【教案】直線、平面的垂直關(guān)系單元教學設(shè)計高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

單元教學設(shè)計單元基本信息課程標準模塊幾何與代數(shù)——立體幾何初步使用教材版本人教A版教材單元名稱8.6空間直線、平面的垂直單元課時數(shù)5一、單元學習主題分析（體現(xiàn)學習主題的育人價值）主題名稱空間直線、平面的垂直主題概述本單元內(nèi)容的核心是空間直線、平面的垂直，主要包括直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的概念、判定及性質(zhì)等.本單元內(nèi)容是前面所學知識的延續(xù)和拓展，也是后面繼續(xù)學習內(nèi)容的依靠（如空間的角和距離等），起著承上啟下的作用.本單元是在平行的基礎(chǔ)上繼續(xù)研究空間直線與平面的另一種特殊位置關(guān)系——垂直.研究時本著“直觀感知-操作確認-思辨論證”的認識過程，繼續(xù)加強從“一般觀念”上的引導，讓學生明確“什么是空間直線、平面的垂直？”以及“空間直線、平面的垂直時，直線與平面有什么確定的不變關(guān)系”；同時充分類比對空間直線、平面平行關(guān)系的研究方式，引導學生研究空間直線、平面之間的垂直關(guān)系，研究的對象盡量讓學生通過觀察、猜想去提出，研究的內(nèi)容要學生動手探究、類比學習去確定，由此培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).具體來講，教學時，可以先回顧前面關(guān)于空間直線、平面平行的研究過程：再引導學生類比出空間直線、平面垂直的學習內(nèi)容：本單元內(nèi)容按照直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直的研究過程展開.對于直線與直線的垂直，首先要定義異面直線所成的角的概念，兩條直線垂直包括共面垂直與異面垂直.對于直線與平面的垂直、平面與平面的垂直，主要研究它們的判定定理和性質(zhì)定理.在經(jīng)歷對經(jīng)典實例的觀察、實驗、猜想等合情推理的活動后，概括出直線與直線的垂直、直線與平面的垂直、平面與平面的垂直的概念、判定和性質(zhì)定理，再對性質(zhì)定理進行邏輯論證.在學生經(jīng)歷觀察、抽象、概括等一系列過程中，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng).另外，教學活動中通過觀察、思考、探究等方式向?qū)W生提出問題，以問題引導學生進行更加主動的思維活動，經(jīng)歷從實際背景中抽象出數(shù)學模型，從現(xiàn)實生活空間抽象出幾何問題的過程，發(fā)展他們的直觀想象素養(yǎng).通過本單元的學習與探究，可進一步完善學生數(shù)學知識的認知，更好地培養(yǎng)學生觀察能力、動手能力，以及空間想象及推理歸納能力，體會由特殊到一般、類比、歸納、猜想、化歸等數(shù)學思想方法，增強“平面化”和“以簡驅(qū)繁”的轉(zhuǎn)化思想，因此學習這部分知識有著舉足輕重的意義.主題學情分析經(jīng)過前面的學習，學生已掌握了兩條直線的位置關(guān)系，學習了線面平行的判定及性質(zhì)，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學結(jié)論”的體會，有了一定的幾何直觀能力、推理論證能力等，能較準確的使用圖形和數(shù)學語言表述幾何對象的位置關(guān)系；已了解“平行關(guān)系”的性質(zhì)和判定方法；已基本掌握解決空間問題的一般方法——“平面化”，具備學習本節(jié)課所需的知識.然而，學生的能力發(fā)展正處于形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)折階段，但更注重形象思維，對兩個平面的垂直關(guān)系還停留在感性的認識階段，還沒有上升到理性認識．學生還未能建立起各種垂直關(guān)系之間的聯(lián)系，還沒有形成完整的空間知識結(jié)構(gòu)體系，學生內(nèi)在的知識網(wǎng)絡(luò)還有待進一步清晰化.學習條件支持多媒體課件、空間幾何體模具、三角板、筆（表示直線）、課本或草稿本（表示平面）等.二、單元學習目標設(shè)計（基于標準、分析教材、結(jié)合學情，體現(xiàn)素養(yǎng)導向）單元學習目標（1）通過生活中的實例直觀感知直線、平面垂直，在此基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).（2）從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過小組合作探究發(fā)現(xiàn)直線、平面垂直的判定，并能應(yīng)用其解決直線、平面垂直的簡單問題，提升直觀想象和數(shù)學歸納的素養(yǎng)，在探究的過程中，感悟和體驗“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”等數(shù)學思想，進一步感悟教學中“以簡驅(qū)繁”的轉(zhuǎn)化思想.（3）從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過小組合作探究發(fā)現(xiàn)、歸納并證明直線、平面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用其解決直線、平面垂直的簡單問題，提升直觀想象和數(shù)學歸納的素養(yǎng).三、各課時學習目標學習目標解析第1課時1.通過長方體模型，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的位置關(guān)系可以用異面直線所成角來刻畫，會用所成角的定義將異面直線所成角的問題，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)兩條相交直線所成的角，體會把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題的思想方法.2.能借助異面直線所成的角定義空間直線與直線垂直，體會從一般到特殊的研究過程.3.會求簡單異面直線所成的角，先通過平移作出所求角，再在特殊三角形中求角，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).1.能在常見幾何體如正方體、長方體中找出兩條異面直線中一條或兩條的平行線，從而作出異面直線所成的角，并能在初中熟悉的三角形中求出所成角，注意所成角的范圍.2.根據(jù)異面直線垂直的定義能夠判斷異面直線垂直，從而可以判斷空間兩條直線垂直.第2課時1.借助生活中大量的實例，抽象出直線與平面垂直的定義，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；2.通過折紙試驗，借助定義，概括出直線與平面垂直的判定定理，會用圖形語言和符號語言表述定理，并能運用定義和定理進行線面垂直的證明，體會直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化，提升數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)；3.了解直線與平面所成的角的定義，并能在簡單圖形中求出線面所成角，體會空間問題平面化的轉(zhuǎn)化思想.1.能通過實例，類比直線與平面平行的定義方式（線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行），抽象出直線與平面垂直的定義，能說出直線與平面垂直的條件和結(jié)論；能用“三種語言”表達直線與平面垂直的定義；能利用定義研究點到平面的距離.2.能從直線與平面垂直的定義和基本事實出發(fā)，明確判定定理所研究的問題，探究并得出直線與平面垂直的判定定理，能說出判定定理的條件和結(jié)論，能用判定定理證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.3.能說出平面的斜線與平面所成角的定義；能解釋定義中蘊含的數(shù)學思想，能利用定義在簡單的情題中求出直線與平面所成的角.第3課時1.能從直線與平面垂直的定義和基本事實出發(fā)，明確性質(zhì)定理所研究的問題.探究并證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理，能說出性質(zhì)定理的條件和結(jié)論，熟悉定理的三種語言的相互轉(zhuǎn)化，體會垂直與平行之間的內(nèi)在聯(lián)系.2.能用性質(zhì)定理證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).3.能利用直線與平面垂直的作質(zhì)定理證明與給定平面平行的直線（或平面）上各點到平面的距離相等，并由此給出直線到平面的距離，兩個平行平面間的距離的定義.體會化歸與轉(zhuǎn)化思想，提升直觀想象素養(yǎng).1.能從直線與平面垂直的定義和基本事實出發(fā)，明確性質(zhì)定理所研究的問題.探究并證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理，能說出性質(zhì)定理的條件和結(jié)論，能用性質(zhì)定理證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題.2.能利用直線與平面垂直的作質(zhì)定理證明與給定平面平行的直線（或平面）上各點到平面的距離相等，并由此給出直線到平面的距離，兩個平行平面間的距離的定義.第4課時1.能通過類比直線與平面垂直、直線與直線垂直的定義過程，構(gòu)建平面與平面垂直的定義過程，能說出二面角及二面角的平面角概念，能說出定義二面角的平面角的基本原則.2.類比直線與直線垂直的研究過程，能在定義二面角的平面角的基礎(chǔ)上，給出兩個平面互相垂直的定義，體會有一般到特殊的研究過程.3.類比直線、平面平行關(guān)系的判定以及直線與平面垂直的判定，通過直觀感知、操作確認、推理論證，合作探究出平面與平面垂直關(guān)系的判定方法，領(lǐng)悟研究幾何問題的基本思路，提高運用圖形語言、符號語言和文字語言表達與交流的能力，培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng).1.學生能通過類比直線與直線垂直的定義過程——先研究異面直線所成角，再定義直線與直線垂直，構(gòu)建平面與平面垂直的定義過程，線學習二面角及二面角的平面角概念，能說出定義二面角的平面角的基本原則.2.學生能在定義二面角的平面角的基礎(chǔ)上，給出兩個平面互相垂直的定義.3.學生能利用生活經(jīng)驗，借助長方體，歸納出平面與平面垂直的判定定理，能說出定理的條件與結(jié)論，并會用三種語言轉(zhuǎn)化，體會垂直的內(nèi)在聯(lián)系，無限化有限，由繁入簡的學習過程.第5課時1.能在兩個平面相互垂直的條件下，探索空間直線、平面之間的相互關(guān)系，得出平面與平面垂直的性質(zhì)，并能進行證明，體會面面垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.2.能用已獲得的性質(zhì)定理證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題，發(fā)展直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).1.學生能類比已有的直線、平面位置關(guān)系的性質(zhì)，猜想出平面與平面垂直的性質(zhì)，并給出證明.2.學生能用平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明空間中直線、平面位置關(guān)系的簡單命題.四、各課時任務(wù)設(shè)計及學習活動第1課時任務(wù)/活動1活動1.復(fù)習舊知.通過復(fù)習前面所學兩條直線位置關(guān)系，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.任務(wù)1.探索異面直線所成的角通過觀察與思考，引入異面直線所成角的定義，提高學生的解決問題、分析問題的能力.通過思考，進一步理解異面直線所成的角，提高學生分析問題、概括能力.任務(wù)二：探索異面直線垂直及異面直線所成角的范圍是什么？用兩條異面直線所成角定義異面直線垂直，進而得到空間兩條直線垂直，體會從特殊到一般的研究過程.任務(wù)三：典例分析通過例1講解,讓學生理解怎樣求兩異面直線所成的角,初步掌握依據(jù)定義、定理對空間圖形進行論證、計算的方法.通過例2講解,讓學生理解怎樣證兩異面直線垂直,同樣轉(zhuǎn)化為同一個平面內(nèi)的相交直線來證明，體現(xiàn)了解決立體幾何問題的重要思想——轉(zhuǎn)化思想.任務(wù)/活動2任務(wù)/活動3······第2課時任務(wù)/活動1活動1.復(fù)習回顧,創(chuàng)設(shè)情境通過舉例感知生活中直線與平面垂直的位置關(guān)系，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.任務(wù)一：探索直線與平面垂直的概念通過“具體形象—幾何圖形—數(shù)學語言”的學習過程，引導學生體會直線與平面垂直定義的合理性.任務(wù)二：探究直線與平面垂直的判定通過操作確認，引導自主、合作發(fā)現(xiàn)直線和平面垂直的條件；根據(jù)直觀感知以及已有的經(jīng)驗，進行合情推理，獲得判定定理，提高幾何直觀能力和理性說理能力.任務(wù)三：學以致用，熟練掌握通過例3,進一步強化對直線與平面垂直的判定定理的理解,規(guī)范解題過程,初步形成解題思路,引導學生養(yǎng)成用定義、定理思考問題、解決問題的習慣.通過例4，會初步應(yīng)用直線與平面所成角的定義求角的大小.理解直線與平面所成角的求法，關(guān)鍵是找直線A1B在平面內(nèi)的射影，進而轉(zhuǎn)化為確定垂足，即研究線面角需要先研究線面垂直，這是研究問題的基本方向.任務(wù)/活動2任務(wù)/活動3·······第3課時活動1.復(fù)習回顧,溫故知新通過復(fù)習上節(jié)所學，引入本節(jié)新課.建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力.任務(wù)一：發(fā)現(xiàn)、證明線面垂直的性質(zhì)定理通過觀察與思考,得到直線與平面平行的性質(zhì)定理,提高學生的解決問題、分析問題的能力.任務(wù)二：探究直線到平面的距離及兩平面之間的距離通過例的5講解，讓學生進一步理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理，關(guān)鍵是通過線面垂直性質(zhì)定理構(gòu)造一個矩形，體會平行與垂直的關(guān)系，為后續(xù)引入直線到平面的距離及平面與平面間的距離做好鋪墊.通過例題6進一步理解兩平行平面間的距離，提高學生解決問題的能力.第4課時教學活動1.二面角平面角及做法探究教學活動2.面面垂直判定的探究通過對實例的直觀感知、操作確認、推理論證，可以透過垂直現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)本質(zhì)原因，并用定義去證明垂直成立；2.通過探究活動，訓練和提升學生的抽象概括能力、空間想象能力、邏輯推理能力.任務(wù)：遷移拓展、學以致用通過例7熟悉判定定理、體會平面與平面的垂直到直線與平面的垂直,再到直線與直線的垂直的空間位置關(guān)系的變化,規(guī)范格式；例8進一步熟悉轉(zhuǎn)化思想.體現(xiàn)直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理的素養(yǎng)的培養(yǎng).第5課時活動1.復(fù)習回顧,溫故知新通過回顧面面垂直的定義和判定定理，引入本節(jié)新課.建立知識之間的聯(lián)系，提高學生的概括、類比推理的能力.活動2.觀察操作,探索新知學生自己總結(jié)定理內(nèi)容，加深印象，鍛煉口頭表達能力.學生通過合作探究，自己得出定理的證明過程促使學生深入思考，從定理的證明過程中提煉出證明幾何問題的一般思想方法活動3.典例分析,鞏固提高由學生小組合作探究完成，加強了交流合作的能力.通過例題學習，讓學生進一步理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理的運用，提高學生解決問題的能力，感悟其中蘊含的數(shù)學思想，增強學生的應(yīng)用意識.五、單元學習評價設(shè)計（教師或同伴對學生的評價，指向?qū)W習目標的達成）（備注：方案1、方案2選擇其一）需要評價的活動方案1：針對任務(wù)/活動描述活動A名稱依據(jù)單元學習目標，針對挑戰(zhàn)性學習任務(wù)/活動，呈現(xiàn)評價內(nèi)容、評價指標、評價方法和賦值方法等.評價內(nèi)容選擇和評價指標設(shè)計時，無需面面俱到，盡可能抓住關(guān)鍵，倡導伴隨學習任務(wù)/活動的評價.活動A.在已知條件(1)(2)(3)(4)中任選一個，證明后面的三種垂直（線線、線面、面面）.這里有豐富的線線垂直、線面垂直、面面垂直，通過證明各種垂直的過程來檢測單元目標的達成情況，為后續(xù)教學提供指導方向.活動B名稱活動C名稱······評價要素方案2：針對單元整體描述評價內(nèi)容簡述單元評價內(nèi)容評價指標簡述針對單元評價內(nèi)容的關(guān)鍵表現(xiàn)評價方法簡述針對單元評價內(nèi)容或者評價指標的評價方法賦值方法簡述針對評價內(nèi)容或者評價指標的賦值方法與標準五、單元作業(yè)設(shè)計可以是各課時作業(yè)的匯總或者單元學業(yè)評價（單元結(jié)束后的測試）.單元作業(yè)設(shè)計需要體現(xiàn)單元學習目標的達成.單元作業(yè)設(shè)計要關(guān)注實踐性、綜合性及長周期作業(yè).A組1.填空題：（1）過直線外一點，可以作________條直線與已知直線平行；（2）過直線外一點，可以作________條直線與已知直線垂直；（3）過平面外一點，可以作________個平面與已知平面平行；（4）過平面外一點，可以作________個平面與已知平面垂直；（5）過平面外一條直線，可以作_________個平面與該平面平行；（6）過平面外一條直線，可以作_________個平面與該平面垂直.2.已知直線a,b異面，下列判斷正確的是（），并畫圖說明.A.過b的平面不可能與a平行B.過b的平面不可能與a垂直C.過b的平面有且僅有一個與a平行D.過b的平面有且僅有一個與a垂直3.下列命題正確的是（），并說明理由：A.一直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則此直線與平面垂直B.兩條異面直線不能同時垂直于一個平面C.不存在四個面都是直角三角形的四面體D.若兩條斜線段在同一個平面上的投影數(shù)量相等，則這兩條斜線段的長也相等4.設(shè)a,b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，判斷下列命題的正誤，并畫圖說明.（1）若a//α,b⊥β,則a⊥b；（2）若a⊥α,b⊥β,則a//b；（3）若a⊥α,b?α,則a⊥b；（4）若a⊥α,a⊥β，則α//β.5.設(shè)α，β，γ為兩兩不重合的平面，l,m,n為兩兩不重合的直線，（1）若α⊥γ,β⊥γ,則α//β（2）若m?α,n?α,m//β,n//β，則α//β;（3）若則α//β，l?α,則l//β;（4）若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l//γ,則m//n.6.如圖，已知三角形ABC是正三角形，EA,DC都垂直于平面ABC，且EA=BC=2a,DC=a,F,G分別是EB和AB的中點.求證：

（1）FG⊥平面ABC；（2）FD//平面ABC.7.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ΔABC的兩邊AB,AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得到的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC,ACD,ADB兩兩相互垂直，則_____________”.B組1.下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M,N,P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥平面MNP的圖形序號是_______________.2.如圖，在圓錐PO中，已知PO=2，圓O的直徑AB=2,點C在弧AB上，且∠CAB=300,點D為AC的中點.（1）證明：AC⊥平面POD（2）求二面角P-AC-O的正弦值.3.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD//BC,∠BCD=90°，且PA（1）判斷CD是否與平面PAD垂直，證明你的結(jié)論；（2）證明：平面PAB⊥平面ABCD.4.如果一個四面體的三個面是直角三角形，那么，第四個面可能是：=1\*GB3①直角三角形；=2\*GB3②銳角三角形；=3\*GB3③鈍角三角形；=4\*GB3④等腰三角形；=5\*GB3⑤等腰直角三角形；=6\*GB3⑥等邊三角形.請寫出你認為正確的序號______________________