福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則=（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由不等式，解得，所以，又由，所以．故選：C.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第一象限．故選：A.3.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉镽上的單調(diào)減函數(shù)，為上的單調(diào)增函數(shù)，故，所以,故選:D4.若某等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為27，且第3項(xiàng)為5，則該等差數(shù)列的公差為（）A. B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗設(shè)該等差數(shù)列為，則，則，所以公差.故選：B.5.在△中，角的對(duì)邊分別是，則=（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋?，則．故選：B6.已知是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意得在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，對(duì)于A(yíng)，因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則為奇函數(shù)，與均在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.7.已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的斜率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，故直線(xiàn)的斜率.故選：D8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A.0 B. C. D.3〖答案〗A〖解析〗由題意可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)0時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即.故選：A.二、選擇題9.若函數(shù)則（）A.的最小正周期為10 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.在上有最小值 D.的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)〖答案〗AD〖解析〗，A正確.因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，D正確.若，則，由的圖象可知，在上有最大值，沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤.故選：AD.10.設(shè)，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，故B正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；∵，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：BCD.11.已知直線(xiàn)l：與圓C：，點(diǎn)P在圓C上，則（）A.直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)B.圓C的半徑是6C.直線(xiàn)l與圓C一定相交D.點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值是〖答案〗BC〖解析〗直線(xiàn)l：，即由，解得，則直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；圓C：，即，則圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為6，故B正確；因?yàn)辄c(diǎn)與的距離為，則點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，所以直線(xiàn)l與圓C一定相交，故C正確；點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最大值是，故D錯(cuò)誤．故選：BC．12.已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，，，且，則（）A.的最小值為4 B.的取值范圍是C.的取值范圍是 D.的最小值是13〖答案〗BCD〖解析〗作出的大致圖象，如圖所示.，其中，所以，則，，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，但，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，則，所以，，B，C均正確因?yàn)?，所?設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，D正確.故選：BCD.三、填空題13.若向量、為單位向量，且，則向量與的夾角為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)橄蛄?、為單位向量，且，則，可得，所以，，因?yàn)?，故，即向量與的夾角為.故〖答案〗為：.14.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)．令，得，則．故〖答案〗為：15.已知，則____________．〖答案〗〖解析〗∵，，∴，∴，∴.故〖答案〗為：.16.過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作的一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，且的左頂點(diǎn)為，則的離心率為_(kāi)_________.〖答案〗2〖解析〗設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的焦距為.過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為.雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為：，易得，所以，由可得，即，所以，得，所以，故.故〖答案〗為：2.四、解答題17.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求A;（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，可知，則，所以，且，所以.（2）因?yàn)?，可知，即，且為銳角三角形，則，解得，又因?yàn)?，由，可知，則，所以.18.鎮(zhèn)安大板栗又稱(chēng)中國(guó)甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱(chēng)于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱(chēng)重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.（1）請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在[40，50）和[70，80]內(nèi)的板栗中抽取10顆，再?gòu)倪@10顆板栗中隨機(jī)抽取4顆，記抽取到的特等板栗（質(zhì)量≥70克）的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi)．設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5．（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆．的所有可能取值為．，，．從而的分布列為01234故．19.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由三棱柱的性質(zhì)可，∵平面ABC，∴平面，∵平面，∴，∵為的中點(diǎn)，且是等邊三角形，∴，∵平面,,∴平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由題意可得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.20.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以是以為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)的方程為，則，可得.又橢圓焦距為，所以，所以的方程為；（2）由題意可知直線(xiàn)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立，整理得，則，.由弦長(zhǎng)公式可得.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則的面積，設(shè)，則，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即面積的最大值為.21.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由以及可得，所以，，故為