第二章(第一,二,三節(jié))

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁(yè)/共頁(yè)隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量為了更深入地研究隨機(jī)事件及其概率，我們引進(jìn)概率論中一個(gè)重要的基本概念—隨機(jī)變量。即將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化（或數(shù)值化，數(shù)字化）.為此,先考察幾個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例子.:投擲一枚勻稱(chēng)的硬幣,看見(jiàn)它哪一面向上？實(shí)驗(yàn)的樣本空間是;若用,則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)取值就能描述隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果,因?yàn)檎婊蚍疵娴母∩鲜请S機(jī)的,所以或也是隨機(jī)取到的,因而稱(chēng)此為隨機(jī)變量;:甲乙兩人下一盤(pán)棋,看見(jiàn)比賽結(jié)果.實(shí)驗(yàn)的樣本空間是,定義函數(shù),則是定義在上的函數(shù),用函數(shù)的取值就能描述隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.：記錄某電話(huà)交換臺(tái)在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，實(shí)驗(yàn)的樣本空間是，定義當(dāng)；：從一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命，實(shí)驗(yàn)的樣本空間是，定義當(dāng)。我們從上面幾個(gè)例子看到,用數(shù)量來(lái)描述實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果,對(duì)我們研究隨機(jī)實(shí)驗(yàn)是方便的.因此,有須要把隨機(jī)實(shí)驗(yàn)結(jié)果都轉(zhuǎn)化成數(shù)量來(lái)表示.這就有須要引入一個(gè)重要概念--隨機(jī)變量.定義1設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間為,為概率空間.倘若對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有決定的實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，并且對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，是隨機(jī)事件，（即要求是可測(cè)函數(shù)），有決定的概率，則稱(chēng)這樣的實(shí)值變量為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為。隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為，有的書(shū)上稱(chēng)為隨機(jī)變數(shù)。通常用大寫(xiě)英文字母或希臘字母等表示隨機(jī)變量。例如，上述分離定義于樣本空間上的函數(shù)都是隨機(jī)變量。由此可見(jiàn)，隨機(jī)變量就是定義在樣本空間上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)。因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)中浮上是隨機(jī)的，所以實(shí)數(shù)的取值相對(duì)于實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)也是隨機(jī)的，這就是稱(chēng)它為隨機(jī)變量的緣故。注重定義在樣本空間上的任一個(gè)函數(shù)，未必是隨機(jī)變量。引入隨機(jī)變量以后，隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量的取值來(lái)表示了。如在實(shí)驗(yàn)中，令“呼叫次數(shù)不超過(guò)20”；“呼叫次數(shù)大于8”；“呼叫次數(shù)在之間”，則隨機(jī)事件可分離表示如下：；；。這樣一來(lái)，我們所協(xié)助的隨機(jī)事件的概率問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取值的概率問(wèn)題。因此，隨機(jī)變量及其取值的概率是我們今后學(xué)習(xí)研究的主要對(duì)象。（可測(cè)性、可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)的概念，在數(shù)學(xué)上有精決定義；不可測(cè)的集合是存在的，數(shù)學(xué)家已構(gòu)造出不可測(cè)的集合；不可測(cè)事件存在性的社會(huì)學(xué)證實(shí)：“深（神）不可測(cè)”，“高深莫測(cè)”，“奧秘莫測(cè)”，“猜不出你想的都是什么”，“股市風(fēng)險(xiǎn)不可預(yù)測(cè)”等等描述的都是不可測(cè)的場(chǎng)合場(chǎng)景。我們通常碰到的大都是可測(cè)的。社會(huì)智慧的“隨機(jī)應(yīng)變”，“見(jiàn)啥人說(shuō)啥話(huà)”，“入鄉(xiāng)隨俗”，“到什么山唱什么歌”，用概率論的術(shù)語(yǔ)就是“隨機(jī)變量”。深刻領(lǐng)略“隨機(jī)應(yīng)變”的內(nèi)涵和外延，就能理解“隨機(jī)變量”。第二節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)研究隨機(jī)變量，不但要知道它取哪些值，更重的是要控制它在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率邏輯。為此，引進(jìn)分布函數(shù)的概念。對(duì)普通的隨機(jī)變量，如何描述它取值的概率邏輯就成為我們下面研究的內(nèi)容。設(shè)為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)事件，倘若對(duì)一切實(shí)數(shù)，都知道了，那么對(duì)取值于一切有限，無(wú)限的開(kāi)，閉，半開(kāi)，半閉區(qū)間內(nèi)的概率也能用概率的性質(zhì)計(jì)算出來(lái)。定義2設(shè)為隨機(jī)變量，對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，令,，(2.1）稱(chēng)為隨機(jī)變量的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)分布函數(shù),記為.就是說(shuō),隨機(jī)變量的分布函數(shù)在隨意實(shí)數(shù)處的值等于在區(qū)間內(nèi)取值的概率.例如“2015年某省高考的全體考生”，表示考生的總分?jǐn)?shù)，制定錄取線(xiàn)，報(bào)志愿時(shí)我們需要知道分?jǐn)?shù)分布情況。倘若是考前報(bào)志愿，預(yù)測(cè)的分?jǐn)?shù)分布情況就更重要了。如何決定隨機(jī)變量的分布函數(shù)是概率論的主要問(wèn)題，為此先研究分布函數(shù)的性質(zhì)。分布函數(shù)是定義于實(shí)數(shù)軸上的實(shí)函數(shù).分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：,(1)取值范圍:；（2）單調(diào)不減,對(duì)于,有;(因?yàn)?)，（3）,;事實(shí)上，顯然存在，記，則有，，；顯然，存在，記，則有，，。（4）右延續(xù),對(duì)一切實(shí)數(shù).(記號(hào):右極限)事實(shí)上，顯然存在，記，則有，，于是。反之，若定義在上的實(shí)函數(shù)，若滿(mǎn)意以上條件,則一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。分布函數(shù)還具有下列一些性質(zhì):（5）對(duì)隨意實(shí)數(shù),,(2.2)事實(shí)上,;(6),(2.3),.其中左極限.分布函數(shù)舉例例1投擲一顆勻稱(chēng)的骰子,記錄其浮上的點(diǎn)數(shù).令,則是一個(gè)隨機(jī)變量.求的分布函數(shù).解只可能取0、1兩個(gè)值,且按照題意,,,,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,,于是得到隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.例2已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,決定常數(shù);求和.解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì),得,,所以,;(2),.例3某人打靶,圓靶半徑為1m.設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤(pán)的概率與該圓靶的面積成正比.以表示彈著點(diǎn)至靶心的距離,試求機(jī)變量的分布函數(shù).解按照題意,可能取[0,1]上的任何實(shí)數(shù).,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,為了決定常數(shù),在中,令,得;又由題設(shè)知是必然事件,故;當(dāng)時(shí),是必然事件,故,總上所述,即得的分布函數(shù)為.顯然,是一個(gè)延續(xù)函數(shù).當(dāng)分布函數(shù)在點(diǎn)處延續(xù)時(shí),,即,從而有,由上面例題的實(shí)際情況,是有可能發(fā)生的().這一事實(shí)告訴我們,,未必有.隨機(jī)變量按其取值不同,可分為離散型隨機(jī)變量和延續(xù)型隨機(jī)變量及其它類(lèi)隨機(jī)變量.我們只研究離散型隨機(jī)變量與延續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散隨機(jī)變量的定義如下：定義3若隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)值:,則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。()取各個(gè)可能值的概率,稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量概率分布(或分布律,或分布列).離散型隨機(jī)變量例子例如,從一批產(chǎn)品中抽取件,抽到的次品數(shù)只能取有限個(gè)可能值;對(duì)目標(biāo)舉行射擊,直到擊中目標(biāo)為止,記為所需射擊次數(shù),只能取可列個(gè)可能值,若每次擊中目標(biāo)的概率為,則,是離散型隨機(jī)變量的分布律.離散型隨機(jī)變量的分布律的表示主意:(1)公式法,(2)列表法或矩陣法.,…………或用矩陣表示.離散型隨機(jī)變量的分布律具有下列基本性質(zhì)：(1),;(2),事實(shí)上,因?yàn)槭请S機(jī)變量的所有可能取值,是定義在上,所以,且是互不相容的,利用概率的可加性即有.上式中，當(dāng)取得有限個(gè)可能值時(shí)，表示有限項(xiàng)的和；當(dāng)取得可列無(wú)窮多個(gè)可能值時(shí)，表示收斂級(jí)數(shù)的和.反之，可以證實(shí),隨意一個(gè)具有（1）和(2)兩條性質(zhì)的一串?dāng)?shù)一定是某一個(gè)隨機(jī)變量的分布律。分布律和分布函數(shù)可互相決定的主意如下:定理設(shè)為離散型隨機(jī)變量，具有分布律則(1)的分布函數(shù);(事實(shí)上,)對(duì)隨意區(qū)間,有;從分布函數(shù),可以決定分布律,.由此可見(jiàn),離散型隨機(jī)變量的分布律不但具有分布函數(shù)的相同作用,而且它比分布函數(shù)更直接且簡(jiǎn)便地描述了隨機(jī)變量的取值邏輯.所以,今后我們用分布律來(lái)描述離散型隨機(jī)變量的取值邏輯.例1袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從其中隨意取出一個(gè)球，看見(jiàn)其色彩后放回，再?gòu)闹须S意取一球，直至取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布。解隨機(jī)變量可能取的值為:1,2,…,設(shè)第次取球時(shí)得白球,,,按照題意,事件表示“前次取出的球都是黑球，第次才取出白球”；倘若每次取出的球總是黑球，那么無(wú)限次的取球，所以的可能值是一切正整數(shù)，即＝1,2,3,…,n,…,各次取球?qū)嶒?yàn)互相自立,所以的分布律,(=1,2,3,…)例2將3個(gè)有區(qū)別的球隨機(jī)地逐個(gè)放入編號(hào)為1，2，3，4的四只盒中（每盒容納球的個(gè)數(shù)不限）。設(shè)為有球的盒子的最大號(hào)碼，試求：（1）隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)；（2）。解（1）按照題意知，隨機(jī)變量可能取的值為：1，2，3，4；且；；；，即隨機(jī)變量的分布律為1234的分布函數(shù)為（2）.例3將紅、白、黑三只球隨機(jī)地逐個(gè)放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒內(nèi)（每盒容納球的個(gè)數(shù)不限），以表示有球盒子的最小號(hào)碼，求隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù).解按照題意知，隨機(jī)變量可能取的值為：1，2，3;,,,即隨機(jī)變量的分布律為123的分布函數(shù)為