數學-專題21.2 期中期末專項復習之一元二次方程十六大必考點（舉一反三）（滬科版）（帶答案）

專題21.2一元二次方程十六大考點【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1一元二次方程的概念】 1【考點2一元二次方程的一般形式】 3【考點3根據一元二次方程的解求值】 5【考點4一元二次方程的解的估算】 7【考點5一元二次方程的常見解法】 9【考點6配方法的應用】 12【考點7根據判別式判斷一元二次方程根的情況】 15【考點8根據一元二次方程根的情況求參數】 18【考點9換元法解一元二次方程】 21【考點10根與系數關系的綜合】 26【考點11一元二次方程中的規(guī)律探究】 30【考點12一元二次方程中的新定義問題】 36【考點13一元二次方程中的閱讀理解類問題】 41【考點14一元二次方程的實際應用】 48【考點15一元二次方程中的動點問題】 52【考點16一元二次方程與幾何綜合】 57【考點1一元二次方程的概念】【例1】（2022秋·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中，一元二次方程共有（

）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③2x2+3x?5=0；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據一元二次方程根的定義一一判定即可．【詳解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0，沒有二次項系數不為0這個條件，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；③2x④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有兩個未知數，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知數的最高次數是1，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程．綜上所述，一元二次方程共有2個．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．【變式1-1】（2022秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）若關于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，則m的取值范圍是（）A．m≠1 B．m＝1 C．m≥1 D．m≠0【答案】A【分析】根據一元二次方程的定義可得m﹣1≠0，再解即可．【詳解】解：由題意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，注意掌握只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．【變式1-2】（2022秋·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）若關于x的方程m?2xm2?2+4x?7=0A．m≠2 B．m=±2 C．m=?2 D．m=2【答案】C【分析】根據一元二次方程的定義求解即可．【詳解】解：∵關于x的方程m?2x∴m?2≠0m解得：m=-2．故選：C．【點睛】此題主要考查了一元二次方程定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．【變式1-3】（2022秋·全國·八年級期中）兩個關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常數，且a+c=0．如果x=2是方程aA．12 B．?12 【答案】AD【分析】利用方程根的定義去驗證判斷即可．【詳解】∵a≠0，c≠0，∴ca∴x2+b∴x2+b∵x=2是方程ax∴x=2是方程x2∴x=?2是方程x2即x=?2時方程cx∵x=2是方程ax∴4a+2b+c=0，當x=12時，c∴12故選：A，D．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義即使得方程兩邊相等的未知數的值，正確理解定義是解題的關鍵．【考點2一元二次方程的一般形式】【例2】（2022秋·山東濰坊·八年級統(tǒng)考期中）關于x的一元二次方程(m?1)x2+5x+m2?3m+2=0A．1 B．1或2 C．2 D．±1【答案】C【分析】根據一元二次方程的一般形式，可得答案．【詳解】解：由題意，得m2?3m+2=0且解得m=2，故選：C．【點睛】此題考查一元二次方程的一般形式，利用常數項等于零且二次項不等于零是解題關鍵．【變式2-1】（2022秋·西藏拉薩·八年級校考期中）方程－x2－2x＋3＝0的二次項系數是______；一次項是______；常數項是______．【答案】

-1

-2x

3【分析】根據一元二次方程的一般形式即可得二次項系數，一次項，常數項．【詳解】解：方程－x2－2x＋3＝0的二次項系數是?1；一次項是?2x；常數項是3．故答案為：?1，?2x，3．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般式，關鍵是掌握任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．【變式2-2】（2022秋·天津西青·八年級?？计谥校⒁辉畏匠蘹x?1=?1化成ax【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【詳解】解：將一元二次方程xx?1=?1化成一般形式ax故a=1,b=?1,c=1，∴a+b+c=1?1+1=1，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關鍵．【變式2-3】（2022秋·河南駐馬店·八年級?？计谥校┤絷P于x的一元二次方程2x2+(2【答案】2【分析】根據ax2+【詳解】∵關于x的一元二次方程2x∴2+2k解得：k=2故答案為2．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常數且a【考點3根據一元二次方程的解求值】【例3】（2022秋·福建泉州·八年級校聯考期末）已知實數a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．65【答案】B【分析】把方程的解代入方程得到關于a的等式，然后利用等式對代數式進行化簡求值．【詳解】∵a是一元二次方程x2∴a∴a∴a故選：B【點睛】本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到關于a的等式，利用等式對代數式進行化簡并求出代數式的值．【變式3-1】（2022春·浙江金華·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程x2+5x?6=0的解是x1【答案】x1=0，【分析】把方程（x+1）2+5（x+1）【詳解】解：∵（x+1∴（x+1∵關于x的方程x2+5x?6=0的解是x1∴方程（x+1）2+5（解得x1=0，故答案為：x1=0，【點睛】本題考查了利用換元法解一元二次方程：把（x+1）看作一個整體，利用已知方程的解得到所解方程的解．【變式3-2】（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）已知a是方程x2?2021x+1=0的一個根，則【答案】?2021【分析】由方程根的定義可得a2?2021a+1=0，變形為a2+1=2021a．再將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘【詳解】∵a是方程x2∴a2?2021a+1=0，即將a2?2021a+1=0等號兩邊同時乘a(a2?2021a+1)=0∴a3故答案為：-2021．【點睛】本題考查一元二次方程解的定義以及代數式求值．熟練掌握整體代入的思想是解答本題的關鍵．【變式3-3】（2022秋·北京大興·八年級統(tǒng)考期末）已知m是方程x2+3x?5=0的一個根，求代數式【答案】11【分析】由題意易得m2【詳解】解：∵m是方程x2∴m2∴m2∴m+1==2=2=2×5+1=11．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代數式的值，熟練掌握一元二次方程的解、乘法公式及代數式的值是解題的關鍵．【考點4一元二次方程的解的估算】【例4】（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）觀察下表，估計一元二次方程x2+2x?4=0的正數解在（x?101234x?5?4?141120A．?1和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間【答案】C【分析】由表格可發(fā)現x2+2x?4=0的值?1和4最接近0，再看對應的【詳解】解：由表可以看出，當x取1與2之間的某個數時，x2+2x?4=0，即這個數是x2+2x?4=0的一個解故選：C．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，正確估算是建立在對二次函數圖象和一元二次方程關系正確理解的基礎上的．【變式4-1】（2022秋·重慶潼南·八年級統(tǒng)考期末）對于方程37(x?2)A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于?2，另一根大于2C．兩根都小于0 D．兩根都大于2【答案】A【分析】本題需先根據一元二次方程的解法，對方程進行計算，分別解出x1和x【詳解】解：37(x?2)x?2=±x1=2+故選：A．【點睛】本題主要考查了對一元二次方程的近似解的估算，解題時要注意在開方的時候不要漏掉方程根，這是解題的關鍵．【變式4-2】（2022春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）觀察表格中數據，一元二次方程x2x?1.13?1.12?1.11?1.10?1.09?1.08?1.07x4.674.614.564.514.464.414.35A．?1.073 B．?1.089 C．?1.117 D．?1.123【答案】C【分析】根據表格中的數據，可判斷代數式x2?3x的值為4.61和4.56時，對應x的值為?1.12和?1.11，觀察原方程可理解為求代數式x2【詳解】解：∵x=?1.12時，x2?3x=4.61；x=?1.11時，∴x2?3x=4.6時，對應∴原方程的近似解為：?1.117．故選C．【點睛】本題考查一元二次方程的近似解，理解表格中的數據，掌握求近似解的方法是解題關鍵．【變式4-3】（2022秋·福建漳州·八年級校聯考期中）根據表格對應值：判斷關于x的方程ax2+bx+c=2【答案】0【分析】結合表格可知：當x=1時，ax2+bx+c=2.29＞2；當x=0時，ax2【詳解】解：由表格可知：當x=1時，ax當x=0時，ax∴方程ax2+bx+c=2的一個解x故答案為：0【點睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關鍵是理解方程根的定義，找出當x=1時，ax2+bx+c=2.29＞2【考點5一元二次方程的常見解法】【例5】（2022秋·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期中）解下列方程：(1)(x?3)2(2)(x?3)(x?5)=25．【答案】(1)x1=3(2)x1=4+【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到(x?4)2【詳解】（1）(x?3)2(x?3)(3x?3)=0，∴x?3=0或3x?3=0，x1=3，（2）(x?3)(x?5)=25，整理得：x2∴(x?4)∴x?4=±26∴x1=4+26【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的方法，主要有直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，掌握以上方法是解題關鍵．【變式5-1】（2022秋·河南漯河·八年級統(tǒng)考期中）用適當的方法解下列方程(1)x(2)2x【答案】(1)x1=2(2)x【分析】（1）直接利用因式分解法，即可求解；（2）先移項，再利用因式分解法，即可求解．【詳解】（1）解：x∴x+1x?2即x+1=0,x?2=0，解得：x1=2，（2）解：2x∴2xx?∴2x?x?2x?解得：x1【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．【變式5-2】（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）按要求解下列方程(1)x2(2)2x(3)3【答案】(1)x1=?2+(2)x1=(3)x1=【分析】(1)根據配方法解一元二次方程的方法解方程，即可解得；(2)根據公式法解一元二次方程的方法解方程，即可解得；(3)采用因式分解法解此方程，即可解得．【詳解】（1）解：由原方程得：x2得x+22得x+2=±2解得x1=?2+2故原方程的解為x1=?2+2（2）解：由原方程得2x∵a=2，b=?4，c=1，∴Δ∴x=4±解得x1=2+故原方程的解為x1=2+（3）解：由原方程得：3x?1x+1故3x?1=0，x+1=0，解得x1=1故原方程的解為x1=1【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．【變式5-3】（2022秋·云南昭通·八年級?？计谀┙庀铝嘘P于x的方程．(1)x?12(2)3x【答案】(1)x1=1?(2)x1=【分析】（1）直接利用開平方的方法解方程即可；（2）利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：移項，得?（x?1開方得：x?1=±3解得x1=1?3（2）解：∵3∴a=3，b=?6，c=?2．∴Δ=∴方程有兩個不等的實數根∴x=?b±解得x1=3?【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關鍵．【考點6配方法的應用】【例6】（2022秋·湖北武漢·八年級武漢市第一初級中學?？计谀┮阎猘，b，c滿足a2+6b=7，b2?2c=?1，c2A．?1 B．5 C．6 D．?7【答案】B【分析】首先把a2+6b=7，b2?2c=?1，c2?2a=?17，兩邊相加整理成a2【詳解】解：∵a2+6b=7，b∴a∴∴(a?1)∴a=1，b=?3，c=1，∴a?b+c=1+3+1=5．故選：B．【點睛】此題考查了配方法，解題的關鍵是掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．【變式6-1】（2022·重慶合川·八年級重慶市合川中學校考期末）關于x，y的二次三項式x2+mxy?4x,y2+mxy?4y①當m=1時，若x2+mxy?4x=0②無論x取任何實數，等式x2+mxy?4x=3x③若x2+xy?4x=5,④滿足x2+xy?4x+yA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】①將m=1代入代數式，計算即可；②又x2+mxy?4x=3x可得(x+my)x=7x，再根據題意求解即可；③兩方程相加，令t=x+y，可化為t2?4t?12=0，求解即可；④根據題意可得【詳解】解：將m=1代入x2+mxy?4x=0可得，x解得x=0或x+y?4=0，即x=0或x+y=4，①錯誤；由x2+mxy?4x=3x可得∵無論x取任何實數，等式x2∴x+my=7，②正確；x2+xy?4x=5,即(x+y)令t=x+y，則t2?4t?12=0，解得t即x+y=?2或x+y=6，③錯誤；由x2+xy?4x+正整數解為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，總共有16個，④錯誤正確的個數為1，故選：A【點睛】本題主要考查了整式加減，二元一次不等式的解，完全平方公式，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則以及靈活運用完全平方公式．【變式6-2】（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）新定義，若關于x的一元二次方程：m(x?a)2+b=0與n(x?a)2+b=0，稱為“同類方程”．如2(x?1)2+3=0與6【答案】2023【分析】根據“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數式的最大值．【詳解】∵2(x?1)2+1=0∴(a+6)x∴(a+6)x∴b+8=2a+6解得：a=?1b=2∴a=?=?∴當x=1時，ax故答案為：2023．【點睛】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關鍵．【變式6-3】（2022秋·四川達州·八年級校聯考期末）配方法是數學中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數式的變形中，并結合非負數的意義來解決問題．定義：若一個整數能表示成a2+b2（例如，5是“完美數”，理由：因為5=1解決問題：(1)已知29是“完美數”，請將它寫成a2+b2（(2)若x2?4x+5可配方成x?m2+n（m，(3)已知S=x2+4y2+4x?12y+k（x，y是整數，【答案】(1)29=(2)2(3)13【分析】（1）根據“完美數”的定義，進行求解即可；（2）利用配方法將x2?4x+5轉化為：x?22（3）將S轉化為：a2+b【詳解】（1）解：29=25+4=5（2）解：x2∴m=2,n=1，∴mn=2；（3）解：S===x+2∵S為“完美數”，∴k?13=0，∴k=13．【點睛】本題考查配方法的應用．理解并掌握“完美數”的定義，是解題的關鍵．【考點7根據判別式判斷一元二次方程根的情況】【例7】（2022春·湖南長沙·八年級?？计谀τ谝辉畏匠蘟x2+bx+c=0(a≠0)，有下列說法：①若a?b+c=0，則方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一個根為1；②若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則方程aA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】按照方程的解的含義、一元二次方程的實數根與判別式的關系、等式的性質、因式分解法解一元二次方程等知識對各選項分別討論，可得答案．【詳解】解：①當x=?1時，a×(?1)2+b×(?1)+c=a?b+c=0，所以方程a②方程ax2+c=0有兩個不相等的實根，則?4ac>0，那么b③由c是方程ax2+bx+c=0的一個根，得ac2+bc+c=0．當c≠0，則故選：B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、因式分解法解一元二次方程、等式的性質，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質是解決本題的關鍵．【變式7-1】（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谀┮阎P于x的方程x2+2x?a+1=0沒有實數根，試判斷關于x的方程【答案】有兩個不相等的實數根.【分析】根據關于x的方程x2+2x?a+1=0沒有實數根，求出a的求值范圍；再表示關于x的方程x2【詳解】解：∵方程x2∴Δ=∴2解得：a<0關于x的方程x2+ax+a=0∵a<0∴a(a?4)>0∴關于x的方程x2【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關系是解題關鍵.【變式7-2】（2022秋·重慶開州·八年級統(tǒng)考期中）使得關于x的不等式組6x?a≥?10?1+12x<?18x+32A．35 B．30 C．26 D．21【答案】B【分析】先求出不等式組的解集，根據有且只有4個整數解可確定a的取值范圍，再通過根的判別式確定a的取值范圍，最后結合兩個取值范圍找出滿足條件的整數相加即可．【詳解】解：整理不等式組得：6x?a≥?10由①得：x≥a?10由②得：x<4∵不等式組有且只有4個整數解，∴不等式組的4個整數解是：3，2，1，0，∴?1<a?10解得：4<a≤10，∵(a?5)x∴Δ解得：a≤9，∵方程(a?5)x∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，滿足條件的整數有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，熟練掌握解不等式的性質和不等式解集的寫法是解題發(fā)關鍵．【變式7-3】（2022秋·河南鄭州·八年級?？计谀┮阎P于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．(1)若該方程的一個根為1，求k的值；(2)求證：不論k取何實數，該方程總有兩個實數根．【答案】(1)k＝1；(2)證明見解析.【分析】（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；（2）求出根的判別式是非負數即可.【詳解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k+3)+3k＝0，1﹣k﹣3+3k＝0解得k＝1；(2)證明：a=1,b=?(k+3),c=3k∵Δ=b∴△＝(k+3)2﹣4?3k＝(k﹣3)2≥0，所以不論k取何實數，該方程總有兩個實數根．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練掌握相關知識點是解題關鍵.【考點8根據一元二次方程根的情況求參數】【例8】（2022春·山東煙臺·八年級山東省煙臺第十中學?？计谥校┤絷P于x的方程(m【答案】m≥3【分析】根據題意，可分為兩種情況進行分析：①m2?5m+6=0時，有?(3?m)=0此時方程無解，可求出m的值；②m2【詳解】解：根據題意，∵關于x的方程(m①當m2?5m+6=0時，則原方程是一元一次方程，即則有：m2解得：m=3；②當m2∴m≠3，m≠2，∴Δ=[?(3?m)]解得：m>3；綜合上述，m的取值范圍是m≥3；故答案為：m≥3．【點睛】本題考查了方程無解問題，根的判別式求參數的取值范圍，以及解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握方程無解問題，注意運用分類討論的思想進行解題．【變式8-1】（2022秋·廣東廣州·八年級廣州六中?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0，（1）若方程有實數根，求k的取值范圍．（2）如果k是滿足條件的最大的整數，且方程x2﹣4x+2k=0的根是一元二次方程x2﹣2mx+3m﹣1=0的一個根，求m的值及這個方程的另一個根．【答案】（1）k≤2；（2）4．【分析】（1）由題意△≥0，構建不等式即可解決問題；（2）先求出第一個方程的根，再求出m的值即可解決問題．【詳解】（1）由題意△≥0，∴16﹣8k≥0，∴k≤2．（2）由題意k=2，∴方程x2﹣4x+2k=0的根，x1=x2=2，∴方程x2﹣2mx+3m﹣1=0的一個根為2，∴4﹣4m+3m﹣1=0，∴m=3，方程為x2﹣6x+8=0，∴x=2或4，∴方程x2﹣2mx+3m﹣1=0的另一個根為4．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式及解一元二次方程等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式8-2】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市蓮花中學?？计谥校┮阎P于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有兩個相等實數根．若在直角坐標系中，點P在直線l：y＝﹣x+12上，點Q(1A．342 B．24 C．1【答案】A【分析】先利用根判別式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，則a+2b=2或a+2b=-2，即點Q的坐標為（1-b，b）或（-1-b，b），如圖：當點Q在直線y=-x-1上，EF為兩直線的距離，最后求出EF得到PQ的最小值即可【詳解】解：∵關于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有兩個相等實數根，∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵點Q（12∴點Q所在的直線為y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵點Q（12a，b）在直線y＝﹣x+1∴點Q在直線y＝﹣x﹣1上，如圖，EF為兩直線的距離，∵OE＝24，OF＝2∴EF＝32∴PQ的最小值為32故選：A．【點睛】本題主要考查了根的判別式和垂線段最短，掌握一元二次方程的根的判別式△與根的關系：當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△<0時，方程無實數根是解答本題的關鍵.【變式8-3】（2022春·浙江杭州·八年級統(tǒng)考期末）關于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有兩個相等的實數根k．（

）A．若﹣1＜a＜1，則ka>kb B．若C．若﹣1＜a＜1，則ka<kb D．若【答案】D【分析】根據一元二次方程的根的情況利用判別式求得a與b的數量關系，然后代入方程求k的值，然后結合a的取值范圍和分式加減法運算法則計算求解．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a?b≠0）有兩個相等的實數根k，∴Δ＝（2a）2?4a（b＋1）＝0，即：4a(a?b?1)＝0，又∵ab≠0，∴a?b?1＝0，即a＝b＋1，∴ax2＋2ax＋a＝0，解得：x1＝x2＝?1，∴k＝?1，∵ka?k∴當?1＜a＜0時，a?1＜0，a（a?1）＞0，此時ka?k當0＜a＜1時，a?1＜0，a（a?1）＜0，此時ka?k故A、C錯誤；當ka>k1a(a?1)解得：a＞1或a＜0，故B錯誤；當ka<k1a(a?1)解得：0＜a＜1，故D正確故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的根的判別式，根據一元二次方程根的情況求得a與b之間的等量關系是解題關鍵．【考點9換元法解一元二次方程】【例9】（2022秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：已知實數m、n滿足2m2+解：設2則原方程可化為y+1y?1=80，即解得y=±9．∵2m∴2m上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題簡單化．根據以上閱讀材料內容，解決下列問題：(1)已知實數x、y滿足2x2+2(2)解方程x2(3)若四個連續(xù)正整數的積為120，直接寫出這四個連續(xù)的正整數為．【答案】(1)x(2)x1=1，x2=?1，(3)2，3，4，5【分析】（1）設2x2+2y2=m，則原方程變?yōu)椋?）設x=y，則原方程可化為y2?3y+2=0，解方程求得y=1（3）設最小的正整數為x，則另三個分別為x+1、x+2、x+3，根據題意可得方程xx+1x+2x+3=120，整理為x2+3xx2+3x+2=120，設x2+3x=y，則原方程變?yōu)椤驹斀狻浚?）解：設2x2+2∴m2?9=27∴m=±6，∵2x∴2x∴x（2）解：設x=y，則原方程可化為：y解得：y1=1，當y=1時，x=1∴x=±1；當y=2時，x=2∴x=±2．∴原方程的解是：x1=1，x2=?1，（3）解：設最小數為x，則xx+1即：x2設x2+3x=y，則∴y1=?12∵x>0，∴y=x∴x1=2∴這四個整數為2，3，4，5．【點睛】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式的應用，理解“換元法”是解題的關鍵．【變式9-1】（2022秋·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料：問題：解方程(x明明的做法是：將x2?1視為一個整體，然后設x2?1=y，則(x2?1)（1）當y=1時，x2?1=1，解得（2）當y=4時，x2?1=4，解得綜合（1）（2），可得原方程的解為x1請你參考明明同學的思路，解方程x4【答案】x【分析】設x2=y，則原方程化為一元二次方程：y2?y?6=0，先解出【詳解】解：設x2=y，則原方程可化為：解得：y1=3，（1）當y=3時，x2=3，解得x1（2）當y=?2時，x2綜合（1）（2），可得原方程的解是：x1【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，理解整體代入思想是解題的關鍵．【變式9-2】（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）閱讀理解以下內容，解決問題：解方程：x2解：∵x∴方程即為：|x|設x=t，原方程轉化為：解得，t1=1，當t1=1時，即x=1，∴當t2=?2時，即∴綜上所述，原方程的解是x1=1，以上解方程的過程中，將其中x作為一個整體設成一個新未知數t，從而將原方程化為關于t的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數）．(1)已知方程：x2+1x2(2)仿照上述方法，解方程：1x【答案】(1)m(2)x=【分析】（1）根據完全平方公式由x+1x=m（2）設1x+1=m，則1【詳解】（1）設x+1則x2∴x2+即m2故答案為：m2（2）設1x+1=m原方程可化為：m2整理得m2m?3m+2m?3=0或m+2=0，∴m=3或m=當m=3時，1x解得x=1當m=?2時，1x+1=?2(檢驗，當x=18時，左邊∴x=1故原方程的解為：x=1【點睛】本題主要考查了換元法，無理方程，關鍵掌握換元法的思想方法．【變式9-3】（2022秋·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）閱讀下面材料，回答下列問題：構造法是依據問題的條件和結論給出的信息，把問題做適當的加工處理，構造與問題相關的數學模式，揭示問題的本質，從而疏通解題思路的方法．構造方程是常用的一種構造方法，它能使得問題被簡化，得以迅速解決．材料：已知x=5+212分析：這道題如果將代數式化簡，再直接將x代入求值比較困難，觀察x的值，發(fā)現x=5+212=?(?5)+(?5)2?4×1×12×1，對比一元二次方程求根公式x=?b±b(1)以2，?3為根的方程可以是_________；(2)已知x=?6+(3)求代數式1+1?4a【答案】(1)x?2(2)?(3)?2【分析】（1）寫一個滿足條件的方程即可；（2）x是方程x2+6（3）設x=1+1?4a2，知x是方程x【詳解】（1）以2，?3為根的方程可以是：x?2故答案為：x?2（2）∵x=?∴x是方程x2∴x2∴?=?x=?x?=?6（3）設x=1+∴1+1?4a∵x=1+∴x是方程x2∴x2∴x=x=?ax+ax?2=?2．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，涉及分式，一元二次方程等知識，解題的關鍵是讀懂題意，仿照閱讀材料的方法解決問題．【考點10根與系數關系的綜合】【例10】（2022秋·重慶黔江·八年級統(tǒng)考期末）已知實數m，n?(m≠n)滿足等式m2?2m?1=0，【答案】?4【分析】根據已知判斷出m，n是方程x2【詳解】解：∵實數m，n(m≠n)滿足等式m2?2m?1=0，∴m，n是方程x2∴m+n=2，mn=?1，∴2m故答案為：?4【點睛】本題考查了方程的解以及一元二次方程的根與系數關系，能熟練利用方程解的定義得到m，n是方程x2【變式10-1】（2022春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如果關于x的一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0有兩個實數根α、β【答案】k=?1【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得α+β=?2(k+3)αβ=k2+3，再由【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2+2(k+3)x+k2+3=0∴α+β=?2(k+3)αβ=∵α?12∴(α?1)===4=2(解方程得：k1=?1，∵Δ=4∴k1【點睛】本題主要考查了根與系數的關系以及求解一元二次方程，熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．【變式10-2】（2022秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學校校考期末）設m是不小于﹣1的實數，使得關于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個實數根x1，x2．(1)若x12+(2)令T＝mx11?x1【答案】(1)1(2)0<T≤4且T≠2【分析】首先根據方程有兩個實數根及m是不小于-1的實數，確定m的取值范圍，根據根與系數的關系，用含m的代數式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形x12+x22為（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據m的取值范圍得到m的值；（2）化簡T，用含m的式子表示出T，根據m的取值范圍，得到T的取值范圍．(1)∵關于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個實數根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的實數，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的兩個實數根為x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1?x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值為1；(2)T＝mx11?=m=m[(=m(4?2m?2=?2m=?2m=2-2m．∵當x=1時，方程為1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴當m=1或m=0時，T沒有意義．∴?1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．【點睛】本題考查了根與系數的關系、根的判別式、一元二次方程的解法及分式的化簡．解決本題的關鍵是掌握根與系數的關系，并能把要求的代數式變形為含兩根的和、兩根的積的式子．【變式10-3】（2022秋·湖北黃石·八年級校聯考期末）（1）x1，x2是關于x的一元二次方程x2（2）已知：α，βα>β是一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數根，設s1=α+β，s2=α2+β根據以上信息，解答下列問題：①直接寫出s1，s②經計算可得：s3=4，s4=7，s5=11，當n≥3時，請猜想【答案】（1）1；（2）①s1=1，s2【分析】（1）根據一元二次方程根與系數的關系可得出x1+x2=2k+1，（2）①根據一元二次方程根與系數的關系可得出α+β=?ba=1，αβ=ca=?1，進而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2【詳解】解：（1）∵x1，x2是關于∴x1+x∴x1整理，得：k2解得：k1=?3，當k=?3時，Δ=∴此時原方程沒有實數根，∴k=?3不符合題意；當k=1時，Δ=∴此時原方程有兩個不相等的實數根，∴k=1符合題意，∴k的值為1；（2）①∵x2∴a=1，∵α，βα>β是一元二次方程x∴α+β=?ba=1∴s1=α+β=1，②猜想：sn證明：根據一元二次方程根的定義可得出α2?α?1=0，兩邊都乘以αn?2同理可得：βn由①+②，得：αn∵sn=αn+∴sn?s【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2?4ac，且當Δ>0時，該方程有兩個不相等的實數根；當【考點11一元二次方程中的規(guī)律探究】【例11】（2022秋·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列一組方程：①x2?x=0；②x2?3x+2=0；③x2?5x+6=0；④【答案】?15【分析】設方程的兩根分別是x1和x1+1，根據一元二次方程根與系數關系可得【詳解】設方程的兩根分別是x1和x1+解得：x1=7∴x1∴k=?15，故答案為：?15【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是熟練解一元二次方程的方法以及一元二次方程根與系數關系．【變式11-1】（2022秋·四川涼山·八年級?？茧A段練習）設一元二次方程x2?2022x+1=0的兩根分別為a，b，根據一元二次方程根與系數的關系可知：ab=1，記S1【答案】100【分析】根據ab=1得到b=1【詳解】∵一元二次方程x2?2022x+1=0的兩根分別為a，∴ab=1，∴b=1∴S1=1S100∴S1故答案為：100．【點睛】本題考查了根與系數關系定理，倒數的變形計算，分式的化簡，熟練掌握根與系數關系定理，靈活變形計算是解題的關鍵．【變式11-2】（2022春·山東青島·八年級統(tǒng)考期中）將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個圖有6個棋子，第2個圖有10個棋子，第3個圖有16個棋子，…，按此規(guī)律依次遞增．(1)第5個圖中有__________個棋子；(2)第n個圖中有__________個棋子；(3)如果第n個圖中有114個棋子，應用方程求出n的值；(4)第n個圖中的棋子個數能是1004個嗎？如果能，求出n的值；如果不能，試用一元二次方程的相關知識說明理由．【答案】(1)34(2)（n2+n+4）(3)n=10(4)不能，理由見解析【分析】（1）分析數據可得：第1個圖形中小圓的個數為6；第2個圖形中小圓的個數為10；第3個圖形中小圓的個數為16，第4個圖形中小圓的個數為24，根據規(guī)律可得第5個圖形中小圓的個數；（2）由（1）中得到的數據總結的規(guī)律可得答案；（3）根據（2）中的式子列出方程可得n的值．（4）第n個圖中的棋子個數能是1004個,根據（2）中的式子列出方程求解即判定．（1）解：由題意可知第1個圖形有小圓4+2=6個；第2個圖形有小圓4+（2+4）=10個；第3個圖形有小圓4+（2+4+6）=16個；第4個圖形有小圓4+（2+4+6+8）=24個；第5個圖形有小圓4+（2+4+6+8+10）=34個；故答案為：34；（2）解：第n個圖形有小圓4+（2+4+6+8+…+2n）=（n2+n+4）個，故答案為：（n2+n+4）；（3）解：nnn+11n1=10，所以，n=10．（4）解：nnΔn=n不是正整數，所以第n個圖中的棋子個數不能是1004個．【點睛】本題考查圖形變換規(guī)律探究，解一元二次方程，這類題型在中考中經常出現．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，找出圖形變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式11-3】（2022秋·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）方法介紹：同學們，生活中的很多實際問題，我們往往抽象成數學問題，然后通過數形結合建立數學模型的方式來解決.例如：學校舉辦足球賽，共有五個球隊參加比賽，每個隊都要和其他各隊比賽一場，問該學校一共要安排多少場比賽？這是一個實際問題，我們可以在平面內畫出5個點（任意3個點都不在同一條直線上），如圖①所示，其中每個點各代表一個足球隊，兩個隊之間比賽一場就用一條線段把他們連起來，其中連接線段的條數就是安排比賽的場數.這樣模型就建立起來了，如何解決這個模型呢？由于每個隊都要與其他各隊比賽一場，即每個點都要與另外4點連接一條線段，這樣5個點應該有5×4=20條線段，而每兩個點之間的線段都重復計算了一次，實際只有10條線段，所以學校一共要安排10場比賽.學以致用：（1）根據圖②回答：如果有6個班級的足球隊參加比賽，學校一共要安排場比賽；（2）根據規(guī)律，如果有n個班級的足球隊參加比賽，學校一共要安排場比賽.問題解決：（1）小明今年參加了學校新組建的合唱隊，老師讓所有人每兩人相互握手，認識彼此（每兩人之間不重復握手）.小明發(fā)現所有人握手次數總和為91次，那么合唱隊有多少人？（2）A、B、C、D、E、F六人參加一次會議，見面時他們相互握手問好，每兩人之間不重復握手，如圖③，已知A已經握了5次，B已經握了4次，C已經握了3次，D已經握了2次，E已經握了1次，請利用圖③分析F已經和哪些人握手了.問題拓展：根據上述模型的建立和問題的解決，請你提出一個問題，并進行解答.【答案】學以致用：（1）15（2）n(n?1)問題解決：（1）14人（2）F和ABC握手了問題拓展：問題提出合理

9分問題解決合理

10分用類似的方法來解決下面的問題：姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜六人參加一次會議，見面時他們相互握手問好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飛飛已握了2次手，紅紅握手1次，請推算出娜娜目前已和哪幾個人握了手．【詳解】試題分析：學以致用：根據所給例題可得（1）6×52=15（2）n(n?1)2試題解析：學以致用：（1）15

1分（2）n(n?1)2問題解決：（1）設合唱隊有x人，則解方程得：（不合題意舍去）∴合唱隊有14人．

6分（2）F和ABC握手了

8分問題拓展：問題提出合理

9分問題解決合理

10分用類似的方法來解決下面的問題：姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜六人參加一次會議，見面時他們相互握手問好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飛飛已握了2次手，紅紅握手1次，請推算出娜娜目前已和哪幾個人握了手．解：先畫出6個點，A、B、C、D、E、F各個點依次代表姣姣、林林、可可、飛飛、紅紅和娜娜，凡是兩人之間握過手，就把代表他們的這兩點用1條線段連接起來（如圖所示）.先看姣姣（A）和紅紅（E）．姣姣已握手5次，說明姣姣與另外5人都握了手，因此代表姣姣的A點與B、C、D、E、F這5點都有一條線段連接；紅紅握手1次，他只能是與姣姣握的手了，所以E點只能與A點之間有線段連接，與其它各點再也不能有線段連接了．其次分析林林（B）．林林已握手4次，由于他沒有可能與紅紅握過手，所以只能是與剩下的四個人姣姣、可可、飛飛和娜娜握過手了，因此，點B與A、C、D、F四點之間有線段連接．再看飛飛（D）．飛飛已握手2次，而代表飛飛的D點已與A、B兩點有線段連接了，所以D點與其它的點不能再有線段連接了．最后考察可可（C）．可可與3人握了手，但已不能是與飛飛和紅紅握的手了，所以代表可可的點C只能與A、B、F三點有線段連接．現在觀察圖形，與代表娜娜的點連接的線段有3條（AF、BF和CF），這說明姣姣、林林和可可三人已與娜娜握過手．考點：1.列代數式及求值；2.一元二次方程的應用；3.數形結合模型的建立和問題的解決.【考點12一元二次方程中的新定義問題】【例12】（2022秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）定義：如果一元二次方程ax2+bx?c=0（a≠0A．a＝c B．a＝b C．【答案】C【分析】根據題意得a?b?c＝0，再根據△=0，即可求出a、b、【詳解】∵ax2∴a?b?c＝又∵一元二次方程ax∴△=b由①式得b=a?c③把③式代入②式得(a?c)∴∴∴∴a+c=0故選：C【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式.讀懂題意并且熟記一元二次方程根的判別式，會根據根的判別式求字母的值是解題的關鍵.【變式12-1】（2022秋·江蘇·八年級期中）如果關于x的一元二次方程ax（1）請根據上述結論解決問題：方程①2x2?3x+1=0；方程②x2?2x?8=0（2）一般規(guī)律探究：我們知道，若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2，則有x1+x2=?b（3）若(x?1)(mx?n)=0是倍根方程，求2nm【答案】（1）①③；（2）b2?92【分析】（1）根據“倍根方程”的定義，求出方程①、②、③中的根的值，根據定義判斷即可；（2）利用根與系數的關系建立等式進行整理即可；（3）將方程(x?1)(mx+n)=0整理成一般式，再根據“倍根方程”的定義，借助（2）中的結論，整理后即可得出mx2?(m+n)x+n=0，即可求得2m?n=0進而求得2nm【詳解】解：（1）在方程①2x解得：x1∵2x方程為“倍根方程”，在方程②x2解得：x1∵2x方程不為“倍根方程”，在方程③x2解得：x1∵2x方程為“倍根方程”，∴是倍根方程的是①③．故答案為：①③．（2）∵方程ax∴可設方程的兩根為x1和2則x1+2x∴(3x1)∴(?b∴b2（3）整理(x?1)(mx?n)=0得：mx∵(x?1)(mx?n)=0是倍根方程，∴b∴m2?∴(2m?n)(m?2n)=0，∴2m?n=0或m?2n=0，∴m=12n∴2nm故答案為：4或1．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握“倍根方程”的定義．【變式12-2】（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯考期中）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數根為x1，x2(x1≤(1)若方程為x2?3x+2=0，則該方程的“友好點”(2)若關于x的一元二次方程x2?(5m+1)x+5m=0的“友好點”為P，過點P向x軸和y軸作垂線，兩條垂線與坐標軸恰好圍成一個正方形，求(3)是否存在b，c，使得不論k(k≠0)為何值，關于x的方程x2+bx+c=0的“友好點”P始終在函數y=kx+2k+3的圖象上，若有，請求出b，【答案】(1)(1,2)(2)15或(3)存在，b=?1，c=?6【分析】（1）解方程x2?3x+2=0后，根據定義即可求（2）求出方程的解為x=1或x=5m，再分情況討論：當5m≥1時，此時P(1,5m)；當0?5m?1時，此時P(5m,1)，當5m<0時，P(5m,1)；再由題意分別求出m的值即可；（3）由直線經過定點(?2,3)，則方程x2+bx+c=0的衍生點P為(?2,6)，即可求b=?1，【詳解】（1）解：解方程x2x1=1，∴該方程的“友好點”P的坐標為(1,2)，故答案為：(1,2)；（2）x2?(5m+1)x+5m=0的解為x=1或當5m≥1時，m≥1此時M(1,5m)，由題意可得1=5m，解得m=1當0≤5m≤1時，0≤m≤1此時M(5m,1)，∴5m=1，∴m=1當5m<0時，M(5m,1)，此時1=?5m，解得m=?1綜上所述：m的值為15或?（3）存在b，c滿足條件，理由如下：∵y=kx+2k+3=k(x+2)+3，∴直線經過定點(?2,3)，∴方程x2+bx+c=0的衍生點為∴方程為x∴b=?1，c=?6．【點睛】本題屬于一次函數綜合題，考查一次函數的圖象及性質，點P為該一元二次方程的“友好點”的定義，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握一次函數的圖象及性質，學會用分類討論的思想解決問題．【變式12-3】（2022秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期中）定義：若x1、x2是方程ax(1)下列方程是“差積方程”的是______；①6x2?5x+1=0②(2)若方程x2?(m+2)x+2m=0是“差積方程”，求(3)當方程ax2+bx+c=0(a≠0)【答案】(1)①③(2)23或(3)b【分析】（1）分別根據因式分解法解一元二次方程，然后根據定義判斷即可求解；（2）先根據因式分解法解一元二次方程，然后根據定義列出絕對值方程，解方程即可求解；（3）根據求根公式求得x1【詳解】（1）解：①6x即2x?13x?1解得：x1∵12∴6x②x2即xx?4解得：x1=0,x③3x即3x+2x+2解得x1∵?2+2∴3x故答案為：①③；（2）解：x2即x?2x?m解得：x1∵x2∴2?m=2m即2?m=2m或2?m=?2m．解得：m=23或?2（3）解：ax解得：x=?b±∴x1∵ax∴x1即b2即b2【點睛】本題考查了新定義運算，解一元二次方程，理解新定義是解題的關鍵．【考點13一元二次方程中的閱讀理解類問題】【例13】（2022秋·山西忻州·八年級期末）閱讀材料并回答問題：(1)方程x2+2x+1=0的根為x1=?1，x2=?1，x1+x2=?2，x1x2=1．方程3x2+4x?7=0的根為(2)從（1）中你一定發(fā)現了一定的規(guī)律，這個規(guī)律是_______．(3)用你發(fā)現的規(guī)律解答下列問題：①不解方程，直接計算：方程x2?2x?1=0的兩根分別是x1、x2，則②方程x2?3x+1=0的兩根分別是x1、x③已知一元二次方程x2?3x?3a=0的一個根為6，求【答案】(1)?ba(2)x1+(3)①2，-1；②7；③a=6，另一個根為-3【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式，求出兩根的和與積，即可得到答案．（2）根據（1）得到兩根得和與兩根的積與系數的關系．（3）利用一元二次方程的根與系數的關系，兩根的和是3，即可求得另一根，再根據兩根的積是﹣3a，即可求得a的值．(1)由題意得：x1+x2=x1?x2=（故答案為：?ba；(2)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，且a，b，c是常數）的兩個根為x1、x2．則x1+x2=?ba，x1?x2(3)①∵x1+x2=?ba，x1?x2∴x1+x2=2，x1?x2=-1故答案為：2；﹣1．②∵x1+x2=?ba，x1?x2∴x=(?b=9-2=7故答案為：7．③∵一個根為6，x1+x2=?∴另一根為x2＝3﹣6＝﹣3；∵x1?x2=∴6×（﹣3）＝﹣3a，解得a＝6．【點睛】可利用根與系數的關系使問題簡化，不必把方程的解代入求值．【變式13-1】（2022秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：材料1：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根為x1，x2材料2：已知一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數根分別為m，n，求解：∵一元二次方程x2?x?1=0的兩個實數根分別為m，∴m+n=1，mn=?1，則m2根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個根為x1，x2，則x(2)類比應用：已知一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m、n(3)思維拓展：已知實數s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2【答案】(1)32，(2)?(3)±【分析】（1）根據材料1中，一元二次方程根與系數關系即可得到答案；（2）根據材料1及材料2，由一元二次方程根與系數關系，得到m+n=32，mn=?12，將nm+m（3）根據題意，確定s與t看作是方程2x2?3x?1=0的兩個實數根，由一元二次方程根與系數關系，得到s+t=32，st=?12，先求出s?t=±172【詳解】（1）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0的兩個根為x∴x1+故答案為：32，?（2）解：∵一元二次方程2x2?3x?1=0的兩根分別為m∴m+n=32，∴n====?13（3）解：∵實數s、t滿足2s2?3s?1=0∴s與t看作是方程2x∴s+t=32，∴(s?t)(s?t)2(s?t)2∴s?t=±17∴1====±17【點睛】本題考查一元二次方程根與系數關系，以及利用根與系數關系求代數式的值，根據代數式的結構特征恒等變形為已知代數式的形式是解決問題的關鍵．【變式13-2】（2022秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據等式的基本性質，把方程轉化為x=a的形式．求解二元一次方程組；類似的，求解三元一次方程組，把它轉化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉化為整式方程來解，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數學思想—轉化用“轉化”的數學思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2?2x=0，可以通過因式分解把它轉化為xx2(1)問題：方程x3+x2?2x=0的解是x1=0(2)拓展：用“轉化”思想求方程2x+3=x【答案】(1)?2；1(2)x=3【分析】（1）解一元二次方程x2（2）兩邊同時平分，解一元二次方程并需要檢驗二次根式是否有解.【詳解】（1）解：x3xx∴xx+2∴x=0或x+2=0或x?1=0，∴x1=0，x2故答案為：?2；1．（2）解：方程2x+3=x∴2x+3=x∴x2∴x?3x+1∴x1=3，經檢驗，x1=3是原方程的解，∴原方程的解為：x=3．【點睛】本題主要考查了解方程，解題的關鍵是將方程進行轉化，注意對方程的解進行檢驗．【變式13-3】（2022秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）定義：已知x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數根，若x1<x2<0請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程x2(2)若關于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2(3)若關于x的一元二次方程x2+1?m【答案】(1)此方程為“限根方程”，理由見解析(2)k的值為2(3)m的取值范圍為?13【分析】（1）解該一元二次方程，得出x1（2）由一元二次方程根與系數的關系可得出x1+x2=?k+72，x（3）解該一元二次方程，得出x1=?1，x2=m或x1=m，【詳解】（1）解：x2x+2x+7∴x+2=0或x+7=0，∴x1∵?7<?2，3<?7∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程2x2+∴x1+x∵x1∴?k+7解得：k1=2，分類討論：①當k=2時，原方程為2x∴x1=?7∴x1<x∴此時方程2x∴k=2符合題意；②當k=?1時，原方程為2x∴x1=?2，∴x1<x∴此時方程2x∴k=?1不符合題意．綜上可知k的值為2；（3）x2(x+1)(x?m)=0，∴x+1=0或x?m=0，∴x1=?1，∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實數根，∴Δ>0，m<0且m≠?1∴1?m2+4m>0，即∴m<0且m≠?1．分類討論：①當?1<m<0時，∴x1∵3<x∴3<?1解得：?1②當m<?1時，∴x1∵3<x∴3<m解得：?4<m<?3．綜上所述，m的取值范圍為?13<m<?【點睛】本題考查解一元二次方程，一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程根的判別式．讀懂題意，理解“限根方程”的定義是解題關鍵．【考點14一元二次方程的實際應用】【例14】（2022秋·云南·八年級云大附中?？计谀┕膊拷还芫植渴稹耙豢粠А卑踩刈o行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產線生產頭盔，經過一段時間后，發(fā)現一條生產線最大產能是900個/天，但如果每增加一條生產線，每條生產線的最大產能將減少30個/天，現該廠要保證每天生產頭盔3900個，在增加產能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產線越多，投入越大），應該增加幾條生產線？【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%(2)在增加產能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產線【分析】（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據題意列出一元二次方程進行求解；（2）設增加x條生產線，根據條件列出一元二次方程求解，再根據要節(jié)省投入的條件下，確定解．【詳解】（1）解：設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x．依題意，得：2250(1+x)解得：x1=0.2=20%答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）解：設增加x條生產線．(900?30x)(x+1)=3900，解得x1=4，答：在增加產能同時又要節(jié)省投入的條件下，增加4條生產線．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據題意列出相應的一元二次方程求解即可．【變式14-1】（2022秋·重慶江北·八年級校考期末）2022年卡塔爾世界杯吉祥物la'eeb，中文名是拉伊卜，代表著技藝高超的球員．隨著世界杯的火熱進行，吉祥物拉伊卜玩偶成為暢銷商品．某經銷商售賣大、小兩種拉伊卜玩偶，大拉伊卜售價是小拉伊卜售價的2倍且1200元購買小拉伊卜玩偶的數量比購買大拉伊卜玩偶的數量多10個．(1)求小、大拉伊卜玩偶售價分別為多少元？(2)世界杯開賽第一周該經銷商售出小拉伊卜玩偶400個，大拉伊卜玩偶300個，世界杯開賽第二周，該經銷商決定降價出售兩種拉伊卜玩偶．已知：兩種拉伊卜玩偶都降價a元，小拉伊卜玩偶售出數量較世界杯開賽第一周多了10a個：大拉伊卜玩偶售出數量與世界杯開賽第一周相同，該經銷商世界杯第二周總銷售額為58000元，求a的值．【答案】(1)小拉伊卜玩偶售價為60元，大拉伊卜玩偶售價是120元(2)10【分析】（1）設小拉伊卜售價為x元，則大拉伊卜售價是2x元，根據題意，得1200x（2）根據題意，第二周大拉伊卜售價是120?a元，銷售數量為300個；第二周小拉伊卜售價是60?a元，銷售數量為10a+400個，根據題意，得10a+400×【詳解】（1）解：設小拉伊卜售價為x元，則大拉伊卜售價是2x元，根據題意，得1200x解得x=60，經檢驗，x=60是原方程的根，所以2x=120，答：小拉伊卜玩偶售價為60元，大拉伊卜玩偶售價是120元．（2）解：根據題意，第二周大拉伊卜售價是120?a元，銷售數量為300個；第二周小拉伊卜售價是60?a元，銷售數量為10a+400個，根據題意，得10a+400×解得a1故a的值為10．【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元二次方程的應用，熟練掌握兩種的方程的應用是解題的關鍵．【變式14-2】（2022秋·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）“鐵路建設助推經濟發(fā)展”，近年來我國政府十分重視鐵路建設．渝利鐵路通車后，從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設計運行時速比原鐵路設計運行時速提高了120千米/小時，全程設計運行時間只需8小時，比原鐵路設計運行時間少用16小時．（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設計運行里程是多少千米？（2）專家建議：從安全的角度考慮，實際運行時速要比設計時速減少m%，以便于有充分時間應對突發(fā)事件，這樣，從重慶到上海的實際運行時間將增加110m小時，求【答案】（1）1600；（2）20．【分析】（1）利用“從重慶到上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設計運行時速比原鐵路設計運行時速提高了l20千米/小時，全程設計運行時間只需8小時，比原鐵路設計運行時間少用16小時”，分別得出等式組成方程組求出即可；（2）根據題意得出：(80+120)(1?m%【詳解】（1）設原時速為xkm/h，通車后里程為ykm，則有：{8(120+x)=y解得：{x=80答：渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設計運行里程是1600千米；（2）由題意可得出：(80+120)(1?m%解得：m1=20，答：m的值為20．【變式14-3】（2022春·浙江·八年級期末）如圖，一輪船以30km/h的速度由西向東航行，在途中接到臺風警報，臺風中心正以20km/h的速度由南向北移動．已知距臺風中200km的區(qū)域（包括邊界）都屬于受臺風影響區(qū)．當輪船接到臺風警報時，測得BC=500km問題：（1）根據題意AC=________，若設經過的時間為t小時，則臺風中心與A點的距離是________，輪船與A的距離是_____________，臺風中心與輪船之間的距離是__________；（用t表示）（2）若不改變航向，輪船會不會進入臺風影響區(qū)？若輪船進入臺風影響區(qū)，那么受臺風影響的時間為多少小時？（保留根號）【答案】（1）400km，300?20tkm，400?30tkm，300?20t2+400?30t2【分析】（1）根據勾股定理，路程、速度和時間的關系得到結果；（2）設當輪船接到報警后經過t小時受到臺風影響，根據勾股定理列出關于t的方程求出t的值即可得到結果．【詳解】解：（1）∵CB=500km，AB=300km，∴AC=BC2?A若經過的時間為t小時，則臺風中心與A點的距離是300?20tkm，輪船與A的距離是400?30tkm，臺風中心與輪船之間的距離是300?20t2+（2）設當輪船接到報警后經過t小時受到臺風影響，則（300-20t）2+（400-30t）2=2002，解得：t=180+105113或t=∴輪船會進入臺風影響區(qū)，受影響的時間為t=180+105113?【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用以及勾股定理等知識，根據題意得出關于t的等式是解題關鍵．【考點15一元二次方程中的動點問題】【例15】（2022·四川自貢·八年級?？计谀┤鐖D，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝8cm，動點P，Q分別從點A、C同時出發(fā)，點P以3cm/S的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動．當P、Q兩點從出發(fā)開始到_____秒時，點P和點Q的距離是10cm．【答案】2或225【分析】作PE⊥CD，垂足為E，設運動時間為t秒，用t表示各個線段，再用勾股定理列方程求解即可.【詳解】設當P、Q兩點從出發(fā)開始到t秒時，點P和點Q的距離是10cm，如圖，作PE⊥CD于E，則PE=AD=8cm，∵DE=AP=3t，CQ=2t，∴EQ=CD－DE－CQ=16?5t由勾股定理得：(16－5t)2+62=102，解得t1=2，t2=225故答案為2或225【變式15-1】（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級?？计谥校┤鐖D，射線AC與射線CB垂直，C為垂足，且AC=6cm，點P從點A開始沿射線AC方向以2cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點C開始沿射線CB方向以1cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、C同時出發(fā)，運動的時間為t【答案】存在，當t=4時，△PQC的面積是4【分析】分兩種情況：當0<t<3時，當t>3時，分別依據△PQC的面積是4cm【詳解】解：由題意得：AP=2t,CQ=t，①當0<t<3時，PC=6?2t，∴S△PCQ∴12即t2∵Δ=∴該一元二次方程無實數根，故此時不存在；②當t>3時，PC=2t?6，∴S△PCQ∴1即t2解得t=4或t=?1（舍去），綜上所述，存在，當t=4時，△PQC的面積是4cm【點睛】本題考查了一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，解答時利用三角形的面積公式建立一元二次方程是關鍵．【變式15-2】（2022秋·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿邊AB以1cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點B出發(fā)沿邊BC以2cm/s的速度向點C移動，當點P運動到點B后，運動停止，設運動時間為(1)BP=______cm，CQ=______cm（用含x的式子表示）；(2)若PQ=42cm時，求(3)當x為何值時，△DPQ將成為以DP為斜邊的直角三角形．【答案】(1)(6?x)，(12?2x)(2)x1=0.4(3)當x為1.5或6時，△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形【分析】（1）直接根據P、Q點運動方向和運動速度表示出答案；（2）在Rt△PBQ中，根據勾股定理即可求出答案；（3）表示出PQ2、DQ【詳解】（1）由題可得：AP=xcm，BQ=2x∴BP=AB?AP=6?x(cm)，CQ=BC?BQ=12?2x(故答案為：(6?x)，(12?2x)；（2）在Rt△PBQ中，BP2+B解得：x1=0.4或（3）PQ2=(6?x)2∵△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形，∴(6?x)2解得：x1=1.5或∴當x為1.5或6時，△DPQ是以DP為斜邊的直角三角形．【點睛】本題考查勾股定理的應用以及一元二次方程的應用，正確表示出三角形各邊的長度是解題的關鍵．【變式15-3】（2022春·浙江·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．點P從點A出發(fā)，沿AB向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)，沿(1)經過多少秒后，△PBQ的面積為8cm(2)線段PQ能否將△ABC分成面積相等的兩部分？若能，求出移動時間；若不能，請說明理由．(3)若點P從點A出發(fā)，沿射線AB方向以1cm/s的速度移動，同時點Q從點C出發(fā)，沿射線CB方向以2cms的速度移動，經過多少秒后【答案】(1)2或4(2)線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分(3)5+【分析】（1）根據三角形面積公式列出方程，解方程即可；（2）根據三角形面積公式列出方程，根據一元二次方程根的判別式解答；（3）分點P在線段AB上，點Q在線段CB上、點P在線段AB上，點Q在射線CB上、點P在射線AB上，點Q在射線CB上三種情況，根據三角形面積公式列出方程，解方程得到答案．【詳解】（1）解：設經過x秒后，△PBQ的面積為8cm根據題意得：AP=xcm,∴BP=6?x∴126?x?2x=8，解得x故經過2秒或4秒后，△PBQ的面積為8cm（2）解∶設經過t秒后，線段PQ將△ABC分成面積相等的兩部分．∵S△ABC∴S△PBQ=1∵Δ=∴此方程無實數根，∴線段PQ不能將△ABC分成面積相等的兩部分．（3）解：設y秒后，△PBQ的面積為1cm分三種情況：①點P在線段AB上，點Q在線段CB上0<t<4，如圖所示，依題意得：12即y2解得y1經檢驗，y1∴y=5?2②點P在線段AB上，點Q在射線CB上4<t<6，如圖所示，依題意得：12即y2解得y1經檢驗，y=5符合題意；③點P在射線AB上，點Q在射線CB上t>6，如圖所示，依題意得：12即y2解得y1經檢驗，y2∴y=5+2綜上所述，經過5?2秒或5秒或5+2秒后，△PBQ的面積等于【點睛】本題是三角形的綜合題，考查了一元二次方程的應用和幾何動點問題，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解，注意分類思想的運用．【考點16一元二次方程與幾何綜合】【例16】（2022秋·廣東江門·八年級?？计谥校洞鷶祵W》中記載，形如x2+10x=39的方程，求正數解的幾何方法是：“如圖①，先構造一個面積為x2的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構造四個面積為52x的矩形，得到陰影部分面積x2+4×52x=x2+10x=39【答案】x=4【分析】根據已知的數學模型，同理可得空白小正方形的邊長為3，先計算出大正方形的面積=陰影部分的面積+4個小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結論．【詳解】x2x∵陰影部分的面積為60，∴x2如圖②所示的圖形，再以正方形的邊為一邊向外構造四個面積為3x的矩形，得到陰影部分面積x2∴大正方形的面積為4×3∴大正方形的邊長為96=4∴x=46∴方程x2+12x+m=0的正數解為故答案為：x=46【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題目給的材料是解題的關鍵．【變式16-1】（2022秋·四川成都·八年級四川省成都市七中育才學校?？计谥校┤鐖D，四邊形OABC是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標系中，使得點O與坐標原點重合，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點B的坐標為3,4，D的坐標為2,4，現將紙片沿過D點的直線折疊，使頂點C落在線段AB上的點F處，折痕與y軸的交點記為E．(1)求點F的坐標和∠FDB的大??；(2)在x軸正半軸上是否存在點Q，滿足S△QDE=S(3)點P在直線DE