概率與統(tǒng)計-2021年高考數學（理）大題精做

精做03概率與統(tǒng)計

一、概率

（一）古典概型

[例1]1.（2021?江西上饒市?高三一模（理））上饒市正在創(chuàng)建全國文明城市，我們簡稱創(chuàng)文.

全國文明城市是極具價值的無形資產和重要城市品牌.創(chuàng)文期間，將有創(chuàng)文檢查人員到學校隨機找

學生進行提問，被提問者之間回答問題相互獨立、互不影響.對每位學生提問時，創(chuàng)文檢查人員將

從規(guī)定的5個問題中隨機抽取2個問題進行提問.某日，創(chuàng)文檢查人員來到/校，隨機找了三名同

學甲、乙、丙進行提問，其中甲只能答對這規(guī)定5個問題中的3個，乙能答對其中的4個，而丙能

全部答對這5個問題.計一個問題答對加10分，答錯不扣分，最終三人得分相加，滿分60分，達

到50分以上（含50分）時該學校為優(yōu)秀.

（1）求甲、乙兩位同學共答對2個問題的概率;

（2）設隨機變量*表示甲、乙、丙三位同學共答對的問題總數，求X的分布列及數學期望，并

求出/校為優(yōu)秀的概率.

【詳解】

（1）記''甲、乙兩位同學共答對2題”為事件力,則

（C"10

（2）由題意可知隨機變量*的可能取值為3、4、5、6.

2

(C5)25

、，v3

P(X=4)=P(M)3

P(X=5)=

25

=9

P(X=6)=

(*

所以，隨機變量x的分布列如下表所示:

X3456

13129

P

25102550

隨機變量X的數學期望為

312924

E￥=3x—4x—+5x—+6x—=—

25+1025505

12Q33

力校為優(yōu)秀的概率夕（萬=5）+尸（丫=6）吟+巳畸

及對策略

利用古典概型求事件A的概率，關鍵是要分清基本事件總數〃與事件力包含的基本事件數

加如果基本事件的個數比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來,

然后再求出事件力中的基本事件數，利用公式=?求出事件4的概率，注意列舉時必

須按照某一順序做到不重不漏；如果基本事件個數比較多，列舉有一定困難時，也可借助

兩個計數原理及排列組合知識直接計算勿，n,再運用公式尸（用=?求概率.

2.對于復雜概率的計算一般要先設出事件，準確地確定事件的性質，常見的處理方法有：

①轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用間接法，先求事件力的對立事件n的概率，再由小用=1—0（可）求事件/的概率.

【對點訓練1】（2021?安徽安慶市?高三一模（理））某商超為慶祝店慶十周年，準備舉辦一次有

獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元，則可參加一次抽獎活動，主辦方設計了兩種抽獎方案：

方案①：一個不透明的盤子中裝有12個質地均勻且大小相同的小球，其中3個紅球，9個白球，

攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則獲

得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案②：一個不透明的盒子中裝有12個質地均勻且

大小相同的小球，其中3個紅球，9個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球

則顧客獲得100元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3

（1）現有一位顧客消費了420元，獲得一次抽獎機會，試求這位顧客獲得180元返金券的概率；

（2）如果某顧客獲得一次抽獎機會.那么他選擇哪種方案更劃算.

【詳解】

（1）在一次抽獎機會的情況下，要想獲得180元返金券，只能選擇方案一，且摸到兩次紅球，一

次白球，而每一次摸到紅球的概率為P=3=1.

124

設“這位顧客獲得180元返金券”為事件A,則P(/)=G翡)9

64

故這位顧客均獲得180元返金券的概率二.

64

(2)若選擇抽獎方案①，則每一次摸到紅球的概率為工1，每一次摸到白球的概率為士3.設獲得返

44

金券金額為X元，則才可能的取值為60,120,180,240.

小=儂)囑吟,3240)=0'*.

所以選擇抽獎方案①，該顧客獲得返金券金額的數學期望為

27279I_

E(A,)=60x—+J20x—+180x—+240x—=105阮)

64646464

若選擇抽獎方案②，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數為K,最終獲得返金券的金額為Z元,

則丫?故E(Y)=3x；=：.

選擇方案②，該顧客獲得返金券金額的數學期望為E(Z)=E(1OOY)=IOOX3=75(元)

4

從而有E(X)>￡(Z),所以應選擇方案①更劃算.

(二)相互獨立事件的概率

[例2](2021?全國高三其他模擬)受新冠肺炎疫情的影響，2020年一些企業(yè)改變了針對應屆畢

業(yè)生的校園招聘方式,將線下招聘改為線上招聘.某世界五百強企業(yè)M的線上招聘方式分資料初審

、筆試、面試這三個環(huán)節(jié)進行，資料初審通過后才能進行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格

后便正式錄取，且這幾個環(huán)節(jié)能否通過相互獨立.現有甲、乙、丙三名大學生報名參加了企業(yè)M的線

上招聘，并均已通過了資料初審環(huán)節(jié).假設甲通過筆試、面試的概率分別為工，1:乙通過筆試、

23

面試的概事分別為2,丙通過筆試、面試的概率與乙相同.

32

(1)求甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)A/正式錄取的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)時正式錄取的概率；

(3)為鼓勵優(yōu)秀大學生積極參與企業(yè)的招聘工作，企業(yè)M決定給報名參加應聘且通過資料初審的

大學生一定的補貼，補貼標準如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補貼（元）100200

記甲、乙、丙三人獲得的所有補貼之和為X元，求X的分布列和數學期望.

【詳解】

（1）設事件才表示“甲被企業(yè)A/正式錄取”，事件8表示“乙被企業(yè)村正式錄取”，事件。表

示“丙被企業(yè)A/正式錄取”，

則尸（/0=!x：=!’p（fl）=p（c）=|xi=i,

所以甲、乙、丙三人中恰有一人被企業(yè)〃正式錄取的概率

=P（ABC+ABC+ABC）=P（y4）P（5）P（C）+P{A}P（B）-P（C）+P（1）P（5）P（C）

卜2"U卜遇?

（2）設事件。表示“甲、乙、丙三人都沒有被企業(yè)“正式錄取”,

則P（0=P（啊=明咽喉）=捫舁

所以甲、乙、丙三人中至少有一人被企業(yè)M正式錄取的概率4=1-P（D）=1-^27

"27,

(3)%的所有可能取值為300,500,700,900,

P(X=3OO)=-x-x-=—,

、723318

P(X=500)=-x—x-+2x-x-x—=—

iJ23323318

I211224

P(X=700)=2x-x二x-+—x二x—=一,

'2332339

、1222

P(X=900)=-x—x—=—.

2339

所以X的分布列為

X300500700900

1542

P

18IS99

￡(X)=3(M)x^+5420000

5OOx—+700X-4-900X-=--

18993

反對策略

（1）對于復雜概率的計算一般要先設出事件，準確地確定事件的性質，把問題化歸為古典

概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種；其次判斷事件是A+B

還是力8事件，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式；

最后選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率

公式求解.

（2）較為復雜的概率問題的處理方法有：

①轉化為幾個互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；

②采用間接法，先求事件力的對立事件,的概率，再由產（4）=1—以可）求事件/的概率.

⑶條件概率的求法

①利用定義，分別求出人力），得以血4）=與等；

⑵借助古典概型概率公式，先求事件力包含的基本事件數〃（⑷，再在事件/發(fā)生的條件下

求事件6包含的基本事件數成A步,即P{B\A）=〃（"）.

n\A）

③為了求一些復雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個（或若干個）互斥事件的和,

利用公式尸（6UC|4）=P（8啰+狄。⑷進行計算，其中6,C互斥.

⑷理解事件中常見詞語的含義：

①46中至少有一個發(fā)生的事件為/U6；

②/,6都發(fā)生的事件為/6；

③46都不發(fā)生的事件為商；

④46恰有一個發(fā)生的事件為4萬U78；

⑤46至多一個發(fā)生的事件為而彳豆

【對點訓練2】（2021?內蒙古包頭市?高三期末（理））某公司向市場投放三種新型產品，經調查

發(fā)現第一種產品受歡迎的概率為士，第二、第三種產品受歡迎的概率分別為P，q（p>q），且不

同種產品是否受歡迎相互獨立，記S為公司向市場投放三種新型產品受歡迎的數量，其分布列為:

40123

1

Pab

205

（1）求該公司至少有一種產品受歡迎的概率;

（2）求P,i/的值；

（3）求數學期望￡傳）.

【詳解】

(1)設事件4表示“該公司第i種產品受歡迎"，/=!，2,3.

由題意可知p(4)=。，P(4)=P，=

4

由于事件“該公司至少有一種產品受歡迎”與事件“《=()”是對立的，所以該公司至少有一種產

,、1io

品受歡迎的概率是

(2)由題意可知,尸(<=0)=P(444)=；(l-〃=

.、3

且尸（f=3）=P（444）=]pq=w，

43

41622

所以整理得，pq唾,且p+q=f,結合〃＞夕解得p=j,q=g

（3）由題意可知，。=?（歲=1）=「（4不4）+「（彳4彳）+?（而43）

3,一I,、1,

=7（"戶）（1-9）+7。（1-9）+7。一09

444

313123112

=-X—X—+—X—X—+—X—X—

435435435

17

=--，

60

6==2)=1-=0)-P傳=1)-產償=3)

.117I

20605

7

=--，

15

因此，E6=0xP(g=0)+lxP(S=l)+2xP(S=2)+3xP(J=3)

八，17、7,I

=0+lx—+2x—+3x—

60155

=-1-0--9.

60

二、隨機變量的分布列、期望與方差

(一)隨機變量的分布列

【例3】(2021?遼寧高三一模(理))據調查，目前對于已經近視的小學生，有兩種配戴眼鏡的選

擇，一種是佩戴傳統(tǒng)的框架眼鏡；另一種是佩戴角膜塑形鏡，這種眼鏡是晚上睡覺時佩戴的一種特

殊的隱形眼鏡(因其在一定程度上可以減緩近視的發(fā)展速度越來越多的小學生家長選擇角膜塑形鏡

控制孩子的近視發(fā)展)，A市從該地區(qū)小學生中隨機抽取容量為100的樣本，其中因近視佩戴眼鏡

的有24人(其中佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生).

(1)若從樣本中選一位學生，已知這位小學生戴眼鏡，那么，他戴的是角膜塑形鏡的概率是多大？

(2)從這8名戴角膜塑形鏡的學生中，選出3個人，求其中男生人數X的分布列；

(3)若將樣本的頻率當做估計總體的概率，請問，從A市的小學生中，隨機選出20位小學生，求

佩戴角膜塑形鏡的人數丫的期望和方差.

【詳解】

解：(1)根據題中樣本數據，設“這位小學生佩戴眼鏡”為事件4則。(/)=2±=0.24,

100

“這位小學生佩戴的眼鏡是角膜塑形鏡”為事件8,則“這位小學生佩戴眼鏡，且眼鏡是角膜塑形

鏡”為事件，WJP(AB)=—=0.08,

故所求的概率為：。(8|4)=￡四=2"=1,

P(A)0.243

所以從樣本中選一位學生，已知這位小學生戴眼鏡，則他戴的是角膜塑形鏡的概率是!；

3

(2)依題意，佩戴角膜塑形鏡的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故從中抽3人，男生人數

才的所有可能取值分別為0,1,2,

6x5x4

其中：p(x=o)=^i=-；

'>c；8x7x65614

6

,6x_5

P(%=|)=C^=iL2_=30=15

I)C；8x7x65628

6

叱c、CjC'663

''Cg8x7x65628-

6

所以男生人數X的分布列為:

X012

5153

P

142828

(3)由已知可得：y?8(20,0.08)

則：E(y)=/jxp=20x0.08=1.6,。⑺=印(1-0)=20x0.08x0.92=1.472

所以佩戴角膜塑形鏡的人數丫的期望是1.6,方差是1.472.

反對策略

(1)求解隨機變量分布列的基本步驟如下：

①明確隨機變量的可能取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；

②求出每一個隨機變量取值的概率；

③列成表格，對于抽樣問題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由排列、組合

數公式求隨機變量在不同取值下的概率，放回抽樣由分步乘法計數原理求隨機變量在不同取值下的

概率.

⑵獨立重復試驗是指在相同條件下可重復進行的、各次之間相互獨立的一種試驗，在這

種試驗中每一次試驗只有兩種結果，即要么發(fā)生、要么不發(fā)生，且任何一次試驗中事件發(fā)

生的概率都是一樣的.在相同條件下重復做的〃次試驗稱為〃次獨立重復試驗，若4(7=1,

2,…，力是第7次試驗的結果，則。(44…4)=2(4)夕⑷…夕(4).

(3)二項分布是概率論中最重要的幾種分布之一，在實際應用和理論分析中都有重要的地位.

①判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與不

發(fā)生二者必居其一；其二是重復性，即試驗是獨立重復地進行了〃次.

②對于二項分布，如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是0,那么在〃次獨立重復試驗中這個事件

恰好發(fā)生4次的概率是=其中4=0,1,…，n,q=l-p.

隨機變量才服從二項分布，記為「庾)，p).E(X)=叩,D(X)=np("p).

(4)在含有財件次品的N件產品中，任取A件，其中恰有4件次品，則事件｛才=4｝發(fā)生的

概率為2(才=幻=羋骯乂4=0,1,2,…，m,其中m=加〃｛必，n\,且恒N,n,

M,NGN,稱分布列為超幾何分布列.記為材，A).此時有E(X)=等.超幾何分

布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是:

①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數

才的概率分布，超兒何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是

古典概型.

【對點訓練3]（2021?陜西榆林市?高三二模（理））2020年底某網購公司為了解會員對售后服

務（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從2020年下半年的會員中隨機調查了20個會員，得

到會員對售后服務滿意度評分的雷達圖如圖所示.規(guī)定評分不低于80分為滿意，否則為不滿意.

（1）求這20個會員對售后服務滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為所有會員對該公司售后服務滿意的概率，假設每個會員的評價結果相互

獨立，現從下半年的所有會員中隨機選取3個會員.

（7）求只有1個會員對售后服務不滿意的概率；

（7/）記這3個會員中對售后服務滿意的會員的個數為X，求X的數學期望與標準差（標準差的

結果精確到0.1）.

【詳解】

（1）由雷達圖可知，這20個會員對售后服務滿意的頻率為匕=0.7；

20

（2）（7）設只有1個會員對售后服務不滿意的事件A，則P（J）=C>0.3X0.72=0.44I；

（H）因為X?8（3,0.7）,所以E￥=3x0.7=2.l，￡>X=3x0.7x0.3=0.63，757^0.8.

（二）期望與方差的應用

【例4】（2020?江西吉安市?高三其他模擬（理））面對環(huán)境污染，黨和政府高度重視，各級環(huán)保

部門制定了嚴格措施治理污染，同時宣傳部門加大保護環(huán)境的宣傳力度，因此綠色低碳出行越來越

成為市民的共識，為此吉安市在吉州區(qū)建立了公共自行車服務系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共

自行車服務中心辦理誠信借車卡，初次辦卡時卡內預先贈送20分，當誠信積分為。時，借車卡自

動鎖定，限制借車，用戶應持卡到公共自行車服務中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為

了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每

車每次的租用時間進行扣分繳費，具體扣分標準如下：①租用時間不超過1小時，免費；②租用時

間為1小時以上且不超過2小時，扣1分；③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分；④

租用時間為3小時以上且不超過4小時，扣3分；⑤租車時間超過4小時除扣3分外，超出時間按

每小時扣2分收費(不足1小時的部分按1小時計算).甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，

且兩人租車時間都不會超過4小時，設甲、乙租用時間不超過一小時的概率分別是0.4，0.3；租

用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.4，0.5;租用時間為2小時以上且不超過3

小時的概率分別是0.1，0.1.

(1)求甲比乙所扣積分多的概率；

(2)設甲、乙兩人所扣積分之和為隨機變量《，求4的分布列和數學期望.

【詳解】

解：(1)根據題意，分別記“甲扣分為0分、1分、2分、3分”為事件4,4，A.,

它們彼此互斥，且尸(4)=04尸(4)=04,P(4)=O.I,P(4)=O.I,

分別記“乙扣分為0分、1分、2分、3分”為事件用，B2,B、,冬，

它們彼此互斥,且P(8j=0.3,P⑻=0.5,P(居)=0.1,P(8j=0.l,

由題知，事件4,4,人與事件4，B2,B、,當相互獨立，

記甲比乙所扣積分多為事件A4,

貝A/=A2B1+AyBf++A4Bt++A4By,

所以P(M)=P(4)P⑻+P(4)P(8J+P(A)P(8J+P(4)P聞

+P⑷p(孫p⑷p⑻

=0.4x0.3+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.3+0.1x0.5+0.1x0.1=0.29.

(2)根據題f的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,則

=0)=0.4x03=0.12,

P(J=I)=0.4x0.5+0.4x03=0.32,

P(^=2)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.5=0.27,

P?=3)=0.4x0.1+03x0.1+0.4x0.14-0.5x0.1=0.16,

P(^=4)=0.4x0.1+0.5x0.1+0.1x0.1=0.1,

P(^=5)=0.1x0.1+0.1x0.1=0.02,

P(^=6)=0.1x0.1=0.01.

所以4的分布列為：

0123456

P0.120.320.270.160.10.020.01

《的數學期望￡(3=0x0.12+1x0.32+2x0.27+3x0.16+4x0.1+5x0.02+6x0.01=1.9.

反對策略

（1）。（出表示隨機變量乃對￡0）的平均偏離程度，。（心越大表明平均偏離程度越大，說明

才的取值越分散；反之，越小，￥的取值越集中在以及附近，統(tǒng)計中常用亞■函■來

描述乃的分散程度.

（2）隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均

值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產實際中用于方案取舍的重要的理

論依據，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.

【對點訓練4】（2021?寧夏吳忠市?高三一模（理））某班級以“評分的方式”鼓勵同學們以騎自

行車或步行方式“綠色出行”，培養(yǎng)學生的環(huán)保意識.“十一黃金周”期間，組織學生去小6兩

地游玩，因目的地/地近，6地遠，特制定方案如下：

目的地A地目的地B地

綠色出行非綠色出行綠色出行非綠色出行

出行方式出行方式

321

概率概率

4433

得分10得分10

若甲同學去/地玩，乙、丙同學去5地玩，選擇出行方式相互獨立.

（1）求恰有一名同學選擇“綠色出行”方式的概率；

（2）求三名同學總得分X的分布列及數學期望

【詳解】

(1)恰有一名同學選擇綠色出行方式的概率

P=消+沁-總

(2)根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3,根據事件的獨立性和互斥性得:

P(X=0)=--x-x-=——

43336

433423336

3?II24

P(X=2)=-xC\x-x-+-x

4-334

P(X=3)='3x±2x±2=±1

4333

故X的分布列為：

X0123

174

P

363693

所以E￥=0x-!-+l」+2x±+3△衛(wèi)

36369312

三、正態(tài)分布

[例5](2021?廣東韶關市?高三一模)在一次大范圍的隨機知識問卷調查中，通過隨機抽樣,

得到參加問卷調查的100人的得分統(tǒng)計結果如下表所示:

得分[30,40)(40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數213212524114

(1)由頻數分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分g~N(〃J96),4近似為這100人得分

的平均值(同一組中的數據用該組區(qū)間的左端點值作代表).

①求4的值;

②若P(4>2a-5)=P(g<4+3),求a的值；

(2)在(1)的條件下，為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費;

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額（單位：元）2050

3

概率

44

現有市民甲參加此次問卷調查，記x（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布

列與數學期望.

【詳解】

也"/I、30x2+40x13+50x214-60x25-1-70x244-80x11+90x4_

解：(1)①由題意得：--------------------------------------------------------=60.5，

100

〃=60.5，

②?.?P(S>2a-5)=P(J<a+3),

.?.由正態(tài)分布曲線的對稱性得，（2"5）+（'+3）=605,

2

解得。=41；

（2）由題意得，P（Z<//）=P（Z>//）=->即獲贈1次和2次隨機話費的概率均為:，

故獲贈話費的X的所有可能取值為20,40,50,70,100

P(%=20)=1x|=|,

1339

P(X=40)=-x-xr-

P(%=50)=1xl=l,

…11313163

P(X=70)=-x-x—+-x—x—=—=—

72442443216

F(X=100)=-x—x—=—.

''24432

.?.X的分布列為：

X20405070100

3931

P

832S記32

39131330“一一

儀町=20x-+40x—+50x-+70x—+100x—=——=41.25X.

832816328

所以X數學期望為41.25元.

應對策暗

(1)正態(tài)曲線的性質特點可用來求其數學期望〃和標準差。：正態(tài)曲線是單峰的，它關于

直線X=〃對稱，據此結合圖象可求〃；正態(tài)曲線在X=U處達到峰值志，據此結合圖

象可求

(2)能熟練應用正態(tài)曲線的對稱性解題，并注意以下幾點：

正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1；正態(tài)曲線關于直線x=〃對稱，從而在關于x=〃對稱

的區(qū)間上概率相等；

幾個常用公式：①P(*a)=l—P(JNa)；②h/〃-a)=P(4〃+a)(即第(2)條)；

③若力o,則尸("〃_/>)=|一.(廠丁”).

(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內取值的概率

①夕(〃一?！措蕖?。)=0.6826；

②。(〃一2。<啟〃+2。)=0.9544；

③。(〃一3。<啟〃+3。)=0.9974.

可以看到，正態(tài)總體幾乎總取值于區(qū)間(〃一3。，〃+3。)之內.而在此區(qū)間以外取值的

概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.在實際應用中，通

常認為服從于正態(tài)分布M4，。與的隨機變量才只取(〃一3。，〃+3。)之間的值，并簡

稱之為3c原則.

【對點訓練5](2021?江蘇鹽城市?高三一模)某市為創(chuàng)建全國文明城市，市文明辦舉辦了一次

文明知識網絡競賽，全市市民均有且只有一次參賽機會，滿分為100分，得分大于等于80分的為

優(yōu)秀.競賽結束后，隨機抽取了參賽中100人的得分為樣本，統(tǒng)計得到樣本平均數為71,方差為81.

假設該市有10萬人參加了該競賽活動，得分Z服從正態(tài)分布N(7I,81).

(1)估計該市這次競賽活動得分優(yōu)秀者的人數是多少萬人？

(2)該市文明辦為調動市民參加競賽的積極性，制定了如下獎勵方案：所有參加競賽活動者，均

可參加“抽獎贏電話費”活動，競賽得分優(yōu)秀者可抽獎兩次，其余參加者抽獎一次.抽獎者點擊抽

獎按鈕，即隨機產生一個兩位數(10,11,99),若產生的兩位數的數字相同，則可獎勵40

元電話費，否則獎勵10元電話費.假設參加競賽活動的所有人均參加了抽獎活動，估計這次活動獎

勵的電話費總額為多少萬元？

參考數據：若Z?則P(〃-CT<Z+0.68.

【詳解】

(1)因得分Z?N(71,81),所以標準差s=9,所以優(yōu)秀者得分Z2〃?+s，

由P(m-s<Z<m+s)=s0.68得，P(Z2，〃+.s)=0.16，

因此，估計這次參加競賽活動得分優(yōu)秀者的人數為10x0.16=1.6(萬人).

(2)設抽獎一次獲得的話費為才元，

919

則P(X=40)=4=」~,P(X=10)=4，

901010

19

所以抽獎一次獲得電話費的期望值為歷

又由于10萬人均參加抽獎，且優(yōu)秀者參加兩次,

所以抽獎總次數為10+10X0.16=11.6萬次，

因此，估計這次活動所需電話費為11.6x13=150.8萬元.

四、用樣本估計總體

[例6](2021?南京市中華中學高三期末)為降低工廠廢氣排放量，某廠生產甲、乙兩種不同型

號的減排器，現分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況

的頻率分布直方圖如圖所示:

甲型號減排器乙33號減排器

減排器等級及利潤率如下表，其中

98

綜合得分A的范圍減排器等級減排器利潤率

A285一級品a

75a<85二級品5/

70￡*<75三級品a2

(1)若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產品中隨機抽

取4件，求至少有2件一級品的概率；

(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則:

①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數J的分布列及數學期望)；

②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？

【詳解】

(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

甲型號減排器中的一級品的概率為0.08x5+0.04x5=0.6，

分層抽樣的方法抽取10件，

則抽取一級品為10x0.6=6(件)

則至少有2件一級品的概率，

42'

(2)①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

乙型號減排器中一級品的概率為‘

10

二級品的概率—1

4

三級品的概率為

20

若從乙型號減排器隨機抽取3件，

則二級品數4所有可能的取值為0,2,3,且J?8(3.1)，

4

-V削『吟.

弦=2)=喏)&)*，

所以g的分布列為

/0123

272791

P

646464

所以數學期望:

2727913

E(^)=Ox—+lx—+2x—+3x

64646464~4

②由題意知，甲型號減排器的利潤的平均值:

￡=0.6。+0.4x5a2=2a'+0.6。；

乙型號減排器的利潤的平均值:

則4<￡”

所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大.

應對策略

(1)解決頻率分布直方圖問題時要抓住：

①直方圖中各小長方形的面積之和為1.

②直方圖中縱軸表示招卷，故每組樣本的頻率為組距x慧，即矩形的面積.

組距組距

③直方圖中每組樣本的頻數為頻率X總體數.

(2)樣本的數字特征

①眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數.頻率分布直方圖中

最高的小矩形底邊中點橫坐標即是眾數；

②中位數：把〃個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據叫做這組數據的中位

數.頻率分布直方圖中中位數的左邊和右邊小長方形面積之和相等；

③平均數：把s+s+…稱為)電，…，這〃個數的平均數.頻率分布直方圖中平均數是

n

頻率分布直方圖的重心，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐

標之和.

④標準差與方差：設一組數據如如…，篩的平均數為X,則這組數據的標準差和方

差分別是

S=y%（X|-X）2+（X2—X）2+...+（X"-X）2］

s2=k（%i—T）~+（A-2—T）2H—F（為一

【對點訓練6］（2021?湖南永州市?高三二模）為快速控制新冠病毒的傳播，全球多家公司進行

新冠疫苗的研發(fā).某生物技術公司研制出一種新冠滅活疫苗，為了檢測其質量指標，從中抽取了100

支該疫苗樣本，經統(tǒng)計質量指標得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求所抽取的樣本平均數x（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）;

（2）將頻率視為概率，若某家庭購買4支該疫苗，記這4支疫苗的質量指標值位于（10,30］內的

支數為X，求X的分布列和數學期望.

【詳解】

解：（1）根據頻率分布直方圖可得各組的頻率為：

（0,10］的頻率為：0.010x10=0.1；（0,20］的頻率為：0.020x10=0.2；

（20,30］的頻率為：0.030x10=0.3；（30,40］的頻率:0.025x10=0.25；

（40,50］的頻率為：（）.015x10=0.15,

x=5x0.l+15x0.2+25x0.3+35x0.25+45x0.15=26.5-

（2）根據題意得每支滅活疫苗的質量指標值位于（10,30］內的概率為0.2+0.3=0,5，

所以X?X的可能取值為：0,1,2,3,4,

p(X=0)=C：［j

4

P(X=2)=C；(；)彳，P(X=3)=C：0=；，

…二唱出

???x的分布列為：

X01234

1\_3\_1

p

164s416

???E(X)=Ox—+lxl+2x-+3xl+4x—=2.

1648416

四、統(tǒng)計案例

（一）回歸分析

【例71（2021?四川成都市?石室中學高三月考（理））某房產中介公司對2018年成都市前幾個

月的二手房成交量進行統(tǒng)計，表示2018年X月該中介公司的二手房成交量，得到統(tǒng)計表格如下：

x.12345678

1214202224202630

yt

（1）通過散點圖初步分析可用線性回歸模型擬合y與X的關系，請用相關系數加以說明；（計算結

果精確到O01）;

（2）該房產中介為增加業(yè)績，決定針對二手房成交客戶開展抽獎活動，若抽中“一等獎”獲5千

元獎金；抽中“二等獎”獲3千元獎金；抽中“祝您平安”，則沒有獎金.已知一次抽獎活動中獲

得“一等獎”的概率為1,獲得“二等獎”的概率為_1,現有甲、乙兩個客戶參與抽獎活動，假

42

設他們是否中獎相互獨立，求此二人所獲獎金總額X（千元）的分布列及數學期望.

888

參考數據：fxj=850,X七2=204,￡始=3776,萬=4.58，75??5.57-

/?I/>1/?1

^x^-nxy

參考公式：相關系數1=

V/-I

【詳解】

（1）依題意：*=4.5，y=21，

8___

850-8x4.5x21

__

5204-8〉4.52J3776-8x2F

VV/■1

949494八

->/42x>/248-4x721xTJT_4x4.58x5.57

因為0.92非常趨近1,所以變量X,y線性相關性很強，可用線性回歸模型擬合y與X的關系.

(2)二人所獲獎金總額X的所有可能取值有0，3,5,6,8,10千元.

P(X=O)=-xl=—,P(X=3)=2xixi=l,P(X=5)=2XLLL

p(A,=6)=-xl=l,P(X=8)=2XL，=LP(%=IO)=lxl=—,

’224i’2441