2010年北京高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）第I卷選擇題（共40分）本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。集合，則（A） （B） （C） （D）2，在等比數(shù)列中，，公比.若，則 （A）9 （B）10 （C）11 （D）12正（主）視圖側(cè)（左）視圖正（主）視圖側(cè)（左）視圖（A）（A）（B）（C）（D）4，8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法總數(shù)為 （A） （B） （C） （D）5，極坐標(biāo)方程表示的圖形是 （A）兩個(gè)圓 （B）兩條直線(xiàn) （C）一個(gè)圓和一條射線(xiàn) （D）一條直線(xiàn)和一條射線(xiàn)6，為非零向量，“”是“函數(shù)為一次函數(shù)”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件7，設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則的取值范圍是 （A） （B） （C） （D）8，如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱上，若（大于零），則四面體的體積與都有關(guān)與有關(guān)，與無(wú)關(guān)與有關(guān)，與無(wú)關(guān)與有關(guān)，與無(wú)關(guān)第II卷 （共110分）填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分。9，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____10，在中，若，則11，從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），由圖中數(shù)據(jù)可知.若要從身高在三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_(kāi)_______.12，如圖，的弦的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)A，若，則13，已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；漸近線(xiàn)方程為_(kāi)______.14，如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)的軌跡方程是，則函數(shù)的最小正周期為_(kāi)____；在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為_(kāi)______.說(shuō)明：“正方形沿x軸滾動(dòng)”包括沿軸正方向和沿軸負(fù)方向滾動(dòng).沿軸正方向滾動(dòng)指的是先以頂點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)落在軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù).類(lèi)似地，正方形沿x軸負(fù)方向滾動(dòng).解答題。本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。15，（本小題共13分）已知函數(shù)求的值；求的最大值和最小值.16，（本小題共14分） 如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，，∥，(1)求證：∥平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小.17，（本小題共13分）某同學(xué)參加3門(mén)課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門(mén)課程取得的優(yōu)秀成績(jī)的概率為，第二、第三門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立，記為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為0123Pab(1)求該生至少有1門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率；(2)求的值；(3)求數(shù)學(xué)期望.18，（本小題共13分） 已知函數(shù).(1)當(dāng)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間.

19，（本小題共14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)與的斜率之積等于.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線(xiàn)和分別與直線(xiàn)交于點(diǎn)，問(wèn)：是否存在點(diǎn)使得與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.20，（本小題共13分）已知集合.對(duì)于，定義與的差為：A與B之間的距離為.(1)證明：，有，且；(2)證明：，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；設(shè)，中有個(gè)元素，記中所有兩元素間距離的平均值為.證明：參考答案選擇題BC．C．A．C．B．A．D．二、填空題9，（1，1）.10，1。11，0.030，312，5，13，，14，4，三、解答題15（I）（2）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，取最大值6；當(dāng)時(shí)，取最小值。16證明：（I）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，因?yàn)镋F∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四邊形AGEF為平行四邊形。所以AF∥EG。因?yàn)镋GP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。（II）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz。則C（0，0，0），A（，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F(xiàn)（，，1）。所以=（，，1），=（0，－，１），＝（－，0，１）。所以·=01+1=0，·=－１＋０＋１＝０。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE（III）由（II）知，=（，，1），是平面BDE的一個(gè)法向量，設(shè)平面ABE的法向量=（x,y,z）,則·=0，·=0。即所以x=0，且z=y。令y=1，則z=。所以n=（），從而cos（，）=因?yàn)槎娼茿BED為銳角，所以二面角ABED為。17解：事件A，表示“該生第i門(mén)課程取得優(yōu)異成績(jī)”，i=1,2,3。由題意可知（I）由于事件“該生至少有一門(mén)課程取得優(yōu)異成績(jī)”與事件“”是對(duì)立的，所以該生至少有一門(mén)課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率是（II）由題意可知，整理得pq=。（III）由題意知，18解：（I）當(dāng)時(shí)，由于所以曲線(xiàn)處的切線(xiàn)方程為。即（II）當(dāng)時(shí)， 因此在區(qū)間上，；在區(qū)間上，； 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，，得; 因此，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，； 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為； 當(dāng)時(shí)，.的遞增區(qū)間為 當(dāng)時(shí)，由，得； 因此，在區(qū)間和上，，在區(qū)間上，； 即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。19，解：（1）因點(diǎn)B與（1,1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，得B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）。 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由題意得， 化簡(jiǎn)得：。即P點(diǎn)軌跡為： （2）因，可得， 又， 若，則有， 即設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：解得：，又因，解得。 故存在點(diǎn)P使得與的面積相等，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或20,解：（1）設(shè) 因，故， 即 又 當(dāng)時(shí)，有； 當(dāng)時(shí)，有 故 （2）設(shè) 記 記，由第一問(wèn)可知： 即中1的個(gè)數(shù)為k，中1的個(gè)數(shù)為l， 設(shè)t是使成立的i的個(gè)數(shù)，則