公司理財 課件翻譯 21 期權(quán)定價

第21章期權(quán)定價本章概述21.1二項式期權(quán)定價模型21.2

布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價模型21.3風(fēng)險中性概率21.4期權(quán)的風(fēng)險和回報率21.5風(fēng)險債務(wù)的貝塔學(xué)習(xí)目標(biāo)闡明如何利用二項式期權(quán)定價模型對期權(quán)定價。為二項式期權(quán)定價模型定義復(fù)制組合。利用一價定律解釋二項式期權(quán)定價模型如何在它給定的假設(shè)下正確估值。學(xué)習(xí)目標(biāo)

利用布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價公式計算不支付股利股票的看漲期權(quán)的價值。利用布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價公式計算不支付股利股票歐式看跌期權(quán)的價格。計算支付股利股票的歐式期權(quán)的價值。學(xué)習(xí)目標(biāo)

為不支付股利股票的看漲期權(quán)或歐式看跌期權(quán)定義布萊克－斯科爾斯復(fù)制組合。討論風(fēng)險中性概率的含義并說明這些概率如何被用來為每一狀態(tài)下支付已知的其他任何資產(chǎn)定價。學(xué)習(xí)目標(biāo)

定義并計算二叉樹中股價上升的風(fēng)險中性概率。計算并解釋期權(quán)的貝塔。利用布萊克－斯科爾斯公式卸載公司股權(quán)的貝塔、計算債務(wù)的貝塔。

21.1二項式期權(quán)定價模型

二項式期權(quán)定價模型基于每一期股票回報率只有兩個可能取值的假設(shè)下的一種期權(quán)定價技術(shù)。二叉樹具有兩個分支的時間線，每個時期代表著該時期內(nèi)可能發(fā)生的事件單期的兩狀態(tài)模型復(fù)制組合復(fù)制組合包含1期后與期權(quán)具有完全相同價值和支付的基礎(chǔ)股票和無風(fēng)險債券。根據(jù)一價定律，這意味著看漲期權(quán)與復(fù)制組合的當(dāng)前價值必定相等。單期的兩狀態(tài)模型

假定歐式看漲期權(quán)1期后到期，執(zhí)行價格為50美元。當(dāng)前股價為50美元，股票不支付股利。經(jīng)過1期后，股價將上漲10美元或下跌10美元。1年期無風(fēng)險利率為6%。單期的兩狀態(tài)模型

支付信息可以匯總在二叉樹中。單期的兩狀態(tài)模型

D表示買入的股票數(shù)量，B表示對債券的初始投資。為了利用股票和債券構(gòu)造看漲期權(quán)，要求由股票和債券構(gòu)成的投資組合的價值，在每一可能的狀態(tài)下，必須與期權(quán)的價值完全一致。單期的兩狀態(tài)模型

在上升狀態(tài)，組合的價值必為10美元。在下降狀態(tài)，組合的價值必定為零。單期的兩狀態(tài)模型

利用聯(lián)立方程，可以解得D和B。

D=0.5B=–18.8679單期的兩狀態(tài)模型

由0.5股股票多頭和賣空大約價值18.87美元的債券所構(gòu)成的投資組合，在經(jīng)過1期后，將與看漲期權(quán)的價值完全相符。60×0.5–1.06×18.87=1040×0.5–1.06×18.87=0單期的兩狀態(tài)模型

根據(jù)一價定律，看漲期權(quán)的價格必定等于復(fù)制組合的當(dāng)前市場價值。復(fù)制組合的當(dāng)前價值等于，當(dāng)前股價為50美元的0.5股股票的價值減去借款額單期的兩狀態(tài)模型

注意到根據(jù)一價定律，我們能夠在不知道二叉樹狀態(tài)概率的情形下，求解期權(quán)的價格。圖21.1在二項式模型中復(fù)制期權(quán)二項式期權(quán)定價公式假定：當(dāng)前的股價為S，在下一期，股價或者上漲至Su

，或者下跌為Sd

。無風(fēng)險利率為rf

。如果股價上漲，期權(quán)的價值為Cu

；股價下跌，期權(quán)的價值為

Cd。二項式期權(quán)定價公式

給定以上假設(shè)，二叉樹可描述為：復(fù)制組合的支付為：二項式期權(quán)定價公式

通過兩個等式求解未知量D和B，可得到二項式模型中復(fù)制組合的一般公式。二項式模型中的復(fù)制組合期權(quán)定價二項式模型中的期權(quán)價格例21.1例21.1多期模型考察股價變動的兩期二叉樹：多期模型

為了在多期二叉樹中計算期權(quán)的價值，我們從二叉樹的末端開始，向后倒著進(jìn)行。在時點2，期權(quán)到期，它的價值就等于內(nèi)在價值。在本例中，如果股價上升至60美元，看漲期權(quán)的價值為10美元，否則期權(quán)的價值為零。多期模型

多期模型

下面來確定在時點1每種可能狀態(tài)下的期權(quán)價值。

如果在時點1，股價上升至50美元，二叉樹表示如下：期權(quán)的價值為6.13美元。（正如單期模型中示例一樣）多期模型

下面來確定在時點1每種可能狀態(tài)下的期權(quán)價值。

如果在時點1，股價下跌至30美元，二叉樹表示如下：期權(quán)的價值為0美元，因為在兩種狀態(tài)下，期權(quán)都是沒有價值的。多期模型

最后一步是確定在時點0每種可能狀態(tài)下的期權(quán)價值。

解得D

和B:

多期模型

最后一步是確定在時點0每種可能狀態(tài)下的期權(quán)價值。

因此，期權(quán)的初始價值等于：多期模型

動態(tài)交易策略通過由基礎(chǔ)股票和無風(fēng)險債券構(gòu)成的投資組合的動態(tài)交易來復(fù)制期權(quán)的支付，這種復(fù)制策略稱作動態(tài)交易策略。多期模型

動態(tài)交易策略在上面兩期的例子中，復(fù)制組合需要在每一期的期末進(jìn)行調(diào)整。開始時，買入0.3065股股票，并且借入8.67美元的債務(wù)如果股價下跌至30美元，股票價值為9.20美元，債務(wù)增加到9.20美元。30×0.3065=9.20美元

，

8.67×1.06=9.20美元復(fù)制組合的凈值為零，可以清算這一組合。多期模型

動態(tài)交易策略如果股價上漲至50美元，則組合的凈值將增加到6.13美元。復(fù)制組合中新的股票數(shù)量D為0.5。因此，必須再買進(jìn)0.1935股股票。0.50?0.3065=0.1935額外借款以支付購買股票的價款。0.1935×50=9.67美元最終債務(wù)總額為18.87美元。8.67×1.06+9.67=18.87美元這與早先計算的價值相等。例21.2例21.2例21.2模型的現(xiàn)實化盡管向上或向下的二元變動并非股價的年度甚至日變動方式，通過縮短每一時期的時間長度，進(jìn)而增加股價二叉樹的時期數(shù)，就可構(gòu)造出更現(xiàn)實的股價變動模型。圖21.2股價的二項式變動路徑21.2布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價模型布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價模型當(dāng)股票可以持續(xù)交易時歐式期權(quán)的定價技術(shù)。將每一期的時間長度縮短至零，將時期數(shù)擴展為無窮大，可以基于二項式期權(quán)定價模型推導(dǎo)出布萊克－斯科爾斯期權(quán)定價模型。布萊克－斯科爾斯公式不支付股利股票的看漲期權(quán)的布萊克－斯科爾斯價格在上式中，S表示股票的當(dāng)前價格，

K表示期權(quán)的執(zhí)行價格，

N(d)

表示累積正態(tài)分布累積正態(tài)分布即正態(tài)分布變量不超過特定值的概率布萊克－斯科爾斯公式

在上式中，s表示年波動率，T表示期權(quán)距到期日的年數(shù)圖21.3正態(tài)分布布萊克－斯科爾斯公式

注:布萊克－斯科爾斯公式僅要求5個輸入變量股票價格執(zhí)行價格行權(quán)日期無風(fēng)險利率股票的波動率例21.3表21.1捷藍(lán)股票期權(quán)的報價例21.3替代示例21.3問題假定：CLW公司不支付股利。CLW股票每年的標(biāo)準(zhǔn)差為45%。

無風(fēng)險年利率為5%。CLW股票當(dāng)前價格為24美元。根據(jù)布萊克－斯科爾斯公式，執(zhí)行價格為30美元、?年期的CLW股票的美式看漲期權(quán)的價格是多少？替代示例21.3(cont’d)圖21.42009年12月到期、執(zhí)行價格為6美元的捷藍(lán)航空股票看漲期權(quán)在2009年7月24日的布萊克－斯科爾斯價值布萊克－斯科爾斯公式

歐式看跌期權(quán)由賣權(quán)－買權(quán)平價公式，歐式看跌期權(quán)的價值為：不支付股利股票的歐式看跌期權(quán)的布萊克－斯科爾斯價格例21.4例21.4替代示例21.4問題假定：CLW公司不支付股利。CLW股票每年的標(biāo)準(zhǔn)差為45%。

無風(fēng)險年利率為5%。CLW股票當(dāng)前價格為24美元。根據(jù)布萊克－斯科爾斯公式，執(zhí)行價格為30美元、?年期的CLW股票的美式看跌期權(quán)的價格是多少？替代示例21.4(cont’d)圖21.52010年1月到期、執(zhí)行價格為5美元的捷藍(lán)航空股票看跌期權(quán)在2009年7月24日的布萊克－斯科爾斯價值布萊克－斯科爾斯公式

支付股利的股票如果PV(Div)

表示在期權(quán)到期日前發(fā)放的股利的現(xiàn)值，那么：Sx表示排除支付的股利之后的股票價格。布萊克－斯科爾斯公式

支付股利的股票歐式看漲期權(quán)表示購買不支付股利股票的權(quán)利，根據(jù)布萊克－斯科爾斯公式，用Sx代替S，可對這種期權(quán)進(jìn)行定價。布萊克－斯科爾斯公式

支付股利的股票一個特殊情形是，所支付的股利與股利支付當(dāng)時的股價成比例。如果用q表示直到期權(quán)到期日之前的（復(fù)利）股利收益率，則有：例21.5例21.5例21.5替代示例21.5問題FPA公司當(dāng)前股價為每股42.40美元，公司將為它的股票支付6%的年度股利。假設(shè)FPA股票的標(biāo)準(zhǔn)差為25%，無風(fēng)險利率為4%，那么執(zhí)行價格為40美元、1年期看漲期權(quán)的價值是多少？替代示例21.5解答用股利對股價進(jìn)行調(diào)整，就可以用布萊克－斯科爾斯公式得出看漲期權(quán)的價格：那么，隱含波動率布萊克－斯科爾斯公式所要求的5個輸入變量中，只有一個參數(shù)s是不可直接觀測的。在實踐中通常使用兩種方法來估計參數(shù)s的數(shù)值。使用歷史數(shù)據(jù)“倒推”出隱含波動率隱含波動率與基礎(chǔ)資產(chǎn)的期權(quán)報價相一致的資產(chǎn)回報率的波動率例21.6例21.6復(fù)制組合假定：二項式模型中的期權(quán)價格那么：看漲期權(quán)的布萊克－斯科爾斯復(fù)制組合復(fù)制組合

期權(quán)德爾塔(D)它是在股價變化1美元時引起的期權(quán)價格的變化量。期權(quán)復(fù)制組合中股票的數(shù)量。注:因為D總是小于1，所以看漲期權(quán)價格的變化總是小于股價的變化。例21.7例21.7圖21.6例21.7中的看漲期權(quán)的復(fù)制組合復(fù)制組合

注:看漲期權(quán)的復(fù)制組合總是由股票的多頭和債券的空頭構(gòu)成的。復(fù)制組合就是股票的杠桿頭寸。股票的杠桿頭寸比股票本身的風(fēng)險要高，這就意味著貝塔為正的股票的看漲期權(quán)的風(fēng)險，要比基礎(chǔ)股票本身的風(fēng)險更高，因而看漲期權(quán)具有較高的回報率和較高的貝塔。復(fù)制組合

看跌期權(quán)的復(fù)制組合計算如下：看跌期權(quán)的布萊克－斯科爾斯復(fù)制組合注:看跌期權(quán)的復(fù)制組合總是由債券的多頭和股票的空頭構(gòu)成，這意味著貝塔為正的股票的看跌期權(quán)的貝塔為負(fù)。21.3風(fēng)險中性概率如果所有市場參與者都是風(fēng)險中性的，那么所有的金融資產(chǎn)（包括期權(quán)）都將具有相同的資本成本——無風(fēng)險利率。風(fēng)險中性的兩狀態(tài)模型設(shè)想一個只有風(fēng)險中性投資者的世界，考慮最初的的兩狀態(tài)例子。股票的現(xiàn)價為50美元。經(jīng)過1期后，股價或者將上漲10美元，或者將下跌10美元。1期的無風(fēng)險利率為6%。風(fēng)險中性的兩狀態(tài)模型

如果r

表示股價將要上漲的概率，那么(1–r)就表示股價將要下跌的概率。股票在今天的價值一定等于，下一期的期望價格以無風(fēng)險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。求解，得到r=0.65風(fēng)險中性的兩狀態(tài)模型

看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為50美元，在到期日，期權(quán)的價值要么為10美元，要么為零。期權(quán)的期望支付的現(xiàn)值為：風(fēng)險中性的兩狀態(tài)模型

這恰好等于通過二項式期權(quán)定價模型計算出的結(jié)果，不過在那里我們并沒有假設(shè)投資者是風(fēng)險中性的。在應(yīng)用二項式模型或布萊克－斯科爾斯公式計算期權(quán)價格時，不需要對投資者的風(fēng)險偏好做出假設(shè)，對于任何偏好集合，包括風(fēng)險中性投資者，模型都一定是奏效的。風(fēng)險中性世界的含義無論實際的投資者風(fēng)險偏好和期望股票回報率如何，二項式模型和布萊克－斯科爾斯模型都將給出相同的期權(quán)價格。在現(xiàn)實世界中，投資者是風(fēng)險厭惡的，要求正的風(fēng)險溢價以補償承擔(dān)的風(fēng)險，然而在假想的風(fēng)險中性世界中，投資者不要求風(fēng)險補償。風(fēng)險中性世界的含義

換句話說，

r并非股價上漲的實際概率。而是代表著該如何調(diào)整實際概率，以使股價與風(fēng)險中性世界中的股價保持一致。風(fēng)險中性世界的含義

風(fēng)險中性概率假定所有投資者都是風(fēng)險厭惡的，與當(dāng)前證券價格相一致的未來狀態(tài)的概率。

r

和(1?

r)稱作風(fēng)險中性概率。也被稱作狀態(tài)依存價格、狀態(tài)價格或者鞅價格風(fēng)險中性世界的含義

假設(shè)上述例子中股票的現(xiàn)價為50美元，股價上漲到60美元的真實概率為75%，下跌到40美元的真實概率為25%。風(fēng)險中性世界的含義

股票的真實期望回報率為：給定無風(fēng)險利率為6%，股票的風(fēng)險溢價為4%。但是，正如先前所計算的那樣，股價將上漲的風(fēng)險中性概率為65%，這小于真實概率。因此在風(fēng)險中性世界中，股票的期望回報率為6%。(60×

0.65+40×

0.35)∕50?1=6%風(fēng)險中性世界的含義

要確保風(fēng)險中性世界中的所有資產(chǎn)都具有相當(dāng)于無風(fēng)險利率的期望回報率，那么相對于真實概率，風(fēng)險中性概率必然要加大差的狀態(tài)的概率，減低好的狀態(tài)的概率。風(fēng)險中性概率與期權(quán)定價再次考慮一般的股價二叉樹。計算風(fēng)險中性概率，使得股票的期望回報率等于無風(fēng)險利率：風(fēng)險中性概率與期權(quán)定價

求解上式，得到風(fēng)險中性概率r為：根據(jù)風(fēng)險中性概率，計算期權(quán)的期望支付，再以無風(fēng)險利率對期權(quán)的期望支付折現(xiàn)，從而計算期權(quán)的價值。例21.8例21.8例21.8風(fēng)險中性概率與期權(quán)定價

衍生證券現(xiàn)金流僅取決于其他可交易資產(chǎn)的價格的證券風(fēng)險中性世界中的概率可用來對任何衍生證券定價。風(fēng)險中性概率與期權(quán)定價

蒙特卡羅模擬一種對衍生資產(chǎn)定價的常用技術(shù)。首先模擬基礎(chǔ)股票價格變動的隨機路徑，然后計算衍生證券的平均支付，再據(jù)以估計出衍生證券的期望支付。在股價隨機運動的模擬中，使用了風(fēng)險中性概率，所以可以用無風(fēng)險利率對平均支付折現(xiàn)，據(jù)以估計出衍生證券的價值。21.4期權(quán)的風(fēng)險和回報率要計量期權(quán)的風(fēng)險，就必須計算期權(quán)的貝塔。這個可以通