2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題五　第2講　隨機(jī)變量及其分布56

第2講隨機(jī)變量及其分布一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·渭南模擬)已知隨機(jī)變量η的分布列為P(η＝i)＝eq\f(ai,4)(i＝1,2,3,4)，則P(η＝3)等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(1,3)2．在一個(gè)袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)小球，設(shè)取的3個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是()A．P(X＝1)＝eq\f(3,7)B．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布C．隨機(jī)變量X服從超幾何分布D．E(X)＝eq\f(3,8)3．(2023·寧德質(zhì)檢)某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個(gè)不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗(yàn)，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個(gè)品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量(單位：克)分別為X，Y，且X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其密度曲線如圖所示，則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)C．甲種茶青每500克的紅茶產(chǎn)量超過μ2的概率大于eq\f(1,2)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝14．小華與另外4名同學(xué)進(jìn)行“手心手背”游戲，規(guī)則是：5人同時(shí)隨機(jī)選擇手心或手背其中一種手勢(shì)，規(guī)定相同手勢(shì)人數(shù)更多者每人得1分，其余每人得0分．現(xiàn)5人共進(jìn)行了3次游戲，記小華3次游戲得分之和為X，則E(X)為()A.eq\f(15,16)B.eq\f(33,16)C.eq\f(15,8)D.eq\f(3,2)5．(2022·全國乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大6．(2023·泰州模擬)在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機(jī)變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若ξ是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對(duì)?a>0，都有P(ξ≥a)≤eq\f(Eξ,a).某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過100萬元”為事件A，其概率為P(A)．則P(A)的最大值為()A.eq\f(27,1000)B.eq\f(243,1000)C.eq\f(4,27)D.eq\f(4,9)二、多項(xiàng)選擇題7．(2023·沈陽模擬)為調(diào)查中學(xué)男生的肺功能情況，對(duì)兩學(xué)校各1000名男生的肺活量數(shù)據(jù)(單位：mL)進(jìn)行分析，隨機(jī)變量X表示甲校男生的肺活量，且X～N(3000,2002)，隨機(jī)變量Y表示乙校男生的肺活量，且Y～N(3200,3002)，則下列說法中正確的有()A．甲校男生肺活量數(shù)據(jù)的均值低于乙校B．乙校男生肺活量數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度大于甲校C．估計(jì)甲、乙兩校男生肺活量在3000mL～3200mL的人數(shù)占比相同D．估計(jì)甲校男生肺活量低于2800mL的人數(shù)比乙校男生肺活量低于2800mL的人數(shù)多8．隨機(jī)變量ξ的分布列如表所示，其中xy≠0，下列說法正確的是()ξ012Pxeq\f(y,3)eq\f(2y,3)A.x＋y＝1B．E(ξ)＝eq\f(5y,3)C．D(ξ)有最大值D．D(ξ)隨y的增大而減小三、填空題9．(2023·南通模擬)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，則D(4X＋1)＝________.10．(2023·青島模擬)某市高三年級(jí)男生的身高X(單位：cm)近似服從正態(tài)分布N(175，σ2)，已知P(175≤X<180)＝0.2，若P(X≤a)∈[0.3,0.5]．寫出一個(gè)符合條件的a的值為________．11．把半圓弧分成4等份，以這些分點(diǎn)(包括直徑的兩端點(diǎn))為頂點(diǎn)，作出三角形，從中任取3個(gè)不同的三角形，則這3個(gè)不同的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)X不少于2的概率為________．12.(2023·汕頭模擬)某單位有10000名職工，想通過驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占5%，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次．統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次．按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)________次．(結(jié)果保留四位有效數(shù)字)(0.955≈0.7738,0.956≈0.7351，0.957≈0.6983)．四、解答題13．(2023·衡陽名校協(xié)作體模擬)某區(qū)在高中階段舉行的物理實(shí)驗(yàn)技能操作競(jìng)賽分基本操作與技能操作兩步進(jìn)行，第一步基本操作：每位參賽選手從A類7道題中任選4題進(jìn)行操作，操作完后正確操作超過兩題的(否則終止比賽)才能進(jìn)行第二步技能操作．第二步技能操作：從B類5道題中任選3題進(jìn)行操作，直至操作完為止．A類題操作正確得10分，B類題操作正確得20分．以兩步總分和決定優(yōu)勝者．總分80分或90分為二等獎(jiǎng)，100分為一等獎(jiǎng)．某校選手李明A類7題中有5題會(huì)操作，B類5題中每題正確操作的概率均為eq\f(2,3)，且各題操作互不影響．(1)求李明被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知李明A類題全部操作正確，求李明B類題操作完后得分的分布列及均值；(3)求李明獲二等獎(jiǎng)的概率．14．(2023·龍巖質(zhì)檢)新能源汽車是中國戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)之一，政府高度重視新能源產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，某企業(yè)為了提高新能源汽車品控水平，需要監(jiān)控某種型號(hào)的汽車零件的生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的該零件中隨機(jī)抽取100件，測(cè)得該零件的質(zhì)量差(這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對(duì)值)的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表．質(zhì)量差(單位：mg)5667707886件數(shù)(單位：件)102048193(1)求樣本平均數(shù)eq\x\to(x)的值；根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，得到該零件的質(zhì)量差(這里指質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的差的絕對(duì)值)X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ2的近似值為36，用樣本平均數(shù)eq\x\to(x)作為μ的近似值，求概率P(64≤X≤82)的值；(2)若該企業(yè)有兩條生產(chǎn)該零件的生產(chǎn)線，其中第1條生產(chǎn)線的生產(chǎn)效率是第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)效率的兩倍．若第1條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.015，第2條生產(chǎn)線出現(xiàn)廢品的概率約為0.018，將這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)出來的零件混放在一起，這兩條生產(chǎn)線是否出現(xiàn)廢品相互獨(dú)立．現(xiàn)從該