北京昌平區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷附答案解析

北京昌平區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,5},3={2,3},那么A5=（）

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,2,3,5}D.{3}

一2i

2.復(fù)數(shù)-~；=（）

1+Z

A.1+1B.1-/C.iD.2

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（（）,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sinxB.y=^C.y-2~xD.y=In|x

4.（2+&y的展開式中常數(shù)項是（）

A.8B.16C.24D.32

5.拋物線丁2=4%上一點戶到其焦點的距離為5.則點尸的橫坐標(biāo)為（）

A.2B.3C.4D.5

函數(shù)/（x）=ln（x+l）-2的一個零點所在的區(qū)間是（）

6.

X

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為（）

C.472D.V41

8.已知aeR,則“。=1”是“函數(shù)/（x）=85?依―sir?辦的最小正周期為乃的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.已知直線.丫=丘+1與圓f-4x+y2=。相交于M,N兩點，且|MN|..26,那么實數(shù)力的取值范圍

是（）

i4d4

A.一4領(lǐng)Jt一一B.0掰：-C.&..0或"D.一一別：0

3333

10.斐波那契數(shù)列又稱“黃金分割數(shù)列”，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔

子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛風(fēng)｝可以用如下方法

定義：4=a,i+a,”2(〃-3,〃eN*),q=%=1.若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列｛勿｝,

則％21=()

A.1B.2C.3D.5

二、填空題

11.已知｛%｝是等差數(shù)列，若4=1,%=13,則q=.

12.已知向量a=(2,m)，2=(1,2),且。_16，則實數(shù)加=.

13.已知雙曲線乎-5=1(。>0)的離心率是，，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為.

14.高中學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6個科目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素,

任選3個科目構(gòu)成“選考科目組合”參加高考.已知某班37名學(xué)生關(guān)于選考科目的統(tǒng)計結(jié)果如下：

選考科目名稱物理化學(xué)生物歷史地理政治

選考該科人數(shù)24281415ab

下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論：①若。=19,則匕=11；②選考科目組合為“歷史+地理+政治”

的學(xué)生一定不超過9人；③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合；④選考科目組合為

“生物+歷史+地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的.其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、雙空題

(左、「乃5萬一

15.已知函數(shù)〃x)=sin(2x+0)(p<-，那么函數(shù)/(x)的最小正周期是___:若函數(shù)/(x)在

V2J1_26」

上具有單調(diào)性，且=葛)，則夕=.

四、解答題

16.如圖，在四棱錐尸―ABC。中，平面ABC。，ABUCD,AD1CD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

(I)求證：■平面PA。；(II)求二面角P—8C—A的余弦值.

2

17.在ABC中，b=7,c=5,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(I)Dfi的值；

(n)ABC的面積.

條件①：sin23=sin8；條件②：cos2B=cos8.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計

分.

18.智能體溫計由于測溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計應(yīng)用于日常體溫檢測.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫

計測溫結(jié)果與人體的真實體溫基本一致，而使用智能體溫計測量體溫可能會產(chǎn)生誤差.對同一人而言，如果用智

能體溫計與水銀體溫計測溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計“測溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計“測溫

失誤”.現(xiàn)在某社區(qū)隨機抽取了20人用兩種體溫計進行體溫檢測，數(shù)據(jù)如下：

智能體溫計水銀體溫計智能體溫計水銀體銀計

序號序號

測溫(°C)測溫(°C)測溫(°C)測溫(°C)

0136.636.61136.336.2

0236.636.51236.736.7

0336.536.71336.236.2

0436.536.51435.435.4

0536.536.41535.235.3

0636.436.41635.635.6

0736.236.21737.237.0

0836.336.41836.836.8

0936.536.51936.636.6

1036.336.42036.736.7

(I)試估計用智能體溫計測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率;

(n)從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計測量體溫，設(shè)隨機變量/為使用智能體溫計“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù),

求x的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(HD醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫在不低于37.3°C且不高于38"C時處于“低熱”狀態(tài).該社區(qū)某一天用智能

體溫計測溫的結(jié)果顯示,有3人的體溫都是37.3°C,能否由上表中的數(shù)據(jù)來認(rèn)定這3個人中至少有1人處于''低

熱”狀態(tài)？說明理由.

3

1,

19.己知函數(shù)/(x)ualnx+'d-(a+l)x+l.

(I)當(dāng)。=0時，求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程;

(H)若函數(shù)/0)在％=1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

r221

20.已知橢圓C:1+v4=1(。>8>0)的長軸長為4,且離心率為彳.

a~b-2

(I)求橢圓。的方程;

(H)設(shè)過點尸(1,0)且斜率為衣的直線/與橢圓。交于A3兩點，線段A3的垂直平分線交x軸于點判

M

斷|明是否為定值？如果是定值，請求出此定值：如果不是定值，請說明理由.

21.已知數(shù)列{q},從中選取第項、第，2項、…、第/；“項a<%<<")，若4；<為<<4,,,，則稱

新數(shù)列，氣，，%,為{%}的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項都是{a“}的長度為1的遞增

子列.

(I)寫出數(shù)列9,2,6,7,3,5,8的一個長度為4的遞增子列；

(H)設(shè)數(shù)列{4},%=〃,1軟力14.若數(shù)列{《,}的長度為p的遞增子列中，任意三項均不構(gòu)成等差數(shù)列，求

0的最大值；

(ID)設(shè)數(shù)列{%}為等比數(shù)列，公比為S項數(shù)為N(N..3).判定數(shù)列{4}是否存在長度為3的遞增子列：

1,16,81?若存在，求出川的最小值；若不存在，說明理由.

解析

北京昌平區(qū)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷

一、單選題

1.已知集合4={1,2,3,5},6={2,3},那么AB=()

A.{2,3}B.{1,5}C.{1,2,3,5}D.{3}

【答案】C

【分析】根據(jù)并集的定義直接求出即可.

A={1,2,3,5},8={2,3},.?.AU8={1,2,3,5}。故選：c.

4

A.1+iB.1-z

【答案】A

【分析】分子分母同時乘以分母的共輾第數(shù)，然后化簡.

故選：A

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=sinxB.y=xy=In|x|

【答案】B

【分析】根據(jù)解析式可直接判斷出奇偶性和單調(diào)性.

【詳解】對于A,y=sinx在（0,+8）有增有減，故A錯誤；

對于B,y=Y既是奇函數(shù)又在（。,+8）上單調(diào)遞增，故B正確；

對于C,丁=2一，不是奇函數(shù)，故C錯誤；

對于D,y=ln|x|是偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B.

4.（2+6）4的展開式中常數(shù)項是（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】B

【分析】求出展開式的通項，令x的指數(shù)為。即可求出.

【詳解】（2+6）4的展開式的通項為7旬=C；-24-r.^）

令：=0,即廠=0,則常數(shù)項為G>-24-X0=16.

故選：B.

5.拋物線y2=4x上一點尸到其焦點的距離為5.則點尸的橫坐標(biāo)為（

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線定義,即可求得點P的橫坐標(biāo).

【詳解】拋物線J=4x則準(zhǔn)線方程為x=—1

因為P到其焦點的距離為5,則到其準(zhǔn)線的距離也為5所以尸點的橫坐標(biāo)為4

故選:C

【點睛】本題考查了拋物線的定義及簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

5

6.函數(shù)/(x)=ln(x+l)—'的一個零點所在的區(qū)間是(

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【分析】根據(jù)零點存在性定理，計算出區(qū)間端點的函數(shù)值即可判斷；

【詳解】解：因為/(x)=ln(x+l)—,，在(0,+8)上是連續(xù)函數(shù)，且/'(x)=—!—+!>(),即/(x)在

XX"4~1X

(0,"。)上單調(diào)遞增，

/(l)=ln2-l<0,/(2)=ln3-1>0,.-./(1)-/(2)<0,

所以/(x)在(1,2)上存在一個零點.

故選：B.

【點睛】本題考查函數(shù)的零點的范圍，注意運用零點存在定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長棱的棱長為()

C.40D.V41

【答案】C

【分析】根據(jù)三視圖得到該幾何體是長方體相鄰三條棱構(gòu)成的一個三棱錐，然后分別求得其棱長比較即可.

【詳解】由三視圖可知：該幾何體是長方體相鄰三條棱構(gòu)成的一個三棱錐，如圖所示：

其中月比4,4Q3,4ZM,且AB_LAC,A8JLAQ,A。_LAC,

6

所以8。=4AB2+AD2=4&,BC=AB2+AC2=5,CD=\IAC2+AD2=5>

所以最長棱的棱長為4a，

故選：c

8.已知aeR,則“a=l”是“函數(shù)/(x)=cos2ar—sii?公的最小正周期為"”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】驗證“=1時函數(shù)/(x)=cos2ar-sin24r的最小正周期為"是否成立；驗證當(dāng)函數(shù)

/(x)=cos2ax—sii?奴的最小正周期為乃時，。=1是否成立；再結(jié)合充分必要條件定義判定.

【詳解】解：/(x)=cos2ar-sin2ar=cos2ax

當(dāng)a=l時，/(x)=sin2x的最小正周期為"，故充分性成立

當(dāng)函數(shù)/(x)=cos2ax的最小正周期為)時，

2乃

所以丁=7-=肛，4=±1,不能得出a=l,故必要性不成立，

12al

綜上：“a=1”是“函數(shù)/(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期為冗”的充分而不必要條件.

故選:A.

【點睛】充分條件、必要條件的三種判定方法：

(1)定義法：根據(jù)p=q，q=p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題；

(2)集合法：根據(jù)p，q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題；

(3)等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.

9.已知直線>=去+1與圓x2—4x+y2=0相交于M,N兩點，且|MN|..26，那么實數(shù)〃的取值范圍

是()

1444

A.—4領(lǐng)k—B.0領(lǐng)Jt—C.左..0或鼠—D.領(lǐng)Jt0

3333

【答案】D

【分析】利用弦長公式，建立關(guān)于火的不等式，直接求解.

【詳解】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)-+y2=4,圓心(2,0)到直線丁=去+1的距離d=

=>273,解得：—gwZWO.故選：D

10.斐波那契數(shù)列又稱“黃金分割數(shù)列”，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔

子數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛怎｝可以用如下方法

7

定義：a“=a?_,+an_2(〃..3,〃eN*),4=4=1.若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列他,｝,

則％21=()

A.1B.2C.3D.5

【答案】A

【分析】根據(jù)a,=a,-+4,-2(九.3,〃eN*),4=4=1,遞推得到數(shù)列｛q｝,然后再得到數(shù)列也｝是以6

為周期的周期數(shù)列求解.

【詳解】因為4=a,_I+a,_2(〃-3,〃€N*),q=a2=1,

所以數(shù)列｛4,｝為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列｛包｝為：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,0,-

是以6為周期的周期數(shù)列，所以％21=4x336+5=4=1，故選：A

二、填空題

11.已知｛%｝是等差數(shù)列，若4=1,%=13,則4=.

【答案】7

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，直接計算結(jié)果.

【詳解】q+。7=2。4，所以。4=,"=7.

故答案為：7

12.已知向量a=(2,，%)，。=(1,2),且4_1人，則實數(shù)〃?=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)a_Lb,由“2=0利用坐標(biāo)運算求解.

【詳解】因為向量a=(2,/%),b=(1,2),且a，

所以2x1+〃zx2=0,

解得m=-1,

故答案為：T

22c

13.已知雙曲線三-5=1(4>0)的離心率是：，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為.

【答案】(5,0)

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可求得實數(shù)。的值，由此可求得該雙曲線的右焦點坐標(biāo).

【詳解】由題意可知，該雙曲線的離心率為e=J"?=2,解得a=4,

Va14

8

丫22________

所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為上一上_=1,則。=&6+9=5,

169

因此，該雙曲線的右焦點坐標(biāo)為(5,0).

故答案為：(5,0).

14.高中學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6個科目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素,

任選3個科目構(gòu)成“選考科目組合”參加高考.已知某班37名學(xué)生關(guān)于選考科目的統(tǒng)計結(jié)果如下：

選考科目名稱物理化學(xué)生物歷史地理政治

選考該科人數(shù)24281415ab

下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論：①若。=19,則匕=11；②選考科目組合為“歷史+地理+政治”

的學(xué)生一定不超過9人；③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合；④選考科目組合為

“生物+歷史+地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【分析】①根據(jù)所有選的總數(shù)來確定匕即可；

②需要一定的推理能力，由化學(xué)人數(shù)有28人，來斷定選考科目組合為“歷史+地理+政治”的學(xué)生一定不超過9

人；

③五選二，可據(jù)組合知識求解；

④根據(jù)政治，地理人數(shù)都不確定，無法判斷結(jié)論.

【詳解】①所有學(xué)生選的科目總數(shù)為37x3=111,則-24-28-14-15=30,若。=19,則

b=n,故①對；

②選化學(xué)的學(xué)生有28人，37-28=9人，則選考科目組合為“歷史+地理+政治”的學(xué)生一定不超過9人，故

②對；

③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，學(xué)生還須選另外兩科，則從五種里面選兩種，共有或=10,最多出現(xiàn)10種不同

的選考科目組合，故③對；

④因為地理，政治人數(shù)不確定，選考科目組合為“生物+歷史+政治”的學(xué)生人數(shù)不一定比

選考科目組合為“生物+歷史+地理”的學(xué)生人數(shù)多.故④錯.

故答案為：①②③

【點睛】該題不僅考查了組合知識，還需要學(xué)生具備一定的常識和邏輯推理能力.

組合問題常有以下兩類題型變化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，

則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時，逆向思維，間接求解.

三、雙空題

15.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+0)[°＜，D，那么函數(shù)/(x)的最小正周期是:若函數(shù)/(X)在g,苧

9

上具有單調(diào)性，且了，則夕

71

【答案】"~3

【分析】(1)利用周期公式求解即可.

代入化簡可求出夕的正切值，寫出表達式，根據(jù)范圍確定夕的值.

【詳解】(1)T=—=7l

2

0)=_，淞停+9

(2)由了7T+利用誘導(dǎo)公式化簡可得

1^■cos。，/.tan(p——y/3

—sin9?=—sin(p——,展開得sine=_sine_

3)2

71

/.(p———+kjt(kwZ),又(p<—

2

2%

【點睛】求三角函數(shù)的解析式時，由啰=1F即可求出。；確定夕時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或

下降)的“零點”橫坐標(biāo)修,則令5；)+。=。或0^+0=")，即可求出勿，否則需要代入點的坐標(biāo)，利用

一些已知點的坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解出0和8,若對A(y的符號或?qū)οΦ姆秶幸螅瑒t可用

誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

四、解答題

16.如圖，在四棱錐產(chǎn)一A6C。中，尸。，平面A6CD,AB//CD,ADLCD,且

AD=CD=PD=2AB=2.

(I)求證：平面PAO；

(n)求二面角P-BC-A的余弦值.

2

【答案】(D證明見解析；(II)

3

【分析】(I)通過條件證明PO_LAB,AO，A3,再根據(jù)線面垂直的判定定理證明出AB，平面PA。；

10

(II)以04DC,DP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面PBC與平面ABC法向量夾角的余弦

值求解出二面角P-BC-A的余弦值.

【詳解】(I)因為PO_L平面ABCDABu平面ABC。，

所以A3.

因為A3//CO,ADVCD,

所以ADLAB.

因為POcAO=Q,

所以45_1_平面巳4￡).

(II)因為尸。，平面ABC。，AD±CD,

所以以。為原點，分別以D4,DC,DP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一肛z.

則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,l,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

所以依=(2,1,-2),BC=(-2,1,0).

設(shè)平面PBC的法向量為”=(x,y,z),

n-PB=0,2x+y-2z=0,z=lx,

即《所以《

M-BC=0,-2x+y=Q.y=2x.

令x=l，于是〃=(1,2,2).

因為POL平面ABC。，所以平面ABC的法向量為機=(0,0,1),所以cos<n,m>=

由題知二面角P-8C-A為銳角，所以其余弦值是2.

3

【點睛】思路點睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟：

(1)建立合適空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中相應(yīng)點的坐標(biāo)；

(2)設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個法向量；(注：若半平面為坐

標(biāo)平面，直接取法向量亦可)

11

(3)計算(2)中兩個法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是鈍角還是銳角，

從而得到二面角的余弦值.

17.在ABC中，b=7,c=5,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(I)DB的值；

(II)A3C的面積.

條件①：sin23=sin條件②：cos28=cosB.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計

分.

【答案】(I)答案見解析；(H)答案見解析.

【分析】(1)選擇條件①，化簡sin2B=sinB,得cosB=,，從而算得DB.

2

由余弦定理算得。，運用面積公式可算出ABC的面積.

(2)選擇條件②，化簡cos28=cosB得COS8=—L,從而算得￡)8.

一2

由余弦定理算得a,運用面積公式可算出A3C的面積.

【詳解】選擇條件①：

(I)因為sin28=sinB,

所以sinB(2cosB-l)=0,

因為0<3<?，所以sin3〉0.

所以cosB='.

2

71

所以8=一.

3

<II)由余弦定理尸=口2+。2-2accos8，

得72=a2+52-2xax5xcos—,

3

所以a2_5a_24=0.

解得a=8或。=一3(舍負(fù)).

所以a=8.

所以A3C的面積S=Lacsin5=10G.

2

選擇條件②：

(I)因為cos23=cos5,

所以2cos2B-cosB-l=0，

12

解得cos5=1或cosB=.

2

因為0<8〈萬，

所以cosB=

2

2萬

所以3=—.

3

（II）由余弦定理=/+/-2accosB，

、2乃

W72=6f2+52-2xax5xcos——,

3

所以。2+5。-24=0，

解得。=3或。=一8（舍負(fù)）.

所以。=3.

所以A3C的面積S=』acsin8="百.

24

【點睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次

式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用.解

決三角形問題時，注意角的限制范圍.

18.智能體溫計由于測溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計應(yīng)用于日常體溫檢測.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫

計測溫結(jié)果與人體的真實體溫基本一致，而使用智能體溫計測量體溫可能會產(chǎn)生誤差.對同一人而言，如果用智

能體溫計與水銀體溫計測溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計“測溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計“測溫

失誤”.現(xiàn)在某社區(qū)隨機抽取了20人用兩種體溫計進行體溫檢測，數(shù)據(jù)如下：

智能體溫計水銀體溫計智能體溫計水銀體銀計

序號序號

測溫（°C）測溫（C）測溫（°C）測溫（°C）

0136.636.61136.336.2

0236.636.51236.736.7

0336.536.71336.236.2

0436.536.51435.435.4

0536.536.41535.235.3

0636.436.41635.635.6

0736.236.21737.237.0

13

0836.336.41836.836.8

0936.536.51936.636.6

1036.336.42036.736.7

（I）試估計用智能體溫計測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率；

（II）從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計測量體溫，設(shè)隨機變量才為使用智能體溫計“測溫準(zhǔn)確”的人數(shù),

求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ID）醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫在不低于37.3°C且不高于38"C時處于“低熱”狀態(tài).該社區(qū)某一天用智能

體溫計測溫的結(jié)果顯示,有3人的體溫都是37.3°C，能否由上表中的數(shù)據(jù)來認(rèn)定這3個人中至少有1人處于“低

熱”狀態(tài)？說明理由.

39

【答案】（I）二；（II）分布列見解析，=；（IH）答案見解析.

【分析】（I）根據(jù)題意找出用智能體溫計與水銀體溫計測溫結(jié)果相同的序號，用其個數(shù)除以總個數(shù)；

（II）由題意可得X=0,1,2,3,且根據(jù)二項分布公式計算其概率并列出其分布列即可；

（III）根據(jù)表格找出高于其真實體溫的序號為02,05,11,17,共計4種情況由此估計用智能體溫計的測溫結(jié)果高

于其真實體溫的概率為g,計算其概率，根據(jù)概率分析.

【詳解】（I）表中20人的體溫數(shù)據(jù)中，用智能體溫計與水銀體溫計測溫結(jié)果相同的序號是

01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12種情況.

由此估計所求概率為F=一.

205

（II）隨機變量機的所有可能取值為X=0,1,2,3.

3

由（1）可知，用智能體溫計測量該社區(qū)1人“測溫準(zhǔn)確”的概率為

所以“x=o）=穹閆粉

pg）=c削曰=蔑

P（X=2）=咤冷

…Y聯(lián)用吟

所以才的分布列為

14

X0123

8365427

P

125125125125

故才的數(shù)學(xué)期望E(X)=Ox------1-lx---------l-2x-------1-3x------=-------=—

1251251251251255

(III)設(shè)這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)為事件N.

表中20人的體溫數(shù)據(jù)中，用智能體溫計的測溫結(jié)果，高于其真實體溫的序號為02,05,11,17,共計4種情況,

由此估計從社區(qū)任意抽查1人，用智能體溫計的測溫結(jié)果高于其真實體溫的概率為g.由此估計，這3人中至少

有1人處于“低熱”狀態(tài)的概率為P(N)=1

124

結(jié)論1：因為P(N)=茂，接近于1,由此可以認(rèn)定這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài).

結(jié)論2：因為P(N)=—<1,所以有可能這3人都不處于“低熱”狀態(tài).

125

【點睛】獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略：

(1)在求〃次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生女次的概率時，首先要確定好〃和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率;

(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗

次數(shù)〃和變量的概率，求得概率.

1,

19.已知函數(shù)/(x)="lnx+ex~

(I)當(dāng)。=0時，求曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程；

(II)若函數(shù)/(無)在％=1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(I)y=x-l；(II)a<\.

【分析】(1)當(dāng)。=0時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程：(II)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

f(x)=g+x_q_]=『二("+Dx+g=0時,西=1和％2=。，并討論a與0,1的大小關(guān)系，求實數(shù)a的

XX

取值范圍.

【詳解】(I)當(dāng)4=0時，-x+1.

所以''(x)=x—l,

所以左=/'(2)=1,

因為/(2)=/x22—2+1=1.

15

所以切線方程為y=x-i.

(II)函數(shù)，(幻的定義域為(0,+8).

1.

因為/(x)=aln工+萬%-(a+l)x+l

八、a.x2-(a+l)x+a

所以/(x)=—+x-a-l=--------------.

XX

令/'(x)=0，即x?—(a+l)x+a=O，解得％=1或%=。.

(1)當(dāng)4,0時，當(dāng)不變化時，r(x),/(x)的變化狀態(tài)如下表:

X(0,1)1(L+0O)

/(X)——0+

f(x)極小值

所以當(dāng)％=1時，/(x)取得極小值.

所以成立.

(2)當(dāng)0＜。＜1時，當(dāng)x變化時，/'(x),/(x)的變化狀態(tài)如下表:

X(0,a)a(?,1)1(l,+°o)

f(x)+0—0+

fM極大值極小值

所以當(dāng)x=l時，取得極小值.

所以0＜。＜1成立.

(3)當(dāng)。=1時，/(x)..O在(0,+8)上恒成立，

所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，沒有板小值，不成立.

(4)當(dāng)。＞1時，當(dāng)x變化時，/'(x)J(x)的變化狀態(tài)如下表:

X(0,1)1(1,?)a(a,+co)

/U)+0—0+

f(x)極大值極小值

所以當(dāng)％=1時，/(X)取得極大值.

16

所以a>1不成立.

綜上所述，a<l.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)極值點求。的取值范圍，本題容易求出導(dǎo)函數(shù)的零點1和a,但需討論。的

范圍，這是易錯的地方，容易討論不全面，需注意.

x2y21

20.己知橢圓C：W+4=l（a>%>0）的長軸長為4,且離心率為萬.

（I）求橢圓。的方程;

（II）設(shè)過點尸（1,0）且斜率為A的直線/與橢圓。交于A8兩點，線段AB的垂直平分線交X軸于點4判

斷是否為定值？如果是定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.

【答案】（I）二+工=1；（II）是，4.

43

【分析】（I）根據(jù)題中條件，由橢圓的簡單性質(zhì)，列出方程組求解，得出a2,尸，即可得到橢圓方程;

（H）先得到/：y=/：（xT）,聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（%,y）,3（毛,%），根據(jù)韋達定理，以及弦長公

式，得到），以及線段A3的中點坐標(biāo)，討論&=0和攵HO兩種情況，求出耳，進而可求

出結(jié)果.

2。=4,

c_1

【詳解】（I）依題意得《

a~2"

a2=b2+c2.

解得/=4，Z?2=3，

x2v2

故橢圓。的方程為二+乙=1；

43

|AB|

（II）網(wǎng)是定值?

由已知得直線/：y=人（1-1）.

由，消去兒整理得（4%2+3）/-8%2%+4左2-12=0.

所以A=（-8左2J—4（4/+3）（4左2-12）=144k2+144>0,

洪24公-12

設(shè)A（X1,y）,3（毛，%），則%+為2

17

所以=（9—玉）？+（%-y1=（1+6）［（百+X2）2-4不工2

（8k2Y4（4公_12）]/12（1+公）T

、4公+3J-―4k2+3-[止+3,

則|如叩，

114r+3

,7c\/8k2Q-6k

因為乂+%=%（%+%-2）=2—r---2=—r--.

、^rKIJy^TKID

'4k2-3k

所以線段AB的中點為、4公+3'4公+3J

,,,,\AB\

(1)當(dāng)攵=0時，|AB|=4,I?？?1.所以誦=4.

3k1(4%2、

(2)當(dāng)女工0時，線段A3的垂直平分線方程為＞+:7「7=-7--

4/+3-4k'+3)

'k2

令y=0，得x即。

止+3鄧2+3

“2