湖南省郴州市“十校聯(lián)盟”2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題

郴州市“十校聯(lián)盟”高一期末模擬考試數(shù)學(xué)科目試卷安仁一中、郴州二中、桂陽三中、嘉禾一中、臨武一中、汝城一中、永興一中、宜章一中、資興市立、寧遠二中一、單選題（共有8題，每題5分，共40分，每小題只有一項正確答案.）1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.命題“，”的否定為（）A.“，” B.“，”C.“，” D.“，”【答案】D【解析】【分析】利用全稱命題的否定形式判定即可.【詳解】命題“，”的否定為:“，”.故選:D.3.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的一組是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依次判斷各選項的兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否一致，即可得結(jié)果.【詳解】A選項，的定義域為，的定義域為R，兩個函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù).B選項，定義域為，的定義域為或，兩個函數(shù)的定義域不同，故不是同一函數(shù).C選項，，，兩個函數(shù)的定義域都為R，但對應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一函數(shù).D選項，兩個函數(shù)的定義域都為R，對應(yīng)關(guān)系相同，故是同一函數(shù).故選：D4.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的圖象可求得的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下或向上平移個單位得到的，由函數(shù)的圖象可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則，令得，則，則函數(shù)的大致圖象為A選項.故選：A.6.使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（）A. B.1 C. D.0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減成立的充要條件，從而可得其成立的一個充分不必要條件.【詳解】由于函數(shù)上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件為，那么其成立的一個充分不必要條件可以是.故選：D.7.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】，，即，，下面比較與的大小，構(gòu)造函數(shù)與，由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的圖像與單調(diào)性可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，由，故，故，即，所以，故選：A8.若函數(shù)有4個零點，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象，得到時，函數(shù)只有一個零點，結(jié)合題意，得到時，方程有三個零點，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得出不等式，即可求解.【詳解】當(dāng)時，令，即，即，因為函數(shù)與的圖象僅有一個公共點，如圖所示，所以時，函數(shù)只有一個零點，又由函數(shù)有4個零點，所以時，方程有三個零點，如圖所示，因為，可得，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題（本小題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對得得2分，有錯選的得0分.）9.對于給定實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集可能是（）A. B.C.R D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)的大小分類討論.【詳解】時，不等式化為，，解集為，時，不等式化，解集為，時，不等式化為，，即解集為，時，不等式化為，時，或，解集為或，時，或，解集為或，故選：ACD．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到C.是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)圖象變換一一判斷即可.【詳解】解：依題意可得，，所以，又，解得，所以，又函數(shù)過點，即，所以，所以，又，所以，所以，故A正確；由的圖象向左平移個單位長度得到，故B錯誤；因為，所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故C正確；對于D：若，則取得最大（?。┲登胰∽钚。ù螅┲?，所以，故D正確；故選：ACD11.設(shè)正實數(shù)滿足，則（）.A.的最小值為2 B.的最大值為C.有最大值2 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式中常數(shù)代換技巧求解最小值判斷AB，平方后利用基本不等式求解最大值判斷C，消元后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值判斷D.【詳解】對于A，因為正實數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，正確；對于B，因為，所以，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，錯誤；對于C，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，正確；對于D，，當(dāng)時，取到最大值，錯誤.故選：AC12.已知函數(shù)滿足當(dāng)時，，且對任意實數(shù)滿足，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.或1C.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)D.對任意實數(shù)滿足【答案】ACD【解析】【分析】對于A，由函數(shù)單調(diào)性定義可判斷正誤；對于B，令，可判斷正誤；對于C，由A，B選項分析可判斷正誤；對于D，利用做差法及可判斷正誤.【詳解】對于B，令，，得，由題意知，所以，故B錯誤；對于A，當(dāng)時，，則，又，則當(dāng)時，，即對任意，.取任意且，則，得，則即，所以是上的增函數(shù)，故A正確；對于C，由是上的增函數(shù)且，可知為非奇非偶函數(shù)，故C正確；對于D，注意到，同理，則，又，且，則，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.當(dāng)時，的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：14.若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式、平方關(guān)系、二倍角公式求解.【詳解】，所以，，所以，故答案為：.15.不等式的解集為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè),利用數(shù)形結(jié)合求出答案.【詳解】根據(jù)不等式，設(shè)當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)圖像數(shù)形結(jié)合可得的解集為，故答案為：.【點睛】不等式的題型，有時可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題.16.下列命題正確的是__________．（寫出所有正確的命題的序號）①若奇函數(shù)的周期為4，則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；②如，則；③函數(shù)是奇函數(shù)；④存在唯一的實數(shù)使為奇函數(shù)．【答案】①③.【解析】【詳解】逐一考查所給的命題：函數(shù)為奇函數(shù)，則，函數(shù)的周期為，則，據(jù)此有：，則對函數(shù)上任意一點，可知點也在函數(shù)圖像上，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，說法①正確；若，則，據(jù)此可知，指數(shù)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，則，說法②錯誤；函數(shù)有意義，則：，解得：，函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且，即函數(shù)是奇函數(shù)，說法③正確；函數(shù)為奇函數(shù)，需滿足：恒成立，即：恒成立，則：，經(jīng)檢驗時，函數(shù)為奇函數(shù)，說法④錯誤.綜上可得：所給的命題中，正確的是①③.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式組，求出實數(shù)的取值范圍；（2）若，則，分和兩種情況，分別列不等式可得實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）因為，所以或．又且，所以，解得所以實數(shù)的取值范圍是．（2）若（補集思想），則．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，即，要使，則，得．綜上，知時，，所以時，實數(shù)的取值范圍是．18.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．（1）求在上解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，以及時，，即可求出在上的解析式；（2）分和兩種情況，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，解正弦函數(shù)的不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）令，則，所以，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以時，；即，；（2）當(dāng)時，，即，所以；當(dāng)時，，即，所以，所以；綜上不等式的解集.19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間上的值域．【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【解析】【分析】(Ⅰ)先用降冪公式輔助角公式將化簡,然后求得最小正周期和單調(diào)減區(qū)間;(Ⅱ)先通過平移得到的解析式,由x∈,可計算得到,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象和單調(diào)性,可得解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)1﹣cos（2x）．所以函數(shù)的最小正周期為，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[]（k∈Z）．（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)g（x）＝2cos（2x）+1的圖象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函數(shù)的值域為[0，3]．【點睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化化歸,數(shù)學(xué)運算的能力,難度較易.20.某公司擬設(shè)計一個扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示）,該扇環(huán)是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點,的兩條線段圍成．設(shè)圓弧和圓弧所在圓的半徑分別為米,圓心角為θ（弧度）．(1)若,,求花壇的面積；(2)設(shè)計時需要考慮花壇邊緣（實線部分）的裝飾問題,已知直線部分的裝飾費用為60元/米,弧線部分的裝飾費用為90元/米,預(yù)算費用總計1200元,問線段AD的長度為多少時,花壇的面積最大？【答案】（1）；（2）當(dāng)線段的長為5米時，花壇的面積最大.【解析】【分析】(1)根據(jù)扇形的面積公式,求出兩個扇形面積之差就是所求花壇的面積即可；(2)利用弧長公式根據(jù)預(yù)算費用總計1200元可得到等式,再求出花壇的面積的表達式,結(jié)合得到的等式,通過配方法可以求出面積最大時,線段AD的長度.【詳解】(1)設(shè)花壇的面積為S平方米.答：花壇的面積為；(2)圓弧的長為米，圓弧的長為米，線段的長為米由題意知，即*，，由*式知，，記則所以=當(dāng)時，取得最大值，即時，花壇的面積最大，答：當(dāng)線段的長為5米時，花壇的面積最大.【點睛】本題考查了弧長公式和扇形面積公式,考查了數(shù)學(xué)閱讀能力,考查了數(shù)學(xué)運算能力.21.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的解析式；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是奇函數(shù)可得，從而可求得值，即可求得的解析式；（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的奇偶性將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，即可求得的取值范圍．【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，可得，函數(shù).（2）由（1）知所以在上單調(diào)遞減.由，得，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，整理得，設(shè)，，則，當(dāng)時，有最大值，最大值為.所以，即.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗證奇偶性.22.設(shè)是函數(shù)定義域的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“準不動點”，也稱在區(qū)間上存在準不動點.已知.（1）若，求函數(shù)的準不動點；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在準不動點，