相似三角形壓軸題填空題50題

相似三角形壓軸題填空題50題專練

一、填空題

1.如圖，直線y=-3x+2與x軸y軸分另IJ交于A、C兩點，以AC為對角線作第一個

3

矩形A8C0,對角線交點為4,再以C4為對角線作第二個矩形對角線交點

為A2,同法作第三個矩形A2B2c02對角線交點為4,…以此類推，則第2020個矩形對

角線交點A2020的坐標(biāo)為.

2.如圖，在“BC中，AB=AC=W,BC=875,。為邊AC上一動點（C點除外），

把線段80繞著點。沿著順時針的方向旋轉(zhuǎn)90。至。E,連接CE,則△COE面積的最大

值為.

3

3.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=--x+6分別與x軸、丁軸交于A、B兩點,M是

4

線段AB上的一個動點（點A、3除外），在x軸上方存在點N,使以。、B、M、

N為頂點的四邊形是菱形，則ON的長度為.

4.如圖，已知A（3,0）,B（2,3）,將/QAB以點。為位似中心，相似比為2:1,放大

到則頂點8的對應(yīng)點8'的坐標(biāo)為

5.如圖，已知點P是AABC的重心，過P作AB的平行線OE,分別交AC于點。、交

BC于點E;作DF“BC,交AB于點F,若AABC的面積為18,則口5。尸的面積為.

6.如圖，在由邊長都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C均為格點，點尸,

。分別為線段AB,BC上的動點，旦滿足=

⑴線段AB的長度等于

(2)當(dāng)線段AQ+CP取得最小值時，請借助無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中畫出線段AQ和

8.如圖，矩形ABC。中，AD=6,DC=S,矩形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩

形A8C￡＞的邊A8CC的邊AB、CD、DA±,AH=2,連接CE當(dāng)ACGF是直角三角形

時，線段AE的長為.

D

9.如圖,E、P、F分別是AB、AC、AD的中點,則四邊形AEPF與四邊形ABCD（填

“是''或"不是”）位似圖形.

10.（2016廣西桂林市）如圖，在RsACB中，ZACB=90°,AC=BC=3,CD=\,CHI.

BD于H,點。是A8中點，連接OH,則OH=.

11.如圖，矩形ABCD中，AB=2BC,E是AB上一點，O是CD上一點，以O(shè)C為半

徑作OO,將AAOE折疊至△A'OE,點A'在。o上，延長E4'交BC延長線于F,

且恰好過點0,過點D作。。的切線交BC延長線于點G.若FG=1,則AD=—,O

O半徑=.

12.如圖，在四邊形ABC。中，BD1CD,2ZBAC+ZACB=90°,S.ZBCD=ZBAC,

若AB=5,8=50,則AC的長為.

3

13.如圖，在四邊形ABC。中，ACJ_3C于點C,/R4C=NAT>C,且8C=—AC,

4

當(dāng)CD=4,AD=2時，線段的長度為.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=12,BC=1(),點凡G分別是A&CO上的兩點,

連接FG,將矩形ABCD沿FG折疊，使點B恰好落在AD邊上的中點E處，連接BE,

則折痕FG的長為

15.如圖，在△ABC中，AB=AC=2,N84C=120。，P為BC邊上一動點，連接AP

將線段AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°至AP，則線段PP'的最小值為

16.如圖，在AABC中，ZB=30°,ZC=70°,點M,N分別在AB,AC±,且則

AB

=J_，型=_L,點p］、p2...pn-l是邊BC的n等分點，則NMP1N+NMP2N+/

nACn

MP3N+...+ZMPn-1N=

17.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，AABC的頂點A,B,C均在格點上，

⑴AABC是三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）：

（II）若P,Q分別為邊AB,BC上的動點，當(dāng)PC+PQ取得最小值時，在如圖所示的

網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PC,PQ,并簡要說明點2的位置是如何找到的（不

要求證明）.

18.在正方形4BCD中，AD=2,點E是線段AB的中點，連接CE,將"CE沿CE翻

折，使B點落在點F處，對角線BD與CF、CE分別相交于點M、N,則MN的長為

19.如圖，AB是。。的直徑，AC、BC是。0的弦，直徑DE_LAC于點P.若點D在

優(yōu)弧ABC上，AB=8,BC=3,則DP=.

D

20.如圖，在AMC中，ZACB=90°,AC=BC,點E是邊AC上一點，以BE為

斜邊往BC側(cè)作等腰用△BEF,連接CEAE,若AB=6,四邊形ABEC的面積為

12,則AE=,AF=

21.如圖，在AABC中，AB=5,AC=4,若進(jìn)行以下操作，在邊上從左到右

依次取點2、%2、2、…；過點。作AB、AC的平行線分別交AC、AB于

點與、耳；過點D2作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E2、F,；過點D.作

AB>AC的平行線分別交AC、4?于點心、F….，則

4(〃E]+D2E2HFD2O2iE2O2i)+5(￡)j/*；+D2F2HI-Z52O21/^O2I)=---------

BD1巧。夕4…C

22.如圖，邊長為3的等邊三角形ABC中，點M在直線BC上，點N在直線AC上,

且NBAM=/CBN,當(dāng)BM=1時，AN

23.如圖，在&A/WC中，NC=90°,NB=3(T,AC=4,BC=4也?點D是BC

的中點，點E是邊AB上一動點，沿OE所在直線把MDE翻折到AB'DE的位置，

B'E＞交A8于點尸.若△AB'/為直角三角形，則AE的長為

24.如圖，在中，ZACB=90,AC=6,BC=8,D、E分別是邊BC、

AC上的兩個動點，且。E=4,P是DE的中點，連接2,PB,則+的

4

最小值為.

25.如圖，〃個全等的等腰三角形的底邊在同一條直線上，底角頂點依次重合.連接第

一個三角形的底角頂點名和第〃個三角形的頂角頂點A“交4與于點P?,則

4約：“=.

26.在AABC中，ZACB=90",點。、E分別在邊BC、AC±,AC=3AE,

ZCDE=45乂如圖)，ADCE沿直線DE翻折，翻折后的點C落在AABC內(nèi)部的點F,

直線AE與邊相交于點G,如果8G=AE,那么tanB=?

ac€3a-2c+e

27.若/丁廠2則拓中

28.如圖，AABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，點P從A出發(fā)，以每秒2厘米的速

度向B運(yùn)動，點Q從C同時出發(fā)，以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動，其中一個動點到端

點時，另一個動點也相應(yīng)停止運(yùn)動，那么，當(dāng)以A、P、Q為頂點的三角形與AABC相

似時，運(yùn)動時間為

29.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4.點Mi,Ni,Pi分別在AC,

BC,AB±,且四邊形MCNR是正方形，點M2,N2,P2分別在PN,BN,,BP」,

且四邊形M2N1N2P2是正方形，…，點Mn,Nn)Pn分別在P”|Nn_i,BNn-),BP”1上,

且四邊形MnNn—NR是正方形，則線段BN2020的長度是__________.

30.如圖，A1,Az,……在直線上丁=》，B1,鳥，By……在直線上y=3x,04=叵,

四邊形4紇ca田為正方形，則四邊形4紇?！?用的面積是

31.如圖所示，在正方形ABCD中，點E在AB邊上，BE=40,M是對角線BD上

的一點（NEMB是銳角），連接EM,EM=5,過點M作MNJ_EM交BC邊于點N.過

點N作NHLBD于H,則△HMN的面積=.

32.如圖，ZABD^ZBCD=90°,A￡>=10,8。=6,若與ABC。相似，則

CO的長度為一.

33.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是BC的三等分點，連結(jié)AE與對角線BD交

于點F,則SMEF-S^ABF：S^ADF-S四邊形CDFE=-

BEC

34.如圖，四邊形4BCD是正方形，E是邊8c上的任意一點，ZAEF=90°,且E尸交

正方形外角的平分線CF于點F,過點C作CHLQF,交OF的延長線于點機(jī)若AB

1r,

=4,BE=-BC,則C〃=.

3

35.如圖所示，設(shè)G是的重心，過G的直線分別交AB,AC于點P,Q兩點，則

PBQC

PAQA------------'

36.如圖，在直角三角形ABC中，NC=90°,AO是44c的平分線，且

35

CD=-,DB=-,則A8=

22

37.R/AA3C中，ZC=90°,AC=3,BC=2,將此三角形繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B落

在直線上的點。處時，點。落在點E處，此時點E到直線3C的距離為.

38.如圖，已知AABC為等邊三角形，點E為AABC內(nèi)部一點，AABE繞點B順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到ACBD,且A、D、E三點在同一直線上，AD與BC交于點F,則以下結(jié)

論中：①ABED為等邊三角形；②ABED與AABC的相似比始終不變；③ABDEs4

AD」B;④當(dāng)NBAE=45。時，烏=述其中正確的有（填寫序號即可）.

DF2

39.如圖，在四邊形ABCD中，NBAC=NBCD=90。，NCAD=45o,CD=6,BC=8,則AC

的長為.

40.如圖，正方形ABCD的邊長為3,點E,F分別在邊AB,BC上，AE=BF=1,小

球P從點E出發(fā)沿直線向點F運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于

入射角.當(dāng)小球P第一次碰到BC邊時，小球P所經(jīng)過的路程為;當(dāng)小球P第

一次碰到AD邊時，小球P所經(jīng)過的路程為;當(dāng)小球P第n（n為正整數(shù)）次碰

到點F時，小球P所經(jīng)過的路程為.

41.如圖在正方形ABCD中，點M為BC邊上一點，BM=4MC,以M為直角頂點

作等腰直角三角形MEF,點E在對角線BD上，點F在正方形外EF交BC于點N,連

CF,若BE=2,S.CMF=3,則MN=

42.高4m的旗桿在水平地面上的影子長6m,此時測得附近一個建筑物的影長24m,

則該建筑物的高是m.

43.如圖①，在AABC中，AB=AC,N84C=120°,點E是邊的中點，點P是

邊上一動點，設(shè)PC=x,PA+PE=y.圖②是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中”是圖

象上的最低點..那么G+b的值為.

44.如果三角形的兩個內(nèi)角a與B滿足2a+0=9O°,那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余

三角形在RhUBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8.點。是8C邊上一點，連接4。，

若MBD是準(zhǔn)互余三角形，則BD的長為.

45.如圖，已知在“8C中，點。在A8上，BD=CD=3,AD=2,ZACB=6Q°,那么

AC的長等于.

46.如圖所示，在AABC中，AB=AC=\0y[5,BD、CE為AABC的兩條中線，且8。

_LCE于點N,M為線段80上的動點，則AM+EM的最小值為

47.如圖，在ABC中,AB=AC,D為BC的中點,E為AD上任意一點，過點C作CF//AB,

交BE的延長線于點F,BF交AC于點G,連CB，下列結(jié)論正確的序號為.

①AD平分NBAC、②BE=CE、③BE=EG、④若BE=3,GE=2,則GF=』.

2

48.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=8,點E,尸分別在8C,CO上.若BE=2>

ZEAF=45°,則。F的長是.

49.如圖，在舟中，NC=90。,AC=10,BC=16.動點p以每秒3個單位的速

度從點A開始向點。移動，直線/從與AC重合的位置開始，以相同的速度沿CB方向

平行移動，且分別與C8,A8邊交于￡,尸兩點，點p與直線/同時出發(fā)，設(shè)運(yùn)動的時間

為f秒，當(dāng)點尸移動到與點。重合時，點P和直線/同時停止運(yùn)動.在移動過程中，將

△PEF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，使得點P的對應(yīng)點M落在直線/上，點E的對應(yīng)點記為點

N,連接BN,當(dāng)?V//PE時，f的值為.

50.在AABC中，NC=90°,AC=3,3c=4,點G是ZVLBC的重心，GH垂直

于AB,垂足為H,則G〃=.

參考答案

LQ6-尹，尹）

【思路點撥】

先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定定理證得：AA“CO,,~AACO,且相似比是（；）

%即可求得AQ“，OOn的長，進(jìn)而確定An的坐標(biāo)，即可求得4020的坐標(biāo).

【精準(zhǔn)解析】

解：在y=一—x+2中

3

令x=0,解得：y=2;令y=0,解得：x=26.

.?.則OC=2百Q(mào)A=2.

VAi是矩形ABCO的對角線的交點，OIAI〃OA,

AAC。?AACO,相似比為:，

同理：AA,C。,,?AAC。，相似比是（g），

.\on=con（\X

OAOC

(iY(iY

A,Q,=--OA=\-x2=

?6=擊.小。?！?26一9

Ci

...An的坐標(biāo)為2A/3--j-,—J-

7

Zo|

：.42020的坐標(biāo)為(26刀麗?，物瓦)

z.乙

【考點知悉】

本題考查了矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，證得AAC。，~AAC。且確定相似比

(y)11是解答本題的關(guān)鍵.

2.32

【思路點撥】

設(shè)CD為x,過A作AZJ_BC于Z,過B作BNLCA的延長線于N,過E作EM_LCA的延

長線于M,由AAZCSABNC,得至ljBN=8,進(jìn)而AN=6,CN=I6,由AMED絲ZXNDB,得

到ME為關(guān)于x的代數(shù)值，所以SCDE=^CDXME,為關(guān)于x的一元二次函數(shù)，最大值即為

2

最后結(jié)果.

【精準(zhǔn)解析】

設(shè)CD=x,過A作AZ±BC于Z,過B作BN1CA的延長線于N,過E作EM1CA的延長

線于M,如圖,

1,

AB=AC,二ZC=-BC=4《5,

2

VAC=10,.*.AZ=2A/5,AAZC^ABNC,

.AZ_BN

；.BN=8,根據(jù)勾股定理,

'AC-BC

；.AN=6,CN=16,易知AMEDgZ\NDB,

AME=DN=CN-CD=16-x,

111

*.*CD=x,/.SCDE=—CDxME=—x(l6-x)=x2+8x,

222

；?面積最大時，x取?2=8,Smax=32,

2a

故答案為32.

【考點知悉】

本題主要考查相似三角形，等腰三角形的判定及定理，以及勾股定理的靈活運(yùn)用，作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

3.5或9.6

【思路點撥】

分兩種情形討論①OB為邊，②OB為對角線，分別求出點N坐標(biāo)即可求出ON的長度.

【精準(zhǔn)解析】

如圖，當(dāng)OB為邊時，四邊形OBNM是菱形，連接ON交AB于H,延長NM交OA于E,

■.--OAxOB=-OHAB

22

:.OH=—,BH=—

55

14

AM^―

5

?EMAMAE

由EMHOB得到——=——=——

OBABAO

4256

:.EM—,AE

2525

144

/.OE=—

25

如圖當(dāng)OB為對角線時，易知點N坐標(biāo)(-4,3).

ON=//+32=5

綜上所述以O(shè)、B、M、N為頂點的四邊形是菱形，ON的長度為9.6或4.

【考點知悉】

本題考查一次函數(shù)圖象上的點坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論,

注意不能漏解，屬于中考?？碱}型.

4.(-4,-6)或(4,6)

【思路點撥】

根據(jù)如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k

或-k進(jìn)行解答.

【精準(zhǔn)解析】

解：???以原點0為位似中心，相似比為2:1,將AOAB放大為/Q4'U,B(2,3),

則頂點B'的對應(yīng)點B的坐標(biāo)為(一4,-6)或(4,6).

故答案為：(-4,-6)或(4,6).

【考點知悉】

本題考查了位似變換:位似圖形與坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位

似中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或-k.

5.8

【思路點撥】

連接CP并延長交A8于G.由CP:PG=2:1,推出CE:BC=2:3,AD:AC=1:3,由△CEO

41

sXCBh、LAFD^/\ABC,推出所一XSAA8c=8,Swi尸—XS“BG2,由此即可解決問

題.

【精準(zhǔn)解析】

如圖，連接CP并延長交AB于G.

,點?是AABC的重心，，CP:PG=2:1.

'."DE//AB,：.CE:BE=2:I,AD:CD=1:2,：.CE:CB=2:3,AD:AC=1:3.

41

■：ED//AB,DF//BC,/.ACEDIACBA,.'SAC所gxS”8c=8,S^AFc>=-

XSAA5C=2,S平行四邊形BEDF=S&ABC-S&CED-S^AFD=18-8-2=8.

故答案為8.

【考點知悉】

本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度

適中.準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.5取格點D,E,F,G,連接BD,EF，它們相交于點T,連接AT,CG,分別交BC,AB

于點Q,p,則線段AQ和CP即為所求.

【思路點撥】

(1)利用勾股定理求出AB的長即可；(2)要使AQ+PC有最小值，則應(yīng)把AQ與PC轉(zhuǎn)換

到一條直線，利用全等三角形可確定/QBT的位置，連接EF,利用相似三角形可確定T點

位置，連接AT交BC于Q,則QT=PC,根據(jù)全等三角形確定NACP,據(jù)此即可得出點P、

Q的位置.

【精準(zhǔn)解析】

(l)AB=^/32+42=5.

(2)?.?要使AQ+PC有最小值，

應(yīng)把AQ與PC轉(zhuǎn)換到一條直線，即使QT=PC,得AQ+PC=AT,

.,.作△BQT且Z\APC即可，

,應(yīng)作/CBT=NBAC,BT=AC=3,

二連接BD,則NCBT=/BAC,

VBD=5,

RT3

要使BT=3,則==

TD2

‘連接ER則需需1

即BT=3,

二連接AT,交BC于Q,則Q點即為所求,

VABQT^AAPC,

/.ZBTA=ZACP,

.??只要作"BT的全等三角形即可,

VAC=BT,ZABT=90°,AB=5,

.?.作GA_LAC,AG=5,則AABT絲ZXGAC,

連接CG,交AB于P,則NACP=NATB，則P點即為所求.

故答案為5;取格點D,E,F,G-連接BD,EF,它們相交于點T，連接AT,CG，分別交

BC,AB廣點Q,P,則線段AQ和CP即為所求.

【考點知悉】

本題考查網(wǎng)格的特征，全等三角形及相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵-

7.1:3

【解析】

【思路點撥】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可?

【精準(zhǔn)解析】

解：

AADESAACB,

.DEAD21

**BC-AC-3+3-3

故答案為1:3.

【考點知悉】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；相似三角

形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分

線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比.

8.2或6或4+2及或4-2及

【解析】

【思路點撥】

由題意得，分/FGC和/FCG和/GFC為直角討論，①當(dāng)/GFC為90。時，E、F、C三點

在同一直線上，所以AAEHsaBCE,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)線段成比例可求出解；

②當(dāng)/GCF=90",此時F點正好落在BC±,AAEH^ACGF,△AEHsaGDH,可求得AE的

值；

③當(dāng)/CGF=90。時，C,G,H共線，所以不可能.

【精準(zhǔn)解析】

解：①由題意得，NFGC和NFCG都不能為直角，當(dāng)/GFC為90。時，E、F、C三點在同

APAU

一直線上，所以△AEHs^BCE,——=——，

BCBE

X2

設(shè)AE=x,有：=---,可得x=2或者x=6,

68—x

②當(dāng)NGCF=90。,此時F點正好落在BC上，則△AEHgACGF,AAEH^AGDH^IJ

絲=，解得x=4+2亞或x=4-272,

AEDH

③當(dāng)NCGF=90。時，C,G,H共線，所以不可能；

故答案：2或6或4+2夜或4一2萬

【考點知悉】

本題主要考查三角形相似，綜合性大，注意分類討論思想的應(yīng)用.

9.是

【解析】

由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB,

，PF〃CD,PE〃BC,

.,.△APF^AACD,AAEP^AABC,

四邊形AEPFs四邊形ABCD,

...根據(jù)位似圖形的定義：“兩個圖形不僅相似，而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互

相平行或在同一直線上，則這兩個圖形叫位似圖形“可知：四邊形AEPF和四邊形ABCD是

位似圖形.

即答案為：“是

10.,

5

【思路點撥】

在BD上截取BE=CH,連接CO,OE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到絲=烏，求得CH=

BCBD

士叵，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AO=OB=OC,NA=/ACO=/BCO=NABC=45。性

10

質(zhì)得到OE=OH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【精準(zhǔn)解析】

解：在BD上截取BE=CH,連接CO,OE,

?：ZACB=90°,CHJ_BD,AC=BC=3,CD=1

BD=V10

ACDH^ABDC

,CHCD

~BC~~BD

10

?.?△ABC是等腰直角三角形，點。是AB中點，

AO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°

???ZOCH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°

?/ZDCH=ZCBD,

???ZOCH=ZABD

CH=BE

在ACHO與ABEO中，＜ZHCO=Z.EBO

OC=OB

：.ACHO^ABEO

OE=OH,ZBOE=ZHOC

???OC1BO

???ZEOH=90°

即AHOE是等腰直角三角形，

???EH=BD-DH-CH=屈--

10105

.門口PUA/23A/5

??OH=EHx---二----------

25

故答案為包5.

5

【考點知悉】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形，熟練掌

握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【精準(zhǔn)解析】

3

設(shè)DG切圓0于點M,連接0M,先證明AADD絲/XCOF,再解Rt^FCO得x=—r,再證

4

明ADMOs^DCG,然后利用相似三角形的性質(zhì)列出方程，最后由勾股定理可得AD=2,從

而得解.

設(shè)DG切圓。于點M,連接OM,設(shè)AD=x，則DC=AB=2x,

由折疊的性質(zhì)可得AD=A;D=x,

DABC分別切圓O于點A-C,

所以/OAD=NZOCF=900,

Z1=Z2,OA^OC,

所以AAQDt△COF,

所以CF=A,D=x,DO=OF=DC-OC=2x-r,

在R3FC0中,OC2+CF2=OF2,即*+x2=(2x-r>,

3

解得x=—廠，

4

M為切點，所以NDMO=NDCG,

ZODM為公共角,

OMDO即七2x-r

所以ADMOSADCG,

~CG~DGDG

所以O(shè)G=3X+?

33

在RtADCG'I',DC2+CG1=DG2

即(2x)2+(x+l)2=gx+g

解得X=2,

即AD=2,

考點：1.翻折的性質(zhì)；2.全等三角形的性質(zhì)和判定；3.相似三角形的性質(zhì)和判定；4.切

線的性質(zhì)5.圓的性質(zhì)；6.勾股定理；7.解一元二次方程.

12.576

【思路點撥】

延長BD到B'，使BD=BD,連接C8',作ACBA'與八曲關(guān)于C8對稱，證明

ACDBMACDS',進(jìn)而證明D、B、A'三點共線，再證明ACDBs△AOC可得烏=—

A!DDC

構(gòu)造方程答:余求解可得如5,4。=1。，再根據(jù)勾股定理可得結(jié)論.

【精準(zhǔn)解析】

解：延長BD到B',使BU=BD,連接CB',

作與ACBA關(guān)于CB對稱，如圖，

B1

A

設(shè)NBCD=NBAC=a,

???\CBA與/SCBA關(guān)于CB對稱,

:.NCBN三bCBA

:.ZBAC=ZBAC=a,AB=AB=5,AC=AC,

?；DR=DB,/CDB=90。,

:.NCDB=/CDB,

?;CD=CD、

,\\CDB^\CDB\SAS),

:"BCD=ZBCD=a,

???2N84C+ZAC6=90。,

2a+ZACB=90°,

ZACB=90°-2<z,

ZACB=ZACB=90°-2a,

NCSA=180。一ZACB-ABAC=90°+a,

,o

NCBD+ZCK4=90+a+90°-a=180°)

，D、B、A'三點共線，

?./BCD=ABAC,Z.CDB=ZA!DC,

:.ACDBSANDC,

,CDDB

"祈一慶’

設(shè)DB=x,則AO=x+5,

,5夜_x

化簡得，/+5%-50=0，

解得x=5或-10(舍去)，

經(jīng)檢驗，x=5是方程的解，

;.BD=5,A'D=10,

在Rt△A!CD中,A!D2+CD2=A!C2,

A'C=7102+(5>/2)2=5n,

AC=A'C=5y[6■

故答案為：5#.

【考點知悉】

本題考查了軸對稱的性質(zhì)，勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確

題意，利用勾股定理的知識解答.

13.叵

2

【思路點撥】

在AB上截取AM=AD=3，過M作MN〃BC交AC于N,把△AMN繞A逆時針旋轉(zhuǎn)得△ADE,

證明AABDs^ACE和△AMNs^ABC,求出相關(guān)邊長，然后根據(jù)勾股定理求解即可.

【精準(zhǔn)解析】

解：如圖，在A3上截取AM=AD=2,過M作交AC于點N,把AAMN繞

A逆時針旋轉(zhuǎn)得連接CE,

則改V_LAC,DE=MN、ZDAE=ZBAC,

二ZAED=ZANM=90°,

3

又???AC_LBC于點C,ZBAC=ZADC,BC=-AC,

4

/.tanNBAC=,

AC4

:.BC:AC:AB=3:4:5,

又；MN!IBC,

義?：,

,ABAC

"AD-AE)

.ABAD

''~AC~~AE'

又,:ZDAE+ZCAD=ABAC+ACAD,

/.ZBAD=ZCAE,

：.MBAAACE,

.BDAB5

"CE-AC-4'

又A4AW~AABC,

.MN_AM

,?康一訪‘

.,BC...36

/.MNxAM=—x2=—,

AB55

■:ZBAC=ZADC,

：.ZDAE^ZADC,

：.AE//CD,

ZCZ)E+ZAED=180°,

???Z.CDE=180。一ZAED=90°,

...在用AC0E中，由勾股定理得，

CE=>JCD2+DE2=J42+(1)2=|ViO9,

.5r,52/—7109

??BDDn=—CE=—x—V109=------

4452

故答案為：叵.

2

【考點知悉】

考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形邊角關(guān)系等，熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

65

14.——

6

【思路點撥】

過點G作G”，A3,根據(jù)折疊性質(zhì)證明△ABEs^HGF,利用對應(yīng)邊成比例求出FG

的長度.

【精準(zhǔn)解析】

解:如圖，過點G作GH_LAB,垂足為點H,則四邊形BCGH是矩形，可得GH==10,

在中，43=12,AE=5,

???BE=7122+52=13>

???折疊，

FG1BE,

：.ZABE+ZAEB=90°,ZABE+ZGFH=90°,

二ZAEB=ZGFH,

?：/BAE=/GHF=9Q0,

:./\ABES/\HGF,

BE_AB

~GF~~HG

?1312

"GF"10

【考點知悉】

本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)

定理進(jìn)行求解.

15.6

【思路點撥】

根據(jù)題目已知可得，本題考查特殊等腰三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)問題、線段最值問題，可運(yùn)用相似

三角形、構(gòu)造輔助線、線段轉(zhuǎn)化等方式解答本題

【精準(zhǔn)解析】

如卜圖，過點A作6c于點。

VAB=AC=2,ZBAC=12O°

AAD=1,CD=6BC=2y/3

VNPAP=120°以及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)

???^CAB^MP1

.PP_=AP_即PP,=6AP,

BCAC

當(dāng)AP最小時，PP取得最小值，A尸的最小值為1

PP'的最小值為.

【考點知悉】

本題考查幾何線段最值問題，其難點主要在于所求問題的轉(zhuǎn)化以及輔助線的構(gòu)造，并要求善

于發(fā)現(xiàn)潛藏考點，此類型題目需多做類似題目，積累題感。

16.80°

【思路點撥】

連接MN，根據(jù)您=’,"=LZA=NA可以得到AAMN,所以

ABnACn

MN1理=1,所以MN=BA，那么

ZAMN=NABC,可以得到MN〃BC,而

BCnBCn

四邊形BMP、N是平行四邊形，ZMP、N=ZBMPt,同理可以證得四邊形,

MPRN.….都是平行四邊形，所以:

+...+NMP“_\N=NBMR+ZPtMP2+...+ZP^MP^=NBMN-ZNMP^

由于四邊形NME-C是平行四邊形，所以NMV/i=NC,而由于MN〃8C,所以

NBMN=180一30°=150,即可求解;

【精準(zhǔn)解析】

連接MN

AMAN1

ZA=ZA

ABn'ACn

△AMNfABC

ZAMN=ZABC

MN_1

MN//BC,

~BC~~n

??_B_P_.____1

BCn

MN=BP、

???四邊形BMRN是平行四邊形

??./MP\N=/BMP、

同理可得：四邊形叫《N.例鳥.....都是平行四邊形

+...+/MB-N=NBMR++...+APn_2MPn_x

=/BMN—/NMPn_\

???MNHBC

/BMN=180°—30°=15(T

???NMP^C是平行四邊形NNMP,z=NC=70。

原式=NBMN-=150°—70=80°

故答案是：80°.

【考點知悉】

本題主要考查相似三角形的判定以及平行四邊形的判定和性質(zhì)綜合，根據(jù)圖形得到角度之間

的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.

17.直角；取格點C',P,連接CP并延長交BC于點Q

【解析】

【思路點撥】

(I)根據(jù)勾股定理得到三邊的長度，再根據(jù)三邊的關(guān)系判斷三角形的形狀；

(II)要求PC+PQ的最小值，只需作點C關(guān)于AB的對稱點C，，并從C向BC作垂線則與

AB.BC分別交于點P,Q為所求.

【精準(zhǔn)解析】

(I)VAC=6,BC=26AB=5,

.\AC2+BC2=AB2,

/.△ABC是直角三角形.

(II)

要求PC+PQ的最小值，只需作點C關(guān)于AB的對稱點C',并從C，向BC作垂線則與AB,BC

分別交于點P.Q為所求.

作法：取格點C，，則C為點C關(guān)于AB的對稱點，由①可知，AC1BC,則只需過C作AC

的平行線，只需取格點P則AC〃C，P,延長CP交AB,BC于點P,Q.

取格點C',P,連接C'P并延長交BC于點Q

【考點知悉】

本題主要考查線段和的最值，只需通過作對稱點及垂線，是常見的方法，較為簡單.

18105/2

21

【思路點撥】

連接EG,由E為邊48上的中點，得到4七=3￡=；48=1,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AG=G/到，設(shè)AG=G『=x,根據(jù)勾股定理得到AG=G/=!,求得OG=2,根據(jù)

22

相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【精準(zhǔn)解析】

解：延長C尸交AO于G,連接EG,

???E為邊A8上的中點,

AE=BE=-AB=\,

2

,/將SBEC翻折，使點B落在點F處，

:.EF=BE=\,ZA=NEFC=NEFG=9Q°,

在Rt^AEG與Rt^EFG中，

AE=EF

EG=GE'

：.Rt^AEGgRt^EFG(HL)

/.AG=GF,

設(shè)AG=GF=尤，

DG=2—x,CG-2+x,

DG2+CD2=CG2,

(2-X)2+22=(2+X)2,

1

X=-y

2

AG=GF=-,

2

?;BD=6BC=2近,

DG//BC,

ADGMsABCM,

?_2_3

：.DM=-BD=迪，

77

同理BN=述,

33

i-2V26J210V2

:.MN=BD—BN—DM=26-------—=,

3721

故答案為：生也.

21

【考點知悉】

本題考查了翻折變換疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定

和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.5.5.

【解析】

試題分析：：AB和DE是。。的直徑，，OA=OB=OD=4,ZC=90°,XVDE1AC,AZ

OPAOOP4

DPA=90°,AZDPA=ZC,X\'ZA=ZA,AAOP^AABC,Z.

BCAB38

OP=1.5..\DP=OP+OD=5.5.

考點：1圓；2相似三角形的性質(zhì)和判定.

20.2A/2V34

【思路點撥】

如圖，過點E作于〃，過點尸作fQ_LAC,交AC的延長線于。，由面積和

SAB

差關(guān)系可求%CF=3,通過證明AABEs^CBF,可得產(chǎn)=(―)2,可求硝=2,由勾

股定理可求AE,BE,EE的長，通過證明ABEZ/SAE?。，可得普=黑=瞿=血

EFQFEQ

可求E。=2近，QF=y/2,由勾股定理可求解.

【精準(zhǔn)解析】

解：如圖，過點E作于〃，過點尸作尸QJLAC,交AC的延長線于Q,

\-ZACB=9O°,AC=BC,

：.AB=42BC,

-AB=6,

AC=BC=3yf2,

?.?四邊形ABEC的面積為12,

StMC+SgcF=12,

等腰RtABEF,

..BE=4iBF,/EBF=45。,ZABC=45°,

ABBEr-

：.ZABE=ZCBF,—=—=V2,

BCFB

：.AABE^ACBF,

.SwE=（^^）2

,,二一~BC'

?"MM=3x2=6，

—ABxEH=6,

2

:?EH=2,

vZC4B=45°,EHA.AB,

.?.ZC4B=ZAE//=45°,

：.AH=EH=2,AE=42EH=2y/2,

??.BH=4,CE=O,

??.BE=ylcE2+BC2=V2+18=275，

:.EF=M,

?/ZAEH+ZBEH+/FEB+NQEF=180°,

ZBEH+ZFEQ=90°,且NBEH+NEBH=90。

ZEBH=Z.QEF,且NQ=4HE=90。，

ABEHsAEFQ,

BEEH=BH=n

**^EF~~QF~~EQ~'

EQ=2y[2,QF=y/2,

AQ=4近,

:.AF=爐+QF?=