高考數(shù)學(xué)總知識點(diǎn)知識點(diǎn)總結(jié)

2016屆高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)精華版

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

（1）理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了

解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示

一些簡單的集合.

（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且"、"非"的含義理解四種命題及其相互關(guān)

系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點(diǎn)

一、知識結(jié)構(gòu)：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法（集合化簡）、簡易邏輯三部分：

二、知識回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為A屋A；

②空集是任何集合的子集，記為。屋A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AqB,同時BeA,那么A=B.

如果AU8,B三C,那么A=

［注］:①無｛整數(shù)｝（V）Z=｛全體整數(shù)｝（x）

②已知集合S中工的補(bǔ)集是一個有限集，則集合A也是有限集.（X）（例：S=N;

A=N+,則GA=｛0｝）

③空集的補(bǔ)集是全集.

2012高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第一章集合與簡易邏輯

第1課時集合的概念及運(yùn)算

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；能選擇自然語言，圖形語言,

集合語言描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；了解全集與空集

的含義.

3.理解兩個集合的交集與并集的含義，會求兩個集合的交集與并集；理解在給

定集合中一個子集補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；能使用文氏圖表達(dá)集

合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

4.集合問題常與函數(shù)，方程，不等式有關(guān)，其中字母系數(shù)的函數(shù)，方程，不等

式要復(fù)雜一些，綜合性較強(qiáng)，往往滲透數(shù)形思想和分類討論思想.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.集合{x(\y<：)<x0<j2<,用列舉法表示

{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)).

2.設(shè)集合24={%卜=2左一1,左eZ},8={%k=2攵,攵eZ},則Ac8=0.

3.已知集合”={0,1,2},N={x\x=2a,a^M},則集合McN={0,2}.

4.設(shè)全集/={1,3,5,7,9},集合4={1,卜—5|,9}?4={5,7},則實(shí)數(shù)3的值為一8

或2—

【范例解析】

例.已知R為實(shí)數(shù)集，集合4={小2_3X+2W0}.若

④若集合4=集合8,則*=0,GB=0Cs(Q8)=。(注：Q8=0).

3.①{(x,p)|以=0,用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②{(x")|"<0,片用}二、四象限的點(diǎn)集.

③{(X,P)|">0,/?,ye用一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：解的集合{(2,i)}.

[2x-3y=1

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是九(例：A={(x,9|y=x+l}B=3p=N+：l}則/n

8=0)

4.①〃個元素的子集有2"個.②〃個元素的真子集有2"-1個.③〃個元素

的非空真子集有2"-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題o逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題。逆否命題.

例：①若a+。H5,貝必-2或匕豐3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a"=5,成立，所以此命題為真.

②xH1且yH2.x+y工3.

解：逆否：X+p=3Ax=1或y=2.

/.x工1且yw2*x+y#3,故x+"3是xw1且yw2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若XM5,nx?5或XY2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：A5<=>{x|xeA,J3.xeB}

并：AB{x|xeAWUGB}

補(bǔ)：GAo{xeU,且A}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包含關(guān)系：

Aq4,①qA,A^U,Q,A^U,

A===BA,AB^B,AB^A,AB2B.

(2)等價關(guān)系：A=5oAB=A=AB=BoQAB=U

(3)集合的運(yùn)算律:

交換律：AnB=8nA;AUB=8UA

結(jié)合律：(AnB)nC=An(BnC)；(AUB)UC=AU(BUC)

分配律:.An(3uc)=(AnB)u(Anc)；AU(3nc)=(AU3)n(Auc)

0-1律：①A=R①A=A,UA=A,UA=U

等幕律：APIA=A,AUA=A

求補(bǔ)律：AClCuA=(pAUCuA=UC]CuU=(p□Cu(p=U

反演律：Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)Cu(AUB)=(CuA)n(CuB)

6.有限集的元素個數(shù)

定義有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)記為card(A)規(guī)定card((p)=0.

基本公式：

(l)card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)

(2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)

—card(AB)-card(BC)-card(CA)

+card{ABC)

(3)card(DuA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為ao(X-Xl)(X-X2)…(X-Xm)>0(<0)形式，并將各因式X的系數(shù)

化;(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；

④若不等式（X的系數(shù)化"+"后）是">0",則找"線"在x軸上方的區(qū)

間；若不等式是"<0"，則找"線"在X軸下方的區(qū)間.

Q------o-----o-------------o——1、

X1xx?\L3-1m-2X,,-1-pFx

乙o

(自右向左正負(fù)相間)

/,-1n2

則不等式的f+a1x+a2x~+???+??>0(<O)(?o>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的

符號確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>()A=0A<0

二次函數(shù)\J

y=ax1+bx+c

(a>0)的圖象a

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax1+0x+c=0b

x,x(x<x)%.=x=-----無實(shí)根

(a>0的根121272a

ax2+bx+c>0b

xw-----f

(。>的解集2a

0)R

ax2+hx+c<0

<x<x2}0

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

⑴標(biāo)準(zhǔn)化:移項(xiàng)通分化為緇>。(或緇<。)；券"(或端，。)

的形式,

2)轉(zhuǎn)化為整式不等式組)

f(x)g(x)>

>0o/(x)g(x)>>0o0

g(x)g(x)g(x>豐0

3.含絕對值不等式的解法

(1)公式法：\ax+b\<c,與歐+4>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用"零點(diǎn)分區(qū)間法"分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)

(1)根的"零分布"：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的"非零分布"：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡易邏輯

L命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題:

"或"、"且"、"非"這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命

題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞"或"、"且"、"非"構(gòu)成

的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作"pvq");p且q(記作"py");

非p(記作"iq")。

3、"或"、"且"、"非"的真值判

斷

(1)"非p"形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；

(2)"p且q"形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時為真，其他情況時為假；

(3)"p或q"形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則p；

否命題：若1P則1q；逆否命題：若1q則1p。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題o逆否命

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pnq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且qnp,則稱p是q的充要條件，記為p=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)

矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶

性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)

的反函數(shù).

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概

念、圖像和性質(zhì).

(5)理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性

質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問

題.

§02.函數(shù)知識要點(diǎn)

一、本章知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

一定義F:A—?B

廠一函數(shù)

映射-TIS研究圖像

—性質(zhì)

丁^二次函數(shù)

一具體函數(shù)-p―指數(shù)T旨數(shù)函數(shù)

L?對?數(shù)一對數(shù)函數(shù)

二、知識回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與——映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用

的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法

則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)(xGA)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y

把x表示出，得到x=°(y).若對于y在C中的任何一個值，通過x=°(y),x

在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x二°(y)就表示y是自變量，x是自變

量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=°(y)(yeC)叫做函數(shù)y=/(x)(%cA)的反函

數(shù)，記作X=/■'(y),習(xí)慣上改寫成y=f-'(%)

(二)函數(shù)的性質(zhì)

L函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(X)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xi,X2,

⑴若當(dāng)X1<X2時，都有f(Xl)<f(X2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X1<X2時，都有f(Xl)>f(X2),則說f(X)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間

具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是

這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)的定義：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個X,都有

f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù).

是偶函數(shù)0/(-*)=/?o/(-J?)-/(x)=OoQ)

奇函數(shù)的定義：如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有

f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

f⑶是奇函數(shù)0/(-x)=-/Wo/(x)=0o騾=-l(/(x)#0)

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)/(X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

./?(-X)=-/(X)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果/(x)是偶函數(shù)，貝！J/(x)=/(|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時有意義，貝U7(0)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù):

⑴偶函數(shù):/(-x)=/(x)

設(shè)()為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a,b)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對稱，例如：y=f+i在口一)上不是偶函數(shù)

②滿足f(-x)=f(x),或/(-x)-/(x)=O,若/(x)wO時，

/(-x)

⑵奇函數(shù):/(-%)=-/(X)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-a,-b)也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對稱，例如：y=x，在口,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足)(-x)=-/(x),或,f(-x)+/(x)=o,若f(x)w()時,-^-=-1.

f(-x)

8.對稱變換：①〃X)-迪奧:_?y=/(_x)

②y=〃x)>y=-f(x)

?y=f{x)般卓巡>)，=--(-%)

9.判斷函數(shù)單押性I1義小差話:一對制其旱的一定要分子有理化，例如:

2222

f(x1)-f(x2)=^x]+b-74+b='~---

舊+H+&+.

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)f(x)=1+戶的定義域?yàn)锳,函數(shù)4〃x)]的定義域是8,

1-X

3nA

則集合/與集合8之間的關(guān)系是.

解:/(X)的值域是/(f(x))的定義域8,7(x)的值域eR，故BeR,而/={x|x*l},

故8nA.

11.常用變換：

①/(x+y)=f{x}f{y}of(x-y)=繆.

f(y)

證：f(x-y)=<=>/(x)=/[(x-y)+y]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(-)=fW-f(y)<=>f(x-y)=f(x)+f(y)

y

證：/(x)=/(-?y)=/(—)+f(y)

yy

⑵熟悉分式圖象：

例：y=2"，=2+—n定義域R},

x-3x-3

值域3"2,yeR}T值域工x前的系數(shù)之比.

（三）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=a\a＞。且aW1）的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

______

?1-

象

⑴定義域：R

性(2)值域：(0,+8)

質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時，y=l

(4)x>0時,y>l;x<0時，(4)x>0時，0<y<l;x<0時,y>l.

0<y<l

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)片/og,x的圖象和性質(zhì):

對數(shù)運(yùn)算:

lo&(M-N)=lo&M+lo&N⑴

M

lo&N=lo&"To&N

lo&M〃=〃10go(±Af)i2)

io&VA7=—1O^(M

n

/g〃N=N

換底公式：10&N=3叁

推論：lo&b?log?c-log.a=1

nlog—2?1。&2%?log-%

(以上M>0,N>-0,a>-O,a^l,b>O,b^l,c>-0,c1,a],a2...an>0且#1)

a>l0<a<l

y/

圖

O

象

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

性(3)過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x=l時，y=0

質(zhì)(4)xw(0,1)時y<?！猠q)時y>0

X￡(1,+8)時y>0xG(1,+co)時y<。

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)a,bYO時,log(p-/>)=log(-a)+log(-Z>).

⑵：當(dāng)"0時，取,當(dāng)〃是偶數(shù)時且*0時，,而MYO，故取“一".

例如：10%/#210&/;(210&/中x>0而kg/中R).

⑵y=〃(心0,“#1)Vy=log“x互為反函數(shù).

當(dāng)“1時,y=log"、的“值越大，越靠近x軸；當(dāng)OY”1時,則相反.

(四)方法總結(jié)

⑴.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運(yùn)算：

lo&(M-N)=lo&M+lo&N⑴

M

1O&R=1O&M-lo&N

log,Mn=〃lo&仕M嚴(yán))

lo&=—log,M

n

小g“N=N

換底公式：1O&N=3^

1。在a

推論：lo&b■log,,c-log.a=1

=>lo&4a21lo&2%?--10&()1an=lo隨an

(以上M>-0,N>0,a〉0,aHl,bA0,bwl,cA0,cxl,a1,a2...an>-0且*1)

注⑴：當(dāng)〃/Y0時，logQZ?)=log6〃)+log(-6).

⑵：當(dāng)”()時，取,當(dāng)〃是偶數(shù)時且*0時，“，0,而MYO，故取“一".

例如：1O&X2#21O&X:(21O&X中X>0而lo&x?中R).

⑵y=〃(a>0,"l)與丫=1叫》互為反函數(shù).

當(dāng)“1時，y=Iog〃x的〃值越大，越靠近x軸；當(dāng)OY”1時，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解X,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即

可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0②偶次根式中被開方數(shù)不

小于0；③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)幕的底數(shù)不等

于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法"；③反函數(shù)法；

④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x-x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且(<X2；

②判定f(xJ與f(xz)的大??；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)

之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；(2)f(-x)-f(x)=o為偶;

f(x)+f(-x)=O為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶;f(x)^f(-x)=-l為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用

熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函

數(shù)圖象

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一

種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解

決簡單的實(shí)際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解

決簡單的實(shí)際問題.

§03.數(shù)列知識要點(diǎn)

等差數(shù)列等比數(shù)列

anl-an=d

定義+=q(q豐0)

an

?n—rn

遞推公a?=??_]+d；a?=a,?_n+md“〃=金-闖，a〃=a/7

式

an=q+(〃-l)d

通項(xiàng)公an=%q"’(。1，夕工0)

式

中項(xiàng)A=On-k+即+&G=±Ja,,_a(a_a>0)

12kn+knkn+k

(n,kwN*,n>k>b)(n,ksN*k>b)

前“項(xiàng)s〃=5("i+%)"%(9=1)

S“='aR-g")=a「a"qg之2)

和S"="4+2d\-q"q

重要性

Cim+an=ap+ciq(tn,n,p,qwN”,am-an=ap氣(叫"p,qsN*,m+n=p+q)

質(zhì)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義{%}為A?P。??-a=d(常數(shù))

+1n{“”}為G，O”=q(常數(shù))

an

通項(xiàng)an=(n-1)d=〃及+(n-k)a“=%q'i=&q'i

公式d=而+%-d

?(?i+??),n(n-l),

求和s=------------=na+----------a(q=1)

n2112

s.=,%(1T)a「a“q

21=1(q.\

公式=y?+(?i-y)?\-q]_q

A=學(xué)推廣：

中項(xiàng)G2=ab.推廣：a,-=a,,_mxan+in

2

公式an=an_m+an+m

性

質(zhì)1若m+n=p+q則若m+n=p+q,貝!Ka”5為。

2若化,｝成A.P（其中幻eN）則若伏,｝成等比數(shù)列（其中

｛外,｝也為A.PO幻eN）,貝?。荩?｝成等比數(shù)列。

3?%，“"一5"，$3"一$2"成等差數(shù)s’,'-S2”成等比數(shù)列。

歹！L

4d—CL,Cl-Clnnn

d=-------=-------(mwri)q-'=?,q-'=2

〃一1m-n%品

(mwn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①an-an_x=d｛n>2,d為常數(shù)）

②2a,=〃“+]+??_]（/?>2）

③a”=&〃+%（〃,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①an=an_xq（n>2,4為常數(shù)，口豐0）

②黨=?n+i（n>2,冊=0）①

注①：i.b=&，是a、b、c成等比的雙非條件，即〃=右=仇b、c等比數(shù)

列.

ii.b=&（a。。）-為仇b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=±&T為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.人士而且a>0f為a、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩

個.

③a?=cq"（c,q為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛〃“｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log.,”“｝（X"）成等比數(shù)列.

s1=a1（〃=1）

⑷數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)和S“與通項(xiàng)明的關(guān)系：4=,,

[注]:①50]+（〃-1卜=”"+3-d）（d可為零也可不為零T為等差數(shù)列充要條件

（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）T若“不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛%｝前〃項(xiàng)和s,尸A〃2+B〃=（￡p+,_￡|，，一!?可以為零也可不為零一

為等差的充要條件T若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若〃不為零，則是等

差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比

數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的N倍

Sk，S2k~Sk，S3k-s2k…；

S奇a

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，則S-奇=秘，7r肅；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2”1(〃eN+),貝！]S2M=(2”1況，且S奇-S偶=與，互=」L

n代入〃到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3...+/7=Z!M

②/+22+32+...”2="(〃+[2"+1)

③13+23+33-/=[Z?^]

[注]熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999=io/,-i;5,55,555a?=1(ion-i).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為°,年增長率為r,

則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+九其中第〃年產(chǎn)量為a(l+r)a,且過“年后

總產(chǎn)量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+4Z(l+r)n-1=-^~'-

l-d+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存。元，利息為「，

每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的“元過〃個月后便成為“(1+rV元.因此，第二年

年初可存款：

a(l+r)I2+“(1+廠)11+。(1+r)i°+...+“(1+r)=

⑶分期付款應(yīng)用題：〃為分期付款方式貸款為a元；6為6個月將款全部付清；

，?為年利率.

2n

?（1+r）n,=x（l+7,）H,1+￡1+r）",~+A（1+r）+x=>a（l+r）'=工）+「）--------=x=—

5.數(shù)列常見的幾種形式：

（1）斯什2=〃〃〃+1+4金（Ag為二階常數(shù)）-用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程?=Px+q（/對應(yīng)冊+2/對應(yīng)川），并設(shè)二根占,必

②若、中2可設(shè)4“產(chǎn)i『；+C2岑,若占=工2可設(shè)"”=（C[+C2〃）x[；③由初始值4,°2確定

C],。2?

⑵a,,=P“,i+r（P、r為常數(shù)）一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消

去常數(shù)〃轉(zhuǎn)化為“"+2=24“+1+?”的形式，再用特征根方法求',@a?=Cl+C2P"~'（公

式法），q,C2由。1，。2確定.

①轉(zhuǎn)化等差,等比：a+x=P{a+x）=>?！?]=Pa+Px-x=>x=―-—?

n+innP—}

②選代法：a,尸尸a,i+r=P（Pa”_2+r）+r=3=冊=（。1+/^）尸'1一一"'=（。1+工）「“7-工

P-iP；

2

=P"~'a]+P"~?r+…+Pr+r.

a

③用特征方程求解："1'J""+']相減，=%川-a”=Pa“-Pa“T=a"+i=（P+Dan-Palt_}.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：q=——,c=aH——,a?=c^>"'+C|=（?|H——）P"'H——.

1—p2tP—12P—11—P

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S,,在dY（）時，有最大值.如何確定使S,,取最大值時的

〃值，有兩種方法：

一是求使30,%Y。，成立的〃值；二是由5.=r+皿-3利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求〃的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前

〃項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：

1

1-一,3—,...(2〃—1)

242"

⑶兩個等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個新的等差數(shù)列,此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩

個數(shù)列的第一個相同項(xiàng)，公差是兩個數(shù)列公差4,刈的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：⑴定義法:對于n>2的

任意自然數(shù)，驗(yàn)證4-1（區(qū)）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中項(xiàng)公式法:驗(yàn)

證2a“+i=an+an_2=anan+2）nGN都成立。

…a>0

3.在等差數(shù)列｛a,｝中，有關(guān)Sn的最值問題：⑴當(dāng)/>0,d<0時，滿足八

U.+14o

的項(xiàng)數(shù)m使得s,“取最大值.⑵當(dāng)叫<0,d>0時，滿足卜"~0的項(xiàng)數(shù)m使得

&+I之°

取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于!」一］其中｛七｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為

常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于｛風(fēng)也,｝其中｛4｝是等差數(shù)列，也,｝是各項(xiàng)不為。的等

比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1):l+2+3+...+n=

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=n2

一］q2

3)r+23+???+/=_n(n+i)

4)I2+22+32+---+n2=-/?(/?+1)(2?+l)

6

5)-J，

〃(〃+l)nn+1〃(〃+2)2nn+2

6)—=---(―--)(p<<7)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、

余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(3x+(p)的圖像.正

切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；

掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與

最小正周期的意義.

(3)掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、

正切公式.

(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用"五點(diǎn)法"畫正

弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)丫=慶5皿(3*+中)的簡圖，理解A.CO、年的物理意義.

(6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=l,sina/cosa=tana,tana

?cosa=l".

§04.三角函數(shù)知識要點(diǎn)

1.①與a(0*a<360。)終邊相同的角的集合(角a與角夕的終邊重合)：

▲

物|/=%x36(7+a?ez}32

sinxsinx

②終邊在X軸上的角的集合：物|￡=&xl8()Fez}co'x

③終邊在J軸上的角的集合：物|￡=kx18()。+90。,丘Z}":":

/sinxsinx

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：Mp=%x90Fez}2

S1MCOS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

⑤終邊在片X軸上的角的集合：加|￡=-18(T+45Fez}般限界篇鬣'二三'

⑥終邊在尸-x軸上的角的集合：物|夕=-180。-45。,丘2}

⑦若角a與角夕的終邊關(guān)于X軸對稱，則角a與角尸的關(guān)系：a=36()“-〃

⑧若角a與角P的終邊關(guān)于J軸對稱，則角a與角尸的關(guān)系：a=360*+18()。-/

⑨若角a與角P的終邊在一條直線上，則角a與角夕的關(guān)系：a=180”+￡

⑩角a與角夕的終邊互相垂直，則角a與角夕的關(guān)系：a=36()Z+/?±90。

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2"180°=乃1°=0.017451=57.30°=57°

18,

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：Irad=幽557.30。=57。18'.1。=2Mo.01745

7t180

(rad)

3、弧長公式：l=]a\-r-扇形面積公式：$扇形=g/r=glal?/

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個任意角，在a的終邊上任取

(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離為r,則

y??V?Y?f?

sinz=—，cosz=x-，tarrz=—，cotz=—'seaz=—，?

rrxyx

esca=—,

y

5、三角函數(shù)在各象限的符號：(一全二正弦，三切四余弦)

正弦、余割余弦、正割正切、余切

6、三角函數(shù)線16.幾個重要結(jié)論

正弦線：MP;余弦線：OM;

正切線：AT.

(3)若o<x<；,則sinx<x<tanx

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

{x|xeR}

/(x)=sinx

{x|xeR}

f(x)=COSX

|x|XGR且RW2乃+:〃，左￡z}

/(x)=tanx

{x|xeR且九工k7,keZ}

f(x)=coix

jx|XGR且/+

f(x)=sec%

{x|XGR且冗*k兀,keZ\

/(x)=esex

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包衛(wèi)=儂a2=c0&

cosasiroz

tana-cota=1esca-sina=1seax-coia=1

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a-1esc2a-cot2a-1

9、誘導(dǎo)公式：

把旦士。的三角函數(shù)化為a的三角函數(shù)，概括為:

2

"奇變偶不變，符號看象限"

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二公式

霆組一

sin%.2,2.

sinx-cscx=ltanx=-------sinx+cosx=1sinQZ;r+x)=sinx

cosxco0《乃+x)=cosr

COSx,22

co&r?secx=lcotx=———1+tanx=secxta應(yīng)k兀+x)=taix

co兀+x)=co1

tanx?cotx=11+cot2x=csc2x

sin-僅)=-sia

cos-^)=co%

tan-fy)=-1aix

coH^)=-co1

公式組四公式組五公式組六

sin(r+x)=-sinxsi也女-x)=-sirrsinr(-%)=sirr

cos(zr+x)=-cosxco-x)=coXcosr(-x)=-co?-

tan(7T+x)=tanxtar2(r-x)=-1arrta3—x)=-1arr

cot^r+x)=cotxco2(r-x)=-cotcotr(-x)=-co1

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos0+P)=cosacos/?-sincrsin/?sin2a=2sinszcosz

cos(tz-/7)=cos6Zcos/?+sin6zsin/7co26z=co^cr-siAa=2coRa-l=l-2siha

.2taiar

sin@+/3)=sin6rcos/7+coscrsin/7ta---------------

1-tana

.a,1-