初中數(shù)學八年級下冊 菱形的性質(zhì)定理（省一等獎）

菱形的性質(zhì)定理1.了解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；2.探索并證明菱形的性質(zhì)定理.（重點）3.應(yīng)用菱形的性質(zhì)定理解決相關(guān)問題.（難點）學習目標觀察思考（1）圖片中有平行四邊形嗎？（2）這些平行四邊形具有哪些特征？其中哪個特征不是平行四邊形的性質(zhì)？學習新知活動1

菱形的定義結(jié)合上面的觀察,你能舉出和上述圖形具有相同特征的實物圖形嗎?具有這一特征的平行四邊形是什么四邊形?口答下面問題:(1)上面這些圖形都是平行四邊形嗎?(2)上述圖形都有一組鄰邊相等嗎?(3)如果平行四邊形有一組鄰邊相等,那么各組鄰邊都相等嗎?菱形的定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.活動2

菱形的性質(zhì)【想一想】1.菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎?2.你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)?請你與同伴交流.菱形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.【做一做】請同學們用菱形紙片折一折,回答下列問題:1.菱形是軸對稱圖形嗎?如果是,它有幾條對稱軸?對稱軸之間有什么位置關(guān)系?2.菱形中有哪些相等的線段?結(jié)論:1.菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,是菱形對角線所在的直線,兩條對角線互相垂直.2.菱形的四條邊相等.3.菱形的兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,AB=AD.求證:(1)AB=BC=CD=DA.(2)AC⊥DB.(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.分析:菱形不僅兩組對邊分別相等,而且鄰邊相等,這樣就可以證明菱形的四條邊都相等;因為菱形是平行四邊形,所以點O是對角線AC與BD的中點,可以利用三角形全等來證明AC⊥BD和角的相等關(guān)系.證明:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=CB.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=DA.(2)在△ADO和△CDO中,∵DA=DC,DO=DO,AO=CO,∴△ADO≌△CDO.∴∠AOD=∠COD.∵∠AOD+∠COD=180°,∴∠AOD=∠COD=90°.∴AC⊥DB.(3)∵△ADO≌△CDO,∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA.∵AB∥CD,AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,∠CDB=∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.菱形的性質(zhì)定理:

菱形的四條邊都相等,兩條對角線互相垂直,且每條對角線平分一組對角.菱形的性質(zhì)定理的符號表示：已知：如圖所示,四邊形ABCD是菱形,AB=AD.求證：(1)AB=BC=CD=DA.(2)AC⊥DB.(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.

如圖所示,菱形ABCD的周長為16cm,∠ABC=120°,求對角線BD和AC的長.解:∵AB+BC+CD+AD=16cm,∴AB=BC=CD=AD=×16=4(cm).∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,∴∠ABD=60°.∴△ABD是等邊三角形.∴BD=AB=4cm.在Rt△AOB中,OB=2cm,[知識拓展]

(1)菱形是特殊的平行四邊形,它具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2)菱形的定義既可以看成菱形的性質(zhì),也可以看成菱形的判定.活動3

例題講解如圖所示,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形,其中對角線BD的長為10cm.求:(1)對角線AC的長度;(2)菱形ABCD的面積.解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點E,∴∠AED=90°(菱形的對角線互相垂直),DE=BD=×10=5(cm)(菱形的對角線互相平分).在Rt△AED中,AE==12(cm).∴AC=2AE=2×12=24(cm).(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積=2×△ABD的面積=2××BD×AE=2××10×12=120(cm2).思考：如果例2中,已知菱形ABCD的兩條對角線的長度分別為12cm和10cm,怎樣直接計算出菱形的面積?ABDCah(1)S=a·h.(2)S=S△ABD+S△BCD=AO·DB+CO·DB

=AC·DB.O菱形的面積計算公式：菱形的面積對角線乘積的一半.活動4課堂小結(jié)1.菱形的定義:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.菱形的對稱性:

菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在的直線;3.菱形的性質(zhì)定理：(1)菱形的四條邊都相等;(2)菱形的對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.

4.菱形的面積公式：1.S=a·h.2.菱形的面積=對角線乘積的一半.菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì),應(yīng)用菱形的性質(zhì)可以進行計算和推理.

挑戰(zhàn)開始檢測反饋1.如圖所示,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,則對角線AC的長是 (

)A.20 B.15

C.10 D.5D2.(2016·莆田中考)菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是

(

)A.對邊相等

B.對角相等C.對角線互相平分

D.對角線互相垂直D活動5課堂檢測3.如圖所示,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于O點,E,F分別是AB,BC邊上的中點,連接EF.若EF=,BD=4,則菱形ABCD的周長為

(

)A.4 B.4 C.4 D.28C4.如圖所示,菱形ABCD的周長為8cm,高AE的長為

cm,則對角線AC和BD的長度之比為

(

)A.1∶2 B.1∶3 C.1∶ D.1∶D5.如圖所示,菱形ABCD的周長為8cm.∠BAD=60°,則AC=

cm.

6.如圖所示,AC是菱形ABCD的對角線,點E,F分別在AB,AD上,且AE=AF.求證CE=CF.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴∠EAC=∠FAC.在△ACE和△ACF中,∴△ACE