初中數(shù)學-分式方程及應用復習教學設計學情分析教材分析課后反思

一師一優(yōu)課教學設計

科目：數(shù)學課題:分式方程及其應用復習課時：1課時

設計者：單位：

一、教學內容分析

分式方程是初中數(shù)學的重點內容，本節(jié)課是魯教版版八年級上冊

第二章《分式與分式方程》一分式方程及其應用的期中復習課，教學

重點是分式方程的定義、解法、增根及應用，難點是增根和應用，讓

學生在學習過程中體會“轉化”、“方程”的數(shù)學思想，提高分析問

題、解決問題的能力。

二、教學目標：

(1)知識與技能

1.進一步掌握分式方程的定義、解法、增根及應用。

2.熟練利用分式方程分析問題、解決問題。

(2)過程與方法

1.通過合作、交流、展示、點評、質疑等方式促進學生對知識的掌握。

2.體會“轉化”、“方程”的數(shù)學思想解決問題。

(3)情感與態(tài)度

1.進一步體會數(shù)學與生活的聯(lián)系，了解數(shù)學的價值。

2.增強學生合作與交流的意識，培養(yǎng)學習的興趣。

三、教學重點及難點

重點：進一步掌握分式方程的定義、解法、增根及應用。

難點：進一步理解增根的條件，靈活應用分式方程解決實際問題。

四、學情分析

通過前面的學習，學生認識了分式方程這樣的數(shù)學模型，并且學會了

解分式方程、用分式方程解決生活中實際問題。學生已經歷用分式方

程來刻畫現(xiàn)實世界問題的過程，也經歷了探索解分式方程的過程，獲

得了一些數(shù)學活動經驗和體驗，同時在以前學習了列一元一次方程、

二元一次方程組解應用題，為本節(jié)分式方程及其應用的復習打下了基

礎

五、教法

在本課的教學中，為了達成教學目標，突出重點，攻破難點，教

師運用嘗試教學法，生生互動教學法和小組合作教學法。

六、教具和課程資源準備

多媒體設備，課件

教學過程：

一、出示學習目標：

1、掌握分式方程的定義，熟練解分式方程.

2、理解并掌握分式方程中增根的意義.

3、會分析實際問題中的等量關系，能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關

系列出分式方程，解決實際問題.

教師活動：1.出示學習目標，明確學習任務。

二、課前熱身：

1.下列關于x的方程中，是分式方程的是（）

2

Q2L-AD(xT)

ababx-1

QY

2.解分式方程：TZT^Z7=4時，去分母后得（）

3-x=4(x-2)B.3+x=4(x-2)

C.3(2-x)+x(x-2)=4D.3-x=4

3.解分式方程：27TT27=1I

4.（2013?泰安）某電子元件廠準備生產4600個電子元I

件，甲車間獨立生產了一半后，由于要盡快投入市場，/

乙車間也加入該電子元件的生產，若乙車間每天生產的

電子元件是甲車間的1.3倍，結果用33天完成任務，問甲

車間每天生產電子元件多少個？在這個問題中設甲車間

每天生產電子元件x個，根據(jù)題意可得方程為（）

D

2300,2300”

丁E7=33

2300,4600

x。+1.3/33

教師活動：在開始數(shù)學之旅之前我們先做個知識熱身，回憶一下分式

方程的相關內容。

學生活動：1、生獨立完成課前熱身相關題目，共同訂正答案。

教師活動：引導學生復習分式方程的相關內容。

設計意圖：

讓學生通過簡單題目的訓練初步喚醒大腦中對相關知識的記憶，為

復習及梳理知識體系做準備

三、知識梳理

1.中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的基本思路：分式方程

「最簡公分母為0,x二a是增根，原方程無解.

x-a-z

［最簡公分母不為0,x二a是原方程的解.

3.列分式方程解應用題的一般步驟：

學生活動：學生通過課前準備練習，回憶梳理知識體系，并主動回答

教師活動：板書知識體系，引導學生歸納總結

設計意圖：老師提問學生，以框架圖的形式梳理本節(jié)課知識點，并重點性的板

書，。本環(huán)節(jié)設計的主要目的是：使學生對本節(jié)課的知識有個整體的認識，形成

清晰的思路，以便更好地完成學習目標。

四.例題講解：

例1.解分式方程：

x-2_1

（師：師生共同完成，有必要時老師補充、糾正）

解分式方程的一般步驟：

（1）去分母（方程兩邊都乘以最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程）

（2）去括號（利用去括號法則）

（3）移項（移誰改變誰的符號）

（4）合并同類項（利用合并同類項法則）

（5）化系數(shù)為1（系數(shù)是誰方程兩邊同時除以誰）

（6）驗（雙重）

【把所求得的未知數(shù)的值代入原分式方程進行檢驗，一看是否解方程正確，二看

是否是增根，即：如果未知數(shù)的值使原分式方程的分母為0,則說明是增根，所

以原分式方程無解，如果未知數(shù)的值使原分式方程的分母不為0,則說明不是增

根，是原分式方程的根?！?/p>

【問題診斷分析】學生有可能在解題過程中：（1）最簡公分母確定的不準確；（2）

去分母時漏乘整式項；（3）去分母時忽略符號的變化；（4）忘記檢驗。通過這道題

的解法，讓學生更進一步知道，產生增根的原因是：在去分母時給分式方程的兩

邊同乘以最簡公分母，最簡公分母可能為0了，則原分式方程就沒有意義了，所

以最后的檢驗是必須的。

【設計意圖】因為解分式方程是要求學生掌握的基本技能，所以先讓學生復習解

分式方程的一般步驟，然后讓學生明確解題過程中應注意的問題。再通過獨立解

題過程中學生出現(xiàn)的問題，反思解題中常出現(xiàn)的錯誤，從正、反兩個方面加深學

生對知識的理解和掌握。

鞏固練習（學生獨學）：（出示幻燈片）

1.解方程

6X+5l-2x、3

-----=--------------=2+-——

X+1x（x+1）x-22-x

2、當m=______時，解分式方程號=畀會出現(xiàn)增根.

x-33-x

練習：若關Fx的分式方程2,3_m解是小負數(shù)，求1n的取

值范圍x+l十x-1—x2-l

學生活動：1.獨立完成1.2學生上臺板演

教師活動：展臺展示，對學生的解答做出評價，對學困生個別指導

總結第二題的方法

1、用含字母的式子表示分式方程的根

2、讓最簡公分母為。確定增根

3、根據(jù)具體要求求解

并立即變式鞏固完成練習的題目。

設計意圖：解分式方程是基本的計算題題型之一，用途很廣很重要，

引入不同的題型，變式類似的題型，使學生更進一步掌握分式方程的

定義、解法及增根，培養(yǎng)學生計算能力和解決問題的能力

例2.（2014年泰安）某超市用3000元購進某種干果銷售，由于銷售

狀況良好，超市又調撥9000元資金購進該種干果，但這次的進價比

第一次的進價提高了20%,購進干果數(shù)量是第一次的2倍還多300千

克，如果超市按每千克9元的價格出售，當大部分干果售出后，余下

的600千克按售價的8折售完.

（1）該種干果的第一次進價是每千克多少元？

（2）超市銷售這種干果共盈利多少元？

學生活動：1.學生獨立答，互相交流做法

教師活動：1.對學困生個別指導

2.對學生的做法做出評價，強調基本解題思想

設計意圖：通過這一環(huán)節(jié)的練習，不但讓學生能夠熟練的建立分式方程數(shù)學模

型解決實際問題，培養(yǎng)了學生的數(shù)學應用意識，強化數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，突

破了難點，規(guī)范方程應用的基本步驟

鞏固練習

（2015?泰安）某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種

款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙

種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少

30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？

學生活動：學生獨立完成，展示學生做法

教師活動：做出評價及指導

設計意圖：進一步明確分式方程應用的基本步驟

六、回顧與反思：（出示幻燈片）

同學們通過課本課本、練習，課堂學習后，談談你的收獲？你還有什么困惑？你

獲得的數(shù)學思想？（學生交流后老師請學生回答）.

【設計意圖】學生自己暢所欲言談收獲，既對本節(jié)知識的復習，又對學生的歸納、

表達能力進行了訓練。

教師活動：1.對學生的表現(xiàn)做出評價。

2.送給學生的話：一切問題都可以轉化為數(shù)學問題，一

切數(shù)學問題都可以轉化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉化為

方程。因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解

---------笛卡爾

九.作業(yè)

1.學案

2.提升（2015?泰安）某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤

衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的

件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件

的進價少30元.

（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？

（2）商店進價提高60%標價銷售，銷售一段時間后，甲款型全部售完,

乙款型剩余一半，商店決定對乙款型按標價的五折降價銷售，很快全

部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？

分式方程及應用作業(yè)

7x

1、分式忘■與不7的和為4,則x的值為—

2、（2016?泰安）某機加工車間共有26名工人，現(xiàn)要加工2100個A零件，1200個B零件，

已知每人每天加工A零件30個或B零件20個，問怎樣分工才能確保同時完成兩種零件的

加工任務（每人只能加工一種零件）？設安排x人加工A零件，由題意列方程得（）

A.21001200B.2100.1200

30x20（26-x）x26-x

C.2100=1200D.21°0乂30=120°X2O

20x30（26-x）x26-x

3、（2017?泰安）某服裝店用10000元購進一批某品牌夏季襯衫若干件，很快售完；該店

又用14700元錢購進第二批這種襯衫，所進件數(shù)比第一批多40%,每件襯衫的進價比第--批

每件襯衫的進價多10元，求第一批購進多少件襯衫？設第一批購進x件襯衫，則所列方程

為（）

1OOOO,八1470010000,八14700

A.------------10=B.---------+10=

X(l+4O%)xX(l+4O%)x

,八,八

C.1OOOO--1-4-7-0-0D.--1-0-0-0-0--+10147-00-----

(l-40%)xX1-40%XX

4、（2010?泰安）某商店經銷一種泰山旅游紀念品，4月份的營業(yè)額為2000元，

為擴大銷售量，5月份該商店對這種紀念品打一9折銷售，結果銷售量增加20件，

營業(yè)額增加700元.

（1）求該種紀念品4月份的銷售價格；

（2）若4月份銷售這種紀念品獲利800元，5月份銷售這種紀念品獲利多少元？

5、（2011?泰安）某工廠的甲車間承擔了加工2100個機器零件的任務，甲車間單

獨加工了900個零件后，由于任務緊急，要求乙車間與甲車間同時加工，結果比

原計劃提前12天完成任務.已知乙車間的工作效率是甲車間的1.5倍，求甲、

乙兩車間每天加工零件各多少個？

6、（2018?泰安）文美書店決定用不多于20000元購進甲乙兩種圖書共1200本進

行銷售.甲、乙兩種圖書的進價分別為每本20元、14元，甲種圖書每本的售價

是乙種圖書每本售價的1.4倍，若用1680元在文美書店可購買甲種圖書的本數(shù)

比用1400元購買乙種圖書的本數(shù)少10本.

（1）甲乙兩種圖書的售價分別為每本多少元？

（2）書店為了讓利讀者，決定甲種圖書售價每本降低3元，乙種圖書售價每本

降低2元，問書店應如何進貨才能獲得最大利潤？（購進的兩種圖書全部銷售完.）

7、（2019?泰安）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習俗，某商場在端午節(jié)來臨

之際用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同，已

知A粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍.

（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？

（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購買A、B兩種粽子共2600個，已知A、B兩種粽

子的進價不變，求A中粽子最多能購進多少個？

答案

1、32、A3、B

4、【分析】（1）等量關系為：4月份營業(yè)數(shù)量=5月份營業(yè)數(shù)量-20；

（2）算出4月份的數(shù)量，進而求得成本及每件的盈利，進而算出5月份的售價

及每件的盈利，乘以5月份的數(shù)量即為5月份的獲利.

【解答】解：（1）設該種紀念品4月份的銷售價格為x元.

根據(jù)題意得2000=2000+700

x0.9x

20003000印

-------=---------20

xx

20x=1000

解之得x=50,

經檢驗x=5O是原分式方程的解，且符合實際意義，

該種紀念品4月份的銷售價格是50元；

（2）由（1）知4月份銷售件數(shù)為空空為0（件），

504

，四月份每件盈利塑=20（元），

404

5月份銷售件數(shù)為40+20=60件，且每件售價為50X0.9=45（元），每件比4月

份少盈利5元，為20-5=15（元），

所以5月份銷售這種紀念品獲利60X15=900（元）.

【點評】找到相應的關系式是解決問題的關鍵.注意求獲利應求得相應的數(shù)量與

單件獲利

5、【分析】先設甲車間每天加工零件x個，則乙車間每天加工零件1.5x個，由

題意列分式方程即可得問題答案.

【解答】解：設甲車間每天加工零件x個，則乙車間每天加工零件1.5X個.

根據(jù)題意，得2100-90。-2100-900=

xx+1.5x

解之，得x=60,

經檢驗，x=60是方程的解，符合題意，

1.5x=90.

答：甲乙兩車間每天加工零件分別為60個、90個.

【點評】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等

量關系是解決問題的關鍵.本題需注意應設較小的量為未知數(shù)

6、【分析】(1)根據(jù)題意，列出分式方程即可；

(2)先用進貨量表示獲得的利潤，求函數(shù)最大值即可.

【解答】解：(1)設乙種圖書售價每本x元，則甲種圖書售價為每本1.4x元

由題意得：1400168O=IO

x1.4x

解得:x=2O

經檢驗，x=2O是原方程的解

二甲種圖書售價為每本1.4X20=28元

答：甲種圖書售價每本28元，乙種圖書售價每本20元

(2)設甲種圖書進貨a本，總利潤W元，則

W=(28-20-3)a+(20-14-2)(1200-a)=a+4800

V20a+14X(1200-a)<20000

解得aW國6

3

隨a的增大而增大

當a最大時w最大

...當a=533本時,w最大

此時，乙種圖書進貨本數(shù)為1200-533=667(本)

答：甲種圖書進貨533本，乙種圖書進貨667本時利潤最大.

7、｛解析｝本題考查了運用分式方程和一元一次不等式解決實際問題.(1)根據(jù)題意列分式

方程，需注意分式方程的解既要考慮是否有意義，還要考慮是否符合實際情況；(2)利用

一元一次不等式確定A種粽子數(shù)量的取值范圍，然后在范圍內確定最多能購進多少.

｛答案｝解：(1)設B種粽子的單價為x元，則A種粽子的單價為1.2x元

根據(jù)題意，得

解得:x=2.5...................................................................................................................5分

經檢驗，x=2.5是原方程的根

1.2x=1.2X2.5=3

所以A種粽子的單價是3元，8種粽子的單價是2.5元....................7分

(2)設A種粽子購進m個，則購進B種粽子(2600-m)個

根據(jù)題意，得

3m+2.5(2600-m)W7000........................................................................................9分

解得mW1000

所以，A種粽子最多能購進1000個....................................11分

學情分析

學生是數(shù)學課堂教學中的主體，老師只是組織者、引導者和合作者,

好的課堂教學應該是讓學生能夠積極發(fā)揮主觀能動性的教學過程。要

通過探究活動來激發(fā)學生的學習積極性和潛力，使他們在自主學習和

合作交流的過程中真正理解、掌握和運用基本知識，技能和思想方法,

提高解決問題的能力。同時要注意學生的個體差異，有效的進行因材

施教。使每個學生的積極性和潛力都能得到充分的發(fā)揮。另外，我覺

得要加強師生之間的情和力，要多研究學生，注意師生之間的思維差

異，多加引導學生與老師在探究活動中的配合和默契。

我們教師必須從學生的認知結構和心理特征出發(fā)，分析初中學生的心

理特征，他們有強烈的好奇心和求知欲。經過前面的學習，他們已經

具備了一定的探索能力，也初步養(yǎng)成了合作交流的習慣。大多數(shù)學生

的好勝心比較強，性格比較活潑，他們希望有展現(xiàn)自我才華的機會。

教師能完成既定教學目標，展示了個性化的教學特色，有效促進

學生發(fā)展，高效地幫助學生掌握了重點難點。關注學生認知水平和個

體差異，全體學生都能參與到學習活動中，學生能在學習活動中獲得

良好的體驗和感悟，達成三維目標。

準確定位本課的教學重點和難點，引起學生的學習興趣、調動學

生的學習積極性。熱身活動的設計為復習做好鋪墊，學生通過有條理

的語言表達，進一步提高了數(shù)學語言的運用能力，為今后的邏輯說理

和嚴格證明打下堅實的基礎。另外，教師讓學生上臺板演，讓學生真

正成為課堂的主人，學生積極性很高。

總之，本課教學密度、時間設計合理。教師善于傾聽，并指導學

生做好的聽眾，能正確評價學生在課堂中的表現(xiàn)。利用多種教學手段

激發(fā)學習的興趣，培養(yǎng)學生的合作意識，符合新課標的理念。

不足：

1、應用題點評之前給學生預留的討論交流時間短了一些，導致部分

學生思考不深入。

2、其次是學生回答完問題后老師重復太多，時間有些緊張。

3、部分學生在活動環(huán)節(jié)中思想處于游離狀態(tài)，老師需要多走進學生，

多觀察學生動向，讓盡可能多的學生參與到課堂中來；其次學生活動

后應讓盡可能多的學生發(fā)表自己的見解，總結活動收獲。

教材分析

本節(jié)課內容是在復習過一元一次方程和二元一次方程及其應用的基

礎上進行的，是對方程應用的擴展，是對分式及其運算的學習和對方

程及其應用的濃縮和概括，且在進一步學習一元二次方程和高次方程

組及其應用等知識時具有一定的地位和作用。讓學生在學習過程中體

會“轉化”、“方程”的數(shù)學思想，提高分析問題、解決問題的能力。

教學反思

新課程提倡自主、合作、探究的學習方式，課堂教學是學生學習

科學文化知識的主陣地，也是對學生進行思想品德教育的主渠道。教

師應著力構建自主的課堂，讓學生在生動、活潑的狀態(tài)中高效率地學

習.

注重現(xiàn)實背景，讓學生感受其實際意義，激發(fā)學生的學習興趣；并注

意讓學生在學習的過程和實際應用中逐步深化對概念的理解和認識。

注重與學生已有知識的聯(lián)系，引導學生與原有的知識聯(lián)系、比較，經

歷對知識拓展、歸納、更新的過程。

注意溝通分式方程和一元一次方程、不等式的聯(lián)系和相互轉化，提

供學生進行探究性學習的題材，重視學生對知識綜合應用能力的培養(yǎng)。

這