2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題二　培優(yōu)點5　極化恒等式、奔馳定理與等和線定理3

培優(yōu)點5極化恒等式、奔馳定理與等和線定理平面向量基本定理及數(shù)量積是高考考查的重點，很多時候需要用基底代換，運算量大且復(fù)雜，用向量極化恒等式、奔馳定理、等和(高)線求解，能簡化向量代換，減少運算量，使題目更加清晰簡單．考點一向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：(1)a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).(2)如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點，則Aeq\o(B,\s\up6(→))·Aeq\o(C,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))2＝Aeq\o(M,\s\up6(→))2－Meq\o(B,\s\up6(→))2.例1(1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點．Beq\o(A,\s\up6(→))·Ceq\o(A,\s\up6(→))＝4，Beq\o(F,\s\up6(→))·Ceq\o(F,\s\up6(→))＝－1，則Beq\o(E,\s\up6(→))·Ceq\o(E,\s\up6(→))的值為________．(2)(2023·鄭州模擬)如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，點P為AC邊上的一個動點，長度為6的線段EF的中點為B，則eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))的取值范圍是________．規(guī)律方法利用向量的極化恒等式可以對數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點的向量問題．跟蹤演練1(1)如圖，△AOB為直角三角形，OA＝1，OB＝2，C為斜邊AB的中點，P為線段OC的中點，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))等于()A．1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)(2)如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD內(nèi)一點(包含邊界)，且PA⊥PB，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范圍是________．考點二平面向量“奔馳定理”定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例2(1)已知O是△ABC內(nèi)部一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實數(shù)m等于()A．2B．3C．4D．5(2)(2023·重慶模擬)△ABC內(nèi)一點O滿足關(guān)系式S△OBC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△OAC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△OAB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若△ABC的三邊為a，b，c，現(xiàn)有a·eq\o(OA,\s\up6(→))＋b·eq\o(OB,\s\up6(→))＋c·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則O為△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心易錯提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內(nèi)一點；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個三角形的面積之比．跟蹤演練2(1)如圖，設(shè)O為△ABC內(nèi)一點，且滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\f(S△AOB,S△ABC)等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)(2)(2023·安陽模擬)如圖，已知O是△ABC的垂心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A．1∶2∶3 B．1∶2∶4C．2∶3∶4 D．2∶3∶6考點三等和(高)線定理等和(高)線平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．(1)當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；(2)當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；(3)當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；(4)當(dāng)?shù)群途€過O點時，k＝0；(5)若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；(6)定值k的變化與等和線到O點的距離成正比．例3在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2規(guī)律方法要注意等和(高)線定理的形式，解題時一般要先找到k＝1時的等和(高)線，利用比例求其他的等和(高)線．跟蹤演練3如圖，△BCD與△ABC