《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系及其符號(hào)表示．2．內(nèi)容解析在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握了空間中點(diǎn)線面之間的3條基本事實(shí)，和三個(gè)推論．學(xué)生可借助這些結(jié)論和生活實(shí)際對(duì)空間中的直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的關(guān)系進(jìn)行總結(jié)和概括．這些感性認(rèn)識(shí)為后面章節(jié)研究它們關(guān)系的判定和性質(zhì)奠定了初步的基礎(chǔ)．空間中，點(diǎn)、直線、平面這三類(lèi)對(duì)象之間有6類(lèi)關(guān)系，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面之間的關(guān)系學(xué)生已經(jīng)非常清楚．而直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的關(guān)系，學(xué)生只有粗淺的認(rèn)識(shí)．而長(zhǎng)方體提供了觀察它們之間關(guān)系的重要模型．先觀察然后歸納長(zhǎng)方體中的直線、平面之間的關(guān)系，這是新課程改革中較好體現(xiàn)邏輯推理重要學(xué)科素養(yǎng)的內(nèi)容．空間中的幾何對(duì)象與其代數(shù)表示各有其優(yōu)缺點(diǎn)，代數(shù)表示較為簡(jiǎn)潔、明確，而幾何表達(dá)較為形象直觀．直線、平面之間的位置關(guān)系也一樣，能利用代數(shù)符號(hào)表達(dá)幾何關(guān)系，也能用幾何圖形表達(dá)代數(shù)符號(hào)，是本節(jié)課中數(shù)學(xué)建模這一學(xué)科素養(yǎng)的具體體現(xiàn)．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：通過(guò)對(duì)長(zhǎng)方體和生活中實(shí)物的觀察，歸納空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系；能夠?qū)ι鲜鲫P(guān)系進(jìn)行符號(hào)表示，能在幾何表示和符號(hào)表示之間快速轉(zhuǎn)換．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1）歸納并理解空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系．（2）能對(duì)上述關(guān)系進(jìn)行符號(hào)表達(dá)，能在圖形表示與符號(hào)表達(dá)之間相互轉(zhuǎn)換．2．目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過(guò)長(zhǎng)方體中具體的直線、平面之間的關(guān)系，抽象、歸納出直線與直線，直線與平面，平面與平面之間的位置關(guān)系，并能在具體的空間圖形中回答指定對(duì)象較為明顯的位置關(guān)系．達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能通過(guò)類(lèi)比集合中屬于和含于等符號(hào)，表達(dá)直線與直線間的相交、平行；直線與平面間的在面內(nèi)、相交、平行；平面與平面的平行、相交等的所有可能的位置關(guān)系．對(duì)于文字?jǐn)⑹龌蛘叻?hào)表達(dá)的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，學(xué)生能通過(guò)平行四邊形、直線、點(diǎn)等圖形表示出來(lái)，特別是異面直線．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析學(xué)生對(duì)于點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)與線、點(diǎn)與面之間的關(guān)系是非常清楚的，但是如何通過(guò)抽象，剝離出本質(zhì)特征，用幾何圖形表示不是很明白．直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的關(guān)系是后面章節(jié)中重點(diǎn)介紹的內(nèi)容，本節(jié)課主要是初步感知這些對(duì)象之間關(guān)系，并用基本圖形表達(dá)這些關(guān)系．異面直線是用否定性的定義來(lái)表達(dá)的，即不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)．在用圖形表達(dá)的時(shí)候，只能借助一條直線在面內(nèi)，一條直線與平面相交，且交點(diǎn)不在前一直線上來(lái)展現(xiàn)，或者借助兩個(gè)相交平面，其各自面內(nèi)有一直線，它們沒(méi)有交點(diǎn)來(lái)襯托展現(xiàn)．無(wú)論是直線與直線、直線與平面、平面與平面中的哪種關(guān)系，在用圖形表達(dá)時(shí)，均需借助一個(gè)或多個(gè)平面展現(xiàn)其相對(duì)位置關(guān)系．本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的圖形表達(dá)．四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）探究、歸納空間中直線與直線的位置關(guān)系問(wèn)題1

空間中的基本要素有點(diǎn)、直線、平面，它們之間有些位置關(guān)系非常簡(jiǎn)單，比如點(diǎn)與直線之間有點(diǎn)在直線上、點(diǎn)不在直線上；點(diǎn)與平面之間有點(diǎn)在面內(nèi)、點(diǎn)不在面內(nèi)等等．我們也知道在同一平面中，直線與直線之間的位置關(guān)系有平行與相交兩種位置關(guān)系．那么，在空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間有哪些位置關(guān)系呢？我們可以借助長(zhǎng)方體模型或者教室中的物體首先研究一下空間中直線與直線的位置關(guān)系有哪些？師生活動(dòng)：教師展示三維的長(zhǎng)方體圖形，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖形中具體的直線與直線間不同的位置關(guān)系，梳理歸納出直線之間的相交、平行、異面三種位置關(guān)系．設(shè)計(jì)意圖：從現(xiàn)有的平面知識(shí)出發(fā)，引發(fā)空間中對(duì)象間的關(guān)系，然后具體到難度相對(duì)較低的直線與直線間的位置關(guān)系.方法主要是觀察、歸納．問(wèn)題2

平面中直線與直線的平行關(guān)系與空間中直線間的平行關(guān)系意義一樣嗎？那么，相交關(guān)系呢？何用圖形表示空間中直線之間的平行和相交呢？追問(wèn)1：兩直線異面，即兩條直線不在任何一個(gè)平面內(nèi)，又應(yīng)該怎么用圖形表示呢？師生活動(dòng)：學(xué)生應(yīng)該都能利用平行四邊形以及平行四邊形內(nèi)部的線段來(lái)準(zhǔn)確地畫(huà)出空間中直線與直線的相交、平行關(guān)系，但是對(duì)于追問(wèn)可能會(huì)有些難度．但至少可以想到用下圖來(lái)表示．基本想法是兩條直線中一條在面內(nèi)，另一條一定不在面內(nèi)，也就是說(shuō)不能畫(huà)在平行四邊形內(nèi)部．設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從已知到未知，從空間圖到直觀圖的過(guò)程．可促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過(guò)程，體會(huì)正難則反的數(shù)學(xué)探究方法．追問(wèn)2：既然異面直線是不在同一平面內(nèi)的直線，能否通過(guò)繪制兩個(gè)不同的平面，再在各自平面中繪制不相交的直線來(lái)展現(xiàn)異面直線呢？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知常見(jiàn)的展現(xiàn)異面直線的情形．通過(guò)討論后，教師展示下圖．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)不同形式的展示，引導(dǎo)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)異面直線，其本質(zhì)為兩直線不相交、不平行．（二）探究、歸納空間中直線與平面之間的關(guān)系問(wèn)題3

觀察下圖，直線AB與長(zhǎng)方體的六個(gè)平面分別有幾個(gè)交點(diǎn)，它們之間的位置關(guān)系又一樣嗎？再結(jié)合生活中的實(shí)例思考，空間中直線與平面有哪些位置關(guān)系？師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比空間中直線與直線的位置關(guān)系，借助長(zhǎng)方體模型或者生活中的實(shí)例，探究空間中直線與平面的交點(diǎn)，從而歸納出直線與平面間的位置關(guān)系．教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)直線與平面相交和直線與平面平行均稱(chēng)直線在平面外．追問(wèn)1：當(dāng)直線與平面的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為無(wú)數(shù)個(gè)，一個(gè)，零個(gè)的時(shí)候，我們分別稱(chēng)它們的位置關(guān)系為直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行，那么用直觀圖怎么表示這些位置關(guān)系呢？師生活動(dòng)：直線在平面內(nèi)時(shí)，可以通過(guò)在表示平面的平行四邊形內(nèi)畫(huà)一條線段展現(xiàn)，上一環(huán)節(jié)中的探究和討論已經(jīng)基本可以繪制直線與平面相交的直觀圖．教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察生活中直線與平面平行時(shí)給人的直觀感受來(lái)繪制直線與平面平行的直觀圖，也就是通過(guò)直線與平行四邊形中的一條邊平行來(lái)展現(xiàn)．設(shè)計(jì)意圖：教材直接給出了直線與平面的三種位置關(guān)系，略作說(shuō)明地給出了三種位置關(guān)系的直觀圖．此環(huán)節(jié)可讓讓學(xué)生結(jié)合生活中的實(shí)例理解這樣繪制圖形的合理性．體會(huì)直線與平面位置關(guān)系的常用直觀圖表示．追問(wèn)2：點(diǎn)、直線、平面均有對(duì)應(yīng)的符號(hào)表示，那么它們之間的位置關(guān)系應(yīng)該怎么用符號(hào)表示呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從集合的角度理解直線與平面，自然引出直線與平面相交的基本符號(hào)表示為a∩α=A；直線與平面平行的符號(hào)為a//α．設(shè)計(jì)意圖：幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)對(duì)象的兩個(gè)方面，數(shù)形結(jié)合認(rèn)識(shí)事物會(huì)更全面，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界是數(shù)學(xué)中的一種基本素養(yǎng)．直線與平面位置關(guān)系的直觀圖表示更形象、更直觀，但是符號(hào)表達(dá)會(huì)更簡(jiǎn)潔、更準(zhǔn)確．（三）探究歸納空間中平面與平面的位置關(guān)系問(wèn)題4

觀察下圖，平面ABCD與長(zhǎng)方體的其他平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)有什么不同，它們之間的位置關(guān)系又有什么不一樣？再結(jié)合生活中的實(shí)例思考，空間中平面與平面有哪些位置關(guān)系？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生逐個(gè)觀察平面ABCD與其他五個(gè)平面的交點(diǎn)情況，也可引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際觀察教室內(nèi)地面與四周墻面、天花板的交點(diǎn)情況．引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線與直線的位置關(guān)系，得到直線與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．設(shè)計(jì)意圖：與直線與平面之間位置關(guān)系的探究類(lèi)似，通過(guò)實(shí)例觀察抽象出平面與平面的交點(diǎn)情況，再通過(guò)類(lèi)比這一推理方式，得到平面與平面之間的位置關(guān)系．這里體現(xiàn)是的對(duì)數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．追問(wèn)：如何用符號(hào)表達(dá)平面與平面之間的位置關(guān)系？教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比直線與直線的平行，還有直線與平面平行的符號(hào)表示，來(lái)得到平面與平面相交、平行時(shí)的符號(hào)表示．設(shè)計(jì)意圖：此處的設(shè)計(jì)與直線與平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示意圖一致，均為加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)的提升．（四）直線、平面位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題5

觀察下圖長(zhǎng)方體中直線與平面，盡可能多地分類(lèi)舉出空間直線、平面位置關(guān)系的例子，并用符號(hào)表示這些關(guān)系．師生活動(dòng)：教師可讓學(xué)生在白板上分類(lèi)寫(xiě)出盡可能多的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系及其符號(hào)表示．設(shè)計(jì)意圖：雖然學(xué)生通過(guò)觀察，逐項(xiàng)探究得到不同對(duì)象間的位置關(guān)系，但是學(xué)生并未形成系統(tǒng)全面的認(rèn)知，且不熟練．此環(huán)節(jié)的設(shè)置，一方面檢測(cè)學(xué)生對(duì)空間中直線、平面位置關(guān)系的掌握情況；另一方面，借助長(zhǎng)方體中的直線與平面關(guān)系的感知，增強(qiáng)學(xué)生的空間感．例1

如下圖，用符號(hào)表示下列圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系．例2

如圖，直線與具有怎樣的位置關(guān)系？為什么？師生活動(dòng)：對(duì)于例題1，教師可以請(qǐng)一名學(xué)生上臺(tái)板書(shū)，其余同學(xué)在臺(tái)下書(shū)寫(xiě)，教師巡視查看學(xué)生書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性與全面性．對(duì)于例題2，教師可讓學(xué)生思考，異面直線的定義是對(duì)共面的全面否定，對(duì)它的證明，最好的方式是進(jìn)行反正．假定兩直線不是異面關(guān)系，則它們一定共面，利用已知的基本事實(shí)和正確的推理得到矛盾的結(jié)論，從而得到之前假設(shè)的錯(cuò)誤．設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)強(qiáng)化直線、平面之間位置關(guān)系的判定與符號(hào)表示．引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)證明兩條直線異面時(shí)常用的一種邏輯——反證法，提升學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)1．教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：（1）本節(jié)課你學(xué)到哪些知識(shí)？又是用怎樣的方法學(xué)到這些知識(shí)的？（2）空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面有哪些位置關(guān)系？（3）怎么用符號(hào)表示空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系？（4）證明兩直線異面時(shí)用了什么證明方法？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，梳理本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，并回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)立體幾何的研究?jī)?nèi)容和研究方法，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容反思的意識(shí)和習(xí)慣，幫助學(xué)生在更大的范圍內(nèi)把所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，并掌握相應(yīng)的學(xué)習(xí)方法．2．布置作業(yè)教科書(shū)第131頁(yè)第1，2，3，4題，第132頁(yè)第4題，第9題．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為()．A．α∩β＝m，n？α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n？α，A？m，A？nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這個(gè)題目，檢測(cè)學(xué)生對(duì)直線與平面位置關(guān)系的判斷及其符號(hào)表示的掌握情況．2．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③DM與BN是異面直線．以上幾個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是()．A．①②③

B．②

C．③

D．②③設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)正方體還原后的圖形如下圖．檢測(cè)學(xué)生在平面圖形與空間圖形之間的相互轉(zhuǎn)換，提高其空間感，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)直線與直線位置關(guān)系的判斷，特別是異面直線的判斷．3．已知：α∥