高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 概率與統(tǒng)計(jì)（含解析）

概率與統(tǒng)計(jì)

1.(2012?遼寧高考卷?T5?5分)?排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起,

則不同的坐法種數(shù)為

(A)3X3!(B)3X(3!)3(C)(3!)4(D)9!

【答案】C

【解析】此排列可分兩步進(jìn)行，先把三個(gè)家庭分別排列，每個(gè)家庭有3!種排法，三個(gè)家庭

共有3!x3!x3!=(3爐種排法；再把三個(gè)家庭進(jìn)行全排列有3!種排法。因此不同的坐法種數(shù)

為(3!):答案為C

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理，以及分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題。

2.(2012?遼寧高考卷?T10?5分)在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)

邊長分別等于線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為

1124

(A)-(B)-(0-(D)-

6335

【答案】C

【解析】設(shè)線段AC的長為xcm,則線段CB的長為(12-x)cm,那么矩形的面積為

x(12—x)cm',

由x(12—x)<32,解得x<4或x>8。又0<x<12,所以該矩形面積小于32cm?的概率為

士2，故選C

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計(jì)算，以及分析問題的

能力，屬于中檔題。

3.(2012?上海高考卷?T17?5分)設(shè)10<》2</<》44IO"，%=1°，，隨機(jī)變

量。取值芭、X2、》3、匕、35的概率均為02，隨機(jī)變量么取值

-、*4；/、石產(chǎn)的概率也均為0.2,若記。多分別為

八星的方差,則()

A.。芻>。幺B.D*=DJ

C.。。<呢D.與。與的大小關(guān)系與西、》2、七、的取值有關(guān)

【答案】A

【解析】由隨機(jī)變量的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：

玉=-(x,+x2+x3+x4+x5),

1(X)+x2*%2+%3+七++匕?無5+斗

刈2=再，

2222

且隨機(jī)變量?？?的概率都為02,所以有.故選擇A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提

和基礎(chǔ)，本題屬于中檔題.

4.（2012?湖北高考卷?T8?5分）如圖,在圓心角為直角的扇形048中,分別

以0/1,仍為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形物8內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影

部分的概率是（）

兀兀

【答案】A

【解析】如下圖所示.，設(shè)04的中點(diǎn)為。1,05的中點(diǎn)為。2,半圓已與半圓。2的交點(diǎn)分

別為0,F，則四邊形。01f。2是正方形.不妨設(shè)扇形0A8的半徑為2，記兩塊白色區(qū)域的

面積分別為S15S2,兩塊陰影部分的面積分別為S3,S4.

則OqA

S]+S2+S3+S4=S南形OAB=4"x2-=%，①

而S]+S3=-7TX1"—4,S,+S3=/%x1~=/7T,即S]+S?+2邑=），②

由①-②,得S3=&.

又由圖象觀察可知，$4=S扇形048-S扇形。2萬一S扇形5"—S正方形00即2

=zrxl2--^-xl2--^-xl2-xl2=—^-xl2-I2=—^--1.

4422

故山幾何概型概率公式可得，此點(diǎn)取自陰影部分的概率

0S+S2s4萬一22

r=-:3------4=--------=-----=11----.

S扇形Q4BS而形0A871n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型的應(yīng)用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積,

即如何巧妙地將不規(guī)則圖形的面積化為規(guī)則圖形的面積來求解.來年需注意幾何概型在實(shí)際

生活中的應(yīng)用.

5.（2011年湖北）.如圖，用K、4、4三類不同的元件連接成一個(gè)系統(tǒng)。當(dāng)K正常工作

且4、A?至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，已知K、4、為正常工作的概率依

次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為

-------14）-------

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

B

6.（2011年湖北）.在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期。從這30瓶飲料中任取2瓶，

則至少取到一瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為.（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）

28

145

7.（2011年湖北）.給〃個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色。當(dāng)〃W4時(shí)，在所有不

同的著色方案中，黑色正方形耳不相鄰的著色方案如下圖所示：

■

由此推斷，當(dāng)〃=6時(shí)，黑色正方形耳不利鄰的著色方案共有種，至少有兩個(gè)

黑色正方形相鄰的著色方案共有種，（結(jié)果用數(shù)值表示）

答案：21,43

8.（2011年湖南）.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下

的列聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛好402060

不愛好203050

總計(jì)6050110

“W-bcf算得,.110x(40x30-20X20)；7"

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)''60x50x60x50

0.0500.0100.001

P(K2>k)

k3.8416.63510.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是

A.再犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.再犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

答案：C

9.（20H年江蘇）.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一

個(gè)的兩倍的概率為

答案」

3

10.（2011年安徽）

工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)

人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再

派下一個(gè)人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別

p”P2，P3,假設(shè)Pi，0"%互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)

人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

(II)若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為%,%,其中

5，%，%是Pl，P2，P3的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值(數(shù)

字期望)EX；

(III)假定1>P|>P2>P3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員

數(shù)目的均值(數(shù)字期望)達(dá)到最小。

分析：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知

識(shí)，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，

分類讀者論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

解：(I)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是

(1-0)(1-P2)(1-P3)，所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無關(guān),

并等于

1-(1-乃)。-〃2)(1-〃3)=P1+〃2+，3-〃招2-，2,3-P3Pl+PlP2P3,

(II)當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為名,%,%時(shí)，隨機(jī)變量X的分布

列為

X123

P(1-(1-

所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)EX是

EX=%+2(1-0)%+3(1-%)(1-%)=3-2%-%+/%.

(III)(方法一)由(II)的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí),

EX=3-2/?1-p2+p,p2.

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明：對(duì)于P1,P2，P3的任意排列?，。2，%，都有

3-2%-q2+%%23-20-/72+P1P2,.................(*)

事實(shí)上，A=(3-2^1-q2+qu2)一(3-2pI-P2+P1P2)

=2(P|一%)+(「2一42)一。W2+夕闖2

=2(P|-0)+(。2-/)。2-%(。2-％)

=(2-P2)(P|-5)+(1-%)((。2-%)

2(1-%)[(PI+%)-(/+。2)]

>0.

即(*)成立.

（方法二）（i）可將（II）中所求的所改寫為3—（名+/）+%。2一%，若交換前兩

人的派出順序，則變?yōu)?-（%+%）+%%-%，?由此可見，當(dāng)%〉名時(shí)，交換前兩人的

派出順序可減小均值.

（ii）也可將（II）中所求的ET改寫為3-20-%+%%，或交換后兩人的派出順

序，則變?yōu)?-2%—的+%%.由此可見，若保持第一個(gè)派，出的人選不變，當(dāng)%>/時(shí)，

交換后兩人的派出順序也可減小均值.

綜合（i）（ii）可知，當(dāng)（%,%,%）=（P］，P2，P3）時(shí)，用達(dá)到最小.即完成任務(wù)概

率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.

11.（2011年北京）

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無

法確認(rèn)，在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

（II）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹

Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。

（注：方差/=池-胡+”）2+...+&-X）］,其中X為玉，x2,...xn

的平均數(shù)）

解（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

-8+8+9+1035

x=------------二一；

44

方差為

21r/o35、，35、2/c35235、2111

S=:［（8—二）一+（8-二）-+（9—二）-+Z（11A0-?。?］=；7.

4444416

（II）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組

同學(xué)的植樹棵數(shù)是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，

共有4X4=16種可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,

18,19,20,21事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選

21

出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P（Y=17）=—=

168

同理可得p（y=18）=j；p（y=19）=-；p（y=20）=-；p（y=21）=-.

4448

所以隨機(jī)變量Y的分布列為:

Y1718192021

]_]_

P

84448

EY=17XP(Y=17)+18XP(Y=18)+19XP(Y=19)+20XP(Y=20)+21XP(Y=21)

=17X-+18X-+19X-+20X-+21X-

84448

=19

12.(2011年福建).

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,……,8,其中X25

為標(biāo)準(zhǔn)A,X2為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；

乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合

相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

(I)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)先的概率分布列如下所示：

5678

王

P0.4ab0.1

且Xi的數(shù)字期望EXi=6,求a,b的值;

(H)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)先，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)

系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)兒的數(shù)學(xué)期

望.

(III)在(I)、(II)的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更

具可購買性？說明理山.

產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望

注:(1)產(chǎn)品的"性價(jià)比”

產(chǎn)品的零售價(jià)

(2)“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性.

分析：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用

意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想。

解：(I)因?yàn)镋X1=6,所以5x0.4+6a+7/?+8x0.1=6,即6a+7b=3.2.

又由Xi的概率分布列得0.4+a+6+0.1=1,即a+b=0.5.

6a+~lb=3.2,a-0.3,

解得

a+b=0.5.b=0.2.

(ID山已知得，樣本的頻率分布表如下:

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)x2的概率分布

列如下:

345678

X?

p0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+1P(X2=7)+8F(X2=8)

=3x0.3+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙廠產(chǎn)品的.等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.

（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：

因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6,價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為2=1.

6

因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)一系數(shù)的期望等于4.8,價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為”48=1.2.

4

據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。

13.（2011年廣東）

為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽

出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的

5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號(hào)12345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x》175,且y275時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本

數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；

（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)J的

分布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。

98

解：（1）—=7,5x7=35,即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。

14

（2）易見只有編號(hào)為2,5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品士2，

5

2

故乙廠生產(chǎn)有大約35x—=14（件）優(yōu)等品，

5

（3）&的取值為0,1,2o

P(*0)=,=/,%=1)=^^4尸("2)=務(wù)=(

所以4的分布列為

012

P361

101010

3314

故J的均值為EJ=0X3+1X±+2X-!-+=?.

14105105

(2012?安徽高考卷?T17?12分)某單位招聘面試，每次從試題庫隨機(jī)調(diào)用一道試題，若

調(diào)用A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補(bǔ)一道A類試題和一道8類型試題入庫，

此次調(diào)題工作結(jié)束；若調(diào)用

的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫中現(xiàn)共有〃+，"道

試題，其中有〃道A類型試題和機(jī)道8類型試題，以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試

題庫中4類試題的數(shù)量.

(I)求X=〃+2的概率；

(H)設(shè)機(jī)=〃，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).

【解題指導(dǎo)】本題考查基本事件概率，條件概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列均值等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查分類討論思想和應(yīng)用創(chuàng)新意識(shí).

【解析】(I)X=〃+2表示兩次調(diào)題均為A類型試題，概率為

n*?+1_?(?+1)

m+nm+n+2(/n+??)(m+n+2)

(H)用=〃時(shí)，每次調(diào)用的是A類型試題的概率為7?=1,隨機(jī)變量X可取〃，〃++2.

P(X=n)=(\-p)2=-,P(X=〃+l)=2p(l-p)=』，P(X=n+2)=p2=~.

424

Xn〃+1〃+2

]_]_]_

P

424

EX.=nx—+(〃+1)x—++2)x—=n+1.

Hn4-1

答：(I)X=〃+2的概率為‘一X—^―；

m+nm+n+2

(IDX的均值為〃+l.

【易錯(cuò)警示】本題在求解時(shí)，注意第一次取出不同試■題之后，放回的試題不一樣，這樣在

第二次取試題的時(shí)候，背景就改變了，究竟第二次取試題是在什么樣的背景下，要緊密關(guān)聯(lián)

第一次取試題的結(jié)果，如果割裂開兩次取試題之間的關(guān)系，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

15.（2012?湖南高考卷?T17?12分）

某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的

100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.

一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)(人)X3025y10

結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53

已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.

(I)確定x,y的值，并估計(jì)顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值；

(II)求一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

【解析】(I)由已知得25+y+10=55,x+y=35,；.x=15,y=20,該超市所有顧客一

次購物的結(jié)算時(shí)間組成個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為??個(gè)容量

為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值

為：

1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10,，八“、

---------------------------------------------------------=1.9(分鐘).

100

(n)記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘”，A，4,A3分別表示事

件“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為L5分鐘”，

“該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”.將頻率視為概率，得

…、153303…、251

P(A)=-----=—,P(A,)=------=—,P(4)=-------=-?

11002021001031004

???A=4UU且4，4，是互斥事件，

3317

P(A)=P(AlUA2UA})=P(Al)+P(A2)+P(A3)=—+-+-=-.

7

故一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率為一.

10

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計(jì)

表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%,知

25+y+10=100x55%,x+y=35,從而解得,再用樣本估計(jì)總體，得出顧客一次購

物的結(jié)算時(shí)間的平均值的估計(jì)值；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得

一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間不超過2分鐘的概率.

16某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時(shí))與該河上游在六

月份是我降雨量X(單位：毫米)有關(guān)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70時(shí)，Y=460；X每增加10,Y增加

5.已知近20年X的值為：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,

160,200,140,110,160,220,140,160.

(I)完成如下的頻率分布表

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160“200220

頻率142

202020

（II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率是為

概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬

千瓦時(shí)）的概率.

解：（I）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，為200

毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為

降雨量70110140160200220

134732

頻率

202020202020

（II）P（“發(fā)電量低于490萬千瓦時(shí)或超過530萬千瓦時(shí)”）

=P（Y<490或丫>530）=P（X<130或X>210）

=P（X=70）+尸（X=110）+P（X=220）

1323

-202020-10,

故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬千瓦時(shí)）的

概率為士3.

10

17（2011年湖南）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量（件）0123

頻數(shù)1595

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件,

當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將

頻率視為概率。

（I）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；

（H）記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期型。

解（I）P（“當(dāng)天商品不進(jìn)貨”）=尸（“當(dāng)天商品銷售量為0件”）+尸（“當(dāng)天商品

153

銷售量為1件”）202010

（H）由題意知，X的可能取值為2,3.

a」

P（X=2）=P（“當(dāng)天商品銷售量為1件”）204,

P（X=3）=P（"當(dāng)天商品銷售量為0件"）+P（“當(dāng)天商品銷售量為2件"）+P

1953

=--1---1--=-?

（“當(dāng)天商品銷售量為3件”）2020204

故X的分布列為

X23

13

p——

44

EX=2x-+3x-=—.

X的數(shù)學(xué)期望為444

18.（2011年安徽）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)

人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完

成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成

任務(wù)的概率分別四’小，"3,假設(shè)P”小，P3互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件

相互獨(dú)立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€(gè)人

被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

（H）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為％'%'%,其中%，%，%

是P”P2，P3的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值（數(shù)字期望）EX.

（III）假定1>Pl>P2>P3,試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)

目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小。

解：本題考查相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值等基本知識(shí)，

考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類讀者

論論思想，應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí).

解：（I）無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是

（1-A）（1-02）（1-，3）,所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)被派出的先后順序無關(guān)，

并等于

1一（1-，]）（1一，2）（1一，3）=Pl+P2+，3-Pl〃2—P2P3-P3“l(fā)+P/2,3?

（ID當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為%時(shí)，隨機(jī)變量x的分布

列為

X123

P%(1-%)%

所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)學(xué)期望）EX是

EX=%+2（1—（7]）q2+3（1—<7,）（1—^,）=3-2%—%

（III）（方法一）由（II）的結(jié)論知，當(dāng)以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí),

EX=3-2p{-p2+p1p2.

根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.

下面證明:對(duì)于P”“2，P3的任意排列4國2，%,都有

3—2%—42+4闖2?3—2〃|一〃2+〃］，2,................（*）

事實(shí)上，△=（3一2%+%%）-（3_2〃］_.2+P1P2）

=2（0-％）+（。2+4闖2

=2（Pi-%）+3-42）一（P1一夕1）。2-413一42）

=（2-P2）（PI-5）+（1-5）（（。2-％）

2（1-%）［（P1+。2）-@+%）］

>0.

即（*）成立.

（方法二）（i）可將（II）中所求的EX改寫為3-（/+%）+4U2-/，若交換前兩人的

派出順序，則變?yōu)?一（孫+42）+5%—%，.由此可見，當(dāng)“2>41時(shí)，交換前兩人的

派出順序可減小均值.

（ii）也可將（II）中所求的EX改寫為3-或交換后兩人的派出順序，

則變?yōu)?—2%一私+4%.由此可見，若保持第一個(gè)派出的人選不變，當(dāng)?shù)?gt;%時(shí),

交換后兩人的派出順序也可減小均值.

序綜合（i）（ii）可知，當(dāng)（/，劭，。3）=（。1，%，外）忖，EX達(dá)到最小.即完成任務(wù)

概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.

19.（2011年北京）以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個(gè)四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一

個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差；

（H）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹

Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。

§2=!「（當(dāng)一可2+（4一號(hào),+…+（x“一I/1-

（注：方差"I、7V'/」，其中X為玉，々，……X"

的平均數(shù)）

解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是：8,8,9,10,

所以平均數(shù)為

-8+8+9+1035

X=--------=—；

44

方差為

/f8-鄉(xiāng)2+仁苧+。弓＞+（io—%=*

4444416

（II）當(dāng)X=9時(shí)，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹

棵數(shù)是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有4X4=16種可

能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21事件“Y=17”

等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”所以該事件有2種可

2__j_

能的結(jié)果，因此P(Y=17)=168

P(Y=18)=1;P(Y=19)=J;P(Y=20)==21)=

同理可得4448

所以隨機(jī)變量Y的分布列為：

Y1718192021

11111

P

84448

EY=17XP(Y=17)+18XP(Y=18)+19XP(Y=19)+20XP(Y=20)+21XP(Y=21)

11111

=17X8+18X4+19X4+20X4+2ix8

=19

20.（2011年福建）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,……，8,

其中X25為標(biāo)準(zhǔn)A,X2為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/

件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合

相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)XI的概率分布列如下所示:

5678

玉

P0.4ab0.1

且XI的數(shù)字期望EX1=6,求a,b的值；

（II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級(jí)系

數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下:

3533855634

6347534853

8343447567

用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.

（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更

具可購買性？說明理由.

產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望

注：（1）產(chǎn)品的“性價(jià)比”=產(chǎn)品的零售價(jià)；

（2）“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性.

解：本小題主要考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí),

考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。

初用心EX1=6,所以5x0.4+6a+7b+8x0.1=6,即6a+7b=3.2.

J0T：<1）內(nèi)刃

又由XI的概率分布列得04+a+b+0.1=1,即a+〃=05

6a+7b=3.2,AR,a[a=0.3,

〈解得〈

山[a+b-0.5.[b=0.2.

（ID由已知得，樣本的頻率分布表如下：

345678

X]

0.30.20.20.10.10.1

f

用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如

345678

X?

P0.30.20.20.10.10.1

所以

EX2=3P(X2=3)+4P(X2=4)+5P(X2=5)+6P(X2=6)+7P(X2=7)+8P(X2=8)

=3x0.3+4x0.2+5x0.2+6x0.1+7x0.1+8x0.1

=4.8.

即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.

（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：

6

因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6,價(jià)格為6元/件，所以其性價(jià)比為7

因?yàn)橐覐S產(chǎn)呂的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8,價(jià)格為4元/件，所以其性價(jià)比為4

據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。

21.（2011年廣東）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)

的產(chǎn)品中分別抽出取14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x,y的含量（單位：毫克）.下

表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號(hào)12345

X169178166175180

y7580777081

(1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；

(2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x2175,且y275時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品。用上述樣本數(shù)

據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；

(3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)4的分

布列極其均值（即數(shù)學(xué)期望）。

—=7,5x7=35

解:（1）14,即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。

2

（2）易見只有編號(hào)為2,5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品

35x2=14

故乙廠生產(chǎn)有大約5(件)優(yōu)等品,

（3）4的取值為0,1,2o

，2

.C3

相二°）=#方%=1）

所以4的分布列為

012

P.361

1010To

J的均值為EJ=0X2+1X3+2X1+=4

故105105

22.（20H年遼寧）某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品

種家和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小

塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙.

（I）假設(shè)n=4,在第?大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

（II）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個(gè)小塊地上