北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題1.2 菱形的性質(zhì)與判定（基礎(chǔ)篇）（專項練習）

專題1.2菱形的性質(zhì)與判定（基礎(chǔ)篇）（專項練習）一、單選題類型一、利用菱形的性質(zhì)求角1．如圖，在菱形中，，對角線、相交于點O，E為中點，則的度數(shù)為（

）A．70° B．65° C．55° D．35°2．如圖，把一個長方形紙片對折兩次，然后沿圖中虛線剪下一個角，為了得到一個內(nèi)角為100°的菱形，剪切線與折痕所成的角的大小等于（

）A．80° B．60° C．40° D．20°類型二、利用菱形的性質(zhì)求線段3．如圖，菱形的兩條對角線相交于點，若，，菱形的周長為（

）A．8 B．16 C．12 D．4．如圖，菱形ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是，，，則頂點D的坐標是（

）A． B． C． D．類型三、利用菱形的性質(zhì)求面積5．圖，邊長為a的正六邊形內(nèi)有一邊長為a的菱形，該菱形其中一個內(nèi)角為，則（

）A．3 B．4 C．2 D．16．如圖，四邊形ABCD為菱形，點A、B、C、D在坐標軸上，，AB＝3，則菱形ABCD的面積等于（

）．A．20 B． C． D．類型四、利用菱形的性質(zhì)證明7．如圖，四邊形ABCD是菱形，E、F分別是BC、CD兩邊上的點，添加一個條件，不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．EC＝FC B．AE＝AF C．∠BAF＝∠DAE D．BE＝DF8．菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相平分B．對角線互相垂直且相等C．對角線相等D．對角線互相垂直，每一條對角線平分一組對角類型五、添加一個條件證明四邊形是菱形9．如圖，△ABC中，D為BC上一點，DE∥AB，DF∥AC．增加下列條件能判定四邊形AFDE為菱形的是（

）A．點D在∠BAC的平分線上 B．C． D．點D為BC的中點10．如圖，已知為任意四邊形，，，，分別為，，，的中點，添加下列哪個條件，不能判斷四邊形為菱形的是（

）A． B． C． D．類型六、證明已知四邊形是菱形11．如圖，平移△ABC到△BDE的位置，且點D在邊AB的延長線上，連接EC，CD，若AB=BC，那么在以下四個結(jié)論：①四邊形ABEC是平行四邊形；②四邊形BDEC是菱形；③；④DC平分∠BDE，正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個12．小紅按如下操作步驟作圖：①作線段AB；②分別以點A、B為圓心，以線段d(d>AB)的長為半徑畫弧，分別相交于點C、D兩點；③連接AC、BC、AD、BD．則四邊形ADBC一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．以上都不對類型七、用菱形的性質(zhì)與判定求角度13．菱形不具備的性質(zhì)是（）A．對角線一定相等 B．對角線互相垂直C．是軸對稱圖形 D．是中心對稱圖形14．尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的垂線，已知：如圖（1），直線及外一點，求作的垂線，使它經(jīng)過點，小紅的做法如下：①在直線上任取一點B，連接②以為圓心，長為半徑作弧，交直線于點；③分別以為圓心，長為半徑作弧，兩弧相交于點；④作直線，直線即為所求如圖（2），小紅的做題依據(jù)是（

）A．四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直B．直徑所對的圓周角是直角C．直線外一點到這條直線上垂線段最短D．同圓或等圓中半徑相等類型八用菱形的性質(zhì)與判定求線段15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，∠ABC的平分線交AD于點F，若BF＝6，AB＝5，則AE的長為（

）．A．6.5 B．7 C．7.5 D．816．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，將△BEF沿EF所在直線翻折得到△DEF，點D為∠ABC的平分線與邊AC的交點，則線段EF的長度為（

）A． B． C． D．類型九、用菱形的性質(zhì)與判定求面積17．如圖，在的兩邊上分別截取，，使；再分別以點A，B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點C；再連接AC，BC，AB，OC．若，，則四邊形的面積是（）A． B．8 C．4 D．18．如圖，在矩形ABCD中，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點．若AB＝4，AD＝6，則圖中陰影部分的面積為（）A．12 B．6 C．24 D．3二、填空題類型一、利用菱形的性質(zhì)求角19．如圖，在菱形ABCD中，AB的垂直平分線交對角線BD于點F，垂足為點E，連接AF、AC，若∠DCB＝70°，則∠FAC＝______．20．如圖，菱形的對角線相交于點，延長至點，使，連接，若，則________．類型二、利用菱形的性質(zhì)求線段21．如圖，已知菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6，4，則AB長為__．22．若一個菱形的兩條對角線長分別為10和24，則這個菱形的邊長是________．類型三、利用菱形的性質(zhì)求面積23．在菱形中，，，則菱形的邊長等于______，面積等于______．24．如圖，菱形ABCD的周長為40，P是對角線BD上一點，分別作P點到直線AB、AD的垂線段PE、PF，若，則菱形ABCD的面積為________．類型四、利用菱形的性質(zhì)證明25．如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是BD、AC的中點，當AB、CD滿足條件_______時，有EF⊥GH．26．尺規(guī)作圖：作一個角的平分線．小涵是這樣做的：已知：，如圖1所示求作：射線，使它平分圖1

圖2

作法：（1）如圖2，以為圓心，任意長為半徑作弧，交于點，交于點；（2）分別以、為圓心，的長為半徑作弧，兩弧交于點；（3）作射線．所以射線就是所求作的射線．小涵是個喜歡動腦筋的孩子，他繼續(xù)對圖形進行探究：連接、和，發(fā)現(xiàn)與的位置關(guān)系是______，依據(jù)是______________________．類型五、添加一個條件證明四邊形是菱形27．在四邊形ABCD中，ABCD，ADBC，添加一個條件________，即可判定該四邊形是菱形．28．小明制作了張卡片，上面分別寫了一個條件：①；②；③；④；⑤．從中隨機抽取一張卡片，能判定是菱形的概率是________．類型六、證明已知四邊形是菱形29．如圖，在?ABCD中，點E是BC邊上的動點，已知AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，現(xiàn)將△ABE沿AE折疊，點B′是點B的對應(yīng)點，設(shè)CE長為x．（1）如圖1，當點B′恰好落在AD邊上時，x＝_____；（2）如圖2，若點B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是_____．30．菱形的判定：（1）有一組鄰邊____________的平行四邊形叫做菱形．幾何語言描述：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝____________，∴四邊形ABCD是菱形．（2）對角線互相____________的平行四邊形是菱形幾何語言描述：∵在平行四邊形ABCD中，AC⊥____________，∴平行四邊形ABCD是菱形．（3）四條邊都____________的四邊形是菱形．幾何語言描述：∵在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝____________，∴平行四邊形ABCD是菱形．類型七、用菱形的性質(zhì)與判定求角度31．如圖在菱形中，邊的垂直平分線與對角線相交于點E，，那么__________度．32．如圖，菱形ABCD中，∠D=120°，點E在邊CD上，將菱形沿直線AE翻折，使點D恰好落在對角線AC上，連結(jié)BD'，則∠AD'B=______°．類型八用菱形的性質(zhì)與判定求線段33．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連結(jié)EF，PD．若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，則DP＝___．34．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，DEAC，CEBD．若AD＝2，AB＝3，則四邊形CODE的周長是________．類型九、用菱形的性質(zhì)與判定求面積35．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC與BD互相垂直且平分，BD＝6，AC＝8，則四邊形周長為_____，面積為_____．36．如圖，在中，使OA=OB，按以下步驟作圖：①以O(shè)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交OM，ON于點A，B；②分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；③連接AC、BC、AB、OC．若，四邊形OACB的面積為．則OC的長為________cm．三、解答題37．如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點E，AF⊥CD于點F．(1)求證：BE＝DF．(2)當∠BAD＝110°時，求∠EAF的度數(shù)．38．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E．(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周長．39．如圖，四邊形ABCD是菱形，邊長為10cm，對角線AC，BD交于點O，∠BAD＝60°．(1)求對角線AC，BD的長；(2)求菱形的面積．40．如圖，在菱形中，是對角線上的一點．連，，求證：．41．如圖，四邊形的對角線與交于點，若，，(1)求證：四邊形是平行四邊形(2)請你在不添加輔助線的情況下，添一個條件，使四邊形是菱形42．如圖，在四邊形中，與相交于點O．且，點E在上，滿足．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形是菱形．43．如圖，是的角平分線，過點作交于點，交于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，，求的度數(shù)．44．圖，點D為△ABC邊AC上一點，過點D作DE∥AB，點O為BE的中點，連接AO并延長，交DE的延長線于點F，連接AE、BF．(1)試判斷四邊形ABFE的形狀，并說明理由；(2)若AB＝BF，AC＝10，，求OC的長．45．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且AE＝CF．(1)求證：平行四邊形ABCD是菱形；(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四邊形ABCD的面積．參考答案1．C【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠BAC的度數(shù)，再證OE是△ABC的中位線即可得到答案．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，點O是AC的中點，，∴∠BAD=180°-∠ABC=110°，∴∠BAC=55°，∵E是BC的中點，∴OE是△ABC的中位線，∴，∴∠COE=∠BAC=55°，故選C．【點撥】本題主要考查了三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，熟知菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】折痕為AC與BD，∠BAD=，根據(jù)菱形的對角線平分對角可得∠ABD和∠BAC的度數(shù)，由此得出答案．解：如下圖，∵四邊形ABCD是菱形；∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC；∵∠BAD=，∴∠ABC=－∠BAD=，∴∠ABD=，∠BAC=，∴剪切線與折痕所成的角的大小應(yīng)為．故選：C．【點撥】此題主要考查菱形的判定以及折疊問題，熟練掌握菱形對角線平分對角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，四邊形相等，每條對角線平分每組對角，易得到，再根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出菱邊CD的長度，然后用菱形的周長公式求解．解：∵菱形ABCD的兩條對角線交于點O，，∴，，，∴，在中，，∴，∴菱形ABCD的周長為，故選：B．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、含的直角三角形的性質(zhì)，理解菱形的性質(zhì)是解答關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及中點坐標公式即可求解．解：設(shè)D點的坐標為(a,b)，菱形的對角線的交點也是兩條對角線的中點，∴AC的中點與BD的中點坐標相同，∴根據(jù)中點坐標公式有：，則a=2，b=3，即D點坐標為：(2,3)，故選：D．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)和中點坐標公式，掌握并運用中點坐標公式是解答本題的關(guān)鍵．5．C【分析】邊長為a的正六邊形可拆成6個邊長為a的等邊三角形，圖中的菱形有一個∠為60°，則該菱形可以拆成2個邊長為a的等邊三角形，所求即可解解：下圖所示，由圖可知，邊長為a的正六邊形可拆成6個邊長為a的等邊三角形，圖中的菱形有一個角為60°，則該邊長為a的菱形可以拆成2個邊長為a的等邊三角形，邊長為a的等邊三角形的底邊上的高也是底邊的中線，則利用勾股定理可得高為：，邊長為a的等邊三角形的面積為：，則可知正六邊形的面積為：，空白菱形的面積為：，則陰影部分的面積為：，則有，故選：C．【點撥】本題主要考查了三角形的基本概念和正多邊形的基本概念，通過特殊角以及菱形和正六邊形的邊長相等，得出正六邊形可拆成6個邊長為a的等邊三角形，菱形可以拆成2個邊長為a的等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．C【分析】利用勾股定理求出OB，再利用菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)求出AC和BD，最后利用菱形面積公式求解即可．解：，，四邊形ABCD為菱形，，，，，菱形ABCD的面積，故選C．【點撥】本題考查勾股定理、菱形的性質(zhì)及面積公式，熟練掌握“菱形的對角線互相垂直且平分”是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定條件逐項判斷即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，．A．由EC＝FC，可得出，即，∴，故該選項不符合題意；B．AE＝AF，結(jié)合已知不能證明△ABE≌△ADF（沒有“SSA”或“ASS”），故該選項符合題意；C.由∠BAF＝∠DAE，可得出，即，∴，故該選項不符合題意；D.由BE＝DF可直接證明，故該選項不符合題意；故選B．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定．熟練掌握上述知識是解題關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)逐項分析判斷即可．解：A．菱形和平行四邊形的對角線都互相平分，故A選項不符合題意；B．菱形和平行四邊形的對角線都不相等，故B選項不符合題意；C．菱形的對角線不相等，故C選項不符合題意；D．菱形的對角線互相垂直，每一條對角線平分一組對角，平行四邊形的對角線不互相垂直，每一條對角線不平分一組對角，故D選項符合題意．故選：D．【點撥】本題考查了平行四邊形和菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理已經(jīng)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．解：如圖所示，連接AD∵DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，∴四邊形DEAF是平行四邊形，∠FAD=∠EDA，當點D在∠BAC的平分線上時，∴∠FAD=∠EAD，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∴四邊形DECF是菱形，故選項A符合題意；當AB=AC時，不能說明四邊形DECF是菱形，故選項B不符合題意；當∠A=90°時，只能說明四邊形DECF是矩形，故選項C不符合題意；當點D為BC的中點時，不能說明四邊形DECF是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．【點撥】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】根據(jù)題意連接BD，AC，根據(jù)三角形中位線定理與菱形的判定求解即可．解：如圖連接BD，AC，因為E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，根據(jù)三角形中位線定理，故，,，，故四邊形EFGH是平行四邊形．A選項：，鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不符合題意．B選項：，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，不符合題意．C選項：，根據(jù)三角形中位線定理，，故，即鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不符合題意．D選項：不能證明四邊形EFGH是菱形，符合題意．故選：D【點撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是連接BD，AC，根據(jù)三角形中位線定理與菱形的判定求解即可．11．D【分析】利用平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)逐項判斷即可．解：∵平移△ABC到△BDE的位置，且點D在邊AB的延長線上，∴，∴四邊形ABEC是平行四邊形，故①正確；∵平移△ABC到△BDE的位置，∴AB=BD=CE，BC=DE，∵AB=BC，∴AB=BD=CE=BC=DE，∴四邊形BDEC是菱形，故②正確；∵四邊形BDEC是菱形，∴，∵，，故③正確；∵四邊形BDEC是菱形，∴DC平分∠BDE，故④正確；∴正確的有4個．故選D．【點撥】本題主要考查了平移的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)．12．B【分析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進而得出四邊形一定是菱形．解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，∴AC=AD=BD=BC，∴四邊形ADBC一定是菱形，故選：B．【點撥】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，菱形的判定，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．13．A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線，即可判斷．解：根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：菱形的對角線互相垂直平分，故B正確；菱形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故C，D正確；菱形不具備對角線一定相等，故A錯誤；故選：A．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．14．A【分析】根據(jù)作法和菱形的判定方法可證明四邊形ABCD為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷AC與BD垂直．解：由作法得AB＝AD＝BC＝DC，則四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．即四條邊都相等的四邊形是菱形；菱形的對角線互相垂直．故選A．【點撥】本題考查了作圖?基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．15．D【分析】首先利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出四邊形ABEF是菱形，然后利用菱形的性質(zhì)求解即可．解：設(shè)AE與BF交于G，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，．∠FAE=∠BEA，∵BF平分，，，，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∴∠BAE=∠BEA，∴，，∵AD//BC，即AF//BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，，∵，，．故選：D．【點撥】本題主要考查平行四邊形性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，角分線定義，勾股定理，掌握平行四邊形性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，角分線定義，勾股定理是解題關(guān)鍵．16．C【分析】連接BD，求證四邊形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)求解即可．解：如圖，連接BD，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=AB=1，∠ABC=90°-∠A=60°，∵點D為∠ABC的平分線與邊AC的交點，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵將△BEF沿EF所在直線翻折得到△DEF，∴BE=DE，BF=DF，∴∠EDB=∠CBD=30°，∠FDB=∠ABD=30°，∴∠EBD=∠FDB=30°，∠EDB=∠FBD=30°，∴BE∥DF，BF∥DE，四邊形BEDF是平行四邊形，∠ADF=∠C=90°，又∵BE=DE，∴四邊形BEDF是菱形，∴BE=BF=DF=DE，在Rt△ADF中，∵∠A=30°，∵AF=2DF=2BF，∴AB=AF+BF=2BF+BF=3BF，∴BF=AB=，又∵∴△BEF是等邊三角形，∴BE=BF=EF=，故選：C．【點撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運用這些知識點．17．C【分析】根據(jù)作法判定出四邊形OACB是菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可得解．解：根據(jù)作圖，，∵，∴，∴四邊形OACB是菱形，∵，，∴．故選：C．【點撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．18．A【分析】連接AC，BD，F(xiàn)H，EG，得出平行四邊形ABFH，推出HF＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，求出四邊形EFGH是菱形，根據(jù)菱形的面積等于×GH×HF，代入求出即可．解：連接AC，BD，F(xiàn)H，EG，∵E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，∴AH＝AD，BF＝BC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，ADBC，∴AH＝BF，AHBF，∴四邊形AHFB是平行四邊形，∴FH＝AB＝2，同理EG＝AD＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，∴HGAC，HG＝AC，EFAC，EF＝AC，EH＝BD，∴EH＝HG，GH＝EF，GHEF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形，∴FH⊥EG，∴陰影部分EFGH的面積是×HF×EG＝×6×4＝12，故選：A．【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識點，關(guān)鍵是求出四邊形EFGH是菱形．19．20°【分析】由菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAC和∠FAB的度數(shù)，即可解決問題．解：∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AF＝BF，∴∠FAB＝∠FBA，∵四邊形ABCD是菱形，∠DCB＝70°，∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD，∴∠BAC＝∠BCA＝35°，∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠FAB＝55°，∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°，故答案為：20°．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．20°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD=CE，求出∠DCE的度數(shù)，利用菱形的性質(zhì)求出∠OBC即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥CD，∵，∴CE=CD，∴∠CDE=，∴∠DCE=（180°-2∠E）=40°，∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCE=40°，∴∠OBC=∠ABC=20°，故答案為：20°．【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角求角度，熟記菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求得，的長，然后在中利用勾股定理即可求解．解：∵菱形ABCD的對角線AC，BD的長分別為6，4，∴，，，∴中，，故答案為：【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．13【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)對角線互相垂直且互相平分，再利用勾股定理AB＝即可得到菱形的邊長．解：如圖，BD＝10，AC＝24，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，∴AB＝＝13．故答案為：13．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)和勾股定理的運用，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．

【分析】由菱形對角線的性質(zhì)，相互垂直平分即可得出菱形的邊長；由菱形面積公式即可求得面積．解：根據(jù)題意，設(shè)對角線、相交于，在菱形中，，，且，，菱形對角線相互垂直，菱形面積是．故答案為：，．【點撥】本題考查了菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，注意菱形各邊長相等的性質(zhì)，勾股定理在直角三角形中的運用，本題中根據(jù)勾股定理求的值是解題的關(guān)鍵．24．80【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可．解：連接AP四邊形ABCD是菱形菱形ABCD的周長為40菱形ABCD的面積菱形ABCD的面積故答案為：80．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的面積計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．AB=CD【分析】當AB=CD時，有EF⊥GH，連接GE、GF、HF、EH，根據(jù)三角形的中位線定理可得EG=GF=FH=EH，則四邊形EFGH是菱形，最后利用菱形的性質(zhì)即可．解：當AB=CD時，有EF⊥GH，理由如下：如圖所示，連接GE、GF、HF、EH．∵E、G分別是AD、BD的中點，∴EG是△ABD是中位線∴EG=AB，同理HF=AB，F(xiàn)G=CD，BH=CD．又∵AB=CD∴EG=GF=FH=EH．∴四邊形EFGH是菱形∴EF⊥GH．故答案為：AB=CD．【點撥】本題考查了三角形的中位線定理、菱形的判定與性質(zhì)，找到證明EFGH是菱形的條件是解答本題的關(guān)鍵．26．

（與互相垂直）

菱形的對角線互相垂直【分析】作∠BAC的平分線，就是要證明這條射線是角平分線，把這條射線分得的兩個角置于兩個三角形中，為構(gòu)造兩個三角形，以A為圓心，任意長為半徑作弧，交AM于點B，交AN于點C，滿足AB=AC，然后分別以B、C為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D；由有BD=CD，由AD=AD，△ABD≌△ACD，則∠BAD=∠CAD,腦筋的孩子，他繼續(xù)對圖形進行探究：連接BD、CD和BC則AB=BD=CD=AC，四邊形ABDC為菱形，BC與AD是菱形的對角線，BC⊥AD，．解：以A為圓心，任意長為半徑作弧，交AM于點B，交AN于點C；則AB=AC，分別以B、C為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D；則BD=CD,∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD,∴AD是∠BAC的平分線由作圖知AB=BD=CD=AC，∴四邊形ABDC為菱形，∴BC⊥AD．故答案為：①BC⊥AD，②菱形的對角線互相垂直．【點撥】本題考查尺規(guī)作圖中角平分線的拓展問題，關(guān)鍵是掌握角平分線的作法依據(jù)全等三角形，由于作圖的半徑相同，由要掌握菱形的判定與性質(zhì)．27．AB＝AD（答案不唯一）【分析】根據(jù)平行四邊形的判定證出四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定證出即可.解：添加的條件是AB＝AD.理由如下：∵ABCD，ADBC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，若AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形.【點撥】本題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定等，能根據(jù)菱形的判定定理正確地添加條件是解此題的關(guān)鍵.28．【分析】根據(jù)菱形的判定定理判斷哪個條件合適，然后根據(jù)概率公式計算．解：根據(jù)菱形的判斷，可得①；④能判定平行四邊形ABCD是菱形，∴能判定是菱形的概率是，故答案為：．【點撥】本題考查了菱形的判定，概率的計算，熟練掌握概率計算公式是解題的關(guān)鍵．29．

2

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知EC=BC-BE=6-4=2；（2）當B'落在DE上時，作AH⊥DE于H，由折疊的性質(zhì)可證AD=DE，再利用△AB'H是含30°的直角三角形，從而求出DB'的長，即可解決問題．解：（1）∵將△ABE沿AE折疊，點B′是點B的對應(yīng)點，∴AB=AB’，∠B=∠AB'E，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠AB’E=∠ADC，∴B’E∥CD，∴B’E∥AB，∴四邊形ABEB’是平行四邊形，∵AB=AB’，四邊形ABEB'是菱形，∴EC=BC-BE=6-4=2，故答案為：2；（2）如圖，當B'落在DE上時，作AH⊥DE于H，在Rt△AHB'中，∵∠AB'H=60°，AB'=4，∴HB'=AB′＝2，AH＝HB′＝，在Rt△ADH中，，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=∠AED，∴DA=DE=6，∴，∴，∴若點B′落在△ADE內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍是，故答案為：．【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，翻折變換，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，找到臨界狀態(tài)求出x的長是解題的關(guān)鍵．30．

相等

AD

垂直

BD

相等

AD略31．40【分析】由菱形性質(zhì)解得，進而證明，再由全等三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，解得，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)解題即可．解：連接BE，四邊形ABCD是菱形，在和中在菱形中ABCD中，邊AB的垂直平分線與對角線AC相交于點E，故答案為：40．【點撥】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，其中涉及菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和180°等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．32．75【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)先求出∠BAC，再由折疊知AD'=AB，從而求出∠AD'B的度數(shù).解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=BC=CD=AD，CD∥AB，∵∠D=120°，∴∠DAB=60°，∵AC為菱形ABCD的對角線，∴∠BAC=30°，∵將菱形沿直線AE翻折，使點D恰好落在對角線AC上，∴AD'=AD，∴AD'=AB，∴∠AD'B=，故答案為：75.【點撥】本題是對菱形知識的考查，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.33．【分析】先證明四邊形ABEF是菱形，可得AE⊥BF，再由∠ABC=60°，可得∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，從而得到AP==2，再過點P作PM⊥AD于M，可得AM==1，，再由勾股定理，即可求解．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AFB=∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBE，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，同理AB=BE，∴AF=BE∵AF∥BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°，∵AB=4，∴AP==2，如圖，過點P作PM⊥AD于M，∴∠APM=30°，∴AM==1，∴，AM=1,∵AD=6，∴DM=5，∴．故答案為：【點撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和菱形的判定，特殊三角形的性質(zhì)，通過等量代換推出角相等推出等腰三角形是解決問題的關(guān)鍵．34．2【分析】首先由CEBD，DEAC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC＝OD，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．解：∵CEBD，DEAC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC，∴四邊形CODE是菱形，∵AD＝2，AB＝3，∴AC＝，∴四邊形CODE的周長為：4OC＝2AC＝2．故答案為：2．【點撥】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解此題的關(guān)鍵．35．

20

24【分析】首先由AC與BD互相垂直且平分，可證得四邊形ABCD是菱形，又由BD＝6，AC＝8，即可求得答案．解：∵AC與BD互相垂直且平分，∴AD＝AB＝BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，∵BD＝6，AC＝8，∴OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴，∴四邊形周長為：，面積為：×6×8＝24．故答案為：20，24．【點撥】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．36．4【分析】由作法知四邊形OACB為菱形，利用菱形面積公式對角線乘積的一半，可求OC．解：由作圖可知：，四邊形OACB為菱形，∴AB⊥OC，，又，．故答案為：4．【點撥】本題考查用尺規(guī)作圖推導(dǎo)圖形的特征，掌握菱形的性質(zhì)與判定方法，會利用對角線積表示面積達到解題目的．37．(1)證明見解析(2)∠EAF=70°【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AD，∠B=∠D，然后利用AAS證明△ABE≌△ADF即可得結(jié)論；(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和∠BAD=110°，即可求∠EAF的度數(shù)．(1)解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE=DF；(2)∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=110°，∴∠B=70°∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=20°，∴∠DAF=20°，∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=110°-20°-20°=70°【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABE和△ADF全等是解題的關(guān)鍵．38．(1)見解析(2)△ADE的周長為18【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥CD，AC⊥BD，再由DE⊥BD，可得DE∥AC，即可求證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE=AC=8，AE=CD，再由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，，，CD=AE，從而得到AD=5，從而得到AE=CD=AD=5，即可求解．(1)證明：在菱形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，∴CD∥AE，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；(2)解：∵四邊形ACDE是平行四邊形，AC＝8，BD＝6，∴DE=AC=8，AE=CD，在菱形ABCD中，AC⊥BD，，，CD=AE，∴∠AOD=90°，∴，∴AE=CD=AD=5，∴△ADE的周長為．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．39．(1)BD＝10cm，AC＝cm(2)菱形的面積為cm2【分析】（1）利用已知條件易求BD的長，再由勾股定理可求出AO的長，進而可求對角線AC的長；（2）利用菱形的面積等于其對角線積的一半，即可求得面積．(1)解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝10cm，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝10cm．由菱形的性質(zhì)知AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，∴B