真數大于0，底數需大于0且不等于1.5．指數函數的底數含有變量時，底數需大于0且不等于1.6．正切函數定義域為.7函數的定義域為.8若是由有限個基本初等函數的四則運算合成的函數，則其定義域一般是各個基本初等函數定義域的交集.【例1】函數的定義域為（）A． B． C． D．【變式】函數的定義域為（）A． B． C． D．結論二、抽象函數定義域的求解1.若已知函數1.若已知函數的定義域為，則復合函數的定義域由不等式解得的解集即為的定義域.2.若已知函數的定義域為，則由可確定的范圍，所以的值域即為的定義域.【例2】設，則的定義域為（）A． B．C． D．【變式】已知函數的定義域是，則函數的定義域為__________.函數概念含有三個要素，即定義域A、值域B、和對應法則，其中核心是對應法則函數概念含有三個要素，即定義域A、值域B、和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數關系的本質特征，只有當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數也就不同.（2）對應法則不同，兩個函數也就不同.（3）即使定義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應法則.【例3】下列各組函數中，表示同一函數的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【變式】下列各對函數中,圖像完全相同的是().A． B． C. D．結論四、函數表達式1.配湊法;是將右端的代數式配湊成關于的形式,進而求出的解析式;2.換元法:主要解決已知復合函數的表達式求解函數的解析式的問題.令,解出,即用表示,然后代入中即可求得,從而求得.3.待定系數法:有些題目給出函數特征,求函數的解析式，可用待定系數法,比如函數是二次函數,可設為,其中是待定系數,根據題設條件,列出方程組,解出即可.4.函數方程法:主要解決已知函數的抽象關系式求解函數解析式的問題，將作為一個未知數來考慮,建立方程(組),消去另外的未知數便得到的表達式.【例】4 已知二次函數,則=__________.【變式】已知滿足,則=__________.結論五、換元法求函數的值域將函數解析式中關于的部分表達式視為一個整體，并用新元素代替,將解析式化歸為熟悉的函數，進而解出值城,1.在換元的過程中,因為最后是要用新元解決值城,所以一旦換元,后面緊跟新元的取值范圍.2.換元的作用有兩個:①通過換元可將函數解析式簡化,例如當解析式中含有根式時,通過將根式視為一個整體,換元后即可“消滅”根式,達到簡化解析式的目的.②化歸:可將不熟悉的函數轉化為會求值域的函數進行處理.3.換元的過程本質上是對研究對象進行