專(zhuān)題03任意角及其度量（2大考點(diǎn)3種題型）（原卷版）

專(zhuān)題03任意角及其度量（2大考點(diǎn)3種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、任意角考點(diǎn)二、角的度量題型一．任意角的三角函數(shù)的定義題型二．三角函數(shù)值的符號(hào)題型三：角的度量考點(diǎn)一、任意角1.正角、負(fù)角、零角：正角：一條射線繞端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角為正角，其度量值是正的；負(fù)角：一條射線繞端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，其度量值是負(fù)的.零角：當(dāng)一條射線沒(méi)有旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱(chēng)為零角.零角的始邊與終邊重合.【小結(jié)】這樣，我們可將角的概念推廣到任意角，包括正角、負(fù)角與零角，也包括超過(guò)的角.2.象限角和軸線角：（1）為了便于研究角及與其相關(guān)的問(wèn)題，可將角置于平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的正半軸重合，此時(shí)角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角，或者說(shuō)這個(gè)角屬于第幾象限.如圖，和都是第一象限角，和都是第二象限的角.（2）當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，就說(shuō)這些角不屬于任一象限，這種角稱(chēng)為軸線角.3.終邊相同的角：我們把所有所有與角終邊重合的角（包括角本身）的集合表示為.【小結(jié)】①終邊在軸正半軸上的角的集合為；②終邊在軸負(fù)半軸上的角的集合為；③終邊在軸上的角的集合為；④終邊在軸上的角的集合為；⑤終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為；⑥第二象限角的集合為.【注意】后綴表示射線，表示直線.考點(diǎn)二、角的度量一般地說(shuō)，如果一個(gè)半徑為的圓的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，那么就是角的絕對(duì)值，即，的符號(hào)由它的始邊旋轉(zhuǎn)至終邊的方向決定【逆正順負(fù)】.【注意】角度弧度（5）象限角的表示：第一象限的角的集合：第二象限的角的集合：第三象限的角的集合：第四象限的角的集合：【注意】題型一．任意角的三角函數(shù)的定義【例1】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）下列命題中，正確的是A．第二象限角大于第一象限角 B．若，是角終邊上一點(diǎn)，則 C．若，則、的終邊相同 D．的解集為【例2】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）“，”是“”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【例3】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）若角的終邊上有一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．【例4】．（2023?上海模擬）已知為角終邊上一點(diǎn)，則．【例5】．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知終邊過(guò)點(diǎn)，若，則．【例6】．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）角是第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，把角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得角，則角終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．題型二．三角函數(shù)值的符號(hào)【例1】．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點(diǎn)在第四象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例2】．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是A． B． C． D．【例3】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)是第______象限角終邊上的點(diǎn)A．一 B．二 C．三 D．四【例4】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）若，，則是第象限角．A．一 B．二 C．三 D．四【例5】．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）為第三象限角，且，則在第象限．題型三：角的度量【例1】．（2023下·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？计谀┌霃綖?，弧長(zhǎng)為2的扇形的圓心角為弧度.【例2】．（2023下·上海長(zhǎng)寧·高一統(tǒng)考期末）將弧度化為角度：弧度=°．【例3】．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）把化為弧度.【例4】．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校?50度＝（填弧度）；【例5】．（2023下·上海浦東新·高一校考期中）在單位圓中，圓心角為的弧長(zhǎng)為．【例6】．（2023下·上海閔行·高一?？茧A段練習(xí)）若扇形的圓心角為，面積為，則扇形的半徑為.【例7】．（2023上·上海松江·高一?？计谀┤羯刃蔚陌霃綖?，弧長(zhǎng)為3，則扇形的面積為.【例8】．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)扇形的圓心角大小為，弧長(zhǎng)為，則其面積為.【例9】．（2023下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為，則該扇形的弧長(zhǎng)為.【例10】．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┮阎獔AO上的一段圓弧長(zhǎng)等于該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則這段圓弧所對(duì)的圓心角的弧度為．【例11】．（2023下·上海奉賢·高一校考期中）已知半徑為的扇形的圓心角為，則扇形的面積為．【例12】．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為，且半徑為，則該扇形的面積為．【例13】．（2022上·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谀皵?shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫(xiě)折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書(shū)畫(huà)，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中，，M為的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是．一、填空題1．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┡c角終邊重合的角的集合是.2．（2023上·上海·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，其終邊經(jīng)過(guò)，則.3．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ行兄袑W(xué)校考階段練習(xí)）若，則是第象限角.（填“一”、“二”、“三”或“四”）4．（2023下·上海·高一上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎?弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4厘米，則此圓心角所夾的扇形面積為.5．（2023下·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)校考期中）已知扇形的半徑為10，圓心角為，則扇形的弧長(zhǎng)為．6．（2023下·上海青浦·高一上海市朱家角中學(xué)?？计谥校┮阎刃蔚幕￠L(zhǎng)為2cm，半徑為2cm，則該扇形的圓心角7．（2023下·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎?，若與的終邊相同，且，則8．（2023下·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┮粋€(gè)扇形的圓心角為弧度，扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，則圓心角是弧度.9．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中，則角的余弦值為.10．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）若，則點(diǎn)必在第象限．11．（2022上·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谀⒔堑慕K邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得角，寫(xiě)出所有終邊與相同的角的集合．12．（2023下·上海靜安·高一校考期中）角的頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則．二、單選題13．（2023下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以下命題中所表述的角都是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合的角.①小于的角一定是銳角；

②第二象限的角一定是鈍角；③終邊重合的角一定相等；

④相等的角終邊一定重合.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2020下·上海靜安·高一統(tǒng)考期末）的值是（

）A． B． C． D．15．（2023上·上海·高一上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)16．（2023下·上海嘉定·高一?？计谥校┤羰堑谝幌笙藿牵瑒t下列各角是第三象限角的是（

）A． B． C． D．三、解答題17．（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）已知角的集合為，回答下列問(wèn)題：(1)集合M中有幾類(lèi)終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)求集合M中的第二象限角．18．（2023下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，求及的值．19．（2023下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，求角的正弦和余弦值．20．（2023