第七章知識資料知識資料彎曲變形

§7-1引言

§7-2撓曲軸近似微分方程

§7-3計算梁位移的積分法

§7-5計算梁位移的疊加法

§7-6簡單靜不定梁

§7-7梁的剛度條件與合理剛度設計第七章彎曲變形

§7-1引言思考：梁在載荷作用下，要有足夠的強度，因此必須滿足強度條件。但是，是否梁滿足了強度條件之后，它就能夠正常地工作呢？起重機正常運行時，車輪輪緣與運行軌道之間需保持一定的間隙，但梁變形情況下，車輪不在其踏面中間運行，當起重機運行中輪緣與軌道側面相擠時，則出現(xiàn)啃軌現(xiàn)象，影響起重機安全運行。梁變形引起的事故與安全問題撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線

對稱彎曲時，撓曲軸為位于縱向對稱面的平面曲線撓曲軸

軸線變?yōu)榍€，變彎后的梁軸，稱為撓曲軸，彎曲變形的特點如何計算和描述梁的變形？AB對稱彎曲條件下,如果忽略梁橫截面的面內變形和截面形心的軸向位移，那么梁橫截面上任一點的位移可以通過如下兩個變量描述:1、各截面形心的線位移

——撓度w2、截面繞中性軸的角位移

——轉角

及轉角方程q(x)F撓度隨坐標變化的方程——撓曲軸方程w=w(x)

梁變形的描述方法：撓曲軸方程w=w(x)AB這樣，梁的變形描述可由單一方程完成：梁的轉角不再是獨立量,一般很小—q=q’?dw/dx，

對于細長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計，因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交§7-2撓曲軸近似微分方程Q

中性層曲率表示的彎曲變形公式Q

由高等數(shù)學知識

Q

撓曲軸微分方程

——二階非線性常微分方程（純彎）（推廣到非純彎）方程推導Q簡化的撓曲軸方程正負號確定:彎矩:

坐標系：w

向上為正小變形時：曲線下凹撓曲線下凹,彎矩M為正方程取正號

正彎矩負彎矩xwoxo??

小變形Q應用條件：Q撓曲軸的近似微分方程正彎矩xo撓度坐標軸w向上，彎矩下凹為正土木建筑部門，采用坐標軸w

向下坐標系小結F

C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。一、梁的撓曲軸方程§7-3計算梁位移的積分法位移邊界條件w=0w=0w=0q=0二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)與光滑條件ACDMFB撓曲軸在B、C點連續(xù)且光滑連續(xù)：wB左=wB右光滑：qB左=qB右

自由端：無位移邊界條件固定端：

連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：例：中間支撐C：E點：中間鉸B：ABCDFEABCDFE思考：該梁可分幾段積分（判斷依據是什么）？(2).分3段。ED段不受力，保持直線，僅作剛性轉動。

(1).分4段。已知EI,建立該梁的撓曲軸方程AB解:2、撓曲軸近似微分方程1、彎矩方程:例：AB3、積分常數(shù)的確定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0已知EI,建立該梁的撓曲軸方程

AB解:計算約束反力，建立坐標系。AB段BC段例:x(分幾段積分？）邊界和連續(xù)條件:

四個方程定4個常數(shù)ABxADBC繪制撓曲軸的大致形狀：彎矩圖過零點處為撓曲軸拐點彎矩正負突變處也經常是拐點支座性質定該處線和角位移1.繪制彎矩圖。2.繪制撓曲軸的大致形狀F彎矩圖符號定撓曲軸凹凸性凹凸凹直線撓曲軸大致形狀+_Fs+M曲線，直線？上凸，下凹？關鍵點的，w以及拐點若彎矩圖中有一段M=0，則此段撓曲線為直線作業(yè)7-1b7-3c,d7-67-7§7-5計算梁位移的疊加法

載荷疊加法

逐段變形效應疊加法

兩類疊加法比較

例題一、載荷疊加法(原理）梁在同時承受多個載荷時的撓度和轉角，等于該梁在各個載荷單獨作用下的撓度和轉角的代數(shù)和成立條件：材料線彈性和小變形M(x)＝Mi(x),為載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)EIw=

Mi(x)dx=

Mi(x)dx=wi

積分后，w仍然是載荷(F,q,Me)的線性齊次函數(shù)依據：(前提：材料線彈性)前提：(梁的變形很小,不影響其它載荷的作用效果)載荷疊加法的應用例：EI=常數(shù)，求，載荷由集中力F，均布力q和力偶M0構成，分別計算各個載荷在A端引起的位移，然后將它們疊加。AFqQ分析方法：基本梁在幾種基本載荷作用下的撓度和轉角方程已被總結成表（請熟記P351附錄E中1，3，4，6，8，9各梁的撓度和轉角）查表,p351AAFAqAFq()Fq疊加：例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB分析方法：將任意分布載荷看作無窮微集中力的疊加。注意(1)a

取為變量x(2)載荷向上為正查表P351(2):例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：為什么？例：矩形截面梁斜彎曲問題——求撓曲軸方程與端點C位移yCzF分析思路：載荷沿兩對稱軸分解：

分解為對稱彎曲問題2.求解各分載荷作用下的撓曲軸方程與C點位移3.合成為總的撓曲軸方程與總的C點位移解：(1)載荷分解方位角F

一般b

1

q，彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內。(2)分力撓曲軸方程與端點位移端點C：yCzF靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨變形(其余梁段剛化)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和。二、逐段變形效應疊加法（逐段剛化法）該方法更多地應用于單載荷、多段組合梁（如階梯梁、直角拐）的變形計算。思考：該方法的優(yōu)點是什么？ABC例:求圖示外伸梁C點的撓度和轉角ABCABCqa/2qa2/2僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁)僅考慮AB段變形(剛化BC)總撓度和轉角ABCABCABCqaqa2/2ABCqa2/2BCqa2/2A三、兩類疊加法比較1、靜定條件下，等價2.逐段變形效應疊加法與載荷疊加法適用范圍不同右圖的疊加法為什么不成立？兩類疊加法適用范圍比較線彈性、非線彈性與非彈性線彈性小變形小變形靜定桿系與剛架靜定與靜不定結構，包括桿、板、殼及一般三維體逐段變形效應疊加法載荷疊加法例：EI=常數(shù)，求ABCFABCBC剛化FBCAFFaAB剛化加

a.BC彎曲剛度剛化b.BC扭轉剛度剛化w32.BC扭轉(AB剛化，BC彎曲剛度剛化)3.BC彎曲(AB剛化，BC扭轉剛度剛化)1.AB彎曲(BC剛化）例：E常數(shù),,求，F(xiàn)ABC剛化AB段：1.BC段變形效應（剛化AB段）2.AB段變形效應（剛化BC段）剛化BC段：ABCABCF,求例：E常數(shù),，F(xiàn)ABCEFABCEFABCEF對稱性的應用F/2CFBABCEFF/2F/2逐段變形效應疊加法思考：圖示各階梯剛架幾何尺寸，材料與外載均相同，加陰影線段表示.該段已剛化，設圖示(a)、(b)、(c)、(d)各剛架自由端(即A端)的垂直位移分別為Wa，Wb，Wc，Wd,，則Wa＝Wb＋Wc＋Wd,。該結論對嗎？ACBqBACq/2ACq/2反對稱：中點撓度為0，彎矩0→鉸支對稱：思路：載荷分解Cq/2例：利用對稱性求

(

)(↓)例：組合梁的變形分析，求：AqCBABC’解：梁撓曲軸如圖CB保持直線AC懸臂梁問題分析：采用逐段變形效應疊加法例：組合梁/剛架各處EI,EA,B處梁間活動鉸，求ABCF剛化剛架BDH,AB為簡支梁，剛化梁AB，下面求剛架的位移ABHDCF解：1.求BHDF/2（1）剛化DH的拉壓與彎曲剛度，BD相當于懸臂梁（2）剛化BD和DH的拉壓剛度（3）剛化BD和DH的彎曲剛度ABCF

2.求2EA2EA3.求設b×h矩形截面4.比較彎曲與拉壓位移結論:

(如果題意沒有要求)，拉壓與彎曲共同作用時，拉壓引起的位移可以忽略。ABHDCF例：細長梁置于水平剛性平臺上。設單位長度重量為q，彎曲剛度EI，求wc解：設拱起長度為aDA段包括A點截面上的彎距MA為零，B點同理A,B兩點處的轉角為零AB段的簡化模型由疊加法確定A處的轉角：再由疊加法確定C處的撓度：圖示直梁和剛性園拄面，求梁在集中力F作用下的端點撓度lRFABC梁、拄面接觸的條件設F>Fo，AC段與拄面接觸，AC段長度為x作業(yè)7-9b,d7-117-127-14a§7-6簡單靜不定梁靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應的支反力或支反力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定AB靜定基:一個靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)(左下)相當系統(tǒng)：作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)(右下)AB靜定基與相當系統(tǒng)qABABRBqABq靜定基與相當系統(tǒng)的選擇不是唯一的小結：分析方法與分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；2、選取與解除多余約束，建立相當系統(tǒng)；3、列出多余約束處的變形協(xié)調條件；4、結合平衡方程，求多余支反力。方法：選取并解除梁多余約束，代之以支反力,構造相當系統(tǒng)，使多余約束點處的變形滿足位移邊界或連續(xù)條件相當系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種例：求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當系統(tǒng)：右中、下圖都合適。選右中圖。小變形，軸向變形可忽略

HA=HB=0。兩多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立變形協(xié)調條件4.聯(lián)立求解qABRBMB對稱性的應用利用對稱性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。三人扛木問題等截面原木長l=5m,直徑d=30cm,密度=0.7g/cm3,彈性模量E=4GPa.三個等身高工人的著力點分別為原木的兩端及中點.試求每人分擔的原木重量.解:首先將問題抽象成材料力學模型,然后依據相關理論求解.ABCll/2三支座梁，q=A＝495g/cm=484N/m

問題轉化為求解上述靜不定梁三個支座的支反力!移去支座B,代之以支反力FB,解靜定梁,求支反力FB,變形協(xié)調條件

B=0qABCll/2FBABC查附錄E－8：均布力q引起的B點撓度：ABCl/2FB查附錄E－6：集中力FB引起的B點撓度：令例:

直徑為d

的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：AB存在裝配誤差的靜不定問題分析例：求A點的垂直方向的位移，A處梁間活動鉸。ADR’A組合梁/剛架靜不定問題的分析ABCDM0方法：將鉸鏈拆開，建立鉸鏈處的變形協(xié)調條件BCM0RA例：求支反力

變形協(xié)調條件：RRB點位移按右圖計算

ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE§6-6梁的剛度條件與合理剛度設計一、梁的剛度條件[d