等軸雙曲線與圓相交的優(yōu)美性質(zhì)

等軸雙曲線和圓相交時(shí)的幾個(gè)優(yōu)美性質(zhì)浙江省海鹽元濟(jì)高級(jí)中學(xué)（314300）崔寶法圓與等軸雙曲線都是具有高度對(duì)稱美的曲線,經(jīng)過研究筆者發(fā)現(xiàn),當(dāng)它們相交時(shí)具有一些比較優(yōu)美的性質(zhì).下面列出其中幾條,并給出證明.性質(zhì)一若等軸雙曲線與任意一個(gè)定半徑的圓交于四點(diǎn),則其中心到這四點(diǎn)的距離的平方和為定值.證明:設(shè)等軸雙曲線①與圓…②交于四點(diǎn)、、、.由①②消去,得的四次方程,由韋達(dá)定理得:,,.同理,.(定值).性質(zhì)二若等軸雙曲線與一個(gè)圓交于四點(diǎn),則（1）雙曲線必過其中任意三點(diǎn)所構(gòu)三角形的垂心；（2）第四點(diǎn)與垂心的連線必過雙曲線的中心.證明:(1)如圖1，不妨設(shè)等軸雙曲線與圓相交的其中三點(diǎn)為、、，過點(diǎn)A、B的直線方程為：，AB邊上的高所在直線的為：，即…①.同理，BC邊上的高所在直線為：…②.從①②可以解得垂心H的坐標(biāo)為，它滿足等軸雙曲線方程，故等軸雙曲線經(jīng)過這個(gè)三角形的垂心.(2)連(為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn),則因?yàn)樵陔p曲線上,且雙曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,所以與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故點(diǎn)坐標(biāo)為.，，或、、、四點(diǎn)共圓,故即為第四個(gè)交點(diǎn)；因?yàn)樵谥本€上,所以第四點(diǎn)與垂心的連線過雙曲線的中心.性質(zhì)三若等軸雙曲線與一個(gè)圓交于四點(diǎn),且其中兩點(diǎn)的連線是此圓的直徑,則另兩點(diǎn)的連線必過雙曲線的中心,且雙曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與此直徑垂直.證明：如圖2，設(shè)等軸雙曲線方程是①，圓方程為②，聯(lián)立①②,消去,整理得.設(shè)兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為,則由韋達(dá)定理有.不妨設(shè)是圓的直徑,則.同理,,將代入得.又的方程為,即.過雙曲線的中心.又易知雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為,其斜率為,而的斜率為,故過點(diǎn)的切線與垂直;同理可證:過點(diǎn)的切線也與垂直.性質(zhì)四以等軸雙曲線平行于實(shí)軸的弦為直徑的圓必過雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).證明:如圖3,設(shè)等軸雙曲線方程為,為平行于實(shí)軸的弦,點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為.雙曲線頂點(diǎn)為,直線的斜率為,直線的斜率為,.點(diǎn)在雙曲線上,,即,故,,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.同理,點(diǎn)也在以為直徑的圓上.性質(zhì)五若等軸雙曲線與一個(gè)圓交于四點(diǎn),則這四點(diǎn)的平均中心(其坐標(biāo)為各點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù))平分雙曲線中心與圓心的連線.證明:設(shè)等軸雙曲線①與圓②交于四點(diǎn),①代入②,得.由韋達(dá)定理得:,,.,,所以平均中心的坐標(biāo)為.而雙曲線中心與圓心的坐標(biāo)分別為和,所以其連線中點(diǎn)坐標(biāo)也是,故平均中心平分雙曲線中心與圓心的連線.性質(zhì)六若以等軸雙曲線過中心的一弦為半徑，以此弦的一個(gè)端點(diǎn)為圓心的圓與雙曲線交于四點(diǎn)，則另三個(gè)交點(diǎn)恰好是一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn).證明:如圖4,設(shè)等軸雙曲線方程為①,過雙曲線中心的弦的兩個(gè)端點(diǎn)為、，則以為圓心，為半徑的圓方程為②，且③.聯(lián)立①②,消去得,與③聯(lián)立,消去,得,即.設(shè)另三個(gè)交