初中數(shù)學由三角函數(shù)值求銳角強化練習

初中數(shù)學由三角函數(shù)值求銳角強化練習

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，□。的半徑為1,0A=2,45切口0于點8,弦8co1,連接/C,則圖中

A.nB.2KC.—D.-

36

2.如圖，在矩形48CZ)中，AB=5,BC=10,點E是CD邊上一點，連接8E,將

△8CE沿8E翻折，使點C恰好落在/。邊上的點F處，則下列說法中錯誤的是

()

A.DE=ECB.ZBFE=90°C.AF=56D.ZAFfi=30°

3.如圖，是口O的直徑，弦CD匚于點E,AC=CD,口。的半徑為20,則

A.V3B.2C.2石D.4

4.如圖，N8是。。的直徑，若過08的中點E作弦8口48,連接8C,則N3CQ=

()

A.15°B.20°C,22.5°D.30°

5.A48C中，A—+(0058—5]=0，貝！!△ABC是()

A.等腰但不等邊三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

6.如圖，PA,P8是。。的切線，切點分別為Z,B,P。的延長線交G)O于點C,連

接04OB,BC.若AO=2,OP=4,則NC等于()

A.20°B.30°C.45°D.60°

7.如圖，在AABC中，AB=6,以點/為圓心，3為半徑的圓與邊相切于點。，

與AC,48分別交于點E和點G,點尸是優(yōu)弧GE上一點，NCDE=18。，則NGfE的

度數(shù)是()

C.45°D.36°

8.如圖，在。。中，弦垂直平分半徑OC,。為垂足，/W=9cm,則AB的長為

)

A.6^cmB.3百萬cmC.4^cmD.2\^rcm

二、填空題

9.如圖，扇形。48的圓心角0408=60。，將扇形018沿射線平移得到扇形

O'A'B',與交于點C,若04=26,O,0=2,則陰影部分的面積為

10.如圖，在扇形0/8中，□/。8=90。，點C為。1的中點，點。在3s上且

CDOB,則「48Z>.

11.如圖，在矩形A8CD中，AB=l,BC=2,以8為圓心，8c的長為半輕畫弧,

交于點后.則圖中陰影部分的面積為.(結(jié)果保留兀)

12.如圖，矩形。J8C的邊。J,0c分別在x軸、y軸的正半軸上，點。在。I的延

長線上.若/(2,0),D(4,0),以。為圓心、OD長為半徑的弧經(jīng)過點5,交y軸

正半軸于點E,連接。E,BE,貝I]8互＞的度數(shù)是

13.如圖，。的半徑為5,4B切.0于點B,4。交口。于點C,AC=OC,則圖中陰

影部分的面積=.

14.如圖，在R/A/8C中，口/（78=90。，AC=2,AB=4,平分LIC/B,尸是ZC的中

點，E為1。上的動點，則EC+EE的最小值為.

15.如圖，以面積為20cm2的放山18。的斜邊48為直徑作口O,口4。2的平分線交口。

于點。，若空=也，則4C+3C=

AB2

16.如圖，在扇形4。8中，04=03=4,OA^OB.連接點C是43的中點，

點尸是AB上一動點，連接PC并延長PC交線段08于點。，當線段8最短時，BP

的長為.（結(jié)果保留力）

17.如圖，在矩形/8CZ)中，AB=4,AD=46,點E為邊AD上一動點、，點F為EC

的中點，連接5E,點G在8E上，且￡F=GF,在點E從點。運動到點Z的過程中，

點G運動的路徑長為.

18.如圖，點4C是。。上的點，且/4。。=90。，過點力作AB_LOA,連接BC交

于點。，點。是8C的中點.

(1)求D8的度數(shù)；

(2)求器的值.

19.如圖，在某信號塔AB的正前方有一斜坡CZ)長為12米，坡頂8C與水平地面OK

的距離為6米，8C為8米，小明從底端。沿斜坡行走8米后到達點E處，并在點E

處測得塔頂?shù)难鼋荖AEN=54。，旦BC〃NE〃KD,AB1BC(點4B,C,D,

E,K,N在同一平面內(nèi)).(sin54°?0.8,cos54°?0.6,tan54°=1.4,>/3?1.7)

A

(1)求uo的度數(shù)；

(2)求信號塔A8的高度.(結(jié)果精確到1米)

20.如圖1是一扇門打開后的情景示意圖，圖2為底面夕的平面示意圖，其中門的

寬度48=Im,EAQEB',4到墻角E的距離N￡=0.5m.設點E,A,8在一條直線

⑴求口瓦4夕的度數(shù)；

(2)打開門后，門邊上的點3在地面掃過的痕跡為BB'，求BB，與墻角EB,E9圍成區(qū)

域的面積(結(jié)果精確到0」n?；參考數(shù)據(jù)：g3.14,6B.73)

21.等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.它是利用“同一個圖形的面積相

等”“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”“同底等高或等底同高的兩個三

角形面積相等”等性質(zhì)解決有關數(shù)學問題.在解題中，靈活運用等面積法缺相關問題,

可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷.

A

DB/Ub------產(chǎn)一--B

疝公AF

圖1圖2圖3圖4

(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為

________,其內(nèi)切圓的半徑長為________.

(2)口如圖1,尸是邊長為。的正三角形內(nèi)任意一點，點。為△N8C的中心，設點P

到△/BC各邊距離分別為九、與、h},連接4P、BP、CP.由等面積法，易知耳”

(h1+h2+h3')=S，,BC=3SW可得4+4+%=(結(jié)果用含。的式子表示)；

□如圖2,尸是邊長為。的正五邊形/8CDE內(nèi)任意一點，設點P到五邊形/8C0E各

邊距離分別為九、均、4，兒,也,參照］的探索過程，試用含。的式子表示

4+〃2+/?3+4+%的值.(參考數(shù)據(jù)：tan=36°~—,tan540~—)

118

(3)口如圖3,已知口0的半徑為2,點4為口。外一點，04=4,切口。于點8,弦

BCDOA,連接4C,則圖中陰影部分的面積為(結(jié)果保留萬)；

□如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇4BCDEF,由于修路等原因需將花壇進行改造，若要將花壇

形狀改造成五邊形力8CDG,其中點G在力廠的延長線上，且要保證改造前后花壇的面

積不變，試確定點G的位置，并說明理由.

22.已知AABC中，ZA、NB都是銳角，且卜sA-g)+|tanB-l|=0,

(1)分別求出三個內(nèi)角度數(shù)；

(2)若AC=2,求AB長度.

23.如圖，和口/OE都是等腰直角三角形，AE=DE,AC=BC=6&.,E為的

中點，連接8。

圖2

(2)將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角(0°&xW60°),其他條件不變

□線段8D的長度是否會發(fā)生變化？若不變，求出8。的長度；若變化，請說明理由；

□當a=。時，BD//AC；當。=。時，BDQAD；

(3)當旋轉(zhuǎn)角?從0。增大到60。時，直接寫出點D運動的路徑長.

24.如圖，Z8是的直徑，點C是上一點(與點48不重合)，過點C作直線

PQ,使得□ZCQ=1/8C.

(1)求證：直線P0是的切線.

(2)過點工作4OQP0于點。，交O。于點E,若。。的半徑為4,sinZDAC=1,求圖

中陰影部分的面積.

參考答案:

I.D

【解析】

【分析】

連接。8,0C,由□。的半徑為1,0A=2,切口。于8,求得口/。8=60。，又由弦

BCQOA,可得Q80C是等邊三角形，且S』8C=SzOBC,則可得S陰第=S^8OC,由扇

形的面積公式可得出答案.

【詳解】

解：連接08,0C,

□弦8c□04

QS^ABC=S^OBC,

切口。于8,

DOB3AB,

□□。的半徑為1,04=2,

21

□sinZBAO=—-二一

OA42

□□840=30。,

□□/。8=90。--10/6=60。,

口弦BC口。4,

\JU0BC=口408=60。，

□08=0。，

□□。8。是等邊三角形,

□□B(9C=60°,

口s陰影=S扇形B0C=絲蕓匚=J

36()6

答案第1頁，共28頁

故選：D.

【點睛】

此題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積，熟練掌握切線的性質(zhì)

是解題的關鍵.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)即可判斷A、B；利用勾股定理求出N尸即可判斷C；求出

4R1

sinZAFB=——=-即可判斷D.

BF2

【詳解】

解：口四邊形488是矩形，

QDC=QD=QA=90°,

由折疊的性質(zhì)可知8尸=8。=10,EF=EC,QBFE=aC=90°,故B選項不符合題意；

在口。跖中，DZ>90°,E尸是斜邊，即￡尸>。￡,

OCE>DE,故A選項符合題意；

_________ABI

在出口48/中，AF=yjBF2-AB2=573'sinZ/1FB=—=-,

Dr2

□□JFB=30°,

故C、D選項不符合題意；

故選A.

【點睛】

本題主要考查了矩形與折疊，勾股定理，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)等，正確理解

矩形與折疊的性質(zhì)是解題的關鍵.

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)垂徑定理求出CE=g8=/c,則在MEJ/CE中存在特殊角，即口。4。=30。，

□4CE=60。，根據(jù)OC=O4=2也，得到口C4O=EMCO=30。，則有E10EC=30。，貝ij在RCIOCE

中有OE=^OC=量，CE=?OE=屈,則口/OC的面積得解.

答案第2頁，共28頁

【詳解】

口48是口。的直徑，弦于點E,

口直徑力5平分弦CD,E為8中點，

：.CE=^CD=^AC,

.-.□040=30°,

□□4CE=60。，

又「OC=O1=20,

.-.r]CAO=DACO=30o,

.?.□O￡C=30°,

Rt\OCE中有OE=3OC=0,CE=&OE=瓜,

則UAOC的面積為：S=-xOAxCE=2y/3,

2

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了垂徑定理以及解特殊直角三角形的知識，靈活運用垂徑定理是解答本題的

關鍵.

【解析】

【分析】

連接。。，在用△OED中，解直角三角形，求得NE8=60。，進而根據(jù)圓周角定理求解即

可

【詳解】

解：連接。￡>,

答案第3頁，共28頁

???E是。8的中點

，OE=-OB=-OD

22

???OBLCD

…八EO1

..cos/EOD=----——

OD2

.-.ZEOD=60°

ZBOD=60°

???DB=DB

^BCD=-ZBOD=30°

2

故選D

本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關

鍵.

5.B

【解析】

【分析】

由絕對值和完全平方的非負性可得：sinA-￥=0,8sB-白。，再根據(jù)特殊角的銳角函數(shù)

值可知NA=NB=60。，即可求解.

【詳解】

解：sinA一一—>0,(coSB—4]>0,sinA-----+cosB——=0,

2I2

sinA=——

則可得:2

cosB=—

2

4=60。

解得:

ZB=60°

答案第4頁，共28頁

在AABC中，ZC=1800-ZA-ZB=60°,

:.^ABC為等邊三角形.

故選：B.

【點睛】

本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，絕對值和完全平方的非負性，由三角函數(shù)值求銳角的度數(shù)，三

角形內(nèi)角和以及等邊三角形的判定；掌握非負數(shù)的性質(zhì)，絕對值和完全平方的非負性是解

題的關鍵.

6.B

【解析】

【分析】

結(jié)合已知條件推知直角APB。的直角邊與斜邊08的關系可求ZPO8=60。，進而根據(jù)圓周

角定理求出口「

【詳解】

解：與。。相切于點8,

々80=90°.

-：0B=0A=2,OP=4,

□cosNPOB=,

OP2

:.NPOB=60。,

□ZC=-ZPOB=30°

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理.運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助

線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關問題.

7.B

【解析】

【分析】

連接4),由切線性質(zhì)可得口/。8=1/。。=90。，根據(jù)/8=2/。及銳角的三角函數(shù)可求得

[8/0=60。，易求得口/￡出=72。，由力。=敏可求得1O/E=36。，貝i]「GZC=96。，根據(jù)圓周角

定理即可求得「GFE的度數(shù).

答案第5頁，共28頁

【詳解】

解：連接貝|J/Z>4G=3,

□8C與圓”相切于點。，

D^ADB=3ADC=90°,

在中，AB=6,則cosU84>d_=。，

AB2

□匚歸4Z>60。，

□□CDE=18°,

\J\JADE=90°-18°=72°,

\JAD=AE,

□□4DE=E4ED=72。,

□□DJE=180°-2x72°=36°,

□□G力。=36。+60。=96。，

\QGFE=^aGAC=48°,

故選：B.

【點睛】

本題考查切線性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角

定理，熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理，利用特殊角的三角函數(shù)值求得L加。=60。是解答

的關鍵.

8.D

【解析】

【分析】

連接Q4,BO,根據(jù)0￡>=10C=1Q4,可得N0W=3O。，進而求得NAQB=120。，根據(jù)

22

垂徑定理可得AB=24),進而根據(jù)AB=9,求得AO,根據(jù)弧長公式即可求解.

【詳解】

答案第6頁，共28頁

如圖,連接OA,OB,

□弦垂直平分半徑OC,

AD=-AB,OD=-OC=-OA,

222

.,八5ODOD1

/.sinZOAD===—,

AOOC2

:.ZOAD=30°f

在中，AD=—AO,

2

：.AB=6AO,

???AB=9,

.e.AO=3>/3,

\OA=OB,

NCMB=NQ5A=30。，

.?.ZAOB=18O°-3O°-3O°=120°,

AB=史兀-3陋=26兀,

180

故選：D

【點睛】

本題考查了根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，弧長公式，垂徑定理，求得半徑04是解題的

關鍵.

9.萬+&##J5+n

【解析】

【分析】

作CEU04連接O'C,根據(jù)圓的性質(zhì)即勾股定理求解出CE、OE的值，根據(jù)三角函數(shù)可得

到NC0E=3O。，從而分解求S°gr，即可的陰影部分的面積;

答案第7頁，共28頁

【詳解】

如圖，作CEIOZ,連接。，C

B'B

。’。EA1A

□ZAOB=60°

OOC:OE:CE=2A：y/3

設OE=x,OC=2x,CE=6x

□O'C=2>/3,O'0=2

no'E=<yo+oE=2+x

□O'C2=O'E2+CE2即，（26了=（2+X）2+

解得玉=1,x2=-2（舍去）

OE=\,OC=2,CE=&O'E=3

DtanZCO'E=—=—

O'E3

□NCO'E=30°

SfTOCB,=S扇形ocy+SA（TOC.乃+4X2X>/J=；T+百

口陰影部分的面積等于Sgcp，

□陰影部分的面積為：兀+6

故答案為：開+百

【點睛】

本題主要考查扇形面積的求解、圓的性質(zhì)、特殊三角函數(shù)值、勾股定理，掌握相關知識并

靈活應用是解題的關鍵.

10.30。##30度

【解析】

答案第8頁，共28頁

【分析】

根據(jù)正弦函數(shù)得出口。>。=30。，進而得出口COD=60。，再利用圓周角定理求出即可.

【詳解】

解：連接。。，

□□408=90。，C為。/的中點，

Q2CO=DO,

OC1

sinCDO=——=一,

OD2

□□C￡>0=30°,

□□CO￡)=60°,

根據(jù)圓周角定理可得：L/8Z>30。.

故答案為:30°.

【點睛】

此題主要考查了圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意得出2co=DO,進而得出

□80=30。是解決問題的關鍵.

II.-

3

【解析】

【分析】

先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出/4BE，進而求出再根據(jù)扇形的面積公式

求解即可.

【詳解】

解：□矩形

:.ZA=ZABC=90°,

???以8為圓心，的長為半輕畫弧，交4。于點E,BC=2,

:.BE=BC=2,

在施△/腔中，AB=\,

答案第9頁，共28頁

:.ZABE=6D°,

/.Z￡BC=90°-60°=30°,

2

c30兀x2n

3陽陽=----------------二一.

3603

故答案為：—.

【點睛】

本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，綜合掌握

以上知識點并熟練運用是解題的關鍵.

12.30°

【解析】

【分析】

連接08,因為四邊形0N8C為矩形，所以口比1。=90。，由題意可知，在直角三角形。18

中，OA=W()B,可得。8/=30。，根據(jù)圓周角性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：如圖，連接。8,

DA(2,0),D(4,0),

□04=2,。。=4,

□08=00=4,

口四邊形。18c為矩形，

□□3/0=90°,

在直角三角形。48中，OA=-OB,

□sin」08/=；

□□。8/=30°,

□□804=90。-30°=60°,

在中，UBED=QBOD,

42

□「SED=1X60O=30°.

答案第10頁，共28頁

故答案為：30°

【點睛】

本題主要考查了矩形的性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，利用特殊角三角函數(shù)求角等知識，熟悉矩形的

性質(zhì)、三角函數(shù)，圓周角性質(zhì)是解題的關鍵.

1a25>/325萬

26

【解析】

【分析】

根據(jù)切線的性質(zhì)得出osn/8,根據(jù)勾股定理求出/以根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出

^AOB,根據(jù)三角形內(nèi)的面積公式、扇形面積公式計算，得到答案.

【詳解】

解：LZ8切口。于點8,

QOBJAB,

口"=yJoAr-OB2=V102-52=5百，

在RtOABO中，sirt4=----=—,

OA2

□□^=30°,

□□403=60。，

口陰影部分的面積為1x56x5-虹應=空8-亞，

236026

故答案為：生叵一也.

26

【點睛】

本題考查的是切線的性質(zhì)、扇形面積公式，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑、扇形面

積公式是解題的關鍵.

答案第11頁，共28頁

14.73

【解析】

【分析】

作CGEINO于G,并延長交4B于H,連接交49于E,則此時，CE+EF的值最小,

CE+EF的最小值=切，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：作CGU/O于G,并延長交48于，，連接，下交于E,

口/。平分口。5,

□C,〃關于“。對稱，

則此時，CE+EF的值最小，CE+EF的最小值=尸〃,

口在MA48C中，口/。3=90。，AC=2.AB=4,

.AC\

□sinn8=--=—,

AB2

□□8=30。，

□□BJC=60°,

□4。平分口。43,

DAC=AH=-AB,

2

□點尸是NC的中點，

DFH=-BC,

2

8C=JAB?-AC?=2G，

□FH=6，

故答案為：73.

【點睛】

答案第12頁，共28頁

本題主要考查的是軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應用、中位線定理、解直角三角形等知識,

解題的關鍵是利用對稱，解決最短問題

15.厘米

【解析】

【分析】

連接CO,延長交。。于點E,連接DE,先根據(jù)圓周角定理和圓的性質(zhì)可得

AB=CE,ZCDE=90°,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得ZDCE=30°,從而可得

ABAC=ZACO=\5°,作NABF=N84C=15°,交AC于點尸，從而可得

AF=8F,NBFC=30。,然后在R/ABCF中，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得

BF=2BC,CF=6BC,設3C=xcm(x>0),從而可得AC=(2+行)xcm,利用直角三角

形的面積公式可求出x的值，由此即可得.

【詳解】

解：如圖，連接8,延長交于點E,連接￡>￡,

?.?AB,CE都是。。的直徑，

AB=CE,NCDE=90°,

由

c。

-

A7-2

避

c。

-

一-

c芯2

在也中，cosZDC￡=—=—,

CE2

.-.ZDCE=30°,

?.?CO平分44C5,且NAC8=90°,

ZACD=45°,

/.ZACO=ZACD-ZDCE=15°,

■.■OA=OC,

：.ZBAC=ZACO=\50,

如圖，作NABF=NBAC=15。，交AC于點F,

/.AF=BF,NBFC=ZABF+ABAC=30°,

???在MABCF中，BF=IBC,CF=\IBF2-BC2=V3BC>

答案第13頁，共28頁

/.AC=AF+CF=BF+CF=(2+6)BC,

設3C=xcm(x>0),則4C=(2+6)xcm,

KtqA/RJC=~2AC.BC=20,

(2+6)x.x=20,

2

解得x=2jiM-26或x=—2厲+2石<0(不符題意，舍去),

則4C+BC=(2+75)x+x=(3+百)(2a-26)=4厲(cm),

故答案為：4Vlmcm.

【點睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、圓周角定理、含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，通

過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和等腰三角形是解題關鍵.

4

16.—7t

3

【解析】

【分析】

過點C,作所，OB,交OB于點F,交AB于點E,連接EO,當戶運動到點E時，。與

點尸重合，當線段C。最短時，BP的長為的長，根據(jù)平行線分線段成比例可得

OF=2,根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得NEOB=60。，根據(jù)弧長公式進行計算即可求解.

【詳解】

如圖，過點C,作斯，。3,交OB于點尸，交AB于點E,連接E。，

答案第14頁，共28頁

根據(jù)題意當P運動到點E時，。與點尸重合,

□當線段8最短時，5P的長為加的長，

vCF1OB,AO_L03,AC=CB,

FBBCi

——=——=1,

OFAC

0F=FB=-BO=2

2f

OF1

cosZ.EOB=----=—,

OE2

/.ZEOB=60°,

,....60A4

加的長為s際/*4=￡亓-

1oUJ

4

當線段CO最短時，BP的長為;燈.

4

故答案為：■

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，求弧長，掌握以上知

識是解題的關鍵.

1746

17.-------7C

3

【解析】

【分析】

連接CG,DF,取8c的中點“，連接用，證明C,D,E,G在圓F上，進而可得

CG_LBE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得3〃是定值，進而可得G

點的運動軌跡，然后求得GB的長度即可.

【詳解】

答案第15頁，共28頁

如圖，連接CG,DF,取BC的中點H,連接/￡

??泗邊形A3C￡）是矩形，AB=4,AD=46，

\?CDE90?,AB=DC=4,BC=AD=

?.于是CE的中點，

:.FD=EF=FC=-EC

2

■,FG=EF

:.FG=FE=FD=FC

C,2E,G在以尸為圓心，EC為直徑的圓上，

:.ZCGE=90°

?.?〃是BC的中點，則RhBCG中，HG=；BC=2+

.?.G的在以2道為半徑，H為圓心的弧上運動

當E在。點時，如圖，

;.NHBG=30°

:.ZBHG=}20°

答案第16頁，共28頁

，G點的運動的路徑長為=生叵萬

1803

故答案為：生叵萬

3

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值

求角度，求弧長，綜合運用以上知識是解題的關鍵.

18.(1)15°

⑵6+1

【解析】

【分析】

⑴延長交于E,依據(jù)口。。?？诳?即(445),即可得到。。=CE=04=OC=8E,進而

得至1」口"&9=30°,再根據(jù)外角性質(zhì)，即可得到口5=3口/￡。=15°.

⑵設04=0。=。，則AE=Q.依據(jù)口/月。：？。。，即可得到4E1=6a,AB=4ia+a=(6

AH

+1)。，進而得出器的值.

(1)

□0CLJ/B,

QD0CD=UEBDfQC0D=[JBED,

又“D=BD,

UnCODJDBED(AAS)f

□0C=BE,0D=DE,

□0D=DE=0A=0C=BE,

答案第17頁，共28頁

nnB=_EDB.

□□5=《口花。

□04口48,

□□O4E=90°,

f)A1

UsinJAEO=—=^-.

0E2

\J\JAEO=30°9

□□B=^DJ￡O=15°.

(2)

設O/=OC=mjJPJBE=a.

在RWOE中,HAEO=30°f則ZE=G〃，

□Z8=6〃+Q=(G+1)〃，

0Ca

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，在應用全等三

角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形.

19.(1)30°

(2)信號塔AB的高度約為14米

【解析】

【分析】

(1)如圖所示，過點C作CFELDK于尸，只需要求出sin/￡?=^=^=g即可得到答

案；

(2)如圖所示，過點E作EGQDK于G,延長4B交EN于H,設C尸與NE交于“，求出

CM的長，從而求出8”,ME的長進而得到“E的長，最后解直角三角形/“E即可求出

的長.

⑴

解：如圖所示，過點C作CFQDK于F,由題意得C￡>=12米，CF=6米,

CJ6J

□sinZD=

CD~V2~2

□□D=30°；

答案第18頁，共28頁

(2)

解：如圖所示，過點E作EGUDK于G,延長4B交EN于H,設C尸與NE交于”,

UBC//NE//KD,AB1BC,CF±DK,EG1DK,

□AB工NE,CFLNE,CF±BC,EG±NE,DCEM=QD=30°,

口四邊形BHMC和四邊形MFGE都是矩形,

DBH=CM,MF=EG,"W=8C=8米，

□□￡>=30。，DE=8米，

口用產(chǎn)=EG=?sin/￡>=4米,

OBH=CM=CF-MF=2米,

LiME=———=米,

tan/CEM

HE=HM+ME=(8+26)米,

口AH=HEtanZAEHb16米,

QAB=AH-BH=\4米，

□信號塔AB的高度約為14米.

【點睛】

答案第19頁，共28頁

本題主要考查了解直角三角形的實際應用，矩形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求

角的度數(shù)等等，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵.

20.(1)60°

(2)1.3m2

【解析】

【分析】

(1)利用余弦三角函數(shù)值求口反45的度數(shù)；

(2)先求出扇形歷I夕的圓心角，由扇形面積公式和三角形面積公式解答即可;

(1)

解：\\EAUEB',

QAB'=AB=\m,AE=0.5m,

AEi

□cos」EAB'=——r=—,

AB2

EAB'=60°;

⑵

解：在24EB沖,B'E=AB'sm60°=—,

2

DUEAB'=60°,

□口8/8'=180°—60°=120°,

口S=SzEAS,+S扇形BAB，=gxgx走+⑵")—=且+￡^0.22+1.05-1.3m2；

22236083

答：BB'與墻角EB,E9圍成區(qū)域的面積約為1.3nA

【點睛】

本題考查了由特殊角三角函數(shù)值求角的度數(shù)，扇形面積公式；熟記特殊角的三角函數(shù)值是

解題關鍵.

21.⑴弓,1

(2)冬,青

2乃

(3)y,見解析

【解析】

【分析】

答案第20頁，共28頁

(1)根據(jù)直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半，也等于斜邊乘以其上高的積的一半，

列出等式，結(jié)合勾股定理計算即可，利用內(nèi)心的性質(zhì)周長與內(nèi)切圓半徑積的一半也是三角

形的面積，計算即可.

(2)□根據(jù)面積法，(^+^+^)=3xixtzx-tan(90'-^-),變形計算即可.

2223

口根據(jù)面積法，(4+外+"+九+4)=5xkax%an(90-幽)，變形計算即可.

(3)口根據(jù)平行線間距離處處相等，得到“ABC=$△℃"，從而將陰影部分的面積等量轉(zhuǎn)化

為扇形08c的面積，證明三角形08C是等邊三角形，確定圓心角，代入扇形面積公式計

算即可.

口連接。尸，過點E作EGE1Z)凡交于點G,則點G即為所求.

(1)

設斜邊上的高為兒內(nèi)切圓的半徑為八

□直角三角形的直角邊為3,4,

口斜邊長為J32+4?=5，

,3x412

h=---=—,

55

□-(3+4+5)xr=lx3x4,

22

解得尸1，

12

故答案為：《，1.

⑵

□根據(jù)面積法，(4+兒+〃3)=3x—x?x—tan(90,

2223

解得4+九+兒=@”，

2

故答案為：［亙4.

2

□根據(jù)面積法，得;。(九+色+為+生+〃5)=5x；xax^|tan(90-笠■),

□力1+九+/4+九+4=5x—tan54=5x—x一=—a.

22816

(3)

如圖連接。8,

口48是圓的切線，40=4,OB=OD=OC=2,

答案第21頁，共28頁

□□480=90。,

□弦5004

OBC=AOB=60°fSMBC=S^OCB?

□△03。是等邊三角形,

□□008=60。,

60x%x42

陰影部分的面積等于扇形08c的面積，為----=一1.

3603

□如圖，連接。尺過點E作EGUD凡交/產(chǎn)于點G,則點G即為所求.理由如下:

DEGJDF,

口S4DFE=S/\DFG，

□S六邊形ABCDEF=S&DFE+S五邊形ABCDF=HHl^ABCDF+^ADFG，

EPS六邊形ABCDEF=§五邊影A3COG?

【點睛】

本題考查了面積的性質(zhì)，正多邊形的面積，扇形的面積，熟練掌握面積的特殊性質(zhì)是解題

的關鍵.

22.(l)ZA=60°,ZB=45°,ZC=75°

⑵1+百

【解析】

答案第22頁，共28頁

【分析】

(1)根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得cosA=g,tan8=l,進而確定口力和口8的度數(shù)，再根據(jù)三角形

內(nèi)角和定理求1C即可；

(2)過點C作CDUAB于點D,求出4)和BD即可.

(1)

解：；(cosA-g)+|tanfi-l|=O

cos4--=0,tan8-1=0

2

二.cosA=!,tanB=l

2

：.ZA=60°,NB=45。

/.ZC=180o-60°-45o=75°；

(2)

解：如圖：過點。作CQLA8于點。

?/AC=2,ZA=60°

ZACZ>30°

：.AD^\,CD=yJAC2-AD2^22

???ZB=45°

:.ZBCD=ZB=45°

：.BD=CD=>5

AB=AD+BD=i+j3.

【點睛】

本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理，熟練掌握解直角三角形

的方法是解決本題的關鍵.

答案第23頁，共28頁

23.(1)見解析

(2)口不變、BD=6；045。、30°

⑶27

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件可推導出NC4E=NS4￡>,再根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三

角形相似即可證明.

(2)□根據(jù)(1)可知根據(jù)題意CE長度可求，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可求得8。的長度.J分別畫出B￡)〃AC、8。