2024年1月 九省聯(lián)考考后提升卷 解析版

2024年1月“九省聯(lián)考”考后提升卷高三數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：，則這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)是()A.652 B.668 C.671 D.674【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，求得，即可確定第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，可得答案.【詳解】由題意這組數(shù)共12個(gè)，則，將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為第11個(gè)數(shù)，即671，故選：C2.已知橢圓的上頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)恰好是等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三邊為;則即有,解得e,故選：D.3.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分奇偶性討論得，為正偶數(shù)，，為正奇數(shù)，再求和即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故，為正奇數(shù)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，故，為正偶數(shù)；所以，故選：A4..已知，為異面直線(xiàn)，直線(xiàn)與，都垂直，則下列說(shuō)法不正確的是()A.若平面，則，B.存在平面，使得，，C.有且只有一對(duì)互相平行的平面和，其中，D.至少存在兩對(duì)互相垂直的平面和，其中，【答案】A【分析】由線(xiàn)面關(guān)系判斷ABD；由線(xiàn)面垂直判定判斷C；【詳解】對(duì)于A，如下圖所示，在正方體中取為，為，為，平面為平面，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正方體中取為，為，為，平面為平面，此時(shí)，，，故B正確；對(duì)于C，由線(xiàn)面垂直的判定可知，，，過(guò)直線(xiàn)且與垂直的平面只有一個(gè)，過(guò)直線(xiàn)且與垂直的平面只有一個(gè)，則有且只有一對(duì)互相平行的平面和，其中，，故C正確；對(duì)于D，在正方體中取為，為，為，此時(shí)平面平面，平面平面，即至少存在兩對(duì)互相垂直的平面和，其中，，故D正確；故選：A.5.某學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，徑賽類(lèi)共設(shè)100米?200米?400米?800米?1500米5個(gè)項(xiàng)目，田賽類(lèi)共設(shè)鉛球?跳高?跳遠(yuǎn)?三級(jí)跳遠(yuǎn)4個(gè)項(xiàng)目.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)均選擇一個(gè)徑賽類(lèi)項(xiàng)目和一個(gè)田賽類(lèi)項(xiàng)目參賽，則甲、乙的參賽項(xiàng)目有且只有一個(gè)相同的方法種數(shù)等于()A.70 B.140 C.252 D.504【答案】B【分析】由分類(lèi)加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理以及排列組合的計(jì)算即可得解.【詳解】由題意若甲、乙的相同的參賽項(xiàng)目為徑賽類(lèi)項(xiàng)目，則有種選法，他們?cè)俜謩e從田賽類(lèi)項(xiàng)目中各選一個(gè)（互不相同）即可，這時(shí)候有種選法，所以此時(shí)滿(mǎn)足題意的選法有，由題意若甲、乙的相同的參賽項(xiàng)目為田賽類(lèi)項(xiàng)目，則有種選法，他們?cè)俜謩e從徑賽類(lèi)項(xiàng)目中各選一個(gè)（互不相同）即可，這時(shí)候有種選法，所以此時(shí)滿(mǎn)足題意的選法有，綜上所述，甲、乙的參賽項(xiàng)目有且只有一個(gè)相同的方法種數(shù)等于種.故選：B6.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，在側(cè)面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在底面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為圓弧B.若直線(xiàn)與平面所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分C.若，則點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段D.若到直線(xiàn)的距離等于到平面的距離，則點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)的一部分【答案】C【解析】【分析】畫(huà)出正方體，根據(jù)各選項(xiàng)的不同條件對(duì)圖形進(jìn)行分析并運(yùn)算即可得出軌跡問(wèn)題的結(jié)論.【詳解】直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側(cè)面內(nèi)的圓弧上，A正確；過(guò)作于點(diǎn)（如圖），設(shè)，，直線(xiàn)與平面所成角即為，在中，，從而，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分，故B正確；在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內(nèi)的圓弧上，C錯(cuò)誤；到直線(xiàn)的距離等于到平面的距離，即到點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，故點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)的一部分，故D正確.故選：C.7.已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為()A.0 B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)兩角和的正切公式展開(kāi)代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為所以，則，故選：B8.已知，分別為雙曲線(xiàn)：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，若，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題可得，然后利用二倍角公式結(jié)合條件可得，然后根據(jù)離心率公式即得.【詳解】因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，，所以，又，，所以，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.x＝－是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），可得，對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，，故函數(shù)不是偶函數(shù)，A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故是函?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足，解得，則時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，D正確.故選：BCD.10.已知z1與z2是共扼復(fù)數(shù)，以下四個(gè)命題一定是正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】設(shè)，分別求出，得到A不正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得B正確；根據(jù)，可得C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可得D不一定正確，即可求解．【詳解】設(shè)，則，，所以A不正確；又由，，所以，所以B正確；由，所以C正確；由不一定是實(shí)數(shù)，所以D不一定正確.故選：BC11.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.函數(shù)的周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)【答案】BC【解析】【分析】由得函數(shù)的一個(gè)周期，由是奇函數(shù)得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，兩條件結(jié)合得函數(shù)的奇偶性.【詳解】由，得，將代入，，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為7，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由是奇函數(shù)得，因?yàn)楹?，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，B項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，將代入，得，即函?shù)為偶函數(shù)，C項(xiàng)正確.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先解分式不等式，即可得出集合，再由，且，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解】由可得：，解得：，所以，因?yàn)?，且，所?故答案為：.13.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則【答案】【分析】設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.14.已知數(shù)列滿(mǎn)足，,則的前項(xiàng)積的最大值為【答案】1【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期為，然后個(gè)數(shù)為一組，分別計(jì)算的表達(dá)式后進(jìn)行研究.【詳解】由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由得：.記數(shù)列的前項(xiàng)積為，結(jié)合數(shù)列的周期性，當(dāng)，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數(shù)，令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則，即；類(lèi)似的，.綜上所述，的前項(xiàng)積的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）設(shè)函數(shù)，，，已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直．（1）求a的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間；【答案】（1）2（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得關(guān)于a的方程，解方程即可得出答案；（2）對(duì)求導(dǎo)，分和討論的正負(fù)，即可求出的單調(diào)性；【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)?，，由于直線(xiàn)的斜率為，.6分【小問(wèn)2詳解】，，①當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.13分【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、求單調(diào)區(qū)間和利用導(dǎo)數(shù)求解恒成立問(wèn)題；本題求解恒成立問(wèn)題的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.16．（15分）為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)實(shí)踐能力，某中學(xué)開(kāi)展了舊物義賣(mài)活動(dòng)，所得善款將用于捐贈(zèng)“圓夢(mèng)困境學(xué)生”計(jì)劃.活動(dòng)共計(jì)50多個(gè)班級(jí)參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當(dāng)屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2,3班分別有的同學(xué)有購(gòu)買(mǎi)意向.假設(shè)三個(gè)班的人數(shù)比例為6：7:8(1)現(xiàn)從三個(gè)班中隨機(jī)抽取一位同學(xué)：(i)求該同學(xué)有購(gòu)買(mǎi)意向的概率；(ii)如果該同學(xué)有購(gòu)買(mǎi)意向，求此人來(lái)自2班的概率；(2)對(duì)于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計(jì)了一種有趣的“擲骰子叫價(jià)確定購(gòu)買(mǎi)資格”的競(jìng)買(mǎi)方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價(jià)，通過(guò)擲骰子確定新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)大于2，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)小于3，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價(jià)；重復(fù)上述過(guò)程，能叫到10元，即獲得以10元為價(jià)格的購(gòu)買(mǎi)資格，未出現(xiàn)叫價(jià)為10元的情況則失去購(gòu)買(mǎi)資格，并結(jié)束叫價(jià).若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計(jì)其獲得該筆記本購(gòu)買(mǎi)資格的概率(精確到0.01).【答案】(1)(i)(2)0.75.【分析】(1)設(shè)事件“該同學(xué)有購(gòu)買(mǎi)意向”,事件“該同學(xué)來(lái)自i班”(i=1,2,3).根據(jù)全概率公式即可求解,根據(jù)條件概率公式即可求解(2)由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為,每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為,叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：=1\*GB3①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為=2\*GB3②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.于是得到,構(gòu)造等比數(shù)列,結(jié)合累加法可求解?！驹斀狻?1)(i)設(shè)事件A=“該同學(xué)有購(gòu)買(mǎi)意向”，事件Bi=“該同學(xué)來(lái)自i班”由題意可知,所以，由全概率公式可得8分(2)由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為,每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為,叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：=1\*GB3①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為=2\*GB3②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為于是得到,易得由于于是當(dāng)時(shí),數(shù)列是以首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列,故.于是=$于是，甲同學(xué)能夠獲得筆記本購(gòu)買(mǎi)資格的概率約為0.75.15分【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)中關(guān)鍵是設(shè)叫價(jià)為元的概率為,利用叫價(jià)為元是在叫價(jià)為元的基礎(chǔ)上再叫價(jià)1元或在叫價(jià)為(元的基礎(chǔ)上再叫價(jià)2元，從而確定與的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)列中的構(gòu)造法和累加法即可求解.17．（15分）如圖，在多面體中，底面為菱形，平面，，且為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求的值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，作平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）利用（1）中信息，假定存在符合條件的點(diǎn)，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即得.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，由四邊形為菱形，得，過(guò)點(diǎn)作平面，顯然直線(xiàn)兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由平面，得，又，且，則，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，則，取，得，則，取，得，設(shè)二面角的大小為，則，因此，所以二面角的正弦值為.8分【小問(wèn)2詳解】存在符合題意，且.理由如下：令，而，棱中點(diǎn)，則，，，若平面，而平面的法向量，則，即，因此，解得，即，則，所以在點(diǎn)使得平面，.15分18．（17分）與x軸不垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)T:于M、N兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有(1)求拋物線(xiàn)T的方程：(2)過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)T于A、B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AQ、BQ分別交拋物線(xiàn)T于C、D;G、H分別為AB、CD的中點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1)(2)【解析】(1)設(shè)M,N,由拋物線(xiàn)定義可知,又線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)E(3,0),故|ME|=|NE|,即(==2因?yàn)?所以(,即,則有,即拋物線(xiàn)T的方程為.7分（2）設(shè)代入得,則有,所以,故設(shè)C(,D(,則解得,同理，,所以H點(diǎn)的橫坐標(biāo)為H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以,有,9分記