北京市2021-2022學年高二年級上冊期末重組模擬數(shù)學試題（一）

2021-2022北京高二上學期期末

模擬試題（一）

本試卷共9頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試

卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項）

1.（2021?北京師范大學昌平附屬學校高二期末）已知空間向量￡=（-3,2,5）,弓=（l,x,-l）,

且￡與各垂直，則x等于（）

A.4B.1

C.3D.2

2.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）已知直線/經(jīng)過點（2J,且與直線2x-y+l=0垂

直，則直線/的一般式方程為（）

A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2x-y-3=OD.2x-y=O

3.（2021?北京八十中高二期中）已知/力〃wO,貝!|方程/nF+"y?=i與3+=。在同

一坐標系內(nèi)的圖形可能是（）

試卷第2頁，共37頁

22

4.（2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中）“2<帆<8”是“方程」一+工=1表示橢

8-771m-2

圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件又不必要條件

5.（2020?北京?清華附中高二期末）已知拋物線C：y?=2x的焦點為尸,是C上

一點，|4尸|=；%,則/=（）

A.1B.2C.4D.8

6.（2021?北京市第三十五中學高二期中）下列命題中，正確的是（）

A.3+4i的虛部是4iB.3+4i的共軌復數(shù)是—3+4i

C.（3+4i）i=T+3iD.|3+4i|=>/5

22

7.（2021?北京八十中高二期中）橢圓二+與=1（?>6>0）上存在一點尸滿足，尸產(chǎn),

bz

工分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）

A.畤B.（0,與C.曰）D.停,1）

8.（2020?北京市第一零九中學高二期中）在直三棱柱A8C-A8C中，若BCJ.AC,

7T

=AC=4,AA=4,M為AA的中點，尸為5M的中點，。在線段CA上，

A。=3QC.則異面直線PQ與AC所成角的余弦值為（）

A.叵B.亞C.亞D.姮

13131313

9.(2018?北京海淀?高二期中(理〉)已知圓6：食-刀+(y-3)2=1,圓

G：(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓G，G上的動點，尸為x軸上的動點，則以

|尸M|+|PN|的最小值為()

A.50-4B.VF7-1C.6-20D.歷

試卷第4頁，共37頁

10.（2021?北京?中關村中學高二期中）如圖所示，正方體A8CO-A8CQ,中，點E是

棱CC,上的一個動點，平面8ER交棱AA于點尸，則下列命題中假命題是（）

A.存在點E,使得A&//平面SERF

B.存在點E,使得平面BEQF

C.對于任意的點E,平面平面8ERF

D.對于任意的點E,四棱錐片-BER尸的體積均不變

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）如圖，正方體ABC。-A百GR中，棱長為2.

（1）斫猬二

（2）若點E在對角線08上，貝！1通?宿=.

22

12.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）橢圓C：力r+左v=1（。＞人＞0）左、右焦點分別

為Z（-c,0）,6（c,0）,點尸是橢圓C上點，軸，且NP//=45。，則橢圓C的

離心率為.

13.（2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中）直線〃氏-丁+2機-1=0經(jīng)過一定點C,則

點C的坐標為,以點C為圓心且與）’軸相切的圓的方程為.

14.（2021?北京?北大附中高二期中）已知二面角a-—乃為銳角，平面a的法向量為

rtj=（＞/3,0,-1）,平面夕的法向量為%=，則COS〈〃1，?2〉=,二面

\乙）

角a-/一6的大小為.

15.（2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中）在平面直角坐標系中，定義

以5,7）=|七-%|+|必-必1為兩點50，凹），7（々，8）之間的“折線距離''，有下列命題,

其中為真命題的是.（填序號）

①若40,0）1（1,1）,則或48）=2；

②到原點的“折線距離”不大于1的點構成的區(qū)域面積為1;

試卷第6頁，共37頁

③原點0與直線X-)，+3=0上任意一點M之間的折線距離d(O,M)的最小值為3；

④原點。與圓(x-2)、(y_4)2=l上任意一點M之間的折線距離d(O,M)的最大值為

6+72.

三、解答題(共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程)

16.(2021?北京?人大附中高二期中)已知復數(shù)z=(M+m-6)+(病+機-2)i(〃?eR)在

復平面內(nèi)所對應的點為A

(1)若復數(shù)z+4,〃為純虛數(shù)，求實數(shù)，”的值；

(2)若點A在第二象限，求實數(shù)，”的取值范圍

試卷第8頁，共37頁

17.（2021?北京八中高二期末）已知IBC中，4（1,一1）,8（—1,3）,/4=90。,。在不軸上,

點P是BC邊上一動點，點A關于P的對稱點為。.

（1）求8c邊所在直線的方程；

（2）當尸與3,C不重合時，求四邊形A8OC的面積；

（3）直接寫出而.6的取值范圍.

18.(2020?北京市陳經(jīng)綸中學高二期中)如圖，在四棱錐C-A3E尸中，平面43后尸_1_平

面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,N48E=90°,BE=EF=1,點M

為3c的中點.

(1)求證：EM〃平面4Cf；

(2)求證：AM1.CE；

(3)求二面角E-8C乎的余弦值.

試卷第10頁，共37頁

19.(2020?北京西城?高二期末)已知拋物線C：V=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為

1的點到焦點F的距離為3.

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)過(-1,0)的直線/交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線x=T于點E,直線

3尸交直線x=-1于點是否存在這樣的直線/,使得。E//AE?若不存在，請說明理

由；若存在，求出直線/的方程.

20.(2021?北京四中高二期中)已知在四棱錐P-438中，底面A68是邊長為4的

正方形，△%￡＞是正三角形，8,平面PAD,鼠尸,6。分別是「(?,/3￡),30。的中

點.

(1)求證：PO_L平面A8C。；

(2)線段/X上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為2?若存在，求線

6

段PM的長度；若不存在，說明理由.

試卷第12頁，共37頁

21.(2021?北京?清華附中高二期末)已知橢圓/+￡=l(a>6>0)短軸的兩個端點與

橢圓的右焦點構成面積為1的等腰直角三角形.

(1)求橢圓的離心率及其標準方程;

(2)過點S(O,-g)的直線交橢圓于尸，Q兩點，線段PQ的中點為"，問在y軸上是

否存定點，使得黑=g?若存在，求出。的坐標；若不存在，請說明理由.

2021-2022北京高二上學期期末一解析

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符

合題目要求的一項）

1.（2021?北京師范大學昌平附屬學校高二期末）已知空間向量￡=（-3,2,5）,丐=（l,x,-l）,

且“與B垂直，貝!M等于（）

A.4B.1

C.3D.2

【答案】A

【分析】

根據(jù)空間向量垂直的坐標表示可求得實數(shù)x的值.

【詳解】

由題意可得7B=_3+2X_5=2X-8=0，解得X=4.

故選：A.

2.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）已知直線/經(jīng)過點（2,1）,且與直線2x-y+l=0垂

直，則直線/的一般式方程為（）

A.x+2y-4=0B.x+2y=0C.2x-j-3=OD.2x-y=O

【答案】A

【分析】

根據(jù)條件求出直線/的斜率，然后可得答案.

【詳解】

因為直線2x-y+l=。的斜率為2

試卷第14頁，共37頁

所以直線/的斜率為所以直線/的方程為y-l=-g（x-2）,即x+2y-4=0

故選：A

3.（2021?北京八十中高二期中）已知,〃〃片0,貝！|方程，加+=1與〃ix+"y2=o在同

一坐標系內(nèi)的圖形可能是（）

【答案】A

【分析】

利用特殊值法驗證即可得到答案.

【詳解】

解：由題意，當機=1,〃=2時，方程皿?+〃y2=l表示焦點在x軸上的橢圓/+2產(chǎn)=1,

方程如+"=（）表示開口向左的拋物線丁:一白，故排除選項c、D；

當機=T,〃=1時、方程加/+〃丫2=]表示焦點在y軸上的雙曲線y2-f=],方程

mr+〃y2=0表示開口向右的拋物線y2=x,故排除選項B,而選項A符合題意，

故選：A.

fv2

4.（2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中）"2<〃z<8”是“方程「一+二一=1表示橢

8—m-2

圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分條件又不必要條件

【答案】B

【分析】

利用充分條件和必要條件結合橢圓方程判斷即可

【詳解】

當機=5時，方程工+二=1表示圓，

33

8-/W>0

fv2

當方程^+二一=1表示橢圓，則陽-2>0,解得2<機<8且機W5,

加Q=C

8—m-28一mw一2

-）2

所以"2<m<8”是“方程工+工=1表示橢圓”的必要不充分條件,

8-mm—2

故選：B

5.（2020?北京?清華附中高二期末）已知拋物線C：V=2x的焦點為￡A（x0,%）是C上

一點，|AF|=|x。，貝!|%=（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【分析】

利用拋物線的定義、焦半徑公式列方程即可得出.

【詳解】

由拋物線C：V=2x可得p=l^=g,

準線方程x=-；,

試卷第16頁，共37頁

???4（%,%）是C上一點，AF=^x（）fx0>0.

5p1

?---Vo=^+—=A^+-,

解得々=2.

故選：B.

6.（2021?北京市第三十五中學高二期中）下列命題中，正確的是（）

A.3+4i的虛部是4iB.3+4i的共軌復數(shù)是—3+4i

C.（3+4i）i=—4+3iD.13+4i|=>[5

【答案】C

【分析】

根據(jù)復數(shù)的概念，共輾復數(shù)的概念，復數(shù)的模及復數(shù)的運算法則，逐項判定，即可求解.

【詳解】

對于A中，復數(shù)3+4i的虛部是4,所以A不正確；

對于B中，復數(shù)3+4i的共輾復數(shù)是3-4i,所以B不正確；

對于C中，根據(jù)復數(shù)的運算法則，可得（3+4i）i=-4+3i,所以C正確；

對于D中，根據(jù)復數(shù)模的計算公式，可得|3+4i|=斤兩=5,所以D不正確.

故選：C.

22

7.（2021?北京八十中高二期中）橢圓[+與=\{a>b>0）上存在一點P滿足片尸，F(xiàn)2P,

ah-

耳,鳥分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（）

A.（0,1]B.（0,卓C.小）口?浮」）

【答案】D

【分析】

22

當點戶位于短軸的端點時，N耳P片最大，要使橢圓=+斗=1（〃>/>>0）上存在一點2

a-b~

IT

滿足寫只要N￡P6最大時大于等于］即可，從而可得出答案.

【詳解】

解：當點尸位于短軸的端點時，NRPF2最大,

要使橢圓5+4=1（。>6>0）上存在一點P滿足耳尸，鳥P,

礦b

只要尸鳥最大時大于等于］即可，

即當點P位于短軸的端點時，ZOPFt>^,

所以sinAOPF.=—>sin—=—,

1a42

又橢圓的離心率0<e<l,

所以橢圓的離心率的范圍是［#，l］

故選：D.

試卷第18頁，共37頁

8.（2020?北京市第一零九中學高二期中）在直三棱柱ABC-A8C中，若8CLAC,

rr

乙4=彳，AC=4,M=4,M為AA的中點，尸為的中點，。在線段CR上,

\Q=3QC.則異面直線PQ與AC所成角的余弦值為（）

A叵Bc2國口叵

'B,13'13'7T

【答案】D

【分

建立空間直角坐標系，利用空間向量計算異面直線所成的角即可.

【詳解】

解：以點C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系C-孫z,

則C(O,O,O),A(4,0,0),B(0,4G,0),

A7(4,0,2),P(2,2V3,1),A,(4,0,4),0(1,0,1),

從而聞=(T,-2?,0),AC=(-4,0,0),

設異面直線P。與AC所成角為。，由題意可得：

而國4.岳

網(wǎng)x|狗一J1+12X4—1T

故選：D.

9.(2018?北京海淀?高二期中(理))已知圓G：(x-2)2+()-3『=1,圓

22

C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分別是圓G，C2上的動點，尸為x軸上的動點，則以

|PM+|PN|的最小值為()

A.5夜-4B.V17-1C.6-2夜D.拒

【答案】A

【分析】

求出圓C1關于X軸的對稱圓的圓心坐標A,以及半徑，然后求解圓A與圓C?的圓心距

減去兩個圓的半徑和，即可求出IPM1+19|的最小值.

【詳解】

圓C關于x軸的對稱圓的圓心坐標4(2,-3),半徑為I,圓C2的圓心坐標為(3,4),半徑

為3,

易知，當P,M,N三點共線時，1PMi+|/W|取得最小值，

IPM|+|PN|的最小值為圓A與圓G的圓心距減去兩個圓的半徑和，

即：|AC,|-3-1=^(3-2)2+(-3-4)2-4=5^-4.

故選：A.

10.(2021?北京?中關村中學高二期中)如圖所示，正方體ABCO-AgG。中，點E是

棱CG上的一個動點，平面BE。交棱A4于點尸，則下列命題中假命題是()

試卷第20頁，共37頁

A.存在點E,使得AG〃平面BE。尸

B.存在點E,使得用。//平面BE。尸

C.對于任意的點E,平面AG。，平面SERF

D.對于任意的點E,四棱錐4尸的體積均不變

【答案】B

【分析】

當E為cc,的中點時，則尸也為4A的中點，可證4G〃平面8。尸，判斷A是真命題；

由片。與8。相交，判斷B是假命題；根據(jù)對于任意的點E,都有BD,_L平面46。，判

斷C是真命題；根據(jù)丫4-8￡納=%-明“+匕-明場,而兩個三棱錐的體積為定值，判斷D

是真命題.

【詳解】

當E為CG的中點時，則F也為AA的中點，???萬尸〃AG，平面8EQF；故A

為真命題；

因為BAu平面BERF,由正方體性質(zhì)知與相交于一點，所以片3〃平面

BCG耳不正確，故B為假命題

?.?8。，平面&；。，平面BERF,.?.平面AG?_L平面SERF,故C是真命題；

???%「財產(chǎn)”-陽2+%即2,???3//A4J/平面出柩，所以尸,E到面陰2的距離為

定值，，四棱錐g-BER尸的體積為定值，故D是真命題

故選：B

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.（2021?北京?牛欄山一中高二期中）如圖，正方體ABCD-AAG。中，棱長為2.

（1）AD.AC[=；

（2）若點E在對角線08上，貝!|荏?祠'=.

【答案】84

【分析】

以。為原點建立空間直角坐標系，然后利用向量計算即可.

【詳解】

試卷第22頁，共37頁

以O為原點如圖建立空間直角坐標系，則4(2,0,0),A(0,0,2),C(0,2,2)

所以題=(—2,0,2),狗=(—2,2,2),所以西?猬=4+4=8

因為點E在對角線OB上，所以設E(a,a,0),所以ZE=(〃-2,a,0)

所以荏?宿=-2?+4+2a=4

故答案為：8；4

22

12.(2021?北京?牛欄山一中高二期中)橢圓C：會+方=l(a>b>0)左、右焦點分別

為耳(-c,0),5(c,0),點尸是橢圓C上點，軸，且NPE4=45。，則橢圓C的

離心率為.

【答案】夜-1或-1+0

【分析】

設仍用=加，根據(jù)直角三角形為等腰直角三角形，得出歸身、忸用，根據(jù)橢圓的定義

以及離心率公式求解即可.

【詳解】

在放A/鳥6中,設歸用=加,

因為NP歷耳=45°,所以|尸段=向，閨聞=加.

故《=空=1盟尸」^=&-1.

2“|P￡|+|P6|m+42m

故答案為：V2-I

13.(2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中)直線/nr-y+2.-l=0經(jīng)過一定點C,則

點C的坐標為,以點C為圓心且與>'軸相切的圓的方程為.

【答案】(-2,-1)(x+2)2+(y+l)2=4

【分析】

①化簡直線方程確定直線所過定點即可；

②根據(jù)點C的坐標得圓心的坐標，根據(jù)圓與y軸相切得半徑的長，從而確定圓的方程.

【詳解】

直線方程變形為：機(x+2)—(y+l)=0

所以直線過的定點為C(-2,-l).

即圓心坐標為C(-2,-1),所以圓心到)，軸的距離為2

圓與y軸相切時，圓的半徑為2

所以圓的方程為(犬+2『+("1)2=4.

故答案為：①(-2,—1);②(x+2)2+(y+l『=4.

14.(2021?北京?北大附中高二期中)已知二面角為銳角，平面。的法向量為

"1=(6,(),一1),平面夕的法向量為〃2=--，貝!|8$<4,%)=,二面

V227

角a一/一夕的大小為.

試卷第24頁，共37頁

【答案】-立9。

24

【分析】

利用空間向量夾角公式求解兩個法向量的余弦值，結合二面角-尸為銳角，得到二

面角a-"/?的大小.

【詳解】

—_2_1廠

cos〈晨I〉==------------\1=2廠2=一_2.

MMI國$+1+：2&2

設二面角大小為a(0<a<7t).因為二面角a-l-￡為銳角，故cosa=-cos(嗎,“〉=~~

解得：a=M

4

故二面角a-/-￡的大小為g

故答案為：--

24

15.(2021?北京市昌平區(qū)第二中學高二期中)在平面直角坐標系中，定義

d(S,T)=|々一西1+1%-為兩點5?，%),732,%)之間的“折線距離”,有下列命題,

其中為真命題的是.(填序號)

①若A(0,0),8(1,1),則若AB)=2；

②到原點的“折線距離”不大于1的點構成的區(qū)域面積為1;

③原點。與直線x-)，+3=0上任意一點M之間的折線距離”(OM)的最小值為3；

④原點。與圓(X-2)2+(N-4)、］上任意一點M之間的折線距離”(。，河)的最大值為

6+夜.

【答案】①③④

【分析】

根據(jù)定義直接計算①，設點P（x,y）到原點的“折線距離”不大于1,即可得到W+|y|41,

畫出圖象，求出面積即可判斷②，設朋（x,x+3）即可表示再根據(jù)分段函數(shù)的性

質(zhì)計算可得③，依題意設M（x,y）,則4（0,"）=x+y,再利用點到直線的距離求出x+y

的范圍，即可判斷④；

【詳解】

解：對于①若A（O,O）,8（I,I）則d（A3）=|i-q+|i-q=2,故①正確；

對于②,設點P（x,y）到原點的“折線距離”不大于1,則|x-0|+|y-0歸1,即兇+例41,

則P點在下圖所示的平面區(qū)域內(nèi)，則所圍成的區(qū)域的面積為2xgx2xl=2,故②錯誤;

2x+3,x之0

對于③，設M(x,x+3),則d(0,M)=W+k+3|=,3,-3<x<0,函數(shù)圖象如下所示:

—2x—3,x?-3

則d(O,M)mM=3,故③正確；

試卷第26頁，共37頁

對于④,因為圓（x-2），+（＞-4）2=1表示以（2,4）為圓心，1為半徑的圓，

設則d（QyW）=|x|+|y|=x+y,令x+y=z,則x+y—z=（）

所以包tWwi,解得6-亞4Z46+6，即d（。,=6+0,故④正確;

72

故答案為：①③④

三、解答題（共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程）

16.（2021?北京?人大附中高二期中）已知復數(shù)z=（%2+,〃-6）+（加+相-2）i（meR）在

復平面內(nèi)所對應的點為A

(D若復數(shù)2+4〃?為純虛數(shù)，求實數(shù)機的值；

(2)若點A在第二象限，求實數(shù)，”的取值范圍

【答案】

(1)-6

(2)(-3,-2)51,2)

【分析】

(1)先求得z+4m,根據(jù)其為純虛數(shù)，可得]'〃2+5〃二61°,即可求得〃1值.

2片0

2/■r\

(2)先求得點A在復平面內(nèi)坐標，根據(jù)其在第二象限，可得'”「"一〈J,即可求得

[/n2+/W-2>0

m的范圍.

(1)

由題意得z+4m=(療+5/n-6)+(62+=-2)i,

因為Z+4"?為純虛數(shù)，

加一+5"?—6=0

所以解得m=-6.

加2+a—2w0

(2)

復數(shù)Z在平面內(nèi)所對應的點為A(,〃2+機-6,加+機-2),

因為點A在第二象限，

,[nr+m-6<0,一

所以《2八，解t得一3<加<一2或1<m<2,

[m+2>0

所以實數(shù)機的取值范圍為(-3,-2)U(1,2)

17.(2021?北京八中高二期末)已知中，A。,-l),B(-l,3),/A=90°,。在工軸上,

試卷第28頁，共37頁

點P是BC邊上一動點，點A關于戶的對稱點為￡).

(1)求8c邊所在直線的方程；

(2)當P與3,C不重合時，求四邊形AMC的面積；

(3)直接寫出瓦?前的取值范圍.

【答案】(1)3x+4y—9=0；(2)10；(3)[-5,45].

【分析】

(1)設出C點坐標，根據(jù)福?配=0求解出C點坐標，根據(jù)直線的點斜式方程可求BC

邊所在直線的方程；

(2)根據(jù)對稱關系分析得到具ABC=S.BDC,由此可求四邊形ABDC的面積；

(3)設出尸點坐標，表示出。點坐標，根據(jù)坐標形式下向量的數(shù)量積運算求解出CBCD

的取值范圍.

【詳解】

(1)設C(m,o),因為乙4=90」，所以A反配=0,

又麗=(-2,4),恁=(切-1,1),所以通.蔗=2-2切+4=0，

所以加=3,所以C(3,0),所以％=三\=一(,

所以BC邊所在直線的方程為：y=J(x-3),即3x+4y-9=0；

(2)因為點A關于P的對稱點為。，且P在上，

所以A到BC所在直線的距離等于。到BC所在直線的距離，

又因為有公共底邊8C,所以四邊形=2S”，

又因為A到BC所在直線的距離為=2,BC=^(3-(-l))2+(O-3)2=5,

所以S四邊物的,c=2S?ABC=2x-y-=10；

(3)麗.而的取值范圍是[-5,45].

(理由供參考：設尸卜，號

因為A關于尸的對稱點為。，所以￡>(2〃?-1,〃產(chǎn)

所以而=(-4,3),而=(2,"-4,^^號，

所以麗?麗=16-8〃?+@二％=奐一到，

222

又因為-1W/MW3,所以(母-^^)€[-5,45],

所以而Ee[-5,45]

18.(2020?北京市陳經(jīng)綸中學高二期中)如圖，在四棱錐C-ABEF1中，平面ABE尸_1_平

?ABC,△A3C是邊長為2的等邊三角形，ABHEF,NABE=90。，BE=EF=1,點M

為8c的中點.

(1)求證：EM〃平面ACf；

(2)求證：AMLCE,

(3)求二面角E-BC-F的余弦值.

【答案】

(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)氈

7

試卷第30頁，共37頁

【分析】

(1)先證明。ME尸為平行四邊形，證明EM〃尸￡>,再證明出結論；

(2)以OC,OB,0E所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，得到點坐標，再

證明麗■?屈=0即可；

(3)求出說是平面BCE的法向量，再求出平面BCF的法向量，利用夾角公式求出

即可.

(1)

取AC中點￡>,連結DW,DF,在三角形ABC中，OW〃AB且,

2

又因為AB=2EF=1,所以

2

又因為E尸〃A8,所以。ME尸為平行四邊形，所以EM〃尸。，

又因為EMC平面ACF,。尸u平面ACF,所以〃平面ACF；

(2)

取AB中點O,連結OC,OF,因為三角形ABC是等邊三角形，所以48=2,COA.AB,

因為四邊形ABEF1滿足A8〃EF,ZABE=90°,EF=BF=l,

所以尸8=￡4=夜，F(xiàn)OA.AB,又因為平面ABEFJ_平面ABC,所以0尸，平面48(7,

以OC,OB,OF所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

則A(0,-l,0),M亭，;，°,C(>/3,0,0),E(0,l,l),AM=f^,1,0,CE=(-x/3,l,D

所以麗八在=一±+士=0,所以AMJ_CE；

22

(3)

由(2)知，AMLCE,由已知可得AM_LBC,所以4M_L平面BCE,

所以祝是平面8CE的法向量，又肥=(6,-1,0),而=(0,-1,1),

設平面BCF的法向量為妨=(x,y,z),則卜真=：,即［瓜一)：°,

令x=l,得比=(1,G,6),

由e-、T-1+r^2不，

cos〈AM,m)=2=亍

又因為二面角E-BC-F為銳二面角，所以二面角E-BC-尸的余弦值為氈.

7

19.(2020?北京西城?高二期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0),拋物線C上橫坐標為

1的點到焦點F的距離為3.

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)過(-1,0)的直線/交拋物線C于不同的兩點A,B,交直線x=-4于點E,直線

8尸交直線x=-1于點O,是否存在這樣的直線/,使得。E//A/？若不存在，請說明理

由；若存在，求出直線/的方程.

【答案】(1)拋物線C的方程為y?=8x,準線方程為x=-2；(2)存在直線丫=半。+1)

或y=_^^(x+l).

【分析】

(1)根據(jù)拋物線的定義即可求得拋物線的標準方程以及準線飛航程.

試卷第32頁，共37頁

(2)設出直線/的方程y=Z(x+l)(左xO),聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去)，后

根據(jù)判別式大于零求得人的取值范圍，寫出韋達定理.結合OE//4尸得到直線“E與直線

4尸的斜率相等，由此列方程，解方程求得k的值，也即求得直線/的方程.

【詳解】

(1)因為橫坐標為1的點到焦點的距離為3,所以1+^=3,解得夕=4,所以y?=8x,

即準線方程為x=-2.

(2)顯然直線/的斜率存在，設直線/的方程為尸內(nèi)x+1)(心0),4%,?),8(々,力).

聯(lián)立式―)，消去,得—甌+心。.

由4=(2?2-8)2-4%4＞0,解得-0＜后＜起.所以-夜＜人＜&且ZwO.

由韋達定理得X1+*2=83,中2=1.

直線BF的方程為y=一1(X-2),

X1一乙

又修=-1,所以%=言，所以"T，言)，

X?一乙勺一Z

因為。E〃AF,所以直線與直線A尸的斜率相等

一31+3%—

又上《一3公，所以“2=_2J_

-3~x,-2

工即4=-+1)+-々+1)

整理得左二

Xj-2々一2，%)—2%2—2

x+11—2X|X-(X]+Xj)-4

化簡得"”+2-1="2，即x+x=7.

x2-2'為々-2(X]+x＞)+4]2

所以三￡=7,整理得%2=：,

k-9

解得A=±述.經(jīng)檢驗,4=±逑符合題意.

33

所以存在這樣的直線/,直線/的方程為y=^(x+l)或＞=-￥*+1).

20.(2021?北京四中高二期中)已知在四棱錐P-438中，底面A68是邊長為4的

正方形，△%￡>是正三角形，8,平面PAD,鼠尸,6。分別是「(?,/3￡),30。的中

點.

(1)求證：PO_L平面A8C。；

(2)線段/X上是否存在點M,使得直線GM與平面EFG所成角為2?若存在，求線

6

段PM的長度；若不存在，說明理由.

【答案】

(1)證明見解析；

(2)不存在；理由見解析.

【分析】

(1)利用線面垂直性質(zhì)和等腰三角形三線合一可得CDLPO,POLAD,由線面垂直

的判定定理可證得結論；

(2)以。為坐標原點可建立空間直角坐標系，設PM=tPA(0</<1),利用f表示出GM,

利用線面角的向量求法可構造方程，由方程無解可知不存在.

(1)

QVE4D為正三角形，。為中點，..POLAO；

???CDJ-平面P49,尸Ou平面PAD,.?.8_LPO；

?.?CQAOu平面ABC。，C￡>nAT>=O,.?.POL平面ABC￡>；