初中數(shù)學(xué)歸納與類比強(qiáng)化練習(xí)1

初中數(shù)學(xué)歸納與類比強(qiáng)化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.如圖，已知中，？AC,C90?,ZA=3O°,CC,=1,作GCz^AC于點(diǎn)

A

c2,GGAC,于點(diǎn)G，GCJAC于點(diǎn)G將c.c?于點(diǎn)c“，分別記線段cq,

生技為%,計(jì)算并觀察其中的規(guī)律得見=（）

百二一十

2.我國在1905年清朝課堂的課本中用“子-?言，詬詠表示代數(shù)式，其含義

T丙甲乙

大致相當(dāng)于代數(shù)式幺-J+絲如果甲=-1,乙=2,那么云_1舁?畝▼的值

5327甲一乙?甲乙

為（）

7557

A.-B.-C.——D.——

2222

3.全等圖形是相似比為1的相似圖形，因此全等是特殊的相似，我們可以由研究全等

三角形的思路，提出相似三角形的問題和研究方法.這種其中主要利用的數(shù)學(xué)方法是

()

A.代入法B.列舉法C.從特殊到一般D.反證法

4.有一個(gè)計(jì)算程序，每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2,再除以它與1的和，多次重復(fù)

進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下:

若輸入的值為乃，則加的值為（）

256n5127r1024420487r

-------B.-------

2554+1511^+11023^+12047^+1

5.觀察下列等式:

①1=『

②2+3+4=3?

③3+4+5+6+7=5?

④4+5+6+7+8+9+10=7?

請根據(jù)上述規(guī)律判斷下列等式正確的是（）

A.1009+1010+?3026=20172B.1009+1010+?3027=20182

C.1010+1011+?3028=2019?D.1010+1011+?3029=20202

6.如果正整數(shù)4、b、C滿足等式/+加=,2,那么正整數(shù)b、C叫做勾股數(shù).某同學(xué)

將自己探究勾股數(shù)的過程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）

b

34

8610

15817

241026

xV65

A.47B.62C.79D.98

7.中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)數(shù)，即“結(jié)繩計(jì)

數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進(jìn)1,用來記錄孩子自

出生后的天數(shù).由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是（）

A.10B.89C.165D.294

8.“分?jǐn)?shù)”與“分式”有許多共同點(diǎn)，我們在學(xué)習(xí)“分式”時(shí)，常常對比“分?jǐn)?shù)”的相關(guān)知識

進(jìn)行學(xué)習(xí)，這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是（）

A.分類B.類比C.方程D.數(shù)形結(jié)合

二、填空題

9.如圖，將△ABC沿著過8C的中點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)8落在AC邊上的四處，稱

為第一次操作，折痕。E到AC的距離為九；還原紙片后，再將ABDE沿著過8。的中

點(diǎn)R的直線折疊，使點(diǎn)8落在。E邊上的層處，稱為第二次操作，折痕力占到AC的

距離記為外；按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第n次操作后得到折痕。到4c的

距離記為兒，若九=1,則%的值為

10.已知兩個(gè)正數(shù)a,b,可按規(guī)則c=ab+a+6擴(kuò)充為一個(gè)新數(shù)C在mb,c三個(gè)數(shù)

中取兩個(gè)較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴(kuò)充得到一個(gè)新數(shù)，依次下去，將每擴(kuò)充一次得到一

個(gè)新數(shù)稱為一次操作，（1）若。=1力=3,按上述規(guī)則操作三次，擴(kuò)充所得的數(shù)是

;⑵若P”>0,經(jīng)過6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)為（4+l）"'（p+l）"-1

（如”為正整數(shù)），則帆+〃的值為.

11.為豐富師生的課余生活，某地區(qū)的五所學(xué)校聯(lián)合舉行教師籃球賽和學(xué)生聯(lián)誼活

動，每校派一支教工籃球隊(duì)，各派10名學(xué)生參加聯(lián)誼活動.

（1）若籃球賽采取單循環(huán)比賽（每兩支隊(duì)伍之間只進(jìn)行一場比賽），則籃球賽共進(jìn)行

了場；

（2）學(xué)生聯(lián)誼活動中，全體同學(xué)制作了手工小禮品，活動結(jié)束，全體同學(xué)互贈手工小

禮品（每兩個(gè)同學(xué)之間都互贈，數(shù)量剛好夠贈送），則本次活動共制作了件小

禮品.

12.兩條直線最多有1個(gè)交點(diǎn)，三條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，四條直線最多有6個(gè)交

點(diǎn)……那么六條直線最多有個(gè)交點(diǎn).

13.例.求1+2+22+23+...+22儂的值.

解：可設(shè)S=1+2+22+23+…+22008,則2s=2+22+23+24+…+22期

因此2S-S=22009-1,所以1+2+22+23+…+22008=22009-1.

請仿照以上過程計(jì)算出：1+3+32+33+…+32022=.

14.觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10

個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第6個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)橫縱坐標(biāo)分別為整數(shù)的點(diǎn)，其順序按圖中

一”方向排列，如（1,0）,（2,0）,（2,1）,（U）,（1,2）,（2,2）L根據(jù)這個(gè)規(guī)律，第

2020個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

16.我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，

即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來記

錄孩子自出生后的天數(shù)，如圖1,孩子出生后的天數(shù)=3x72+2x71+6=147+14+6=

167(天).請根據(jù)圖2,計(jì)算孩子自出生后的天數(shù)是天.

圖1圖2

三、解答題

17.比較/+1與2%的大小.

(1)嘗試(用“V”,“=”或“>”填空)：

①當(dāng)x=l時(shí)，x2+l2x；

②當(dāng)x=0時(shí)，x2+l2x；

③當(dāng)x=-2時(shí)，%2+12x.

(2)歸納：若x取任意實(shí)數(shù)，N+i與法有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

18.對于正數(shù)x,規(guī)定：/(x)=一三.

X+1

]_

例如…)*=；，的)=3=|，出卜亡4

2

(1)填空：/(3)=；；/(4)+/(；)=:

(2)猜想：/(x)+/W=,并證明你的結(jié)論；

(3)求值：募卜f(康卜+…+U/⑴+/⑵+…+”2019)+/(2020).

19.【問題提出】用〃個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

【問題探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡

單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論.

探究一：如圖1,一個(gè)圓能把平面分成2個(gè)區(qū)域.

探究二：用2個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

如圖2,在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個(gè)圓有2

個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個(gè)區(qū)域，所以，用2個(gè)圓最多能把平

面分成4個(gè)區(qū)域.

探究三：用3個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

如圖3,在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個(gè)圓分

別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加的圓分成2x2=4部分，從而增加4個(gè)區(qū)域，所以，用3個(gè)圓

最多能把平面分成8個(gè)區(qū)域.

（1）用4個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖.

（2）【一般結(jié)論】用〃個(gè)圓最多能把平面分成幾個(gè)區(qū)域？

為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加

的圓分成部分，從而增加個(gè)區(qū)域，所以，用〃個(gè)

圓最多能把平面分成個(gè)區(qū)域.（將結(jié)果進(jìn)行化簡）

（3）【結(jié)論應(yīng)用】

①用10個(gè)圓最多能把平面分成個(gè)區(qū)域；

②用個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域.

20.觀察下列兩個(gè)等式：3+2=3x27,4+|=4x|-l,給出定義如下：我們稱使等

式。+6=而-1成立的一對有理數(shù)為“理想有理數(shù)對“，記為（。力），如：數(shù)對

（3,2）、（4,2都是，，理想有理數(shù)對”.

（1）數(shù)對（-2,1）、中是“理想有理數(shù)對”的是；

（2）若（a,3）是“理想有理數(shù)對"，求a的值;

(3)若(",〃)是“理想有理數(shù)對“，貝1](-加,-〃)“理想有理數(shù)對"(填“是”、"不是”

或“不確定”)；

(4)請?jiān)賹懗鲆粚Ψ蠗l件的“理想有理數(shù)對”.(不能與題目中已有的數(shù)對重復(fù)).

21.【讀一讀】

歐拉(Euler,1707-1783),是世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建

筑、航海等領(lǐng)域都作出了杰出的貢獻(xiàn).他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點(diǎn)數(shù)

V、棱數(shù)E、面數(shù)尸之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，并研究出了著名的歐拉公式.

(1)【數(shù)一數(shù)】觀察下列多面體，并把表格補(bǔ)充完整：

名稱三棱錐三棱柱正方體八面體

&O

圖形傘

頂點(diǎn)數(shù)V486

棱數(shù)E6912

面數(shù)尸568

(2)【想一想】分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V,E,尸之間有什么關(guān)系嗎？請用一個(gè)等

式表示出它們之間的數(shù)量關(guān)系：.

22.歐拉1707年~1783年)為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、

物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn).他對多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的

頂點(diǎn)數(shù)(Vferrex)、棱數(shù)E(Edge)、面數(shù)尸(Flatsurface)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，

給出了著名的歐拉公式.

(1)觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：

頂點(diǎn)數(shù)V468

棱數(shù)E612

面數(shù)F458

（2）分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)hE、尸之間有什么關(guān)系嗎？請寫出關(guān)系式:

參考答案:

1.c

【解析】

【分析】

△4CC是包含30。角的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，可求得各個(gè)邊的長度；同理，△

CC&、△GGG等也是包含30。角的直角三角形，利用銳角三角函數(shù)，亦可求得各個(gè)邊的

長度.最后尋找規(guī)律即可

【詳解】

在必△CCC中，?.?NC=60。，CC,=1,

q=1,a2=CC,gin60?g>

同法可得，%=凈,%=（曰）\…，％=（￥產(chǎn)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題將三角形與找規(guī)律結(jié)合進(jìn)行考查，首先需要根據(jù)三角形的性質(zhì)，求解得出點(diǎn)4、的等

的長度，然后根據(jù)這些長度尋找規(guī)律.

2.B

【解析】

【分析】

二四~,

先根據(jù)題意將w用代數(shù)式表示出來，再代入求值.

甲一乙一甲乙

【詳解】

解：根據(jù)題意可得，所求的式子表示為4+。-油,

24

?.?甲=-1,乙=2,

a=-l,b=2，

原式=——+1+2=—,

故選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的定義將待求代數(shù)式表示出來.

答案第1頁，共15頁

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的問題和研究方法”是從特殊到一般.

【詳解】

???全等圖形是相似比為1的相似圖形，全等是特殊的相似,

，由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的問題和研究方法，是從特殊到一般的數(shù)學(xué)

方法.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查研究相似三角形的數(shù)學(xué)方法，理解相似三角形和全等三角形的聯(lián)系，是解題

的關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

據(jù)題意逐步計(jì)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，直接寫出卅的值.

【詳解】

4%

第1次乂=37,第2次％=當(dāng)7=十豈一=盧7

%+1y+12-?]34+1

7T+1

2x4乃

竽2冰V-2g_.34+1_8"

第3次為、+「4萬萬+1

34+1

....,167r

第4次”二同

觀察前4次歸納出“涓扁

2"%10247r

令n=10,得加=

(2'°-1)^-+11023^+1

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用代數(shù)式表示規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律.其關(guān)鍵是理解題意的基礎(chǔ)上算出

答案第2頁，共15頁

前幾次的y“.

5.c

【解析】

【分析】

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1)等式左邊規(guī)律為：n+(n+l)+...+(3n-2)；

(2)等式右邊規(guī)律為：(2”-1)?

【詳解】

,①1=F②2+3+4=3?③3+4+5+6+7=52④4+5+6+7+8+9+10=7?...

，開頭是1009的式子最后的數(shù)字是奇數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

開頭是1010的式子最后的數(shù)字是偶數(shù)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

1009+1010+?3027=('009^3()27)2=20182,而1009至!]3027有3027-1008=2019個(gè)數(shù)字，故

這列數(shù)應(yīng)該是開頭數(shù)字是1009,最后的數(shù)字是3025,故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

1010+1011+?3028=(101°^3028)2=20192,故選項(xiàng)。正確；故選：C.

【點(diǎn)睛】

在解決選擇題的時(shí)候，若難以用一般式將規(guī)律表達(dá)出來，還可用排除法來解決選擇題.

6.C

【解析】

【分析】

依據(jù)每列數(shù)的規(guī)律，即可得到。=〃2-1,匕=2〃,°=〃2+1,進(jìn)而得出x+y的值.

【詳解】

解：由題可得：3=22-1,4=2x2,5=22+1……

/.a=n2=n2,c=n2+1

當(dāng)c=+1=65,〃=8

/.x=63,y=16

:.x+y=79

故選：C

【點(diǎn)睛】

答案第3頁，共15頁

本題為勾股數(shù)與數(shù)列規(guī)律綜合題；觀察數(shù)列，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

7.D

【解析】

【分析】

類比十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”，可以表示滿5進(jìn)1的數(shù)從左到右依次為：2x5x5x5,1x5x5,

3x5,4,然后把它們相加即可.

【詳解】

依題意，還在自出生后的天數(shù)是：

2x5x5x5+1x5x5+3x5+4=250+25+15+4=294,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用類比的方法找出滿5進(jìn)1的規(guī)律列式

計(jì)算.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)分式和分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，成立的條件等相關(guān)知識，分析求解.

【詳解】

“分?jǐn)?shù)”與“分式”有許多共同點(diǎn)，我們在學(xué)習(xí)“分式”時(shí)，常常對比“分?jǐn)?shù)”的相關(guān)知識進(jìn)行學(xué)

習(xí)，比如分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)成立的條件等，這體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是類比

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題的解題關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)和分式的基本性質(zhì)和概念.

九2一擊

【解析】

【分析】

根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得8力=。。=。用，從而可得N8。瓦=2NC,結(jié)合折疊的

性質(zhì)可得NBDB]=2NBDE,可得NC=NBDE,進(jìn)而判斷DE//AC,得出OE是AABC的

答案第4頁，共15頁

中位線，證得8耳1AC,得到8q=2,求出也=2-g；同理，電=2-*,.........經(jīng)過第

〃次操作后得到的折痕口IE-到BC的距離4=2-擊.

【詳解】

解：如圖，連接8用，由折疊性質(zhì)可知，±DE,BD=B、D,

又\?力是BC中點(diǎn)，

:.BD=DC,

:.CD=BQ,

??.NCB\D=4C,

：./BDB\=24C,

XV/BDB】=2NBDE,

：.ZC=ZBDEf

：.DE//AC,

：.BB、1AC,

?；%=1,

BB、=24=2,

/.h=1+-=2——,

2o22

同理，^=1+―+—r=2--,

2222~

.?.經(jīng)過第〃次操作后得到的折痕到BC的距離4=1+；+卜…+擊=2-擊,

故答案為：2-擊.

答案第5頁，共15頁

【點(diǎn)睛】

此題考查了折疊的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)

其中的規(guī)律，并應(yīng)用規(guī)律解決問題.

10.25521

【解析】

【分析】

(1)a=l,b=3,按規(guī)則操作三次，第一次：c=7,第二次：c=31,第三次：c=255由此即

可求解；

(2)p>q>0,按規(guī)則重復(fù)兩次，第一次得：q=P4+p+q=(q+l)(p+l)-l,第二次得：

0=(p+l)，q+l)-l，所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經(jīng)過6次擴(kuò)充，所得數(shù)為

(p+l)，3((7+l)8-l,即可求解.

【詳解】

(1)第一次，c=lx3+l+3=7；第二次，c=3x7+3+7=31；第三次，

c=31x7+7+31=255；

⑵第一次，C1=pq+q+p=(p+\)(q+\)-\；

2

第二次,c2=[(p+l)(9+l)-l+l](/?+l)-l=(p+l)(^+l)-l；

第三次。3=[(0+1)(4+1)-1+1][(p+l)2(q+l)_]+l]_]=(p+l)3(q+l)2-l；

第四次，C4=[(p+l)2(q+1)—l+l][(0+l)3(q+l)2—l+l]—l=(p+l)s(q+l)3—l；

533285

第五次，C5=[(P+1)(9+1)-1+1][(P+1)(^+1)-1+1]-1=(P+1)(<7+1)-I；

第六次，=(p+1)°(4+1)*-1,所以m+〃=13+8=21.

故答案為(1)255；(2)21.

【點(diǎn)睛】

本題考查了推理與論證，整式規(guī)律探究，新定義運(yùn)算，主要考查學(xué)生分析解決問題的能

力，求出經(jīng)過6次操作后擴(kuò)充所得的數(shù)是關(guān)鍵.

11.102450

【解析】

【分析】

答案第6頁，共15頁

(1)根據(jù)題意列出式子進(jìn)行解答即可；

(2)根據(jù)題意得出規(guī)律即可.

【詳解】

解：(1)籃球賽采取單循環(huán)比賽，則籃球賽共需賽5x(5T)+2=10場；

(2)本次活動共制作了50x(50-1)=2450件小禮品.

【點(diǎn)睛】

本題考查了握手問題的實(shí)際應(yīng)用，要注意去掉重復(fù)計(jì)算的情況，如果球隊(duì)數(shù)量比較少可以

用枚舉法解答，如果數(shù)量比較多可以用公式：比賽場數(shù)中(n-l)+2解答.

12.15

【解析】

【分析】

畫出圖形，結(jié)合圖形，找出規(guī)律解答即可

【詳解】

如圖，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線相交最多有

10個(gè)交點(diǎn).

而3=21,6=MM,10=^(M

222

???八條直線相交，最多有"X(〃T)個(gè)交點(diǎn).

2

；.6條直線兩兩相交，最多有6x(67)=己個(gè)交點(diǎn).

2

故答案為15.

【點(diǎn)睛】

此題主要考察了圖形的變化類問題，在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜

想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法.

1332。23一1

2

答案第7頁，共15頁

【解析】

【分析】

利用類比方法和有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可.

【詳解】

解：設(shè)5=1+3+32+33+…+32022,

則35=3+32+33+…+32023,

：.3S-S=(3+32+33+…+32023)-(1+3+32+33+…+3282)=32023—1,

.c32023-1

2

*023|

即1+3+32+33+…+32022=￡__」，

2

420231

故答案為：-~.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、合并同類項(xiàng)，利用類比方法求解是解答的關(guān)鍵.

14.64

【解析】

【分析】

因?yàn)槊看巫兓峭饷娑嗔艘粋€(gè)三角形，并且多出的三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)每次不變，變

化的是三條邊上的點(diǎn)每次比前一次多1個(gè)，根據(jù)這一點(diǎn)可以找出規(guī)律得解.

【詳解】

解：第1個(gè)圖：4點(diǎn)，第2個(gè)圖：4+3x2=10點(diǎn)，第3個(gè)圖：4+3x2+3x3=19點(diǎn)，…，

第2圖比第1圖多6(3x2)點(diǎn)，第3圖比第2圖多9(3x3)點(diǎn)，…，第n圖比第n-1圖

多3n個(gè)點(diǎn)，

.?.第4圖比第3圖多12點(diǎn)，為19+12=31點(diǎn)，第5圖比第4圖多15點(diǎn)，為31+15=46點(diǎn)，

第6圖比第5圖多18點(diǎn)，為46+18=64點(diǎn)，

故答案為64.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，通過觀察所給出的項(xiàng)目歸納得到數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

15.(45,5)

【解析】

答案第8頁，共15頁

【分析】

根據(jù)題意，得到點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于X軸上右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，由于2025=45?,所以

第2020個(gè)點(diǎn)在第45個(gè)矩形右下角頂點(diǎn)，向上5個(gè)單位處.

【詳解】

根據(jù)圖形，以最外邊的矩形邊長上的點(diǎn)為準(zhǔn)，

點(diǎn)的總個(gè)數(shù)等于x軸上右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，

例如：右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,共有1個(gè)，1=產(chǎn)

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，共有2個(gè)，4=22,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí)，共有3個(gè)，9=32,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4時(shí)，共有16個(gè)，16=42,

右下角的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為〃時(shí)，共有1個(gè)，

,.?452=2025，45是奇數(shù)，

???第2025個(gè)點(diǎn)是（45,0）,

第2020個(gè)點(diǎn)是（45,5）,

故答案為：（45,5）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了規(guī)律的歸納總結(jié)，重點(diǎn)是先歸納總結(jié)規(guī)律，然后在根據(jù)規(guī)律求點(diǎn)位的規(guī)律.

16.109

【解析】

【分析】

類比于現(xiàn)在我們的十進(jìn)制“滿十進(jìn)一”，可以表示滿七進(jìn)一的數(shù)為：百位上的數(shù)X72+十位上

的數(shù)X7”個(gè)位上的數(shù).

【詳解】

解：由題意，孩子自出生后的天數(shù)=2x72+1x71+4=98+7+4=109（天），

故答案為：109.

【點(diǎn)睛】

本題是以古代“結(jié)繩計(jì)數(shù)''為背景，按滿七進(jìn)一計(jì)算自孩子出生后的天數(shù)，運(yùn)用了類比的方

法，根據(jù)圖中的數(shù)學(xué)列式計(jì)算；本題題型新穎，一方面讓學(xué)生了解了古代的數(shù)學(xué)知識，另

一方面也考查了學(xué)生的思維能力.

答案第9頁，共15頁

17.(1)①二；②〉；③〉；(2)N+G2x,理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)代數(shù)式求值，可得代數(shù)式的值，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得答案；

(2)根據(jù)完全平方公式，可得答案.

【詳解】

解：(1)①當(dāng)x=l時(shí)，x2+l—2x；

②當(dāng)x=0時(shí)，x2+\>2x；

③當(dāng)x=-2時(shí)，x2+\>2x.

故答案為：=;>;>.

(2)x2+l>2x.

證明：：N+1-2x=(x-1)2>0,

?*.x2+l>2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的大小比較，兩個(gè)整式大小比較及證明，公式法因式分

解、不完全歸納法，解題關(guān)鍵是理解根據(jù)“A-B”的符號比較“A、B”的大小.

18.(1)1；(2)/?+/(-|=1,證明見解析；(3)2019-.

44⑴2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)給出的規(guī)定計(jì)算即可；

(2)根據(jù)給出的規(guī)定證明；

(3)運(yùn)用加法的交換律結(jié)合律，再根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

解:⑴〃3)=言q,叫>古斗,〃4)+出卜：+卜，

3

(2)/*)+/0=1,

X

答案第10頁，共15頁

=2019x1+-

2

=2019-.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是分式的加減，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

19.(1)在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有

2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2*3=6部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面

分成14個(gè)區(qū)域；(2)2〃—2；2n-2；"_〃+2；(3)①92；②21

【解析】

【分析】

(1)在探究三的基礎(chǔ)上，新增加的圓與前3個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2*3=6部

分，所以，用4個(gè)圓最多能把平面分成2+2X1+2X2+2X3個(gè)區(qū)域；

(2)為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加

的圓分成(2n-2)部分，從而增加(2n-2)個(gè)區(qū)域，所以，用〃個(gè)圓最多能把平面分成

2+2>l+2x2+2x3+2x4+…+2(n-l)區(qū)域求和即可;

(3)①用"=10,代入規(guī)律，求代數(shù)式的值即可；

②設(shè)〃個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，利用規(guī)律構(gòu)造方程，可得方程萬一“+2=422解

方程即可.

【詳解】

解：(1)在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個(gè)圓分別有

2個(gè)交點(diǎn)，將新增的圓分成2/3=6部分，從而增加6個(gè)區(qū)域，所以，用4個(gè)圓最多能把平面

分成2+2x1+2x2+2x3=14個(gè)區(qū)域；

(2)為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前個(gè)圓分別有2個(gè)交點(diǎn)，將新增加

的圓分成(2n-2)部分，從而增加(2n-2)個(gè)區(qū)域，所以，用〃個(gè)圓最多能把平面分成區(qū)

域數(shù)為

答案第II頁，共15頁

2+2xl+2x2+2x3+2x4+...+2(n-l),

=2+2(1+2+3+...+〃-1),

=2+n(/z-l),

-n2-M+2；

故答案為：⑵7-2)；(2n-2)；一〃+2；

(3)①用10個(gè)圓，即”=10,n2-n+2=102-10+2=92:

②設(shè)n個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域，

可得方程“2-“+2=422,

整理得/?-〃-420=0,

因式分解得(〃-21)(〃+20)=0,

解得”=21或〃=一20(舍去)，

.?.用21個(gè)圓最多能把平面分成422個(gè)區(qū)域.

故答案為：21.

【點(diǎn)睛】

本題考查圖形分割規(guī)律探究問題，圓與圓的位置關(guān)系，利用新增圓被原來每個(gè)圓都分成兩

個(gè)交點(diǎn)，其交點(diǎn)數(shù)就是新增區(qū)域數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后列式求和，利用規(guī)律解決問題，涉及數(shù)列

n項(xiàng)和公式，代數(shù)式求值，解一元二次方程，仔細(xì)觀察圖形，掌握所學(xué)知識是解題關(guān)鍵.

20.(1)(5,|)：(2)”=2；(3)不是；(4)(6,：).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“理想有理數(shù)對''的定義，計(jì)算判斷；

(2)根據(jù)“理想有理數(shù)對”的定義列方程求解；

(3)先由(見〃)是“理想有理數(shù)對”得出關(guān)系式，再判斷(一",一〃)是否滿足“