數(shù)學(xué)-第13講 三角形及其全等（解析）

第十三講——三角形及其全等考向一三角形的三邊關(guān)系1．（2020·江蘇宿遷市·中考真題）在△ABC中，AB=1，BC=，下列選項(xiàng)中，可以作為AC長度的是（）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊，可以得到AC的長度可以取得的數(shù)值的取值范圍，從而可以解答本題．【詳解】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的長度可以是2，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D不正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及無理數(shù)的估算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用三角形三邊關(guān)系解答．2．（2020·浙江紹興市·中考真題）長度分別為2，3，3，4的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】利用三角形的三邊關(guān)系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過比較得到結(jié)論.【詳解】①長度分別為5、3、4，能構(gòu)成三角形，且最長邊為5；②長度分別為2、6、4，不能構(gòu)成三角形；③長度分別為2、7、3，不能構(gòu)成三角形；④長度分別為6、3、3，不能構(gòu)成三角形；綜上所述，得到三角形的最長邊長為5．故選：B.【點(diǎn)睛】

此題考查構(gòu)成三角形的條件，三角形的三邊關(guān)系，解題中運(yùn)用不同情形進(jìn)行討論的方法，注意避免遺漏構(gòu)成的情況.1．（2020·山東濟(jì)寧市·中考真題）已知三角形的兩邊長分別為3和6,則這個(gè)三角形的第三邊長可以是__________(寫出一個(gè)即可)，【答案】4（答案不唯一，在3＜x＜9之內(nèi)皆可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取值范圍，即可得出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三邊應(yīng)大于6-3=3，而小于6+3=9，

故第三邊的長度3＜x＜9．故答案為：4（答案不唯一，在3＜x＜9之內(nèi)皆可）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式，確定取值范圍即可．2．（2020·江蘇徐州市·中考真題）三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可.【詳解】6-3=3＜第三邊長＜6+3=9,只有6cm滿足題意,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊范圍計(jì)算,關(guān)鍵牢記三邊關(guān)系.考向二三角形的內(nèi)角和外角1．（2020·黑龍江哈爾濱市·中考真題）如圖，在中，，垂足為D，與關(guān)于直線AD對稱，點(diǎn)的B對稱點(diǎn)是，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形內(nèi)角和定理，得到，由軸對稱的性質(zhì)，得到，根據(jù)外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：在中，，∴，∵與關(guān)于直線AD對稱，∴，∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)定理，正確的進(jìn)行角度的計(jì)算．2．（2020·江蘇泰州市·中考真題）如圖，將分別含有、角的一副三角板重疊，使直角頂點(diǎn)重合，若兩直角重疊形成的角為，則圖中角的度數(shù)為_______．【答案】【分析】如圖，首先標(biāo)注字母，利用三角形的內(nèi)角和求解，再利用對頂角的相等，三角形的外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，由題意得：故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．1．（2020·遼寧大連市·中考真題）如圖，中，．將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余角的性質(zhì)，求出∠CAB=50°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，然后求出，即可得到答案．【詳解】解：在中，，∴∠CAB=50°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∴，∴；故選：D．【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的性質(zhì)，正確求出．2．（2020·四川廣安市·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個(gè)30°的角后得到一個(gè)六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根據(jù)平角的定義可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．考向三三角形中的重要線段1．（2020·四川攀枝花市·中考真題）三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心．如圖是的重心．求證：．【答案】見解析【分析】過點(diǎn)D作DH∥AB交CE于H，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得BE=2DH，從而得到AE=2DH，再根據(jù)△AEG和△DHG

相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式計(jì)算即可得證．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH∥AB，交CE于點(diǎn)H，∵AD是△ABC的中線，∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

∴DH是△BCE的中位線，∴BE=2DH，DH∥AB，∵CE是△BCE的中線，∴AE=BE，∴AE=2DH，

∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴，∴AG=2GD，即AD=3GD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心定理的證明，作輔助線構(gòu)造成三角形的中位線和相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．2．（2019·河北中考真題）如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)B，E在AD異側(cè)，I為△APC的內(nèi)心．（1）求證：∠BAD=∠CAE；（2）設(shè)AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）當(dāng)AB⊥AC時(shí)，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．【答案】（1）詳見解析；（2）PD的最大值為3；（3）m=105，n=150．【分析】（1）根據(jù)ASA證明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出結(jié)論．（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC時(shí)AP的長度，此時(shí)PD可得最大值．（3）I為△APC的內(nèi)心，即I為△APC角平分線的交點(diǎn)，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．【詳解】（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．當(dāng)AD⊥BC時(shí)，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3為PD的最大值．（3）如圖2，設(shè)∠BAP=α，則∠APC=α+30°．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．∵I為△APC的內(nèi)心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了垂線段最短，含30°的角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心概念及角平分線定義等，解題的關(guān)鍵是將PD最大值轉(zhuǎn)化為PA的最小值．3．（2020·山東德州市·中考模擬）不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A．三角形的角平分線B．三角形的中線C．三角形的高 D．三角形的中位線【答案】C【解析】因?yàn)樵谌切沃?，它的中線、角平分線和中位線一定在三角形的內(nèi)部，而鈍角三角形的高在三角形的外部．故選C．1．（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，點(diǎn)G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，則EF的長度為（）A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．2.4

【答案】A【分析】由已知條件得EF是三角形的中位線，進(jìn)而根據(jù)三角形中位線定理求得EF的長度．【詳解】解：∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝＝1.7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的重心，三角形的中位線定理，關(guān)鍵正確利用重心定義得EF為三角形的中位線．2．（2020·臺灣中考模擬）如圖，I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，D點(diǎn)在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，則∠AID的度數(shù)為何？（）A．174 B．176 C．178 D．180【答案】A【解析】連接CI，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BAC的度數(shù)，由I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度數(shù)，利用三角形內(nèi)角和定理可得出∠AIC、∠CID的度數(shù)，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度數(shù)．詳解：連接CI，如圖所示．在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．∵I點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，又ID⊥BC，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了三角形的內(nèi)心、三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠AIC、∠CID的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．

考向四全等三角形SSS1．（2020·遼寧鞍山市·中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，，，求證：．【答案】見解析【分析】連接AC，證明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分線的性質(zhì)定理得到CB=CD．【詳解】解：連接AC，∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，∴△ACE≌△ACF（SSS），∴∠CAE=∠CAF，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是連接AC，證明三角形全等．1．（2020·云南中考真題）如圖，已知，．求證：．

【答案】見詳解．【分析】根據(jù)SSS定理推出△ADB≌△BCA即可證明．【詳解】證明：在△ADB和△BCA中，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能正確進(jìn)行推理證明全等是解此題的關(guān)鍵．SAS2．（2020·廣西河池市·中考真題）（1）如圖（1），已知CE與AB交于點(diǎn)E，AC＝BC，∠1＝∠2．求證：△ACE≌△BCE．（2）如圖（2），已知CD的延長線與AB交于點(diǎn)E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）AE=BE；理由見解析【分析】（1）根據(jù)SAS可得出答案；（2）在CE上截取CF＝DE，證明△ADE≌△BCF（SAS），可得出AE＝BF，∠AED＝∠CFB，則可得出BE＝BF．結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，

在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·江蘇徐州市·中考真題）如圖，，，．，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）90°【分析】（1）根據(jù)題意證明△ACE≌△BCD即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）∵，，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又．∴△ACE≌△BCD∴（2）∵△ACE≌△BCD∴∠A=∠B設(shè)AE與BC交于O點(diǎn),∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故=180°-∠BFO=90°．

【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．ASA3．（2020·貴州畢節(jié)市·中考真題）如圖，在一個(gè)寬度為長的小巷內(nèi)，一個(gè)梯子的長為，梯子的底端位于上的點(diǎn)，將該梯子的頂端放于巷子一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，梯子的傾斜角為；將該梯子的頂端放于另一側(cè)墻上的點(diǎn)處，點(diǎn)到的距離為，且此時(shí)梯子的傾斜角為，則的長等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，證明≌即可解決問題．【詳解】過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，則CE//AB，，且PD=PC，為等邊三角形，，，

，，，，∴，∴，∴，，在和中，，∴≌，，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，作輔助線CE是解答此題的關(guān)鍵．3．（2020·四川南充市·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求證：AB=CD．【答案】詳見解析【分析】根據(jù)ABBD，DEBD，ACCE，可以得到，，，從而有，可以驗(yàn)證和全等，從而得到AB=CD．【詳解】證明：∵，，∴∴，∴在和中∴≌故．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角邊角判定三角形全等，其中找到兩兩互余的角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．AAS4．（2020·湖南衡陽市·中考真題）如圖，在中，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．

【答案】（1）證明見解析；（2）=80°【分析】（1）利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°在△BDE和△CDF中，∴，∴．（2）∵∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，∴∠C=50°，在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，故=80°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．（2020·浙江溫州市·中考真題）如圖，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且AB∥DE．（1）求證：△ABC≌△DCE；（2）連結(jié)AE，當(dāng)BC＝5，AC＝12時(shí)，求AE的長．【答案】（1）見解析；（2）13【分析】根據(jù)題意可知，本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，根據(jù)判定定理，運(yùn)用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等再通過AAS以及勾股定理進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵∴

在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和勾股定理，熟練掌握判定定理運(yùn)用以及平行的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．綜合5．（2020·湖北省直轄縣級行政單位·中考真題）如圖，已知和都是等腰三角形，，交于點(diǎn)F，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】①證明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性質(zhì)即可判斷；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF證得∠BFC=90°即可判定；③分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE,根據(jù)全等三角形面積相等和BD=CE，證得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE結(jié)合即可判定．【詳解】解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD和△CAE中AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正確；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正確；

分別過A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分別為M、N∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴∵BD=CE∴AM=AN∴平分∠BFE，無法證明AF平分∠CAD．故③錯(cuò)誤；∵平分∠BFE，∴故④正確．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)以及角的和差等知識，其中正確應(yīng)用角平分線定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2020·北京中考真題）在ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．只需添加一個(gè)條件即可證明ABD≌ACD，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）【答案】∠BAD=∠CAD（或BD=CD）【分析】證明ABD≌ACD，已經(jīng)具備根據(jù)選擇的判定三角形全等的判定方法可得答案．【詳解】解：要使則可以添加：∠BAD=∠CAD，此時(shí)利用邊角邊判定：或可以添加：此時(shí)利用邊邊邊判定：故答案為：∠BAD=∠CAD或（）

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定，屬開放性題，掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．5．（2020·湖北鄂州市·中考真題）如圖，在和中，，，，．連接、交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS證明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出MO平分，④正確；由∠AOB＝∠COD，得出當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以O(shè)A＝OC，而，故③錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【詳解】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；∴∠OAC＝∠OBD，

由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正確；作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴平分，④正確；∵∠AOB＝∠COD，∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM∵△AOC≌△BOD，∴∠COM＝∠BOM，∵M(jìn)O平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB∴OA＝OC與矛盾，∴③錯(cuò)誤；正確的有①②④；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6．（2020·四川阿壩藏族羌族自治州·中考真題）如圖，等腰△中，點(diǎn)D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定≌的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即得答案．【詳解】解：A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據(jù)SAS判定≌，故本選項(xiàng)不符合題意；B、若添加，不能判定≌

，故本選項(xiàng)符合題意；C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據(jù)AAS判定≌，故本選項(xiàng)不符合題意；D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，則可根據(jù)ASA判定≌，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．1．（2020·湖南益陽市·中考真題）如圖，的對角線，交于點(diǎn)，若，，則的長可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到OA、OB的長度，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到AB的取值范圍，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=AC=3，BO=BD=4，在△AOB中，4-3<AB<4+3∴1<AB<7，結(jié)合選項(xiàng)可得，AB的長度可能是6，故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．2．（2020·甘肅蘭州市·中考真題）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求出∠CAD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠2．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝65°，∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠CAD＝65°，∴∠2＝180°?65°?65°＝50°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，正確得出∠CAD的度數(shù)是解題關(guān)鍵．3．（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一個(gè)零件的形狀如圖所示，，則的度數(shù)是（）A．70° B．80° C．90° D．100°【答案】B【分析】延長DE與BC交于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是平行四邊形，則∠A=∠F，利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出答案．【詳解】解：延長DE與BC交于點(diǎn)F，如圖：∵，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠A=∠F，在△BDF中，，∴，∴∠A=80°；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，求出∠F的度數(shù)．4．（2020·內(nèi)蒙古）如圖，是的外角，．若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】∵，∴∠B=∴∠A=180°-∠B-故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和等于180°．5．（2019·河北中考真題）下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內(nèi)容則回答正確的是（）A．◎代表B．@代表同位角C．▲代表D．※代表【答案】C【分析】根據(jù)圖形可知※代表CD，即可判斷D；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得◎代表∠EFC，即可判斷A；利用等量代換得出▲代表∠EFC，即可判斷C；根據(jù)圖形已經(jīng)內(nèi)錯(cuò)角定義可知@代表內(nèi)錯(cuò)角．【詳解】延長BE交CD于點(diǎn)F，則∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和）．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，比較簡單．6．（2020·貴州貴陽市·中考模擬）如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是（）

A．線段DE B．線段BE C．線段EF D．線段FG【答案】B【分析】根據(jù)三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線逐一判斷即可得．【解析】根據(jù)三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線，其余線段DE、EF、FG都不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的中線，解題的關(guān)鍵是掌握三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．7．（2020·黑龍江綏化市·中考真題）如圖，四邊形是菱形，E、F分別是、兩邊上的點(diǎn)，不能保證和一定全等的條件是（）A．B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法，對各選項(xiàng)分別判斷即可得解．【詳解】∵四邊形是菱形，∴AB=BC=CD=DA，，，如果，∴，即，∵，∴(ASA)，故A正確；如果EC=FC，∴BC-EC=CD-FC，即BE=DF，∵，∴(SAS)，故B正確；如果AE=AF，∵AB=DA，，是SSA，則不能判定和全等，故C錯(cuò)誤；

如果，則，∴(SAS)，故D正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法，一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．8．（2020·湖南懷化市·中考真題）在中，，平分，交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，若，則的長為（）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【分析】證明△ABD≌△AED即可得出DE的長．【詳解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．9．（2020·江蘇揚(yáng)州市·中考模擬）小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別是4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積？”小明提示說：“可通過作最長邊上的高來求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是（）A．B．C． D．【答案】C【分析】由題意可知該三角形為鈍角三角形，其最長邊上的高應(yīng)在三角形內(nèi)部，按照三角形高的定義和作法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：三角形最長邊上的高是過最長邊所對的角的頂點(diǎn)，作對邊的垂線，垂足在最長邊上.故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形高線的畫法，無論什么形狀的三角形，其最長邊上的高都在三角形的內(nèi)部，本題中最長邊的高線垂直于最長邊.10．（2020·四川綿陽市·中考模擬）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE,AD垂直相交于點(diǎn)O，則AB=______.

【答案】【分析】利用三角形中線定義得到BD=2，AE=，且可判定點(diǎn)O為△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代換得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把兩式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可計(jì)算出AB的長．【解析】解：∵AD、BE為AC，BC邊上的中線，

∴BD=BC=2，AE=AC=，點(diǎn)O為△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，

∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，

∴BO2+AO2=，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案是：．【點(diǎn)睛】考查了重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．11．（2020·遼寧丹東市·中考模擬）如圖，中，是上的中線，是中邊上的中線，若的面積是則的面積是________________．【答案】【分析】根據(jù)中線平分三角形面積直接計(jì)算即可．

【詳解】解：∵是上的中線，是中邊上的中線∴S△ABE=S△ABD，S△ABD=S△ABC∴S△ABE=S△ABC=6【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中線的性質(zhì)，掌握中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．12．（2020·廣西賀州市·中考模擬）如圖，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點(diǎn)，若△ABC的面積是1，那么△A1B1C1的面積為____.【答案】7【分析】連接AB1，BC1，CA1，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB1，△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，然后相加即可得解．【詳解】如下圖，連接A1C，B1A，C1B，，因B是線段B1C的中點(diǎn)，所以B1B=BC.△A1B1A和△AB1B等底同高，根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2，S△C1AA1=2.S△A1B1C1=S△A1BB1+S△C1CB1+S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵．13．（2020·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）如圖，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，若使△ABD≌△ABC，則還需添加的一個(gè)條件是______．（只填一個(gè)即可）

【答案】AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）【分析】利用全等三角形的判定方法添加條件即可求解．【詳解】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴當(dāng)添加AD＝AC時(shí)，可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠D＝∠C時(shí)，可根據(jù)“AAS”判斷△ABD≌△ABC；當(dāng)添加∠ABD＝∠ABC時(shí)，可根據(jù)“ASA”判斷△ABD≌△ABC．故答案為AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．14．（2020·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，和中，，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個(gè)條件___________，使和全等．【答案】（或或等）【分析】由題意得和中，，故要添加條件需得到一組邊相等即可．【詳解】解：∵和均為直角三角形，∴,又∵，故要使得和全等，只需添加條件（或或等）即可．故答案為：（或或等）【點(diǎn)睛】本題考查了全等的判定，根據(jù)題意得到兩個(gè)三角形有兩組角分別相等，故只要添加一組對應(yīng)邊相等即可．

15．（2019·黑龍江中考真題）如圖，在△ABC中，D、E分別是BC，AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)G，若DG=1，則AD=________．【答案】3.【分析】先判斷點(diǎn)G為△ABC的重心，然后利用三角形重心的性質(zhì)求出AG，從而得到AD的長．【解析】解：∵D、E分別是BC，AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)G為△ABC的重心，∴AG=2DG=2，

∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．16．（2020·山東濱州市·中考真題）現(xiàn)有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為________．【答案】【分析】求出任取三根木棒的所有情況，再求出能組成三角形的所有情況，利用概率公式直接計(jì)算即可.【詳解】五根木棒，任意取三根共有10種情況：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能組成三角形的有：①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能構(gòu)成三角形；②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能構(gòu)成三角形；③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能構(gòu)成三角形；④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能構(gòu)成三角形；所以有4種方案符合要求，故能構(gòu)成三角形的概率是P==，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，列舉法求事件的概率，列舉法求概率的關(guān)鍵是在列舉所有情況時(shí)考慮要全面，不能重復(fù)也不能遺漏.17．（2020·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，于點(diǎn)，若，求證：．

【答案】證明見解析【分析】利用AAS證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴∠ADE=90°，∵，∴∠ACB=∠ADE，在和中，∴，∴AE=AB，AC=AD，∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．18．（2020·湖北黃石市·中考真題）如圖，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求證：．【答案】（1）∠DAE=30°；（2）見詳解．【分析】（1）根據(jù)AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根據(jù)∠DAB=70°，即可求出∠DAE；（2）證明△DAE≌△CBA，即可證明AD=BC．【詳解】（1）∵AB∥DE，∴∠E=∠CAB=40°，∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，

∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AD=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出∠DAE的度數(shù)是解題關(guān)鍵．19．（2020·四川內(nèi)江市·中考真題）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求證：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）AB＝CD（2）70°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠B=∠C，根據(jù)AAS推出△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；（2）根據(jù)全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF，∠A＝∠D．∴△AEB≌△DFC．∴AB＝CD.（2）∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此題的關(guān)鍵．20．（2020·四川宜賓市·中考真題）如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D是BC上的中點(diǎn)，連接AD并延長到點(diǎn)E，使，連接CE．（1）求證：（2）若的面積為5，求的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）10．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)定義、對頂角相等以及已知條件運(yùn)用SAS即可證明；（2）先根據(jù)三角形中點(diǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得到、，再結(jié)合以及解答即可．

【詳解】證明：（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD在△ABD和△CED中，所以；(2)∵在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)∴∵．答：三角形ACE的面積為10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識，其中掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．21．（2020·江蘇常州市·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）60°【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△ACE≌△BDF，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.【詳解】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.22．（2020·浙江臺州市·中考真題）如圖，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于點(diǎn)O．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）判斷△BOC的形狀，并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2）等腰三角形，理由見解析．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．23．（2020·湖南常德市·中考模擬）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC的長；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解．（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴．∴．∴．

（2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE=BC=．∴DE=CE﹣CD=．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關(guān)鍵．1．（2020·寧夏中考真題）現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（）A． B． C． D．【答案】B

【分析】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；

2、6、7；4、6、7；其中能構(gòu)成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，

所以能構(gòu)成三角形的概率是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．構(gòu)成三角形的基本要求為兩小邊之和大于最大邊．2．（2020·北京中考真題）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5【答案】A【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．【詳解】解：由兩直線相交，對頂角相等可知A正確；由三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可知B選項(xiàng)為∠2＞∠3，C選項(xiàng)為∠1=∠4+∠5，D選項(xiàng)為∠2＞∠5．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行判斷．3．（2020·湖南湘潭市·中考真題）如圖，是的外角，若，，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】解：∵是的外角，∴=∠B+∠A∴∠A=-∠B，∴∠A=60°選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020·山東煙臺市·中考真題）量角器測角度時(shí)擺放的位置如圖所示，在中，射線OC交邊AB于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．85°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2020·天津中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，延長交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC與△DEC全等，故可判斷A選項(xiàng)；可利用相似的性質(zhì)結(jié)合反證法判斷B，C選項(xiàng)；最后根據(jù)角的互換，直角互余判斷D選項(xiàng)．【詳解】由已知得：△ABC△DEC，則AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，故△AEF△ABC，則，假設(shè)BC=EF，則有AE=AB，由圖顯然可知AEAB，故假設(shè)BC=EF不成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；假設(shè)∠AEF=∠D，則∠CED=∠AEF=∠D，故△CED為等腰直角三角形，即△ABC為等腰直角三角形，因?yàn)轭}干信息△ABC未說明其三角形性質(zhì)，故假設(shè)∠AEF=∠D不一定成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．又∵∠A=∠D，∴∠B+∠D=90°．故AB⊥DF，D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，證明過程常用角的互換、直角互余作為解題工具，另外證明題當(dāng)中反證法也極為常見，需要熟練利用．6．（2020·天津中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為D，延長交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題可通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABC與△DEC全等，故可判斷A選項(xiàng)；可利用相似的性質(zhì)結(jié)合反證法判斷B，C選項(xiàng)；最后根據(jù)角的互換，直角互余判斷D選項(xiàng)．【詳解】由已知得：△ABC△DEC，則AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，故△AEF△ABC，則，假設(shè)BC=EF，則有AE=AB，由圖顯然可知AEAB，故假設(shè)BC=EF不成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；假設(shè)∠AEF=∠D，則∠CED=∠AEF=∠D，故△CED為等腰直角三角形，即△ABC為等腰直角三角形，因?yàn)轭}干信息△ABC未說明其三角形性質(zhì)，故假設(shè)∠AEF=∠D不一定成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°．又∵∠A=∠D，∴∠B+∠D=90°．故AB⊥DF，D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，證明過程常用角的互換、直角互余作為解題工具，另外證明題當(dāng)中反證法也極為常見，需要熟練利用．

7．（2020·湖南永州市·中考真題）如圖，已知．能直接判斷的方法是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理解答.【詳解】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根據(jù)已知條件找到全等所需的對應(yīng)相等的邊或角是解題的關(guān)鍵.8．（2020·山東淄博市·中考真題）如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c2【答案】A【詳解】設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關(guān)系．【解答】解：設(shè)EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴點(diǎn)F為△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③

②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．9．（2020·福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，，的中點(diǎn)，則的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以判斷四個(gè)小三角形是全等三角形,即可判斷一個(gè)的面積是．【詳解】∵分別是，，的中點(diǎn),且△ABC是等邊三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面積是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等,關(guān)鍵在于熟練掌握等邊三角形的特殊性質(zhì)．10．（2020·湖南永州市·中考真題）已知直線，用一塊含30°角的直角三角板按圖中所示的方式放置，若，則_________．【答案】35°【分析】如圖，標(biāo)注字母，延長交于，利用平行線的性質(zhì)證明，三角形的外角的性質(zhì)證明，從而可得答案．【詳解】解：如圖，標(biāo)注字母，延長交于，由題意得：

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．11．（2020·江蘇南京市·中考真題）如圖，線段AB、BC的垂直平分線、相交于點(diǎn)，若39°，則=__________．【答案】78【分析】如圖，利用線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定義結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到∠AOG=51-∠A，∠COF=51-∠C，利用平角的定義得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，計(jì)算即可求解．【詳解】如圖，連接BO并延長，∵、分別是線段AB、BC的垂直平分線，∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90，

∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51，∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF，∴∠AOG=51-∠A，∠COF=51-∠C，而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180，∴∠A+∠C=39，∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78，故答案為：78．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直的定義，平角的定義，注意掌握輔助線的作法，注意掌握整體思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．12．（2020·遼寧本溪市·中考真題）如圖，在中，，分別是和的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，若，則的長為_________．【答案】2【分析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．13．（2020·遼寧本溪市·中考真題）如圖，在中，，分別是和的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，若，則的長為_________．

【答案】2【分析】依據(jù)三角形中位線定理，即可得到MN=BC=2，MNBC，依據(jù)△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是AB和AC的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=BC=2，MN∥BC，∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵點(diǎn)E是CN的中點(diǎn)，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．14．（2020·湖南懷化市·中考真題）如圖，在和中，，，，則________o．【答案】130【分析】證明△ABC≌△ADC即可．【詳解】∵，，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠D=∠B=130°，故答案為：130．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵．15．（2020·遼寧本溪市·中考真題）如圖，四邊形是矩形，延長到點(diǎn)，使，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，得到；…；按照此規(guī)律繼續(xù)進(jìn)行下去，若矩形的面積等于2，則的面積為_________．（用含正整數(shù)的式子表示）

【答案】【分析】先計(jì)算出、、的面積，然后再根據(jù)其面積的表達(dá)式找出其一般規(guī)律進(jìn)而求解．【詳解】解：∵，∴面積是矩形ABCD面積的一半，∴梯形BCDE的面積為，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴∴，，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，由中線平分所在三角形的面積可知，∴，且，∴∴，同理可以計(jì)算出：，且，∴，∴，故、、的面積分別為：，觀察規(guī)律，其分母分別為2,4,8，符合，分子規(guī)律為，∴的面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)等，本題的關(guān)鍵是能求出前面三個(gè)三角形的面積表達(dá)式，進(jìn)而找出規(guī)律求解．16．（2020·遼寧丹東市·中考真題）如圖，在矩形中，，，連接，以為邊，作矩形使，連接交于點(diǎn)；以為邊，作矩形，使

，連接交于點(diǎn)；以為邊，作矩形，使，連接交于點(diǎn)；…按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則的面積為_________．【答案】．【分析】先尋找規(guī)律求得的面積，再結(jié)合勾股定理以及三角形中線平分三角形的面積求得三角形面積是它所在矩形面積的，依此即可求得的面積．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴∠A=∠B=90°，，，，∴，∴,，，∵，∴，∴∴，∴，∴，同理可證，，依次類推，，故，在矩形中，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，即，解得，

∵，即，同理可證，∴同理可證故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中線有關(guān)的面積計(jì)算，探索與表達(dá)規(guī)律，解直角三角形．解決此題的關(guān)鍵有兩個(gè)：①尋找規(guī)律，求得；②得出三角形面積是它所在矩形面積的．需注意標(biāo)序號的時(shí)候不要混淆了．17．（2020·江蘇南京市·中考真題）如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，ABAC，BC，求證：BDCE．【答案】見解析【分析】要證BD=CE，只要證AD=AE即可，故需要先證明ABE≌ACD．【詳解】證明：在ABE與ACD中，,ABE≌ACD(ASA)．ADAE，∴AB-AD=AC-AE,故BDCE．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于比較基礎(chǔ)的考查，牢固掌握相關(guān)的知識點(diǎn)即可．18．（2020·云南昆明市·中考真題）如圖，AC是∠BAE的平分線，點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，∠C＝∠E，AB＝AD．求證：BC＝DE．

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明△BAC≌△DAE，即可得到結(jié)果；【詳解】證明：∵AC是∠BAE的平分線，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠C＝∠E，AB＝AD．∴△BAC≌△DAE（AAS），∴BC＝DE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的全等判定，準(zhǔn)確利用角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2020·江蘇無錫市·中考真題）如圖，已知，，．求證：（1）；（2）．

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見解析．【分析】（1）先由平行線的性質(zhì)得∠B=∠C，從而利用SAS判定△ABF≌△DCE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠AFB=∠DEC，由等角的補(bǔ)角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行線的判定可得結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∵BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴∠AFE=∠DEF，∴AF∥DE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，屬于全等基礎(chǔ)知識的考查，難度不大，注意證明過程的規(guī)范性．

20．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在正方形的外側(cè)，作等邊角形，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)15°．【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)得到AB=CD，∠BAD=∠CDA，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AE=DE，∠EAD=∠EDA=60°即可證明；(2)由AB=AD=AE，得到△ABE為等腰三角形，進(jìn)而得到∠ABE=∠AEB，且∠BAE=90°+60°=150°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，∵△ADE是等邊三角形，∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，∴∠BAE=∠CDE，在△BAE和△CDE中:，∴．(2)∵AB=AD，且AD=AE，∴△ABE為等腰三角形，∴∠ABE=∠AEB，又∠BAE=150°，∴由三角形內(nèi)角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．故答案為：15°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及