【數(shù)學(xué)】山西省晉城市2024屆高三一模試題（解析版）

成就未來(lái)，新教育伴你成長(zhǎng)聯(lián)系電話：400-186-9786山西省晉城市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：A.2.設(shè)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依題意得，所以，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．故選：C3.若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故選：C4.已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】令，得，即①因②，聯(lián)立①②解得：或，又，所以．故選：B.5.若的展開(kāi)式存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.35 C. D.21【答案】C【解析】若的展開(kāi)式存在常數(shù)項(xiàng)，則，且常數(shù)項(xiàng)為．故選：C6.吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長(zhǎng)度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長(zhǎng)度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得拋物線的方程為．因?yàn)橥贿叺膽宜鬟B接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)到橋面的距離為米．故選：A.7.定義表示，，中的最小值．已知實(shí)數(shù)，，滿足，，則（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是 D.的最小值是【答案】B【解析】因?yàn)?，所以在，，中，?fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為1或3，又，所以在，，中，1個(gè)為負(fù)數(shù)，2個(gè)為正數(shù)，不妨設(shè)，則．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，故的最大值是，無(wú)最小值．故選：B.8.生命在于運(yùn)動(dòng)，某健身房為吸引會(huì)員來(lái)健身，推出打卡送積分活動(dòng)（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會(huì)比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒(méi)有積分，且第二天打卡須從1積分重新開(kāi)始．某會(huì)員參與打卡活動(dòng)，從3月1日開(kāi)始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（）A.3月5日或3月16日 B.3月6日或3月15日C.3月7日或3月14日 D.3月8日或3月13日【答案】D【解析】若他連續(xù)打卡，則從打卡第1天開(kāi)始，逐日所得積分依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為2，第天所得積分為．假設(shè)他連續(xù)打卡天，第天中斷了，則他所得積分之和為，化簡(jiǎn)得，解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故選：D二、選擇題9.若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒大于0，則該函數(shù)在上純粹遞增，若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值恒小于0，則該函數(shù)在上純粹遞減，則（）A.函數(shù)在上純粹遞增B.函數(shù)在上純粹遞增C.函數(shù)在上純粹遞減D.函數(shù)在上純粹遞減【答案】BC【解析】若，則，因?yàn)椋訟錯(cuò)誤．若，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以B正確．若，則，所以C正確．若，則在上不恒成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC10.如圖，在正四棱柱中，，，，平面將該正四棱柱分為上、下兩部分，記上部分對(duì)應(yīng)的幾何體為，下部分對(duì)應(yīng)的幾何體為，則（）A.的體積為2B.的體積為12C.的外接球的表面積為D.平面截該正四棱柱所得截面的面積為【答案】ACD【解析】設(shè)，連接，，，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：，可知A，，，四點(diǎn)共面，所以為直三棱柱，其體積為，故A正確；的體積為，B錯(cuò)誤．的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，所以的外接球的半徑，則的外接球的表面積為，C正確．平面截該正四棱柱所得截面為矩形，其面積為，D正確．故選：ACD.11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，分別以線段，為直徑作圓，圓，線段與圓相交于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)D.圓與圓有一條公切線的傾斜角為【答案】BCD【解析】的方程可化為，可得，，．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，A錯(cuò)誤．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，則，B正確．設(shè)點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，由軸，可得，為的中位線，則直線平分線段，則點(diǎn)必在軸上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，C正確．如圖，若為圓與圓的一條公切線，，為切點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．由，，得，可得，由軸，且，可得公切線的傾斜角為，D正確．故選：BCD12.已知函數(shù)，則（）A.“”是“”的充要條件B.“”是“”的充分不必要條件C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)，則，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以．因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，所以“”是“”的充要條件．當(dāng)時(shí)，，理由如下：（解法一）可變?yōu)?，則．因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，即．（解法二）設(shè)，則，，即，代入，得，即．假設(shè)，則等式左右異號(hào)，矛盾．所以，即．故選：AC三、填空題13.若一個(gè)正棱臺(tái)的棱數(shù)大于15，且各棱的長(zhǎng)度構(gòu)成的集合為，則的最小值為_(kāi)_________，該棱臺(tái)各棱的長(zhǎng)度之和的最小值為_(kāi)_________．【答案】642【解析】因?yàn)檎馀_(tái)的側(cè)棱有條，底面有條棱，所以正棱臺(tái)共有條棱，由，得，所以的最小值為6，該棱臺(tái)各棱的長(zhǎng)度之和的最小值為．故答案為：，14.已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則與的夾角為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，，，因?yàn)椋鶠閱挝幌蛄?，所以四邊形為菱形，且平分，所以與的夾角為，則與的夾角為．故答案為：15.某羽毛球超市銷(xiāo)售4種品牌（品牌，，，）的羽毛球，該超市品牌，，，的羽毛球的個(gè)數(shù)的比例為，品牌，，，的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不買(mǎi)這4個(gè)品牌中的1個(gè)品牌的羽毛球，他從其他3個(gè)品牌的羽毛球中隨機(jī)選取1個(gè)購(gòu)買(mǎi)，已知他買(mǎi)到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，則可推測(cè)他不買(mǎi)的羽毛球的品牌為_(kāi)_________（填入，，，中的1個(gè)）．【答案】D【解析】因?yàn)樗I(mǎi)到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不買(mǎi)的羽毛球品牌一定不是品牌．若他不買(mǎi)品牌的羽毛球，則他買(mǎi)到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買(mǎi)品牌的羽毛球，則他買(mǎi)到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．若他不買(mǎi)品牌的羽毛球，則他買(mǎi)到的羽毛球?yàn)閮?yōu)品的概率為．故答案為：D16.若函數(shù)在上至少有兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】令，，得的極大值點(diǎn)為，，則存在整數(shù)，使得，解得．因?yàn)楹瘮?shù)在兩個(gè)相鄰的極大值點(diǎn)之間有兩個(gè)零點(diǎn)，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．又，所以的取值范圍為．故答案為：.四、解答題17.在中，，，．（1）求A的大小；（2）求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．解：（1）由余弦定理得，因?yàn)椋裕?）設(shè)外接圓半徑與內(nèi)切圓的半徑分別為，，由正弦定理得，則．的面積，由，得．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）令．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以，所以，解得．?）由（1）知，所以19.某果園種植了一種水果，現(xiàn)隨機(jī)抽取這種水果的成熟果實(shí)200個(gè)，統(tǒng)計(jì)了這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量，得到下列頻數(shù)分布表：果籽數(shù)量1234水果數(shù)100504010（1）求這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)與平均數(shù)．（2）已知這種水果的成熟果實(shí)的果籽數(shù)量會(huì)影響其市場(chǎng)售價(jià)，每個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量與果實(shí)的價(jià)格如下表所示：果籽數(shù)量1234價(jià)格/元201286以這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量各自對(duì)應(yīng)的頻率作為該果園這種成熟果實(shí)的果籽數(shù)量各自對(duì)應(yīng)的概率，從該果園的這種成熟果實(shí)中任選2個(gè)，在被選的成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的前提下，設(shè)這2個(gè)果實(shí)的市場(chǎng)售價(jià)總和為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）將這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量從少到多排列，因?yàn)椋瑢?duì)應(yīng)的果籽數(shù)量為2，故這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的第75百分位數(shù)為．這200個(gè)果實(shí)的果籽數(shù)量的平均數(shù)為．（2）依題意可得果籽數(shù)量為1，2，3，4對(duì)應(yīng)的概率分別為，，，．被選的2個(gè)成熟果實(shí)中至少有1個(gè)的果籽數(shù)量為1的概率為．的可能取值為40，32，28，26，，，，，則的分布列為40322826．20.如圖，是邊長(zhǎng)為2的正六邊形所在平面外一點(diǎn)，的中點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影，．（1）證明：平面．（2）若，二面角的大小為，求．（1）證明：如圖，設(shè)，連接．因?yàn)?，所以，所以，且．連接交于，連接，由，所以，中，，，所以，由，可得，所以四邊形為平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易知，，，，則，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得．設(shè)平面的法向量為，則即令，得，由，得，所以.21.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．（1）解：．令，易知單調(diào)遞增，且．當(dāng)時(shí)，,即，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,即，單調(diào)遞增．所以，即，所以的取值范圍是．（2）證明：由單調(diào)性可設(shè)．令．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以．所以，即，即．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以，即．22.已知橢圓的焦