（普通班）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

第4節(jié)直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)綜合法3,5,8,12分析法7,10,11反證法1,2,4,9數(shù)學(xué)歸納法6,13基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練(時(shí)間:30分鐘)1.用反證法證明某命題時(shí),對(duì)結(jié)論“自然數(shù)a,b,c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)是(B)(A)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)(B)自然數(shù)a,b,c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)自然數(shù)a,b,c都是奇數(shù)(D)自然數(shù)a,b,c都是偶數(shù)解析:“恰有一個(gè)偶數(shù)”反面應(yīng)是“至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”.故選B.2.設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)QUOTEyx+QUOTEyz,QUOTEzx+QUOTEzy,QUOTExz+QUOTExy(C)(A)都大于2 (B)至少有一個(gè)大于2(C)至少有一個(gè)不小于2 (D)至少有一個(gè)不大于2解析:假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2,則QUOTEyx+QUOTEyz+QUOTEzx+QUOTEzy+QUOTExz+QUOTExy<6,由于QUOTEyx+QUOTEyz+QUOTEzx+QUOTEzy+QUOTExz+QUOTExy=(QUOTEyx+QUOTExy)+(QUOTEzx+QUOTExz)+(QUOTEyz+QUOTEzy)≥2+2+2=6,所以假設(shè)不成立,所以QUOTEyx+QUOTEyz,QUOTEzx+QUOTEzy,QUOTExz+QUOTExy中至少有一個(gè)不小于2.故選C.3.設(shè)a=3-2,b=6-5,c=7-6,則a,b,c的大小順序是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b解析:因?yàn)閍=3-2=13b=6-5=16c=7-6=17又因?yàn)?+6>6+5>3+2>0,所以a>b>c.4.(2014高考山東卷)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是(A)(A)方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根(B)方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根(C)方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根(D)方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析:至少有一個(gè)實(shí)根的否定是沒(méi)有實(shí)根,故要做的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根”.故選A.5.(2016成都模擬)已知函數(shù)f(x)=(QUOTE12)x,a,b是正實(shí)數(shù),A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(2(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因?yàn)閍+b2≥ab又f(x)=(QUOTE12)x在R上是減函數(shù),所以f(a+b2)≤f(ab)≤即A≤B≤C.故選A.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1n+1+1n+2+…+(A)增加12(B)增加12k+1(C)增加12k+1和1(D)以上結(jié)論都不對(duì)解析:n=k時(shí),左邊=1k+1+1k+2n=k+1時(shí),左邊=1(k+1)+1+1由“n=k”變成“n=k+1”時(shí),不等式左邊的變化是12k+1+7.設(shè)a>b>0,m=a-b,n=a-b,則m,n的大小關(guān)系是解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-b?b+a-b>a?a<b+2b·a-b+a-b?2b·答案:m<n8.已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y=x2+1圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點(diǎn),其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為解析:由條件得cn=an-bn=n2+1-n=所以cn隨n的增大而減小.所以cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是.

解析:“至少有一個(gè)是”的否定為“都不是”.答案:假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)10.已知a>0,用分析法證明a2+1a2-2≥a+QUOTE1證明:要證a2+1a2-2≥a+QUOTE1只需證a2+1a2≥(a+QUOTE1a因?yàn)閍>0,所以(a+QUOTE1a)-(2-2)>0,所以只需證(a2+1a2)2≥[(a+QUOTE1a)-(2-2)即2(2-2)(a+QUOTE1a)≥8-42,只需證a+QUOTE1a≥2.因?yàn)閍>0,a+QUOTE1a≥2顯然成立(a=QUOTE1a=1時(shí)等號(hào)成立),所以要證的不等式成立.能力提升練(時(shí)間:15分鐘)11.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證b2-ac<3(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要證b2-ac<3a,只要證(-a-c)2-ac<3a2,即證a2-ac+a2即證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即證a(a-c)-b(a-c)>0,即證(a-c)(a-b)>0.故求證“b2-ac<3a12.對(duì)于函數(shù)f(x),若?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三邊長(zhǎng),則稱f(x)為“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.以下說(shuō)法正確的是(D)(A)f(x)=1(x∈R)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”(B)“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù)(C)f(x)=1x2+1(x∈R)是(D)若定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[e,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”解析:對(duì)于A選項(xiàng),由題設(shè)所給的定義知,?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三邊長(zhǎng),是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于B選項(xiàng),由A選項(xiàng)判斷過(guò)程知,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng)a=0,b=3,c=3時(shí),f(a)=1>f(b)+f(c)=QUOTE15,不構(gòu)成三角形,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng),由于e+e>e,可知,定義在R上的函數(shù)f(x)的值域是[e,e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則f(x)一定是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”.13.設(shè)a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),n∈(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.(1)解:因?yàn)閍1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=a1+a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=猜想an=a(n-1)(2)證明:①易知,n=1時(shí),猜想正確.②假設(shè)n=k時(shí)猜想正確,即ak=a(則ak+1=f(ak)=a=a=a(k-這說(shuō)明,n=k+1時(shí)猜想正確.由①②知,對(duì)于任何n∈N*,都有an=a(精彩5分鐘1.已知三個(gè)不等式①ab>0;②QUOTEca>QUOTEdb;③bc>ad.以其中兩個(gè)作條件,余下一個(gè)作結(jié)論,則可組成個(gè)正確命題.

解題關(guān)鍵:QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab.解析:此題共可組成三個(gè)命題即①②?③;①③?②;②③?①.若ab>0,QUOTEca>QUOTEdb,則QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命題①②?③正確;若ab>0,bc>ad,則bc-adab=QUOTEca-QUOTEdb>0,得QUOTEca>QUOTEdb,即命題①③?②正確;若bc>ad,QUOTEca>QUOTEdb,則QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab>0,得ab>0,即命題②③?①正確.綜上可得正確的命題有三個(gè).答案:三2.凸函數(shù)的性質(zhì)定理為如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù),則對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+解題關(guān)鍵:利用所給凸函數(shù)的性質(zhì)求解.解析:因?yàn)閒(x)=sinx在區(qū)間(0,π)上是凸函數(shù),且A,B,C∈(0,π),所以f(A)+f(B)+f(即sinA+sinB+sinC≤3sinQUOTEπ3=332,所以sinA+sinB+sinC的最大值為33答案:33.(2016洛陽(yáng)模擬)下面有4個(gè)命題:①當(dāng)x>0時(shí),2x+QUOTE12x的最小值為2;②若雙曲線QUOTEx2a2-QUOTEy2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=3x,且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為2;③將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移QUOTEπ6個(gè)單位,可以得到函數(shù)y=sin(2x-QUOTEπ6)的圖象;④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,則△ABC的外接圓半徑r=a2類比到空間,若三棱錐SABC的三條側(cè)棱SA,SB,SC兩兩互相垂直,且長(zhǎng)度分別為a,b,c,則三棱錐SABC的外接球的半徑R=a2其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)為.

解