（普通班）高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三篇 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第2節(jié) 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 第二課時 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值基礎(chǔ)對點練 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第二課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【選題明細表】知識點、方法題號導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1,2,4,7,9導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值3,5,11,14導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值綜合問題6,8綜合問題10,12,14基礎(chǔ)對點練(時間:30分鐘)1.(2016汕頭模擬)若a>0,b>0,f(x)=4x3-ax2-2bx,且函數(shù)在x=1處有極值,則ab的最大值等于(C)(A)3 (B)6 (C)9 (D)2解析:因為f′(x)=12x2-2ax-2b.又因為在x=1處有極值,所以a+b=6,且Δ=(-2a)2+96b>0,因為a>0,b>0,所以ab≤（a+b2所以ab的最大值等于9.故選C.2.(2016保定模擬)設(shè)a∈R,若函數(shù)y=x+alnx在區(qū)間（QUOTE1e,e）有極值點,則a取值范圍為(B)(A)（QUOTE1e,e） (B)（-e,-QUOTE1e）(C)(-∞,QUOTE1e)∪(e,+∞) (D)(-∞,-e)∪(-QUOTE1e,+∞)解析:y′=1+QUOTEax(x>0),y′=1+QUOTEax為單調(diào)函數(shù),所以函數(shù)在區(qū)間(QUOTE1e,e)有極值點,即f′(QUOTE1e)f′(e)<0,代入解得(1+ae)(1+QUOTEae)<0?(a+e)(a+QUOTE1e)<0,解得-e<a<-QUOTE1e.故選B.3.函數(shù)y=lnx-x在x∈(0,e]上的最大值為(C)(A)e (B)1 (C)-1 (D)-e解析:函數(shù)y=lnx-x的定義域為(0,+∞),又y′=QUOTE1x-1=1-xx令y′=0得x=1,當x∈(0,1)時,y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增;當x∈(1,e]時,y′<0,函數(shù)單調(diào)遞減.當x=1時,函數(shù)取得最大值-1.4.若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象不可能是(D)解析:若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d有極值,則此函數(shù)在某點兩側(cè)的單調(diào)性相反,也就是說導(dǎo)函數(shù)f′(x)在此點兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)值的符號相反,所以導(dǎo)函數(shù)的圖象要穿過x軸,觀察四個選項中的圖象只有D項是不符合要求的,即f′(x)的圖象不可能是D.5.(2016唐山質(zhì)檢)若函數(shù)y=x3-QUOTE32x2+a在[-1,1]上有最大值3,則該函數(shù)在[-1,1]上的最小值是(C)(A)-QUOTE12 (B)0 (C)QUOTE12 (D)1解析:y′=3x2-3x=3x(x-1)>0,解得x>1或x<0,y′>0,解得0<x<1,y′<0,所以當x∈[-1,1]時,[-1,0]函數(shù)增,[0,1]函數(shù)減,所以當x=0時,函數(shù)取得最大值f(0)=a=3,y=x3-QUOTE32x2+3,f(-1)=QUOTE12,f(1)=QUOTE52,所以最小值是f(-1)=QUOTE12.故選C.6.若函數(shù)f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是(C)(A)(-5,1) (B)[-5,1)(C)[-2,1) (D)(-5,-2]解析:f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,且x=1為函數(shù)的極小值點,x=-1為函數(shù)的極大值點.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,6-a2)上有最小值,則函數(shù)f(x)極小值點必在區(qū)間(a,6-a2)內(nèi),即實數(shù)a滿足a<1<6-a2且f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.解a<1<6-a2,得-5<a<1,不等式a3-3a≥f(1)=-2,即a3-3a+2≥0,即a3-1-3(a-1)≥即(a-1)(a2+a-2)≥0,即(a-1)2(a+2)≥0,即a≥-2.故實數(shù)a的取值范圍是[-2,1).故選C.7.函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是.

解析:f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,即函數(shù)f(x)恰有兩個極值點,即f′(x)=0有兩個不等實根.因為f(x)=ax3+x,所以f′(x)=3ax2+1.要使f′(x)=0有兩個不等實根,則a<0.答案:(-∞,0)8.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是.

解析:f′(x)=-3x2+2ax,根據(jù)已知2a得a=3,即f(x)=-x3+3x2-4.根據(jù)函數(shù)f(x)的極值點,可得函數(shù)f(m)在[-1,1]上的最小值為f(0)=-4,f′(n)=-3n2+6n在[-1,1]上單調(diào)遞增,所以f′(n)的最小值為f′(-1)=-9.[f(m)+f′(n)]min=f(m)min+f′(n)min=-4-9=-13.答案:-139.(2016淄博聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1存在極值,則實數(shù)m的取值范圍為.

解析:因為函數(shù)f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在極大值,又存在極小值,f′(x)=3x2+2mx+m+6=0,它有兩個不相等的實根,所以Δ=4m2答案:(-∞,-3)∪(6,+∞)10.(2016長春模擬)已知函數(shù)f(x)=x-QUOTE1x,g(x)=alnx(a∈R).(1)當a≥-2時,求F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),且h(x)有兩個極值點為x1,x2,其中x1∈(0,QUOTE12],求h(x1)-h(x2)的最小值.解:(1)由題意得F(x)=x-QUOTE1x-alnx,其定義域為(0,+∞),則F′(x)=x2令m(x)=x2-ax+1,則Δ=a2-4.①當-2≤a≤2時,Δ≤0,從而F′(x)≥0,所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);②當a>2時,Δ>0,設(shè)F′(x)=0的兩根為x1=a-a2-4所以F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a-a2-42)和F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(a-a2-綜上,當-2≤a≤2時,F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);當a>2時,F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,a-a2-42）和F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（a-a2-(2)對h(x)=x-QUOTE1x+alnx,x∈(0,+∞)求導(dǎo)得,h′(x)=1+QUOTE1x2+QUOTEax=x2+ax+1x2h′(x)=0的兩根分別為x1,x2,則有x1·x2=1,x1+x2=-a,所以x2=QUOTE1x1,從而有a=-x1-QUOTE1x1.令H(x)=h(x)-h（QUOTE1x）=x-QUOTE1x+（-x-QUOTE1x）lnx-[QUOTE1x-x+(-x-QUOTE1x)·lnQUOTE1x]=2[(-x-QUOTE1x)lnx+x-QUOTE1x],H′(x)=2(QUOTE1x2-1)lnx=2(1當x∈(0,QUOTE12]時,H′(x)<0,所以H(x)在(0,QUOTE12]上單調(diào)遞減,又H(x1)=h(x1)-h(QUOTE1x1)=h(x1)-h(x2),所以[h(x1)-h(x2)]min=H(QUOTE12)=5ln2-3.能力提升練(時間:15分鐘)11.已知y=f(x)是奇函數(shù),當x∈(0,2)時,f(x)=lnx-ax(a>QUOTE12),當x∈(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于(D)(A)2 (B)3 (C)4 (D)1解析:由題意知,當x∈(0,2)時,f(x)的最大值為-1.令f′(x)=QUOTE1x-a=0,得x=QUOTE1a,當0<x<QUOTE1a時,f′(x)>0;當x>QUOTE1a時,f′(x)<0.所以f(x)max=f(QUOTE1a)=-lna-1=-1,解得a=1.12.(2016江西上高二中模擬)若函數(shù)f(x)=x2-QUOTE12lnx+1在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為.

解析:由題意可知,k-1≥0,k≥1,又因為f′(x)=2x-12x=所以f(x)在(0,QUOTE12)上單調(diào)遞減,在(QUOTE12,+∞)上單調(diào)遞增,所以k-1<QUOTE12<k+1?-QUOTE12<k<QUOTE32,綜上所述,實數(shù)k的取值范圍是[1,QUOTE32).答案:[1,QUOTE32)13.(2016合肥聯(lián)考)已知函數(shù)y=f(x)=lnx(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=QUOTE1e處的切線方程;(2)求y=f(x)的最大值;(3)設(shè)實數(shù)a>0,求函數(shù)F(x)=af(x)在[a,2a]上的最小值.解:(1)f(x)定義域為(0,+∞),f′(x)=1-因為f(QUOTE1e)=-e,又因為k=f′(QUOTE1e)=2e2,所以函數(shù)y=f(x)在x=QUOTE1e處的切線方程為y+e=2e2(x-QUOTE1e),即y=2e2x-3e.(2)令f′(x)=1-因為當x∈(0,e)時,f′(x)>0,f(x)在(0,e)上為增函數(shù);當x∈(e,+∞)時,f′(x)<0,在(e,+∞)上為減函數(shù).所以fmax(x)=f(e)=QUOTE1e.(3)因為a>0,由(2)知:F(x)=alnxx所以F(x)在[a,2a]上的最小值F(x)min=min{F(a),F(2a)}.因為F(a)-F(2a)=QUOTE12lnQUOTEa2,所以當0<a≤2時,F(a)-F(2a)≤0,F(x)min=F(a)=lna.當a>2時,F(a)-F(2a)>0,F(x)min=F(2a)=QUOTE12ln2a.14.已知f(x)=3x2-x+m(x∈R),g(x)=lnx.(1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在x=x0處的切線平行,求x0的值;(2)求當曲線y=f(x)與y=g(x)有公共切線時,實數(shù)m的取值范圍;(3)在(2)的條件下,求函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[QUOTE13,1]上的最值(用m表示).解:(1)f′(x)=6x-1,g′(x)=QUOTE1x(x>0),由題意知6x0-1=QUOTE1x0(x0>0),即6x02-x解得x0=QUOTE12或x0=-QUOTE13,又因為x0>0,所以x0=QUOTE12.(2)若曲線y=f(x)與y=g(x)相切且在切點處有公共切線,由(1)得切點橫坐標為QUOTE12,所以f(QUOTE12)=g(QUOTE12),所以QUOTE34-QUOTE12+m=lnQUOTE12,即m=-QUOTE14-ln2,數(shù)形結(jié)合可知,m>-QUOTE14-ln2時,f(x)與g(x)有公共切線,故m的取值范圍是(-QUOTE14-ln2,+∞).(3)F(x)=f(x)-g(x)=3x2-x+m-lnx,故F′(x)=6x-1-QUOTE1x=6=(3當x變化時,F′(x)與F(x)在區(qū)間[QUOTE13,1]上的變化情況如表:x[QUOTE13,QUOTE12)(QUOTE12,1]F′(x)-0+F(x)↘極小值↗又因為F(QUOTE13)=m+ln3,F(1)=2+m>F(QUOTE13),所以當x∈[QUOTE13,1]時,F(x)min=F(QUOTE12)=m+QUOTE14+ln2(m>-QUOTE14-ln2),F(x)max=F(1)=m+2(m>-QUOTE14-ln2).精彩5分鐘1.(2016文登模擬)設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+2ax(x∈R)有大于0的極值點,則(C)(A)a<-QUOTE1e (B)a>-QUOTE1e(C)a<-QUOTE12 (D)a>-QUOTE12解題關(guān)鍵:問題轉(zhuǎn)化為y′=0有正數(shù)解.解析:由y=ex+2ax,得y′=ex+2a.由題意,得ex+2a=0有正數(shù)解,當x>0時,ex=-2a>1,即a<-QUOTE12.故選C.2.若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+(A)33 (B)3 (C)3+1 (D)3解題關(guān)鍵:運用分類討論思想和方程思想求解.解析:f′(x)=x2+a令f′(x)=0,得x=a或x=-a(舍去),①若a≤1時,即0<a≤1時,在[1,+∞)上f′(x)<0,f(x)max=f(1)=11+a=解得a=3-1,符合題意.②若a>1,即a>1,在[1,a]上f′(x)>0,在[a,+∞)上f′(x)<0,所以f(x)max=f(a)=a2a=解得a=QUOTE34<1,不符合題意,綜上知,a=3-1.故選D.3.(2015鄭州質(zhì)檢三)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,0)上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且有2f(x)+xf′(x)>x2,則滿足不等式(x+2014)2f