浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題卷

嘉興市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測高三數(shù)學(xué)試題卷（2024.1）本試題卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．考生注意：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙上規(guī)定的位置．2．答題時(shí)，請按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙上的相應(yīng)位置規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知，則：22-i（）A． B． C． D．53．已知單位向量，的夾角為，則（）A． B． C． D．4．己知直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．衛(wèi)生紙是人們生活中的必需品，隨處可見．衛(wèi)生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛(wèi)生紙厚度為0.1mm．若未使用時(shí)直徑為90mm，使用一段時(shí)間后直徑為60mm，則這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙大約己使用了（）A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m6．己知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．7．已知是等比數(shù)列，則“對任意正整數(shù)n，”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．己知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（）A．樣本數(shù)據(jù)4，4，5，5，6，7，9的75%分位數(shù)為6B．若隨機(jī)變量滿足，則C．若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則D．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則10．已知函數(shù)的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，則（）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)在單調(diào)遞減C．函數(shù)在的值域?yàn)镈．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱11．己知正方體的邊長為1，點(diǎn)P滿足，其中，，則（）A．當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)P，使得平面B．當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得平面C．當(dāng)，滿足時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最小值為D．當(dāng)，滿足時(shí)，三棱錐，的體積的最小值為12．己知點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線：的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，H為線段MN的中點(diǎn)，F(xiàn)為的焦點(diǎn)，則（）A．若，則直線MN經(jīng)過點(diǎn)F B．直線軸C．點(diǎn)H的軌跡方程為 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______（用數(shù)字作答）．14．已知，則______．15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q在C上且滿足，，則C的離心率為______．16．己知圓錐的母線長與底面圓的直徑均為．現(xiàn)有一個(gè)半徑為1的小球在內(nèi)可向各個(gè)方向自由移動(dòng)，則圓錐內(nèi)壁上（含底面）小球能接觸到的區(qū)域面積為______．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中，．（1）若，求的面積；（2）若為鈍角三角形，求a的取值范圍．18．（本題滿分12分）己知是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，求m．19．（本題滿分12分）等邊三角形的邊長為3，O，P分別是邊AB和AC上的點(diǎn)，且，如圖1．將沿OP折起到的位置，連結(jié)，．點(diǎn)Q滿足，且點(diǎn)Q到平面的距離為，如圖2．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．20．（本題滿分12分）某校舉行知識競賽，規(guī)則如下：選手每兩人一組，同一組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對方得1分，比賽進(jìn)行到一方比另一方多2分為止，且多得2分的一方勝出．現(xiàn)甲乙兩人分在同一組，兩人都參與每一次搶題，每次搶到的概率都為．若甲、乙正確回答每道題的概率分別為和，每道題回答是否正確相互獨(dú)立．（1）求第1題答完甲得1分的概率；（2）求第2題答完比賽結(jié)束的概率；（3）假設(shè)準(zhǔn)備的問題數(shù)足夠多，求甲最終勝出的概率．21（本題滿分12分）已知，分別是雙線的左，右頂點(diǎn)，，點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線C的方程：（2）過點(diǎn)的直線1與C交于M，N兩點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），直線OP與直線交于點(diǎn)Q．若直線與的斜率分別為，，試問是否為定值？若是，求出此定值；否不是，請說明理由．22．（本題滿分12分）已知函數(shù)．（1）若時(shí)，在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：．嘉興市2023~2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)卷參考答案（2024.1）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1-4ADBB 5-8CDCA8．答案A【解析】由于，則．由于，構(gòu)造函數(shù)，．由于，則在遞減，在遞增，又，則在遞減，在遞增，．，則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．函數(shù)與的圖像如圖所示．令．由于，則，，排除CD．由于，，則．令，其在R上單調(diào)遞增．由于，則，，即．綜上，，故選擇A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．BCD 10．AB 11．ACD 12．ABD12．答案ABD【解析】設(shè)過點(diǎn)M的切線為片，過點(diǎn)N的切線為，這兩條切線交于點(diǎn)，則，從而直線MN的方程為．若，則直線MN經(jīng)過點(diǎn)，A正確．設(shè)過點(diǎn)M的切線為，過點(diǎn)N的切線為，聯(lián)立，解得，即，從而，即，從而軸，B正確．由于點(diǎn)H為M，N中點(diǎn)，則，由于，，從而點(diǎn)H的軌跡方程為，C錯(cuò)誤．由于，，，則．又，則．同理可得，從而，D正確．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．15 14． 15． 16．16．答案【解析】在圓錐內(nèi)壁側(cè)面，小球接觸到的區(qū)域展開后是一個(gè)扇環(huán)，其面積為；在圓錐底面，小球接觸到的區(qū)域是一個(gè)圓，其面積為．綜上，圓錐內(nèi)壁上（含底面）小球能接觸到的區(qū)域面積為．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題滿分10分）【解析】（1）由及正弦定理，則．當(dāng)時(shí)，，，由余弦定理，，從而，此時(shí)的面積．（2）由于，，則，解得．由于C為的最大內(nèi)角，，即，解得．由于，則．18．（本題滿分12分）【解析】（1）令，，得，所以，代入原式得，所以．（2），，由，得，即，可解得．19．（本題滿分12分）【解析】證法1（坐標(biāo)法）：因?yàn)椋c(diǎn)Q到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為1，則平面．以O(shè)為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，又平面的法向量，由于，直線平面，所以平面．證法2（幾何法）：取OB中點(diǎn)S和線段靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)T，連結(jié)ST，SP，TO，，，所以，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，從而平面．（其他方法酌情給分）（2）解法1（坐標(biāo)法）：平面的法向量，設(shè)平面的法向量，，，由，得，令，，，即．設(shè)平面與平面夾角大小為，所以，即平面與平面夾角的余弦值．解法2（幾何法）：延長BC，OP交于點(diǎn)R，連結(jié)，作，連結(jié)BD．由于平面，則．又，，從而直線平面，，所以為二面角的平面角，記為，在直角中，，，所以，又，則，：，即平面與平面夾角的余弦值為．20．（本題滿分12分）【解析（1）記“答完1題甲得1分”為事件A，則，第1題答完甲得1分的概率為．（2）第2題答完比賽結(jié)束，甲得了2分，或乙得了2分．記“答完1題乙得1分為事件B，”則．記“第2題答完比賽結(jié)束”為事件C，．（3）記甲最終勝出的概率為．答完2題，有四種情況：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，與初始狀態(tài)（即比賽前）的情況相同，從而，即，解得，即甲最終勝出的概率為．21．（本題滿分12分）【解析】（1）由題意知．點(diǎn)到直線的距離為，解得，從而雙曲線C的方程為．（2）設(shè)，，直線l的方程為，聯(lián)立，則，從而，解得且，此時(shí)．直線OP的方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，．由于，即．22．（本題滿分12分）【解析】（1）當(dāng)，