3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)圖形方程范圍對稱性頂點離心率漸近線關(guān)于x軸，y軸，原點對稱關(guān)于x軸，y軸，原點對稱(±a，0)，(0，±b)長軸：2a，短軸：2b(±a，0)實軸：2a，虛軸：2b無|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈RyxOA2B2A1B1..F1(-c，0)F2(c，0)yB2A1A2B1

xO..F1(-c，0)F2(c，0)圖形方程范圍對稱性頂點離心率漸近線關(guān)于x軸，y軸，原點對稱關(guān)于x軸，y軸，原點對稱(±a，0)實軸：2a，虛軸：2b|x|≥a，y∈RyB2A1A2B1

xO..F1(-c，0)F2(c，0)F2(0，c)F1(0，-c)xB1yO.B2A1A2.|y|≥a，x∈R(0，±a)實軸：2a，虛軸：2b1、“共漸近線”的雙曲線系方程λ>0表示焦點在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點在y軸上的雙曲線。2、“共焦點”的曲線系方程例題解析1、雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為25m，高55m.

選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程(精確到1m).解：根據(jù)雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在的平面建立如圖所示的直角坐標系，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點重合.這時上下口的直徑CC′，BB′都平行于x軸，且|CC′|=13×2，|BB′|=25×2點C的坐標為(13，y)，A′AOxyC′CB′B131225則點B的坐標為(25，y-55).因為直徑AA′是實軸，∴a=12.又B，C兩點都在雙曲線上，所以解方程，得b≈25(負值舍去)例題解析2、點M(x，y)與定點F(5，0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)，求點M的軌跡.∴點M的軌跡是雙曲線.解：設(shè)d是點M到直線l的距離.根據(jù)題意，所求軌跡是集合

將上式兩邊平方，并化簡，得：9x2-16y2=144隨堂練習1、動點M(x，y)與定點F(c，0)(c>0)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)

，求點M的軌跡方程.這就是點M的軌跡方程，點M的軌跡是實軸長為2a，虛軸長為2b的雙曲線令c2-a2=b21、雙曲線的第二定義

動點M與一個定點F的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)

，則這個點的軌跡是雙曲線.y..FF’OM.x“三定”：定點是焦點；定直線是準線；定值是離心率.1、雙曲線的第二定義

思考：中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線的準線方程是怎樣的？xyoF1F2判斷方法：??<0??=0??>0(1)聯(lián)立方程組(2)消去一個未知數(shù)1、復(fù)習：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法相離相切相交2、直線與雙曲線的位置關(guān)系xyOxyO相離：0個交點相交：一個交點相交：兩個交點相切：一個交點2、直線與雙曲線位置關(guān)系與交點個數(shù)2、直線與雙曲線的位置關(guān)系3、代數(shù)法判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系2、直線與雙曲線的位置關(guān)系直線方程：y=kx+m聯(lián)立方程組，消去y，得：(b2-a2k2)x2-2ma2kx-a2m2-a2b2=0(1)若b2-a2k2=0，上式為一元一次方程，方程一個解或無解，此時直線與漸近線平行或重合重合：無交點；平行：有一個交點。(2)若b2-a2k2≠0，上式為一元二次方程，計算△①△<0，直線與雙曲線相離，沒有交點．②△=0，直線與雙曲線相切，有一個交點．③△>0，直線與雙曲線相交，有兩個交點．判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進線平行或重合相交(一個交點)計算判別式△>0△=0△<0相交相切相離相離特別注意：直線與雙曲線的位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支例題解析3、已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4，試討論實數(shù)k的取值范圍，使直線與雙曲線：(1)沒有公共點;(2)有兩個公共點;(3)只有一個公共點;(4)交于異支兩點；(5)與左支交于兩點.△<0且1-k2≠0△>0且x1x2<0△>0且x1+x2<0，x1x2>0隨堂練習2、過點P(1，1)與雙曲線只有一個交點的直線共有_______條.xyO(1，1)。4變題：將點P(1，1)改為1、A(3，4)2、B(3，0)3、C(4，0)4、D(0，0).答案又是怎樣的1、兩條；2、三條；3、兩條；4、零條.例題解析3、過雙曲線的右焦點F2傾斜角為30°的直線交雙曲線于A，B兩點，求|AB|。分析：求弦長問題有兩種方法：法一：如果交點坐標易求，可直接用兩點間距離公式代入求弦長；法二：但有時為了簡化計算，常設(shè)而不求，運用韋達定理來處理.直線與雙曲線問題：弦長公式：設(shè)直線l與雙曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則隨堂練習3、過雙曲線

的左焦點F1作傾斜角為

的直線與雙曲線交于A、B兩點，則|AB|=________3隨堂練習4、雙曲線的兩條漸近線方程為x±2y=0，且截直線x-y-3=0所得弦長為

，則該雙曲線的方程為()D解：設(shè)所求雙曲線x2-4y2=λ(λ≠0)，消去y得，3x2-24x+36+λ=0，隨堂練習5、雙曲線x2-y2=1的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點(異于頂點)，則直線PF的斜率的變化范圍是________________(-∞，0)∪(1，＋∞)隨堂練習6、過原點與雙曲線交于兩點的直線斜率的取值范圍是_________例題解析4、已知雙曲線方程為3x2-y2=3，求：(1)以2為斜率的弦的中點軌跡；(2)過定點B(2，1)的弦的中點軌跡；(3)以定點B(2，1)為中點的弦所在的直線方程.(4)以定點(1，1)為中點的弦存在嗎？說明理由.弦的中點問題(韋達定理與點差法)隨堂練習7、給定雙曲線

，過點A(1，1)能否作直線l使l與所給雙曲線交于兩點P，Q.且A是線段PQ的中點？說明理由.解：假設(shè)存在P(x1，y1)，Q(x2，y2)為直線l上的兩點，且PQ的中點為A，則有兩式相減，并整理得2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2)即k=2所以直線l：y-1=2(x-1)消去y得，2x2-4x+3=0，△<0所以方程無解，故滿足條件的l不存在分析：只需證明線段AB、CD的中點重合即可。證明:(1)若L有斜率，設(shè)L的方程為:y=kx+b問題三：直線與雙曲線相交中的垂直與對稱問題1.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1相交于A、B兩點.(1)當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點；

(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=2x對稱，若存在，求a;若不存在，說明理由.解：將y=ax+1代入3x2-y2=1又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2),得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個實根，必須△>0,∵原點O（0，0）在以AB為直徑的圓上，∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0,∴(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0,解得a=±1.例3、直線y-ax-1=0和曲線3x2-y2=1相交，交點為A、B，當a為何值時，以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點。例題解析5、由雙曲線上的一點P與左、右兩焦點F1、F2構(gòu)成△PF1F2，求△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2的切點坐標。切點三角形

說明：雙曲線上一點P與雙曲線的兩個焦點F1、F2構(gòu)成的三角形稱之為焦點三角形，其中|PF1|、|PF2|和|F1F2|為三角形的三邊。解決與這個三角形有關(guān)的問題，要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦