浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列 專題4.8 平行四邊形全章八類必考?jí)狠S題（教師版）

專題4.8平行四邊形全章八類必考?jí)狠S題【浙教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1平行四邊形中邊的關(guān)系運(yùn)用1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）已知平行四邊形ABCD，AD=8，∠BAD=135°，點(diǎn)E在邊BC上，將平行四邊形沿AE翻折，使點(diǎn)B落在邊CD的F處，且滿足CF?DF=32，則EF=【答案】203##【分析】過點(diǎn)F作HG⊥AD于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，得出△FCG,△FHD是等腰直角三角形，設(shè)CG=x,EC=y，則BE=EF=8?y，在Rt△AFH中，AF2=AH2+HF2【詳解】解：如圖，過點(diǎn)F作HG⊥AD于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，設(shè)CG=x,EC=y，則BE=EF=8?y，∵∠BAD=135°，四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD=∠A=135°，AD∥BC，AD=BC，∴∠FCG=45°，∠D=∠DCG=45°∴△FCG,△FHD是等腰直角三角形，∴FC=2∵CF?DF=32∴DF=CF?32∴HF=HD=x?3，∵AD=8，∴AH=8?HD=8?x?3∴CD=CF+FD=∴AF=AB=CD=22在Rt△AFH中，A即2解得：x=4或x=?14在Rt△FEG中，E∴8?y解得：y=∴EF=BE=BC?EC=8?4故答案為：203【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知?ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，點(diǎn)E為AF上一點(diǎn)，連接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，則AD的長(zhǎng)為______．【答案】3【分析】過點(diǎn)B作BM⊥CE于M，由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，AB=CD，AB∥CD，證明△BAE≌△BMEAAS，由全等三角形的性質(zhì)得出AE=EM=2，AB=BM，證明Rt△AFD≌Rt△BMCHL，由全等三角形的性質(zhì)得出FD=CM【詳解】解：過點(diǎn)B作BM⊥CE于M，∵AF垂直平分DC，∴CF=DF，AF⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥∴AB⊥AF，∵∠BAE+∠AEM+∠BME+∠ABM=360°，∴∠ABM+∠AEM=180°，∵∠CEF+∠AEM=180°，∴∠CEF=∠ABM=∠ABE+∠EBM，又∵∠CEF=2∠ABE，∴∠ABE=∠EBM，∵BE=BE，∠BAE=∠BME=90°，∴△BAE≌∴AE=EM=2，AB=BM，∵AB=CD=AF，∴BM=AF，在Rt△AFD和RtAD=BCAF=BM∴Rt△AFD∴FD=CM，設(shè)CF=FD=x，則AB=BM=2x，EF=2x?2，CE=2+x，在Rt△CEF中，E∴2x?22解得x=3或x=0（舍去），∴CM=3，BM=6，∴BC＝∴AD=35故答案為：35【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·陜西寶雞·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC邊上任意一點(diǎn)，連接AD，以AD，CD為鄰邊作平行四邊形ADCE，連接DE，則DE長(zhǎng)的最小值為___________．【答案】9.6【分析】設(shè)AC,ED交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，勾股定理求得OB，等面積法求得OF，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F，重合時(shí)，OD最小，進(jìn)而求得DE的最小值，即可求解．【詳解】設(shè)AC,ED交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，如圖所示，在四邊形ADCE中，AO=CO，EO=DO，∵AB=BC=10，∴BO⊥AC，∵AC=12，∴AO=CO=6,在Rt△BOC中，BO=∵S△OBC∴OF=4.8，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)F，重合時(shí)，OD最小，∴ED的最小值為2OD=9.6．故答案為：9.6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，∠D<90°，點(diǎn)E在AD邊上，CM⊥AD，垂足為M，以CE為邊，E為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△CEF，使點(diǎn)F落在射線AB上．(1)當(dāng)△CED是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形時(shí)，∠AFE的度數(shù)為_______，AD的長(zhǎng)為_______；(2)當(dāng)AE=ED時(shí)，求∠ECD的度數(shù)；(3)是否存在AF=BF的情況，如果存在，求AE，ED和CM之間滿足的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，說明理由．【答案】(1)30°，6+2(2)45°(3)存在，4AE+2DE=5CM【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，利用平行四邊形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和即可求出∠AFE的度數(shù)，由此得到AE=AF，過點(diǎn)A作AN⊥EF于N，求出EN=FN=12EF=12EC=3，利用勾股定理得到（2）取FC的中點(diǎn)N，連接EN，根據(jù)△EFC是等腰直角三角形，得到∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，利用梯形中位線定理得到EG∥CD，即可求出（3）存在，當(dāng)AF=BF時(shí)，延長(zhǎng)EF交CB延長(zhǎng)線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，得到EH=CM，證明△AEF≌△BGF，推出AE=BG，EF=GF，得到GC=GB+BC=2AE+DE，設(shè)CE=x，則GE=2x，勾股定理求出GC，利用面積公式求出EH，即可得到結(jié)論【詳解】（1）∵△CED是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，∴DE=CD=CE=6，∠D=∠DEC=∠ECD=60°，∵∠CEF=90°，∴∠AEF=180°?90°?60°=30°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD+∠D=180°，∴∠BAD=120°，∴∠AFE=180°?∠A?∠AEF=30°=∠AEF，∴AE=AF，過點(diǎn)A作AN⊥EF于N，∴EN=FN=1在Rt△AEN中，AE=2AN，AN∴AN解得AN=3∴AD=AE+DE=6+23故答案為：30°，6+23（2）取FC的中點(diǎn)N，連接EN，∵△EFC是等腰直角三角形，∴∠EGC=90°，∠GEC=∠GCE=45°，∵AF∥CD，E為AD中點(diǎn)，G為∴EG∥∴∠ECD=∠GEC=45°；（3）存在，當(dāng)AF=BF時(shí)，延長(zhǎng)EF交CB延長(zhǎng)線于G，作EH⊥BC于H，則四邊形EHCM是矩形，∴EH=CM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠G=∠AEF,∠A=∠GBF，

∵AF=BF，∴△AEF≌∴AE=BG，EF=GF，∴GC=GB+BC=2AE+DE，∴GE=2CE，設(shè)CE=x，則GE=2x，∴GC=G∵S△CEG∴EH=CE?EG∴CM=EH=2∴GC=2AE+DE=5∴4AE+2DE=5CM．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各定理并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平形四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，EO的延長(zhǎng)線與邊AD交于點(diǎn)F，連接BF、DE如圖1．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；(2)若DE=DC，∠CBD=45°，過點(diǎn)C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、P如圖2．①當(dāng)CD=6，CE=4時(shí)，求BE的長(zhǎng)；②求證：CD=CH．【答案】(1)證明見解析(2)①42【分析】（1）通過ASA證明△BOE≌△DOF，得DF=BE，又DF∥BE，即可證明四邊形（2）①過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，先根據(jù)勾股定理求出DN=42，由∠DBC=45°得BN=DN②根據(jù)DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，則有∠EDN=∠ECG，再證∠CDH=∠CHD，結(jié)論即可得證．【詳解】（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，在△BOE與△DOF中，∠EBO=∠FDOBO=DO∴△BOE≌△DOFASA∴DF=BE，又∵AD∥BC，即∴四邊形BEDF是平行四邊形．（2）①解：如圖，過點(diǎn)D作DN⊥EC于點(diǎn)N，∵DE=DC=6，DN⊥EC，CE=4，∴EN=CN=2，∴DN=D∵∠DBC=45°，DN⊥BC，∴∠DBC=∠BDN=45°，∴DN=BN=42∴BE=BN?EN=42∴BE的長(zhǎng)為42②證明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG=90°，∠DEN+∠EDN=90°，∴∠EDN=∠ECG，∵DE=DC，DN⊥EC，∴∠EDN=∠CDN，∴∠ECG=∠CDN，∵∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠BCH，∠CDB=∠BDN+∠CDN=45°+∠CDN，∴∠CDB=∠DHC，∴CD=CH．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．理解和掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·湖北·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC=90°(1)如圖1，求證：PB=PC；(2)如圖2，若AB=8，PC=52，且(3)如圖3，將△PBA繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至△PCE處，過D作DF⊥EP，交EP延長(zhǎng)線于F，若AB=6AP，∠PAB=75°，直接寫出【答案】(1)見解析(2)32(3)2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)及∠BPC=90°，∠BAD?∠PCD=45°，可得（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則由平行四邊形的性質(zhì)得PF⊥CD，證明△PEB≌△CFP，可得PE=CF，從而由已知面積關(guān)系可得PF=3CF，由勾股定理可求得CF的長(zhǎng)，從而可求得平行四邊形的面積；（3）連接DE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易得CE⊥CD，則可得∠DEF=30°，設(shè)AP=a，由旋轉(zhuǎn)及勾股定理可分別求得DE、DF、EF，進(jìn)而可求得PF，由勾股定理求得PD，則最后可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD=∠BCD，∵∠BAD?∠PCD=45°，∴∠BCD?∠PCD=45°，即∠BCP=45°，∵∠BPC=90°，∴∠PBC=∠BCP=45°，∴PB=PC；（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，如圖，∴∠PEA=∠PEB=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PFC=∠PEA=90°，即PF⊥CD，∴∠FPC+∠FCP=90°，∵∠BPE+∠FPC=180°?∠BPC=90°，∴∠BPE=∠FCP，在△PEB與△CFP中，∠PEB=∠PFC=90°∠BPE=∠FCP∴△PEB≌△CFP，∴PE=CF，∵S△ABP即12∴PE:PF=1:3，∴PF=3PE=3CF，在Rt△PFC中，由勾股定理得：P即9CF解得：CF=5∴EF=PE+PF=4PE=4CF=45∴平行四邊形的面積為；AB·EF=8×45（3）連接DE，如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：PE=AP，∠PEC=∠PAB=75°，∠PCE=∠PBA，CE=AB，∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，即∠PBA+∠PBC+∠PCB+∠PCD=180°，∵∠PBC+∠PCB=90°，∴∠PBA+∠PCD=90°，即∠PCE+∠PCD=90°，∴CE⊥CD，∵AB=CD，∴CE=CD=AB，∴∠CED=45°，∴∠DEF=∠PEC?∠CED=75°?45°=30°，設(shè)AP=a，則PE=a，CE=CD=AB=6在Rt△CED中，由勾股定理得DE=∵DF⊥PF，∠DEF=30°，∴DF=1在Rt△DFE中，由勾股定理得：EF=∴PF=EF?PE=3a?a=2a，在Rt△DFP中，由勾股定理得PD=∴PFPD故答案為：27【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，既要靈活運(yùn)用這些知識(shí)，又要構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助線，對(duì)學(xué)生而言有一定的難度．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換1．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在?ABCD的AD、AB、BC、CD邊上，EG∥CD，F(xiàn)H∥AD，EG與FH交于點(diǎn)P，連接BD交FH于點(diǎn)Q，連接BP，設(shè)?AEPF、?EDHP、?FPGB、?PHCG的面積分別為S1、S2、S3、SA．S2?S1 B．S3?【答案】D【分析】根據(jù)?AEPF∽?PHCG，設(shè)相似比=k，AE=m，AF=n，∠AFP=θ，得到S1、S2、S3、S4的面積等式，根據(jù)△BFQ∽△DHQ，得到相似比【詳解】解：如圖，∵?AEPF∽?PHCG，設(shè)相似比PHAE=PGAF=k∴DE=PH=CG=kAE=km，BF=PG=CH=kAF=kn，∴S1=mn·sinθ，S2∵△BFQ∽∴FQQH∴FQ=k∴PQ=FQ?FP=km?m=k?1過點(diǎn)B作BM⊥FH于點(diǎn)M，則BM=BF·sin∴S△BPQ∵S4∴S△BPQ故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．2．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，則下列一定能求出A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差【答案】C【分析】分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線，根據(jù)相似比，找出對(duì)應(yīng)相似圖形的面積關(guān)系，然后找出符合的選項(xiàng)即可．【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)A，D作BC的平行線交CE于點(diǎn)M，交BF于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k=3，∴CD=3AF=3ME，BC=3FG=3BJ，△BCD～△BJI，相似比k=3，則S?BCDN=3S∵S∴S故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)相似比求面積關(guān)系，平行四邊形性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)等知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，找出對(duì)應(yīng)面積關(guān)系，采用面積作差方法是解題關(guān)鍵．3．（2022春·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是?ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是S①S1+S3=S2+S4；②如果S4>S2，則S3>S【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AD=BC，設(shè)點(diǎn)P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3，?4，再根據(jù)三角形的面積公式整理判斷①；然后根據(jù)三角形面積公式可判斷②③；再根據(jù)兩個(gè)等高的三角形面積的比等于底的比，得出S1【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC．設(shè)點(diǎn)P到AB，BC，CD，DA的距離分別是?1，?2，?3則S1=12AB·?1∵12AB·?∴S平行四邊形∴S2根據(jù)S4>S2只能判斷?4根據(jù)S3=2S1，能得出?3∵點(diǎn)P在對(duì)角線BD上，∴S1:S∴S1由S1?S2=S3∴點(diǎn)P一定在對(duì)角線在BD上，故⑤正確，綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．故答案為：①④⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的面積等，用平行四邊形的面積表示出相應(yīng)的兩個(gè)三角形的面積的和是解本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上海·七年級(jí)?？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了中心對(duì)稱圖形以后，想知道平行四邊形是否為中心對(duì)稱圖形．于是將一張平行四邊形紙片平放在一張紙板上，在紙板上沿四邊畫出它的初始位置，并畫出平行四邊形紙片的對(duì)角線，用大頭針釘住對(duì)角線的交點(diǎn)．將平行四邊形紙片繞著對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，平行四邊形紙片與初始位置的平行四邊形恰好重合．通過上述操作，小明驚喜地發(fā)現(xiàn)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心．請(qǐng)你利用小明所發(fā)現(xiàn)的平行四邊形的這一特征完成下列問題：(1)如圖①，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O的直線l與邊AB、CD分別相交于點(diǎn)M、N，四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為___________；(2)如圖②，這個(gè)圖形是由平行四邊形ABCD與平行四邊形ECGF組成的，點(diǎn)E在邊CD上，且B、C、G在同一直線上．①請(qǐng)畫出一條直線把這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分（不要求寫出畫法，但請(qǐng)標(biāo)注字母并寫出結(jié)論）；②延長(zhǎng)GF與邊AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)FE與邊AB交于點(diǎn)H．聯(lián)結(jié)EB、EK、BK，如圖③所示，當(dāng)四邊形AHED的面積為10，四邊形CEFG的面積為2時(shí)，求三角形EBK的面積．【答案】(1)1:2(2)①圖見解析，S四邊形HGBM=S四邊形【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，得AB∥CD，OA=OC，從而得到∠MAO=∠NCO，即可證明出△MAO≌△NCO，同理可證明出△MBO≌△NDO，△COB≌△AOD，因此得到S△COB=S△AOD，S△MBO=S（2）①根據(jù)（1）中的結(jié)論畫出圖并寫出相關(guān)結(jié)論即可；②由四邊形ABCD是平行四邊形得AB∥CD，AD∥BC，由四邊形ECGF為平行四邊形，得EC∥GF，EF∥CG，從而可得AK∥BG，AB∥GK，進(jìn)而可得四邊形ABGK為平行四邊形，同理可得，四邊形【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴AB∥CD，∴∠MAO=∠NCO，在△MAO和△NCO中∠MAO=∠NCO∠AOM=∠CON∴△MAO≌△NCO（AAS），同理可得△MBO≌△NDO，△COB≌△AOD，∴S△COB=S△AOD∵S四邊形AMND∴S即四邊形AMND的面積與平行四邊形ABCD的面積之比為1:2，故答案為：1:2；（2）解：①根據(jù)（1）中的結(jié)論畫出圖如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，平行四邊形ECGF的對(duì)角線EG、CF相交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)O、Q的直線l將圖形分為面積相等的兩個(gè)部分，直線l與AB相交于點(diǎn)M，直線l與GF相交于N，其中S四邊形MBCN=∴S即S四邊形②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∵四邊形ECGF為平行四邊形，∴EC∥GF，∴AK∥BG，∴四邊形ABGK為平行四邊形，同理可得，四邊形DEFK、四邊形HBCE均為平行四邊形，∵S∵S∴S∵S∴S∴三角形EBK的面積為4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定的應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)鍵，難度較大，綜合性較強(qiáng)．5．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“朋友三角形”．性質(zhì)：“朋友三角形”的面積相等．例如：如圖1，在△ABC中，如果AD是AB邊上的中線，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，則有S△ACD應(yīng)用：如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O．(1)求證：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，點(diǎn)G在BC上，點(diǎn)E在AD上，DG與CE交于點(diǎn)F，GF=DF．①求證：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②連接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四邊形ABGF的面積．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于【答案】(1)見解析(2)①見解析；②四邊形ABGF的面積為48(3)8或8【分析】（1）連接EF，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，可知AD∥BC，再借助AE=BF，可證明四邊形ABFE為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)“平行四邊形的對(duì)角線相互平分”可知OE=OB，即AO是△ABE的中線，即可證明△AOE和（2）①先證明△DFE≌△GFC，可推導(dǎo)EF=CF，即△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②由△AEF和△DEF是“朋友三角形”，可知AE=DE=12AD=4，再借助∠ADC=90°，求得S△DCE=16，根據(jù)△DFE和△DFC是“朋友三角形”、△AEF和△DEF是“朋友三角形”、△DFE≌△GFC，可依次求得△AEF、△DEF、△DCF、△GFC（3）根據(jù)題意畫出符合條件的兩種情況：①證明四邊形AD′CB是平行四邊形，求出BC、A′D并推導(dǎo)∠ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求解即可；②求出高CQ（1）證明：連接EF，∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥∵AE=BF，∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴OE=OB，即AO是△ABE的中線，∴△AOE和△AOB是“朋友三角形”；（2）①證明：∵AD//BC，∴∠EDF=∠CGF，又∵GF=DF，∠DFE=∠GFC，∴△DFE≌△GFC(ASA)，∴EF=CF，∴△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②解：∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，∴AE=DE=1∵∠ADC=90°，S△DCE∵△DFE和△DFC是“朋友三角形”，∴S△DFE∵△DFE≌△GFC，∴S△DFE∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，S△AEF∴四邊形ABGF的面積===48；（3）分為兩種情況：①如圖1所示：∵S△ACD∴AD=∵沿CD折疊A和A′∴AD=A∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC∴S△∴DO=OB，A′∴四邊形A′∴BC=A過B作BM⊥AC于M，∵AB=8，∠BAC=30°，∴BM=1即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得AC=8∴△ABC的面積=1②如圖2所示：∵S△ACD∴AD=BD=1∵沿CD折疊A和A′∴AD=∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC∴S△DOC∴DO=OA′，∴四邊形A′∴A′過C作CQ⊥A′D∵A′C=4，∴CQ=1∴S△綜上所述，△ABC的面積是8或83故答案為：8或83【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是四邊形綜合題目，難度大，綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵是理解“朋友三角形”的概念及利用分類討論的思想分析問題．6．（2022秋·重慶大足·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC、△EDC的頂點(diǎn)C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，連接AE，取AE中點(diǎn)F，連接BF,DF．(1)如圖1，當(dāng)B、C、D三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)猜測(cè)線段BF、FD的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)將△EDC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至圖2位置，根據(jù)“AE中點(diǎn)F”這個(gè)條件，想到取AC與EC的中點(diǎn)G、H，分別與點(diǎn)F相連，再連接BG,DH，最終利用△BGF≌△FHD（SAS）證明了（1）中的結(jié)論仍然成立．請(qǐng)你思考當(dāng)△EDC繞著點(diǎn)C繼續(xù)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3)連接BD，在△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△BFD的面積也隨之變化．若AC=52,CB=32【答案】(1)DF=BF，證明見解析(2)成立，證明見解析(3)32【分析】（1）連接CF，由等腰直角三角形的性質(zhì)證出∠ABF=∠CBF=45°（2）取AC的中點(diǎn)M，CE的中點(diǎn)N，連接BM，F(xiàn)M，F(xiàn)N，DN，由三角形中位線定理證出四邊形FNCM是平行四邊形，得出∠FMC=∠FNC，證明△FMB≌△DNF（（3）當(dāng)BD最大時(shí)，△BFD的面積最大，由等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：BF=DF．連接CF，∵△ABC和△EDC是等腰直角三角形，∴∠∴∠ACE=90°∵F為AE的中點(diǎn)，∴AF=CF=EF，又∵DF=DF，∴△DCF≌△DEF(SSS∴∠CDF=同理△ABF≌△CBF(SSS∴∠ABF=∴∠FBD=∴DF=BF；（2）解：成立，理由如下：如圖3，取AC的中點(diǎn)M，CE的中點(diǎn)N，連接BM，F(xiàn)M，F(xiàn)N，DN，∵△ABC是等腰直角三角形，AM=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∠CMB=90°，BM=CM=∵△DEC是等腰直角三角形，EN=NC，∴∠DEN=∠DCN=45°，∠CND=90°，DN=CN=∵F，N分別是AE和EC的中點(diǎn)，∴FN是△AEC的中位線，∴FN∥AC，F(xiàn)N=12AC∵F，M分別是AE和AC的中點(diǎn)，∴FM是△AEC的中位線，∴FM∥EC，F(xiàn)M=12EC∴BM=12AC=FN，DN=12又∵FN∥AC，F(xiàn)M∥EC，∴四邊形FNCM是平行四邊形，∴∠FMC=∴∠FMB+∴∠FMB=∴△FMB≌△DNF（SAS∴BF=DF；（3）解：過點(diǎn)F作FG⊥BD于點(diǎn)G，由（2）知：△BFD是等腰直角三角形，∴當(dāng)BD最大時(shí)，△BFD的面積最大，∵BD≤CB+CD，∴當(dāng)B、C、D共線時(shí)，BD最大∴S△BDF=12BD?GF=1即△BFD面積的最大值是32．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3平行四邊形中的角度轉(zhuǎn)換1．（2022春·江西新余·八年級(jí)新余四中校考期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，且AB=AE，延長(zhǎng)AB與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論中：①△ABE是等邊三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=SA．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④【答案】C【分析】由AB=AE及平行四邊形的性質(zhì)、AE平分∠BAD，可得△ABE是等邊三角形，即可判定①正確；由△ABE是等邊三角形及平行四邊形的性質(zhì)可得△ABC≌△EAD，即可判定②正確；若點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，則可得AD=AF，否則AD與AF不相等，即可判定③錯(cuò)誤；由S△ACD【詳解】∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAE=∠AEB∵AE平分∠BAD∴∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠AEB∴∠BAE=∠AEB=∠ABE∴△ABE是等邊三角形故①正確∵△ABE是等邊三角形∴∠ABE=∠BAE=60°∴∠ABE=∠DAE=60°∵AB=AE，BC=AD∴△ABC≌故②正確若點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，則可得AD=AF，否則AD與AF不相等故③錯(cuò)誤∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BC∴S△ACD=∵△ABC∴S∴S∵S∴S故④錯(cuò)誤∵AD∥BC∴S由④知，S∴S即S故⑤正確即正確的有①②⑤故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等底等高的兩個(gè)三角形面積相等，其中平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=4，P為AC上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合），連接BP，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PADB，則PD的取值范圍是_______．【答案】2【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得：AO=BO=2，DP=2OP，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)OP有最大值，當(dāng)OP⊥AC時(shí)，此時(shí)OP有最小值，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)AB與PD交于點(diǎn)O，連接OC，∵四邊形ADBP是平行四邊形∴AO=BO=2，DP=2OP∵△ABC是等邊三角形，AO=BO∴OC⊥AB，∠ABC=60°∴∠BCO=30°∴OC=當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，此時(shí)OP有最大值∴DP的最大值為4當(dāng)OP⊥AC時(shí)，此時(shí)OP有最小值∵S∴OP=∴DP的最小值為2∵P為AC上一點(diǎn)（與點(diǎn)A、C不重合）∴2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·遼寧朝陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論①BE⊥AC；②四邊形BEFG是平行四邊形；③EG=GF；④EA平分∠GEF．其中正確的是________．

【答案】①②④【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可判斷③錯(cuò)誤，由BG=EF，BG∥EF∥CD可證四邊形BEFG是平行四邊形，可得【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BO=DO=12BD，AD=BC，AB=CD又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，∴BE⊥AC，故①正確，∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∵點(diǎn)G是RtΔABE斜邊AB上的中點(diǎn)，∴GE=∴EG=EF=AG=BG，無法證明GE=GF，故③錯(cuò)誤，∵BG=EF，BG∴四邊形BEFG是平行四邊形故②正確∵EF∥∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·浙江·八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，點(diǎn)E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分線交AE于G．（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）如圖1，若AB=2AD=10，H為CD的中點(diǎn)，HE=6，求AC的長(zhǎng)；（3）如圖2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度數(shù)；②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）97；（3）①36°；②180【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B=∠DCE，推出∠D=∠DCE，可得AD∥BC，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，并證明△AHD≌△EHC，得到AH=EH=6，CE=AD=5，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到HG=EG=3，CG⊥AE，再利用勾股定理求出CG和AC的長(zhǎng)；（3）①設(shè)∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+2x+y+z=180°，變形后相減可得結(jié)論；②設(shè)∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+nx+y+z=180°，變形后相減可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∵∠B=∠D，∴∠D=∠DCE，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2AD=10，∴CD=10，AD=BC=5，∵AD∥BE，∴∠D=∠HCE，∵H為CD中點(diǎn)，∴CH=DH，CH=DH=5，又∠AHD=∠EHC，∴△AHD≌△EHC（ASA），∴AH=EH=6，CE=AD=5，∵CG平分∠DCE，∴CG⊥AE，即△ACG為直角三角形，HG=EG=12EH∴AG=AH+HG=9，CG=CH∴AC=AG2+C（3）①設(shè)∠CAG=x，∠DCG=z，∠BAC=y，則∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=2∠CAE=2x，∵AB∥CD，∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+2x+y+z=180°，即3x+y+z=180°，∴6x+2y+2z=360°②，②-①得：5x=180°，解得：x=36°，∴∠CAE=36°；②設(shè)∠CAE=x，∠DCG=z，∠BAC=y，則∠EAD=y，∠D=∠DCE=2z，∠AGC=n∠CAE=nx，∵AB∥CD，∴∠AHD=∠BAH=x+y，∠ACD=∠BAC=y，△AHD中，x+2y+2z=180°①，△ACG中，x+nx+y+z=180°，∴（n+1）x+y+z=180°，∴2（n+1）x+2y+2z=360°②，②-①得：（2n+1）x=180°，∴x=180°2n+1即∠CAE=180°2n+1【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)G.(1)求證：BE⊥CF；(2)若AB=a，CF=b，求BE的長(zhǎng).【答案】（1）見詳解；（2）BE=2a【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，證明∠EBC+∠FCB=90°即可解決問題；（2）如圖，作EH∥AB交BC于點(diǎn)H，連接AH交BE于點(diǎn)P．構(gòu)造特殊四邊形菱形，利用菱形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可解決問題；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線，∴∠EBC=12∠ABC，∠FCB=1∴∠EBC+∠FCB=90°，∴∠BGC=90°．即BE⊥CF．（2）如圖，作EH∥AB交BC于點(diǎn)H，連接AH交BE于點(diǎn)P．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴四邊形ABHE是菱形，∴AH，BE互相垂直平分；∵BE⊥CF，∴AH∥CF，∴四邊形AHCF是平行四邊形，∴AP=b2在Rt△ABP中，由勾股定理，得：BP=a∴BE=2BP=2a【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．6．（2022春·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a，6），B（4，b），（1）若a，b滿足(ab5)22a?b?10，①求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②點(diǎn)D在第一象限，且點(diǎn)D在直線AB上，作DC⊥x軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)DC到P使得PC=DC，若△PAB的面積為10，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖，將線段AB平移到CD，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上，連接AC交y軸于點(diǎn)E，連接BD交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M在DC延長(zhǎng)線上，連EM，3∠MEC+∠CEO=180°，點(diǎn)N在AB延長(zhǎng)線上，點(diǎn)G在OF延長(zhǎng)線上，∠NFG=2∠NFB，請(qǐng)?zhí)骄俊螮MC和∠BNF的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由.【答案】（1）①A（2，6），B（4，3）．②P（83，-5）．（2）∠BNF-∠EMC【分析】（1）①利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決問題即可．②由題意AB的解析式為y=-32x+9，設(shè)D（m，-32（2）結(jié)論：∠BNF-∠EMC=30°．設(shè)∠MEC=α，∠BFN=β，首先證明α-β=30°，再利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】（1）①∵（a+b-5）2+|2a-b-1|=0，又∵（a+b-5）2≥0，|2a-b-1|≥0，∴a+b＝∴a＝∴A（2，6），B（4，3）．②如圖1中，∵A（2，6），B（4，3），∴直線AB的解析式為y=-32x+9，設(shè)D（m，-32∵CD=PC，∴PD=-3m+18，∵S△PAB=10，∴12×PD∴-3m+18=10，∴m=83∴D（83∴P（83（2）結(jié)論：∠BNF-∠EMC=30°．理由：設(shè)∠MEC=α，∠BFN=β，∵3∠MEC+∠CEO=180°，∠AEO+∠CEO=180°，∴∠AEO=3α，∵∠NFG=2∠BFN，∴∠NFG=2β，∠OFD=∠BFG=3β，∵AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴AC∥BD，∠ACD=∠ABD，∴∠BDE=180°-∠AEO=180°-3α，∵∠BDE+∠OFD=90°，∴180°-3α+3β=90°，∴α-β=30°，∵∠ACD=∠EMC+∠MEC，∠ABD=∠BFN+∠BNF，∴∠EMC+α=∠BNF+β，∴∠BNF-∠EMC=α-β=30°．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題.必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4平行四邊形中勾股定理的運(yùn)用1．（2022春·浙江溫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一副三角板如圖1放置，AB＝CD＝6，頂點(diǎn)E重合，將△DEC繞其頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠AED＝75°，連接【答案】3【分析】過點(diǎn)E作EF∥AB，由∠AED＝75°得AB∥CD，再由AB＝CD得四邊形ABCD為平行四邊形，再證明△AEC≌△BEC得AC＝BC，再由AE＝BE可知CE垂直平分【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EF∥∴∠BAE＝∵∠AED＝∴∠FED＝∴∠FED＝∴EF∥∴AB∥∵AB＝∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠AED＝75°，∴∠AEC＝∵∠AEB＝∴∠BEC＝∴∠BEC＝在△AEC與△BEC中，AE＝∴△AEC≌△BEC（SAS），∴AC＝∵AE＝∴CE垂直平分AB，延長(zhǎng)CE交AB于G，∴CG⊥AB，∵AE＝BE，∴AG＝∵∠EDC＝∴CE＝∵EC2＋∴CE＝∴CG＝∵CE垂直平分AB，∴S四邊形ABCD=∴S△AED=S四邊形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△BEC=3=32故答案為：32【點(diǎn)睛】本題是三角形旋轉(zhuǎn)變換綜合題，主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)以及勾股定理，綜合能力較強(qiáng)．2．（2022春·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=3，∠ABC=60°，點(diǎn)M為BC邊上一點(diǎn)且BM=2CM，過M作MN∥AB交AC，AD于點(diǎn)O，N，連接BN．若點(diǎn)P，Q分別為OC，BN的中點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)度為________．【答案】7【分析】連接BD交AC于E，連接QE，過Q作QF⊥AC于F，證△ABC是等邊三角形，得∠ACB=60°，AC=AB=3，再證QE是△BDN的中位線，得QE=12DN=12，QE∥DN∥BC，則∠AEQ=∠ACB=60°，可證得△【詳解】解：連接BD交AC于E，連接QE，過Q作QF⊥AC于F，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AB=3，∴BC=CD=AD=AB=3，BE=DE，AE=CE，AD∥BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，AC=AB=3，∴AE=CE=12AC=3∵BM=2CM，BM+CM=BC=3，∴CM=1，∵M(jìn)N∥AB∥∴四邊形MNDC是平行四邊形，∴DN=CM=1，∵Q是BN的中點(diǎn)，BE=DE，∴QE是△BDN的中位線，∴QE=12DN=12，∴∠AEQ=∠ACB=60°，∵QF⊥AC，∴∠EQF=90°﹣60°=30°，∴EF=12QE=1∴QF=Q∵M(jìn)N∥∴∠CMN=∠ABC=60°，∵∠ACB=60°，∴△CMO是等邊三角形，∴OC=CM=1，∵P是OC的中點(diǎn)，∴PC=12OC=1∴PE=AC-AE-CP=3-32-1∴PF=PE+EF=1+14=5在Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ=P故答案為：72【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵3．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，在平行四邊形ABCD中，G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F．(1)求證：四邊形GEHF是平行四邊形．(2)若AB=4，BC=7，當(dāng)四邊形GEHF是矩形時(shí)BD的長(zhǎng)為．【答案】(1)見解析(2)33【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC,AD∥BC，進(jìn)而得到∠GDB=∠FBH，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線推出EG=FH，∠GED=∠BFH，得到GE∥HF，即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，連接GH，推出四邊形GABH是平行四邊形，得到GH=AB=4，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到EF=GH=4，利用AE=CF和勾股定理，求出BF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BE,DF長(zhǎng)，利用BD=BF+DF進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠GDB=∠FBH，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠BFC=∠AED=90°，∵G、H分別是AD、BC的中點(diǎn)，∴EG=1∴EG=FH，∠GED=∠GDB,∠BFH=∠FBH，∴∠GED=∠BFH，∴GE∥HF，∴四邊形GEHF是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD,AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，∠AEB=∠CFD=90°∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDFAAS∴BE=DF，AE=CF，連接GH，如圖，∵GA∥HB,GA=HB，∴四邊形GABH是平行四邊形，∴GH=AB=4，四邊形GEHF是矩形時(shí)，EF=GH=4，設(shè)BF=x，則：BE=x?4，在Rt△AEB中，A在Rt△CFB中，C∵AE=CF，∴16?x?42=49?即：BF=49∴DF=BE=49∴BD=BF+DF=49故答案為：334【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線以及勾股定理．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·遼寧遼陽·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，以CD為腰在CD右側(cè)作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，過點(diǎn)B作BF∥DE，且BF=DE，連接(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在AC邊上時(shí)，直接寫出線段AF與AD的關(guān)系為；(2)將圖①中的等腰Rt△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α0°<α<45°到圖②的位置，連接AD(3)若AD=3，AC=5，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出CD的長(zhǎng)．【答案】(1)AF⊥AD且AF=AD(2)成立，理由見解析(3)10【分析】（1）先說明點(diǎn)F在線段AB上，然后從位置和數(shù)量上說明線段AF與AD的關(guān)系即可；（2）先說明∠FBA=∠DCA，然后證明△ADC≌△AFBSAS（3）先證明四邊形BDEF是平行四邊形，可得EF∥BD，從而說明△ADB△ADE都是直角三角形，然后利用勾股定理即可求得線段【詳解】（1）解：∵在等腰Rt△CDE，且∴DC=DE，ED⊥AC，∵BF∥DE，∴BF=DC，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴AB⊥AC，即AF⊥AD，∴AB∥∴點(diǎn)F在AB上，∴AF=AB?BF=AC?CD=AD，即AF=AD．故答案為：AF⊥AD且AF=AD．（2）成立，理由如下：延長(zhǎng)CD交AB于G，交BF于H，∵BF∥DE，∴∠BHG=∠CDE=90°，又∵∠BGH=∠CGA，∴∠HBG=90°?∠BGH=90°?∠CGA=∠GCA∴∠HBG=∠GCA，即∠FBA=∠DCA，∵BF=DE，Rt△CDE是等腰三角形且∴BF=DE=DC，在△ADC和△AFB中，AC=AB∠ACD=∠ABF∴△ADC≌△AFBSAS∴AD=AF，∠CAD=∠BAF，∴∠FAD=∠BAF+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，∴AF⊥AD，∴（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）如圖所示，∵BF∥DE，BF=DE，且A、E、∴四邊形BDEF是平行四邊形，∴EF∥BD∴∠FAD+∠ADB=180°，由（2）可知：AD=AF且∠FAD=90°，∴∠ADB=90°，∠EAD=90°，∵AD=3，AC=5，AB=AC∴AB=5，AF=AD=3在Rt△ADB中，∴EF=BD=4，∴AE=EF?AF=4?3=1，在Rt△ADE，∵Rt△CDE是等腰三角形且∴CD=DE=10∴CD的長(zhǎng)為10．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些定理和性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·廣東廣州·八年級(jí)廣州市南武中學(xué)?？计谥校┤鐖D：(1)如圖1，平行四邊形ABCD中，AM⊥BC于M，DN⊥BC于N．求證：BM=CN．(2)如圖2，平行四邊形ABCD中，AC，BD是兩條對(duì)角線，求證：AC(3)如圖3，PT是△PQR的中線，已知：PQ=7，QR=6，RP=5．求：PT的長(zhǎng)度．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)PT=2【分析】（1）用AAS證明△ABM?△DCN即可；（2）作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，利用勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)即可證明；（3）倍長(zhǎng)中線補(bǔ)全圖形，證明四邊形PQSR是平行四邊形，將第二問結(jié)論代入數(shù)值計(jì)算即可．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//∴∠ABM=∠DCN，又∵AM⊥BC,DN⊥BC，∴∠BMA=∠CND=90°，在△ABM和△DCN中，∠ABM=∠DCN∠AMB=∠DNC∴△ABM?△DCN(AAS∴BM=CN．(2)證明：作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如圖所示，在Rt△DBN和Rt根據(jù)勾股定理得BD2=B∴BD同理，在Rt△AMB和Rt根據(jù)勾股定理得AB2=B∴AC∴AC聯(lián)系第一問，易證：△ABM?△DCN，∴BM=CN,∴2BC?CN?2BC?BM=0，又∵AD=BC，∴AC(3)延長(zhǎng)PT至S，使得PT=TS，連接QS，RS，如圖所示，∵PT是△PQR的中線，∴QT=RT，∴四邊形PQSR為平行四邊形，∴PQ=RS=7，RP=QS=5，由（2）得PS∴2PT2解得PT∵PT>0，∴PT=【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，第2問運(yùn)用勾股定理，第3問用倍長(zhǎng)中線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·廣東深圳·八年級(jí)深圳中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對(duì)角線，過A，C兩點(diǎn)分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足．（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，求CH的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）12.6cm【分析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，由“AAS”可證△AOE≌△COF，可得EO＝FO，且AO＝CO，可證四邊形AFCE是平行四邊形；（2）由勾股定理可求BF＝DE＝5cm，BE＝16cm，由三角形面積公式可求CH的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，AO＝CO，且∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（AAS）∴EO＝FO∵AO＝CO∴四邊形AECF是平行四邊形（2）∵四邊形AECF是平行四邊形∴AE＝CF＝12cm，∵BC=AD=13cm∴在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝BC在Rt△BAE中，由勾股定理得：BE＝AB∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∵BO＝DO，EO＝FO∴DE＝BF＝5cm∴BD＝21cm，∵S△ABD＝12S?ABCD＝S△ABC∴12BD×AE＝12×AB∴21×12＝20×CH∴CH＝12.6cm【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，用到了等積法求線段的長(zhǎng)，這也是本題（2）問中的關(guān)鍵所在．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5平行四邊形中的多解問題1．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)期末）平行四邊形的一邊長(zhǎng)為12，那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可能是（）A．8和12 B．9和13 C．12和12 D．11和14【答案】D【分析】作輔助線CE∥BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，對(duì)題中的選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵AB=CD，DC∥AB∴四邊形BECD是平行四邊形，∴CE=BD，BE=CD=AB，∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有D中11+14=25＞24．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的思路在于通過作一條對(duì)角線的平行線，將兩條對(duì)角線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形，而利用三角形的三邊關(guān)系解題是得到答案的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：一組鄰邊分別為6cm和10cm的平行四邊形ABCD，∠DAB和∠ABC的平分線分別交CD所在直線于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF的長(zhǎng)為________cm．【答案】2或14【分析】利用當(dāng)AB=10cm,AD=6cm，由于平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF長(zhǎng)；同理可得：當(dāng)AD=10cm,AB=6cm時(shí)，可以求出EF長(zhǎng)【詳解】解：如圖1，當(dāng)AB=10cm,AD=6cm∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE，又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED，則AD=DE=6cm同理可得：CF=CB=6cm∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)如圖2，當(dāng)AD=10cm,AB=6cm,∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE又∵AD∥CB∴∠EAB=∠DEA，∴∠DAE=∠AED則AD=DE=10cm同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）故答案為：2或14.

圖1

圖2【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是平行四邊形的不同可能性進(jìn)行分類討論．3．（2022春·遼寧沈陽·八年級(jí)沈陽市第一二六中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=4，E為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、PE，將△AEP沿著邊PE折疊，折疊后得到△EPA′，當(dāng)折疊后△EPA′與△BEP的重疊部分的面積恰好為【答案】4或4【分析】根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可求出AB，即可得到AE的值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出BC，分類兩種情況討論：①若P'A與AB交于點(diǎn)F，連接A'B，易得S△EFP=12S△BEP=12S△AEP=12S△A'EP，即可得到EF=12BE=BF，PF=12A'P=A'F，從而得到四邊形A'EPB是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；②若【詳解】解：∵∠ACB=90°,∠A=60°,AC=4，E為斜邊AB的中點(diǎn)，∴AB=8，AE=12AB=4①若P'A與AB交于點(diǎn)F，連接A'B，如圖1所示，由折疊可得，S△A'EP=S∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴S△BEP由題意得，S△EFP∴S∴EF=12BE=BF∴四邊形A'EPB是平行四邊形，∴BP=A'E=4，②若EA'與BC交于點(diǎn)G，連接AA'，交EP于H，如圖2所示，同理可得GP=12BP=BG∵BE=AE，∴EG=1∴AP=AC=4，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴BP=BC=43故答案為：4或43【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，軸對(duì)稱圖形，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，平行四邊形的判定及性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，巧妙運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·河南鄭州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D1，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE，連接AF．(1)若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合（如圖2），判斷AF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)若以A，F(xiàn)，B，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，BD=3，請(qǐng)直接寫出線段BE的長(zhǎng)度．【答案】(1)AF=BD且AF∥BD；(2)1或3【分析】（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)B重合根據(jù)矩形ABCD得到AD=BC，AD∥BC，結(jié)合EF=CE，即可得到四邊形（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC=OA，OB=OD，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OE∥AF，OE=12AF，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖1根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AF=BE，則OB=32BE，即可得到一個(gè)答案；當(dāng)【詳解】（1）解：AF=BD且AF∥BD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥∵EF=CE，∴AD=FB,∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴AF=BD，AF∥BD；（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OC=OA，OB=OD，∵EF=CE，∴OE∥AF，OE=1當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如下圖∵四邊形AFBE為平行四邊形，∴AF=BE，∴OE=1∴OB=OE+BE=3∵BD=3，∴BE=1；當(dāng)AB為邊時(shí)，如下圖∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB=EF，∵AB=CD，∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，∴BE=BD=3；綜上所述BE的長(zhǎng)度為1或3．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)：平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；矩形的四個(gè)角都是直角；也考查了平行四邊形的判定和三角形中位線性質(zhì)．5．（2022春·四川成都·八年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谀┮阎鰽BC為等邊三角形，其邊長(zhǎng)為4．點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP．(1)如圖1，點(diǎn)E在AC邊上且AE=BP，連接BE交CP于點(diǎn)F．①求證：BE=CP；②求∠BFC的度數(shù)；(2)如圖2，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得線段CQ，連接BQ交AC于點(diǎn)D．設(shè)BP=x，CD=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，且CE=BP，連接QE，DE．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△CEQ的周長(zhǎng)為4+13時(shí)，求DE【答案】(1)①見解析；②120°(2)y=?(3)DE=219【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△AEB≌△BPC即可得到答案；②由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠PCB，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（2）在線段AC上截取一點(diǎn)M，使AM=BP=x，交CP于點(diǎn)F，可得CM=4?x由（1）知：△AMB≌△BPC，線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段CQ四邊形MBCQ是平行四邊形，可得（3）延長(zhǎng)QM與AB交于點(diǎn)N，證明△NMB≌△ECQ，可得QE=NB=4?x．求解CQ=BM=CP=13過點(diǎn)P作PK⊥BC于點(diǎn)K，由BP=x,∠ABC=60°,利用PK2(1)①證明：在等邊△ABC中，AB=BC，∠A=∠ABC=60°又∵AE=BP，∴△AEB≌△BPC（SAS），∴BE=CP．②解：由（1）知：△AEB≌△BPC，∴∠ABE=∠PCB，又∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠PCB+∠EBC=60°，在△BFC中，∠BFC=120°．(2)解：在線段AC上截取一點(diǎn)M，使AM=BP=x，交CP于點(diǎn)F，∴CM=4?x，由（1）知：△AMB≌∴BM=CP，∠BFC=120°，又∵線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=120°，∴BM=CQ，BM∥∴四邊形MBCQ是平行四邊形，∴CD=1∴y=?1(3)解：延長(zhǎng)QM與AB交于點(diǎn)N，∵四邊形MBCQ是平行四邊形∴MQ∥BC，BM=CQ，∠QMB=∠∴∠ANM=∠ABC=60°，∠NMB=∠MBC,∵BM∥∴∠MBC=∠QCE,∴∠NMB=∠QCE，又∵∠A=60°，∴△ANM為等邊△，∴NM=AM=x，BN=4?x，∵CE=BP,BP=AM=MN,∴MN=CE,∴△NMB≌∴QE=NB=4?x．又∵△CEQ的周長(zhǎng)為4+13∴CQ+CE+QE=CQ+BN+AN=CQ+AB=4+13∴CQ=BM=CP=13過點(diǎn)P作PK⊥BC于點(diǎn)K，由BP=x,∠ABC=60°,∴BK=x2，∴CK=4?x在Rt△PKC中，PK2x1=1，情況一：當(dāng)x1=1時(shí)，過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∴CH=y2=∴HE=7在Rt△DHE中，DE=情況二：當(dāng)x2=3時(shí)，同理可證：DE=43綜上所述，DE=2194【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次根式的化簡(jiǎn)，理解題意，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．6．（2022春·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA，向點(diǎn)A以2cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C以（1）連結(jié)P、Q兩點(diǎn)，則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是________；（2）當(dāng)PQ=10cm時(shí)，求t的值；（3）若在線段CD上有一點(diǎn)E，QE=2cm，連結(jié)AC和PE．請(qǐng)問是否存在某一時(shí)刻使得AC平分PE？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）8cm≤PQ≤85cm；（2）t的值為2或【分析】（1）先確認(rèn)線段PQ取最大值與最小值時(shí)點(diǎn)P、Q的位置，再根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出FQ的長(zhǎng)，再根據(jù)PQ=10cm分兩種情況：點(diǎn)Q在點(diǎn)F左側(cè)和點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)，然后根據(jù)圖中的BP=CF建立方程求解即可得；（3）當(dāng)AC平分PE時(shí)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OCE,∠OPA=∠OEC，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出AP=CE，然后分點(diǎn)Q在點(diǎn)E左側(cè)和點(diǎn)Q在點(diǎn)E右側(cè)，分別建立方程求解即可得．【詳解】（1）∵四邊形ABCD中，AB∴四邊形ABCD是直角梯形由題意可知，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處，點(diǎn)Q在點(diǎn)D處時(shí)，線段PQ取得最大值BD；當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，線段PQ取得最小值，此時(shí)PQ=BC=8cm如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥CD，連接BD，則四邊形ABCM是矩形∴AM=BC=8cm,CM=AB=10cm∴MD=∴CD=MD+CM=6+10=16(cm)∴BD=則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是8cm≤PQ≤8故答案為：8cm≤PQ≤85cm（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所需時(shí)間為t=AB2由題意得，t≤5如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥CD，則四邊形BCFP是矩形∴PF=BC=8cm,BP=CF∴FQ=因PQ=10cm>8cm，則分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，BP=2t,CF=CD?FQ?DQ=16?6?3t即2t=16?6?3t，解得t=2，符合題意②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F右側(cè)時(shí)，即點(diǎn)Q在點(diǎn)Q′P則2t=16?3t+6，解得t=22綜上，t的值為2或225（3）存在某一時(shí)刻使得AC平分PE，求解過程如下：如圖3，設(shè)AC與PE相交于點(diǎn)O當(dāng)AC平分PE時(shí)，OP=OE∵AB∴∠OAP=∠OCE,∠OPA=∠OEC在ΔOAP和ΔOCE中，∠OAP=∠OCE∴ΔOAP?ΔOCE(AAS)∴AP=CE由題意，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，AP=AB?BP=10?2t,CE=CD?DQ?QE=16?3t?2即10?2t=16?3t?2，解得t=4，符合題意②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，即點(diǎn)Q在點(diǎn)Q′處，AP=AB?BP=10?2t,CE=CD?D則10?2t=16?3t+2，解得t=8>5，不符題意，舍去綜上，存在某一時(shí)刻使得AC平分PE，此時(shí)t的值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2）和（3），依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題1．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州四十七中?？计谀┤鐖D1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為CA上一動(dòng)點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，始終保持CE=CD．連接BD和AE，將AE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連接DF(1)請(qǐng)判斷線段BD和AF的位置關(guān)系并證明；(2)當(dāng)S△ABD=1(3)如圖2，連接EF，G為EF中點(diǎn)，AB=22，當(dāng)D從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過程中，EF的中點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)求出點(diǎn)G【答案】(1)AF∥BH，證明見解析(2)∠AEC=67.5°(3)2【分析】（1）由題意可得∠ACB=∠ACE，繼而證明出△BCD≌（2）延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)H，首先證明出四邊形ABDF是平行四邊形，然后由三角形的面積公式可得AH=12BD=12（3）連接AG、CG，過點(diǎn)G作GH⊥CE交CE延長(zhǎng)線于H，GN⊥AC于N，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AC=2，然后證明四邊形CHGN是矩形，進(jìn)而證明出△ANG≌△EHGAAS，得到G【詳解】（1）AF∥BH，證明如下：∵∠ACB=90°，∴∠ACE=180°?∠ACB=90°，∴∠ACB=∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌∴∠CAE＝∵將AE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AF，∴∠EAF=90°，∵∠ADB=∠BCD+∠CBD，∠DAF=∠EAF+∠CAE，∴∠ADB=∠FAD，∴AF∥BH；（2）延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)H，∵將AE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AF，∴AE=AF，∠EAF=90°，∵△BCD≌∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∵S△ABD∴S四邊形ABDF＝12BD2∴BD·AH=1∴AH=1∴BH垂直平分AE，∴BA＝∵AC＝BC，∴∠ABE=45°，又∵BA=BE，∴∠AEC=67.5°；（3）連接AG、CG，過點(diǎn)G作GH⊥CE交CE延長(zhǎng)線于H，GN⊥AC于∵∠ACB=90°，AC=BC，∴BC=AC=2，∵GH⊥CE，GN⊥AC，∠ACH=90°，∴四邊形CHGN是矩形，∵AF=AE，∠EAF=90°，G是∴AG=GE，∵∠CAG+∠ACH+∠CEG+∠AGE=360°，∴∠CAG+∠CEG=180°，∵∠CEG+∠GEH=180°，∴∠CAG=∠GEH，又∵∠ANG=∠GHE=90°，∴△ANG≌△EHGAAS∴NG=GH，∴四邊形CHGN是正方形，∴CG平分∠ACH，∴點(diǎn)G在∠ACH的角平分線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)D從C運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，G點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是以AC為邊的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，即為22【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·貴州遵義·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)P是□ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，線段OE與線段OF的數(shù)量關(guān)系是______．(2)如圖2，點(diǎn)P在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O與C重合），（1）中的結(jié)論是否成立？(3)點(diǎn)P在OC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)∠OFE=60°時(shí)，如圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)OE=OF(2)成立，理由見解析(3)AE+CF=【分析】（1）證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；（2）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AOE≌△CGO，得OE=OG，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出結(jié)論；（3）作輔助線，構(gòu)建全等三角形，與（2）類似，同理得：△AOE≌△COG，再利用∠OFE=60°，得△EOF是等邊三角形，根據(jù)勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF；（2）解：如圖，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由是：延長(zhǎng)EO交CF的延長(zhǎng)線于G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠OCG，∵AO=OC，∠AOE=∠COG，∴△AOE≌△COG（ASA），∴EO=OG，在Rt△EFG中，F(xiàn)O=12EG=OE（3）解：AE+CF=3如圖3，延長(zhǎng)EO、FC交于G，同理得：△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在Rt△EGF中，OF=12EG=OE=OG∵∠OFE=60°，∴△EOF是等邊三角形，∴∠GEF=60°，則∠G=30°，∴GF=GE2∵GF=GC+CF=AE+CF，∴AE+CF=3【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分得全等的邊相等的條件．3．（2022春·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（a），直線l1∶y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A、B，OA=OB=3，直線l2:y=32x?2交y軸于點(diǎn)C，且與直線l(1)求直線l1(2)求△OCD的面積；(3)如圖（b），點(diǎn)P是直線l1上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP交線段OD于點(diǎn)E，當(dāng)△COE與△DEP的面積相等時(shí)，求點(diǎn)P(4)在（3）的條件下，若點(diǎn)H為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)H，使以D、C、P、H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)l(