新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)精講精練 第09講 拓展四：三角形中周長(zhǎng)（定值最值取值范圍）問(wèn)題 高頻精講（解析版）

第09講拓展四：三角形中周長(zhǎng)（定值，最值，取值范圍）問(wèn)題(精講）目錄TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 5高頻考點(diǎn)一：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）定值 5角度1：求周長(zhǎng) 5角度2：求邊的代數(shù)和 10高頻考點(diǎn)二：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）最值 14角度1：周長(zhǎng)最值 14角度2：邊的最值 21角度3：邊的代數(shù)和最值 27高頻考點(diǎn)三：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍 37角度1：周長(zhǎng)取值范圍 37角度2：邊的代數(shù)和取值范圍 40角度3：銳角三角形中周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍 49溫馨提醒：瀏覽過(guò)程中按ctrl+Home可回到開(kāi)頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1、基本不等式核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長(zhǎng)取值范圍；2、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）的取值范圍.第二部分：高考真題回歸1．（2022·全國(guó)（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.2．（2022·全國(guó)（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．3．（2022·全國(guó)（乙卷理）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)14【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，所以，即，所以；?）解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.4．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長(zhǎng)為.5．（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）定值角度1：求周長(zhǎng)典型例題例題1．（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)已知的面積為，設(shè)為的中點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知中，，由正弦定理邊角關(guān)系得：，，，，，又，所以，即.（2）在中，為中線，，，，，，，的周長(zhǎng)為.例題2．（2023春·寧夏·高一六盤山高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，延長(zhǎng)到，使，在上取點(diǎn)，使，(1)設(shè)，用表示向量及向量．(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）是的中點(diǎn)，則，故，（2）由余弦定理得而，得，故，得，的周長(zhǎng)為．例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角,,所對(duì)的邊分別為，，，，為邊上一點(diǎn)，.(1)若，求的面積；(2)若為的平分線，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，，∴，由正弦定理可得，，∴，即，結(jié)合，得，∵，∴，在中，，由余弦定理可得，，即，解得，∴；（2）由AD為的平分線知，，在與中，由正弦定理可得，①，②，∵，∴，結(jié)合①②，可得，在與中，由余弦定理可得，，，又，∴，解得，∴，∴的周長(zhǎng)為.練透核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東韶關(guān)·高二校考階段練習(xí)）在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別是，且．(1)求角的大?。?2)若，的面積，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得:代入式子，化簡(jiǎn)得，，，，即，因?yàn)椋?（2），由余弦定理得，的周長(zhǎng)為．2．（2023春·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．(1)求角C；(2)若，求的值；(3)若的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，∴；（2）、∴，∴；（3）由余弦定理得，由面積公式得，則，∴的周長(zhǎng)為.3．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校考學(xué)業(yè)考試）記△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．(1)求B的值；(2)若△ABC的面積為，b＝2，求△ABC周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由及正弦定理得，所以，由余弦定理可得，又，所以．（2）因?yàn)椋?，由余弦定理可得：所以，所以△ABC的周長(zhǎng)為．角度2：求邊的代數(shù)和典型例題例題1．（2023春·云南麗江·高一麗江第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.例題2．（2023春·山東濟(jì)寧·高三校考階段練習(xí)）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并進(jìn)行解答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為，，，且_______．(1)求角；(2)若的內(nèi)切圓半徑為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選擇①：由已知得，所以，在中，，所以．選擇②：由已知及正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以．選擇③：由正弦定理可得，又，所以，則，則，故．又因?yàn)?，所以，解得．?）由余弦定理得，①由等面積公式得．即．整理得，②聯(lián)立①②，解得，所以．例題3．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若，且的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由又及正弦定理，得，因?yàn)橹?，所以，由于，所以，即，又，?（2）由題意可知，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，解得.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若，，角A的平分線交BC于點(diǎn)D，求AD.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知及正弦定理得，因?yàn)?，則，所以，即．又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，得．?）因?yàn)槭墙堑慕瞧椒志€，所以，即，結(jié)合（1）得，解得．2．（2023春·廣東江門·高二?？茧A段練習(xí)）在中，角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，，，.(1)求的值；(2)若點(diǎn)D在邊BC上且的面積為，求.【答案】(1)(2)1【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，則，故，，由余弦定理得：，所以；（2）由（1）知，又，所以，因此，，所以D是BC的中點(diǎn)，故.3．（2023秋·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，(1)確定角B的大?。?2)若為銳角三角形，，的面積為，求的值．【答案】(1)或(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以或．?）若為銳角三角形，由（1）得，因?yàn)榈拿娣e為，所以，由余弦定理得，所以，解得，所以．高頻考點(diǎn)二：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）最值角度1：周長(zhǎng)最值典型例題例題1．（2023·四川南充·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角,,的對(duì)應(yīng)邊分別為，，,已知，且的面積為，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，，，，即，，則，則，解得,則，所以，則，又僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長(zhǎng)為，則，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：B例題2．（2023春·山東煙臺(tái)·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)校考期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，角的平分線交于點(diǎn)，且，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．【答案】##【詳解】由題可得，，即，又，所以，則，因?yàn)椋?，則，所以，即，又因?yàn)?，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.例題3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在上單調(diào)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)9【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，解得，因?yàn)?，所以，即，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，由余弦定理可得，即，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，則，即△ABC周長(zhǎng)的最大值為9．例題4．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）如圖，平面四邊形內(nèi)接于圓，內(nèi)角，對(duì)角線的長(zhǎng)為7，圓的半徑為.(1)若，，求四邊形的面積；(2)求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示，連結(jié)，在中，，，所以，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以為等邊三角形，，，，在中，，即，又，?（2）設(shè)，，則在中，，，則，即，故，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，則，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即周長(zhǎng)的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且的面積為，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，，，，即，，則，則解得,所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長(zhǎng)為，所以，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)的結(jié)論得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：C.2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考二模）中，角、、所對(duì)的邊分別為、、.若，且，則周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為.故答案為：.3．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)(2)9【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，又因?yàn)?，，所以，即有，又因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故周長(zhǎng)的最小值9.4．（2023·甘肅蘭州·蘭州五十九中校考模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC中，C＝，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，求c的值；(2)若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)7(2)2＋.【詳解】（1）∵a，b，c依次成等差數(shù)列，且公差為2，∴b－a＝c－b＝2，∴b＝c－2，a＝c－4，∵C＝，由余弦定理得cos＝＝＝－，整理得c2－9c＋14＝0，解得c＝7或c＝2，又a＝c－4>0，則c>4，∴c＝7.（2）設(shè)B＝θ，外接圓的半徑為R，則πR2＝π，解得R＝1，由正弦定理可得＝＝＝2R＝2，∴＝＝＝2，可得b＝2sinθ，a＝2sin，c＝，∴△ABC的周長(zhǎng)＝2sinθ＋2sin＋＝2sinθ＋2sincosθ－2cossinθ＋＝sinθ＋cosθ＋＝2sin＋，又θ∈，∴<θ＋，∴當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)取得最大值2＋.角度2：邊的最值典型例題例題1．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，已知，，為的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)椋裕?，∴，故選：C．例題2．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角的大?。?2)若，是邊上的一點(diǎn)，且，求線段的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，所以，即，，又，所以，所以，所以；?）在中，由正弦定理得，所以.因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即線段的最大值為.例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求；(2)若是線段上靠近的三等分點(diǎn)，，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1），∴，∴．又，．（2）方法1：由（1）得，∵，則，∴，∴，

∴，令，則，

令，則，

在銳角三角形中，∴，即，

（另解：，∵，，解得，∴，，即）∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∴，∴的最大值為．

方法2：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，∵，∴．∵，∴，，．∵，，解得，∴，∴，∴，∴的最大值為．例題4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若角的平分線交于且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2），設(shè)，，根據(jù)向量的平行四邊形法則：，即，，又，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E兩點(diǎn)分別在邊BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．【答案】(1)(2)2-3【詳解】（1）因?yàn)閏sin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sinA，即cos=sinA，所以cos=2sincos.因?yàn)椤?0,)，所以cos≠0，所以sin=，所以=，即A=.（2）因?yàn)锳B=AC，A=，所以△ABC為等邊三角形，即AC=BC=AB=1.如圖，在△BDE中，BD=1-CD，DE=CD，由余弦定理得cosB=，所以BE2+(1-CD)2-CD2=BE·(1-CD)，所以CD=2-BE+，因?yàn)?≤BE≤1，所以1≤2-BE≤2，所以CD=2-BE+-3≥2-3，當(dāng)且僅當(dāng)2-BE=，即BE=2-時(shí)，等號(hào)成立，所以CD的最小值為2-3.2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且______．(1)求；(2)若，，求線段長(zhǎng)的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）方案一：選條件①．由正弦定理得，∴，∵，∴，即，∵，∴．方案二：選條件②．由正弦定理得，即，∴，∵，∴．方案三：選條件③．由余弦定理得，∴，∴，∵，∴．（2）由，得，∵，∴，即，兩邊同時(shí)平方得，∴．令，則，，令，則，，在銳角中，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴線段長(zhǎng)的最大值為．3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知．(1)若，證明：△ABC為等腰三角形；(2)若，求b的最小值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC為等腰三角形．（2）因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為．角度3：邊的代數(shù)和最值典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別是是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，在Rt△ABD中，，即，因?yàn)?，由正弦定理可得：，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C例題2．（2023·廣西·統(tǒng)考一模）在中，角,,的對(duì)邊分別是，，，滿足.(1)求；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，所以，又，則，所以，又因，所以；（2）因?yàn)榻荂的平分線交AB于點(diǎn)D，所以，由，得，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.例題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）從①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，,且______．(1)求角B的大??；(2)若，求的最大值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【詳解】（1）方案一：選條件①，由，得，則由余弦定理得：．由正弦定理得：，則．因?yàn)?，則，所以．又因?yàn)?，所以．方案二：選條件②，∵，正弦定理得：，整理得，則由余弦定理得，因?yàn)椋裕桨溉哼x條件③．∵，由正弦定理得．因?yàn)椋瑒t，所以，即．因?yàn)?，則，所以，即．（2）解法一：由正弦定理可得，所以，，所以，其中為銳角，且．因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，取得最大值．解法二：由余弦定理得，即，設(shè)，則，將代入中，整理得，由題意可知，此方程有正根，注意到的對(duì)稱軸，則，所以，故的最大值為．例題4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知向量，，.(1)求的單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角,,的對(duì)邊分別為，，,且，，求的最大值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，；(2).【詳解】（1）由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由，得，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為，故的最大值為.例題5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中，已知，，為上一點(diǎn)，，.(1)求的長(zhǎng)度；(2)若點(diǎn)為外接圓上任意一點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)，，則.在與中，由余弦定理知：，即，，即.，，可得.，，即.解得，..（2）由（1）知：中，，，為外接圓的直徑.為外接圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，.當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，.當(dāng)在優(yōu)弧上時(shí)，，設(shè)，則.中，由正弦定理知，.，當(dāng)時(shí)，的最大值為.當(dāng)在劣弧上時(shí)，，設(shè)，則.中，由正弦定理知，..當(dāng)時(shí)，的最大值為.綜上，的最大值為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三角形中，，D是邊上一點(diǎn)，且滿足，則的最大值是__________．【答案】【詳解】∵，．由余弦定理得，則，方法一：判別式法：令，有解，，解得．∴方法二：換元法．令上式令，則有，，∴故答案為：2．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，滿足(1)求角；(2)若角的平分線交于點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得：，由余弦定理知，，又因此.（2）在中，由，得，在中，由，可得，所以；在中，由，得，解得，，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的最小值為.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四邊形ABCD內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一:設(shè)，則，由正弦定理得，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.4．（2023春·福建龍巖·高一?？茧A段練習(xí)）已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求角B的大??；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知及正弦定理，得．∵，∴．化簡(jiǎn)，得．∵，∴．∵，∴．（2）由已知及正弦定理，得．即．從而，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，因?yàn)?，可得，于是，?dāng)時(shí)，的最大值為.5．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且．(1)求角的大小；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由已知可得，即，，則，解得，因此，.（2）解：由正弦定理可得，所以，，其中為銳角，且，因?yàn)椋瑒t，，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值.高頻考點(diǎn)三：周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍角度1：周長(zhǎng)取值范圍典型例題例題1．（2023春·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值并求出對(duì)應(yīng)的；(2)在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，即，因?yàn)?，所以，由的圖像與性質(zhì)知，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，此時(shí).（2）因?yàn)椋桑?）得到，即，又因?yàn)?，所以得到，即，又，由余弦定理，得到，又由基本不等式知，，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，得到，又因?yàn)?，所以，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該問(wèn)題．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且滿足_______，．(1)若，求的面積;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)任選一條件，面積皆為(2)【詳解】（1）若選條件①，由及正弦定理，得即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕暨x條件②，由及正弦定理，得，即，化簡(jiǎn)得,因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕暨x條件③，由化簡(jiǎn)得，，由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以三個(gè)條件，都能得到.由余弦定理得，即，解得，所以的面積.（2）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大?。?2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以；?）由（1）可得，若，則由余弦定理，得，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，即，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.2．（2023春·河南南陽(yáng)·高一南陽(yáng)中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別是，設(shè)向量，且．(1)求角A的值；(2)若，求的周長(zhǎng)l的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因，且，則，由余弦定理得，整理得：，于是得，而，所以.（2）由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，而，因此，，即有所以的周長(zhǎng)l的取值范圍是.角度2：邊的代數(shù)和取值范圍典型例題例題1．（2023春·湖南永州·高一永州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，且，則的取值范圍是______．【答案】【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理?故答案為：.例題2．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，然后解答．已知銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______（填序號(hào)）．(1)若，，求的面積；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）選①，根據(jù)余弦定理展開(kāi)，即，所以，由得；選②，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，由得；選③，根據(jù)正弦定理和三角形的恒等變換得：，因?yàn)?，化?jiǎn)可得，得，由得；，，∴，由已知，，，．（2），∵為銳角三角形，∴，∴，，所以．例題3．（2023春·云南麗江·高一麗江第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，角，，所對(duì)的邊為，，，已知，．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，，即，，又，，，，，，即，，解得．（2）解：由正弦定理得，，，，，，，則，為銳角三角形，，，，，即．例題4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得．因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得，所以，所以，故的取值范圍為．練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求C；(2)若A為鈍角，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，整理得，故由余弦定理得，又，所以．?）因?yàn)?，所以，由?）得，所以，又，且A為鈍角，所以，且，故，則，，所以，故的取值范圍是．2．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，，且．(1)求的大小；(2)若的平分線交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，由正弦定理可得，則，可得，整理得，注意到，且，則，且，可得或，解得或（舍去），故.（2）若的平分線交于點(diǎn)，則，∵，則，即，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的取值范圍為.3．（2023·高一單元測(cè)試）設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知．(1)求證：B＝2A；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析.(2)【詳解】（1），由正弦定理得：，由積化和差公式可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)槿切蜛BC為銳角三角形，故，所以，故，即；（2）由（1）知：，由正弦定理得：，其中，因?yàn)?，所以，由得：，由，解得：，結(jié)合可得：，，故在上單調(diào)遞增，所以，即.4．（2023秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，分別是的內(nèi)角，，所對(duì)的邊，向量，(1)若，，證明：為銳角三角形；(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1），由余弦定理得，整理得，故是最長(zhǎng)的邊，是最大的角，，則為銳角，所以三角形是銳角三角形.（2），即，由于，所以，所以，所以.因?yàn)槿切问卿J角三角形，所以，解得，則.由正弦定理得，由于，，，所以的取值范圍是.5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．，，．(1)求；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，由余弦定理得：，解得?所以.（2）由（1）可知：.而，所以，所以，所以.故的取值范圍為.角度3：銳角三角形中周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）取值范圍典型例題例題1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，已知.(1)求；(2)若是銳角三角形，，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，因?yàn)?，則，所以，，則，因?yàn)?，則，所以，，解得.（2）解：由正