福建省五年（2017-2021）中考數(shù)學真題解答題知識點分類匯編

福建省五年（2017—2021）中考數(shù)學真題解答題知識點分類匯編

實數(shù)的運算（共1小題）

1.（2021-福建）計算：7I2+IV3-3

二.分式的化簡求值（共4小題）

2.（2020*福建）先化簡，再求值：+豈=1,其中x=&

x+2x+2

3.（2019*福建）先化簡，再求值：（x-1）4-（x-mL）,其中x=&

X

2

4.（2018.福建）先化簡，再求值：Q+1-1）+匹二1,其中小=我

mm

5.（2017*福建）先化簡，再求值：（1-!）?—5_,其中a=&

aa?-1

三.解二元一次方程組（共2小題）

6.（2019*福建）解方程組（'一了-5.

I2x+y=4

7.（2018*福建）解方程組：Jx+y-1.

I4x+y=10

四.二元一次方程組的應用（共1小題）

8.（2017.福建）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，

上有三十五頭，下有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意是：“有若干只雞和兔關在同一

籠子里，94條腿.問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組）解應用題的方法求

出問題的解.

五.一元一次不等式的應用（共1小題）

9.（2019*福建）某工廠為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山“的發(fā)展理念，投資組建了日

廢水處理量為m噸的廢水處理車間，對該廠工業(yè)廢水進行無害化處理.但隨著工廠生產(chǎn)

規(guī)模的擴大，需要將超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業(yè)處理.已知該車間處理廢

水，每天需固定成本30元；將廢水交給第三方企業(yè)處理，每噸需支付12元.根據(jù)記錄，

該廠產(chǎn)生工業(yè)廢水35噸，共花費廢水處理費370元.

（1）求該車間的日廢水處理量〃；

（2）為實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，走綠色發(fā)展之路，工廠合理控制了生產(chǎn)規(guī)模，試計算該廠一天

產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍.

六.解一元一次不等式組（共2小題）

x>3-2x①

10.（2021*福建）解不等式組：，Y_i.

￥五<1②

Nb

11.（2020?福建）解不等式組：［2x<6-x①.

13x+l>2（x-l）②

七.一次函數(shù)的應用（共2小題）

12.（2021*福建）某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是70元，批發(fā)一箱該

農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元.

(1)已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當月零售、

批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

(2)經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000

箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量

13.(2020*福建)某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價

為10.5萬元，銷售價為1.2萬元.由于受有關條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售

量之和都是100噸

(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售

甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？

(2)求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤.

八.二次函數(shù)的應用(共2小題)

14.(2018*福建)如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻做某人利用舊墻和木

欄圍成一個矩形菜園已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻A9的長；

(2)求矩形菜園48切面積的最大值.

'L，，/，//，N

AD

BC

15.(2018*福建)空地上有一段長為a米的舊墻椒，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜

園ABCD,已知木欄總長為100米.

(1)已知a=20,矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄

如圖1,求所利用舊墻4?的長；

(2)已知0VaV50,且空地足夠大，如圖2.請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方

案

形菜園4口出的面積最大，并求面積的最大值.

圖1圖2

九.二次函數(shù)綜合題(共6小題)

16.(2021?福建)已知拋物線yuax,+OA+c與x軸只有一個公共點.

(1)若拋物線過點P(0,1),求K6的最小值；

(2)已知點月(-2,1),P2(2,-1),月(2,1)中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設直線/:y=/cx+1與拋物線交于〃兩點，點/在直線y=-1上，過點4且與x軸

垂直的直線分別交拋物線和/于點8,C.求證：△例8與△他C的面積相等.

17.(2020*福建)已知直線y=-2/10交y軸于點A交x軸于點8,二次函數(shù)的圖

象過4交x軸于另一點C,僅7=4(為，%)，P2(x2,y2),當XI>X2,5時，總有

%

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)若直線/2:y=mx^n("豐10),求證：當m=-2時，〃〃4;

(3)￡為線段8C上不與端點重合的點，直線/3:y=-2x+q過點C且交直線于點尸，

求△/!維與△化尸面積之和的最小值.

18.(2019?福建)已知拋物線y=a，+bA+c(6V0)與x軸只有一個公共點.

(1)若拋物線與x軸的公共點坐標為(2,0),求a、c滿足的關系式；

(2)設/為拋物線上的一定點，直線/：-火與拋物線交于點8、C,直線劭垂

直于直線y=-1,直線/與拋物線的一個交點在y軸上，且△48。為等腰直角三角形.

①求點A的坐標和拋物線的解析式；

②證明：對于每個給定的實數(shù)火，都有4D、C三點共線.

19.(2018*福建)已知拋物線y=a『+bA+c過點/(0,2).

(1)若點(-五,0)也在該拋物線上，求a;

(2)若該拋物線上任意不同兩點附(M，必)，N(x2,y2)都滿足：當必<X2<0時，(為

-%2)(%-%)>0；當0Vxi〈X2時，(必-&)(必-%)<0.以原點0為心，6W為半徑

的圓與拋物線的另兩個交點為6,C,且△/宓有一個內(nèi)角為60°.

①求拋物線的解析式；

②若點戶與點0關于點力對稱，且0,M,/V三點共線

20.(2018*福建)已知拋物線y=aJ+6A+c過點為(0,2),且拋物線上任意不同兩點"(用,

%),N(x2,y2)都滿足：當Xi〈X2<0時，(*-X?)(y,-y2)>0：當0<%<*2時，(x、

-x2)(yi-y2)<0.以原點。為圓心，以為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為8,C,

且8在C的左側

(1)求拋物線的解析式；_

(2)若利與直線y=-2j§x平行，且〃，yi>y2,解決以下問題：

①求證：BC斗分NMBN;

②求△儂;外心的縱坐標的取值范圍.

21.(2017-福建)已知直線y=2/m與拋物線y=a/+aA+6有一個公共點"(1,0),且a

<b.

(I)求拋物線頂點0的坐標(用含a的代數(shù)式表示)；

(II)說明直線與拋物線有兩個交點：

(III)直線與拋物線的另一個交點記為〃

(i)若-IWaW-1，求線段網(wǎng)長度的取值范圍；

2

(ii)求△沏面積的最小值.

一十.全等三角形的判定與性質(zhì)(共3小題)

22.(2021*福建)如圖，在△4861中，。是邊8C上的點，0448,垂足分別為￡F,CE=

BF.求證：Z8=ZC.

E

23.（2021*福建）如圖，在中，NACB=90°.線段爐是由線段平移得到的,

△日2是以爐為斜邊的等腰直角三角形，且點。恰好在4c的延長線上.

（1）求證：NADE=4DFC;

（2）求證：CD^BF.

AB

24.（2017*福建）如圖，點8、E、C、尸在一條直線上，AB=DE,BE=CF.求證：N4=N〃.

AD

BEC.F

一十一.平行四邊形的性質(zhì)（共1小題）

25.（2018*福建）如圖，n4BCD的對南線AC,劭相交于點0,8c分別相交于點￡F.求

證：OE^OF.

一十二.菱形的性質(zhì)（共1小題）

26.（2020?福建）如圖，點、E,尸分別在菱形483的邊8C,且BE=DF.求證：4BAE=4

一十三.矩形的性質(zhì)（共1小題）

27.（2019?福建）如圖，點￡尸分別是矩形的邊48、CD上的一點、,￡DF=BE.求

證：AF=CE.

-r四.正方形的性質(zhì)(共1小題)

28.(2021*福建)如圖，在正方形中，E,尸為邊48上的兩個三等分點，AA'的延長

線交8c于點G.

(1)求證：DE//A'F-,

(2)求NG/I'8的大小；

(3)求證：A'C=2A'B.

一十五.四邊形綜合題(共1小題)

29.(2017?福建)如圖，矩形中，AB=b,P,￡分別是線段4C、8C上的點，且四邊

形PEFD為矩形.

(I)若是等腰三角形時，求力。的長；

(II)若AP^M，求小的長.

一十六.圓周角定理(共1小題)

30.(2019*福建)如圖，四邊形形緲內(nèi)接于。0,AB^AC,垂足為￡點尸在劭的延長線

上，連接4月、CF.

(1)求證：/BAX2/CAD;

(2)若力f=10,BX4后,求tanN外。的值.

一十七.三角形的外接圓與外心(共1小題)

31.(2018*福建)如圖，。是4/Ib。外接圓上的動點，且8,DE1AB,垂足為￡垂足為G,

BG支DE于懸H,用的延長線交于點兒且PXPB.

(1)求證：BG//CD-,

(2)設△48。外接圓的圓心為0,若AB=MDH,求N8好的大小.

一十八.切線的判定(共1小題)

32.(2017*福建)如圖，四邊形48”?內(nèi)接于0a48是。。的直徑，NO1g45°.

(I)若48=4,求而的長；

(II)若前=菽，AD=AP,求證：陽是的切線.

一十九.切線的判定與性質(zhì)(共1小題)

33.(2020*福建)如圖，48與。。相切于點8,40交。。于點C,￡是砒上不與8,si"

2

(1)求NBED的大小;_

(2)若。。的半徑為3,點尸在48的延長線上，且8尸=3百

二十.圓的綜合題(共1小題)

34.(2018*福建)已知四邊形4成》是。。的內(nèi)接四邊形，?是的直徑，DES-AB

(1)延長林交。。于點月，延長。C,房交于點P；

(2)過點8作8G_L/4。，垂足為G,8G交鹿于點//,連接。/,B巫,D41,ZOHD=

80°

DD

圖1圖2

二十一.作圖一基本作圖（共1小題）

35.（2017*福建）如圖，中，N外片90°,垂足為D.求作N/I8C的平分線，分別

交AD,0兩點：并證明4—40.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

二十二.作圖一復雜作圖（共2小題）

36.（2021*福建）如圖，已知線段例=a,ARLAK

（1）求作四邊形為使得點8,。分別在射線4%且AB=BXa,N力成=60°；（要

求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設只。分別為（1）中臼邊形ABCD的邊AB,求證：直線力。，BC

R

37.（2020?福建）如圖，C為線段48外一點.

（1）求作四邊形力83,使得C0//A8,且切=246;（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留

作圖痕跡）

（2）在（1）的四邊形力取》中，AC,AB,3的中點分別為M,N,P,/V三點在同一條直

線上.

A'----------------------------'B

二十三.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共1小題）

38.（2019*福建）在Rt△48c中，NABX90°,N478=30°，點48的對應點分別是。、

E.

（1）當點￡恰好在4?上時，如圖1,求N47E的大小;

（2）若a=60°時，點尸是邊4C中點，如圖2

二十四.相似三角形的判定（共1小題）

39.（2019*福建）已知△AffC和點4,如圖.

（1）以點4為一個頂點作△48'C,使且△/‘a(chǎn)C'的面積等于△48C

面積的4倍；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）設D、E、尸分別是△為此三邊48、BC、4。的中點，D'、E、尸分別是你所作的8C

三邊4夕、B'C\C'4的中點，求證：ADEFsXD'EF.

二十五.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

40.（2018?福建）如圖，在中，NX90°,46=8.線段由線段繞點4按

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，△斤'G由△48C沿C8方向平移得到

（1）求N劭尸的大小；

（2）求CG的長.

二十六.作圖-相似變換（共1小題）

41.（2018*福建）求證：相似三角形對應邊上的中線之比等于相似比.

要求：①根據(jù)給出的△48C及線段/B',N/（N/=N/O,以線段4B,為一邊,

使得B'CS[\ABC,不寫作法：

②在已有的圖形上畫出一組對應中線，并據(jù)此寫出已知、求證和證明過程.

二十七.相似形綜合題（共1小題）

42.（2020*福建）如圖，△4）￡由44861繞點4按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點8的對

應點。恰好落在8c的延長線上，&?相交于點P.

（1）求的度數(shù)；

(2)尸是￡C延長線上的點，且NCDF=NDAC.

①判斷〃尸和用的數(shù)量關系，并證明；

②求證:器嚕

二十八.互余兩角三角函數(shù)的關系(共1小題)

43.(2017*福建)小明在某次作業(yè)中得到如下結果：

2222

sin7°+Sin83°?0.12+0.99=0.9945,

sin2220+sin268°?0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin26r=0.482+0.872=0.9873,

sin237°+sin2530?0.602+0.802=1.0000,

sin?45°+sin?45°=?+(2Z2.)2=1.

22

據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角a,均有sin2a+sin2(90°-a)=1.

(I)當a=30°時，臉證sin2a+sin2(90°-a)=1是否成立：

(II)小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立

二十九.用樣本估計總體(共1小題)

44.(2017*福建)自2016年國慶后，許多高校均投放了使用手機就可隨用的共享單車.某

運營商為提高其經(jīng)營的《品牌共享單車的市場占有率，準備對收費作如下調(diào)整：一天中，

每增加一次，當次車費就比上次車費減少0.1元，當次用車免費.具體收費標準如下：

使用次數(shù)012345(含5次以

上)

累計車費00.50.9ab1.5

同時，就此收費方案隨機調(diào)查了某高校100名師生在一天中使用4品牌共享單車的意愿，

得到如下數(shù)據(jù)：

使用次數(shù)012345

人數(shù)51510302515

(I)寫出a,6的值；

(II)已知該校有5000名師生，且4品牌共享單車投放該校一天的費用為5800元.試

估計：收費調(diào)整后，此運營商在該校投放4品牌共享單車能否獲利？說明理由.

三十.折線統(tǒng)計圖(共1小題)

45.(2020.福建)為貫徹落實黨中央關于全面建成小康社會的戰(zhàn)略部署，某貧困地區(qū)的廣

大黨員干部深入農(nóng)村積極開展“精準扶貧”工作.經(jīng)過多年的精心幫扶，截至2019年底，

該地區(qū)只剩少量家庭尚未脫貧.現(xiàn)從這些尚未脫貧的家庭中隨機抽取50戶，統(tǒng)計其2019

年的家庭人均年純收入

?方數(shù)/（戶數(shù)）

12

（1）如果該地區(qū)尚未脫貧的家庭共有1000戶，試估計其中家庭人均年純收入低于2000

元（不含2000元）的戶數(shù)；

（2）估計2019年該地區(qū)尚未脫貧的家庭人均年純收入的平均值；

（3）2020年初，由于新冠疫情，農(nóng)民收入受到嚴重影響，當?shù)卣e極籌集資金，引進

某科研機構的扶貧專項項目.據(jù)預測，當?shù)剞r(nóng)民自2020年6月開始，以后每月家庭人均

月純收入都將比上一個月增加170元.

家庭人均月純收入最低值/元

已知2020年農(nóng)村脫貧標準為農(nóng)民人均年純收入4000元，試根據(jù)以上信息預測該地區(qū)所

有貧困家庭能否在今年實現(xiàn)全面脫貧.

三十一.概率公式（共1小題）

46.（2018*福建）甲、乙兩家快遞公司攬件員（攬收快件的員工）的日工資方案如下：

甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元：

乙公司無基本工資，僅以攬件提成計算工資.若當日攬件數(shù)不超過40,每件提成4元

40,超過部分每件多提成2元.

如圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攬件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計圖：

40（不含40）的概率:

（2）根據(jù)以上信息，以今年四月份的數(shù)據(jù)為依據(jù)，并將各公司攬件員的人均攬件數(shù)視為

該公司各挽件員的

攬件數(shù)，解決以下問題：

①估計甲公司各攬件員的日平均攬件數(shù)；

②小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請利

用所學的統(tǒng)計知識幫他選擇

三十二.列表法與樹狀圖法（共1小題）

47.（2021.福建）“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：

齊王有上、中、下三匹馬4,G,田忌也有上、中、下三匹馬4，%G,且這六匹

馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：4>4>8>8>G>G（注：表示4馬與B

馬比賽，4馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，勝兩局者

獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、

中馬、下馬，即借助對陣（64,48，員g）獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的

經(jīng)典案例.

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場

比賽的勝利？并求其獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說

明理由，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

三十三.利用頻率估計^率（共1小題）

48.（2019*福建）某種機器使用期為三年，買方在購進機器時，可以給各臺機器分別一次

性額外購買若干次維修服務，如果維修次數(shù)未超過購機時購買的維修服務次數(shù)，每次實

際維修時還需向維修人員支付工時費500元，超出部分每次維修時需支付維修服務費

5000元，但無需支付工時費.某公司計劃購買1臺該種機器，搜集并整理了100臺這種

機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，整理得下表；

維修次數(shù)89101112

頻數(shù)（臺數(shù)）1020303010

（1）以這100臺機器為樣本，估計“1臺機器在三年使用期內(nèi)維修次數(shù)不大于10”的概

率；

（2）試以這100臺機器維修費用的平均數(shù)作為決策依據(jù)，說明購買1臺該機器的同時應

一次性額外購10次還是11次維修服務？

參考答案與試題解析

實數(shù)的運算（共1小題）

1.（2021?福建）計算：712+|V3-3

【解答】解：原式=2網(wǎng)+4-正

=V3-

二.分式的化簡求值（共4小題）

121

2.（2020-福建）先化簡，再求值：（1-，）2,二工其中*=

x+2x+2

【解答】解：原式=x+2T.x+2

x+8(x+1)(x-5)

=x+1.x+6

x+2(x+1)(x-l)

=3

x-l'

當x=V2+3時，原式=丁」---=返＞.

V2+8-16

3.(2019＞福建)先化簡，再求值：(x-1)4-(X-紅工)，其中*=&

x

2

【解答】解：原式=(x-1)+X-4x+l

X

=(X-1)?-------

(x-3)2

X-1

當x=，

原式=返+4

V2+1-4

=1+叵

4

2

4.(2018-福建)先化簡，再求值：Q+1-1)4—二],其中〃=百

mm

2

【解答】解：Q+l_6)+皿=1

mm

=7m+]_m____m______

m(m+1)(m-7)

=m+]m

m(m+1)(m-3)

_1

m-1

當m=M+1時一^——

V4+1-1V32

5.(2017.福建)先化簡，再求值：(1-A)._1_,其中

aa2-l

【解答］解：當a=V2-1時

原式=a~~Q.---------5-----------

a(a+1)(a-l)

=2

=亞

2

三.解二元一次方程組（共2小題）

6.（2019*福建）解方程組［*一丫=5.

I2x+y=4

【解答】解：卜一片5①，

I2x+y=@

①+②得：3x=9,即x=4,

把x=3代入①得：1-2,

貝I方程組的解為［x=2.

|y=-2

7.（2018*福建）解方程組：Jx+y=1

I4x+y=10

【解答】解：卜4y=1①，

I4x+y=10②

②-①得：5x=9,

解得：x=3,

把x=6代入①得：y=-2,

則方程組的解為1x=3.

ly=-4

四.二元一次方程組的應用（共1小題）

8.（2017?福建）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，

上有三十五頭，下有九十四足.問雞兔各幾何.”其大意是：“有若干只雞和兔關在同一

籠子里，94條腿.問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組）解應用題的方法求

出問題的解.

【解答】解：設雞有x只，兔有y只，兩只腳，四只腳，

結合上有三十五頭，下有九十四足可得：1x+y-35,

2x+4y=94

解得：fx=23.

ly=12

答：雞有23只，兔有12只.

五.一元一次不等式的應用（共1小題）

9.（2019*福建）某工廠為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山“的發(fā)展理念，投資組建了日

廢水處理量為m噸的廢水處理車間，對該廠工業(yè)廢水進行無害化處理.但隨著工廠生產(chǎn)

規(guī)模的擴大，需要將超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業(yè)處理.已知該車間處理廢

水，每天需固定成本30元；將廢水交給第三方企業(yè)處理，每噸需支付12元.根據(jù)記錄，

該廠產(chǎn)生工業(yè)廢水35噸，共花費廢水處理費370元.

（1）求該車間的日廢水處理量m;

（2）為實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展，走綠色發(fā)展之路，工廠合理控制了生產(chǎn)規(guī)模，試計算該廠一天

產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍.

【解答】解：(1)V35X8+30=310(元)，310<370,

依題意，得：30+8*12(35-OT)=370,

解得：m=20.

答：該車間的日廢水處理量為20噸.

(2)設一天產(chǎn)生工業(yè)廢水x噸，

當5〈后20時，8A+30W10X,

解得：15W*W20；

當x>20時，12(x-20)+8X20+30^10%,

解得：20VA<25.

綜上所述，該廠一天產(chǎn)生的工業(yè)廢水量的范圍為15WxW25.

六.解一元一次不等式組(共2小題)

x>3-2x①

10.(2021.福建)解不等式組：x-1x-3

<1(2),

26

【解答】解：解不等式①，得：

解不等式②，得：X<3,

則不等式組的解集為4《xV3.

2x<6-x①

11.(2020*福建)解不等式組:

3x+l>2(x-l)②

【解答】解：解不等式①，得：xW2,

解不等式②，得：x>-3,

則不等式組的解集為-3VxW2.

七.一次函數(shù)的應用(共2小題)

12.(2021*福建)某公司經(jīng)營某種農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利澗是70元，批發(fā)一箱該

農(nóng)產(chǎn)品的利潤是40元.

(1)已知該公司某月賣出100箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤4600元，問：該公司當月零售、

批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少？

(2)經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的30%.現(xiàn)該公司要經(jīng)營1000

箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量

【解答】解：(1)設該公司當月零售這種農(nóng)產(chǎn)品x箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品(100-x)箱

70/40(100-%)=4600,

解得：x=20,

100-20=80(箱)，

答：該公司當月零售這種農(nóng)產(chǎn)品20箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品80箱；

(2)設該公司當月零售這種農(nóng)產(chǎn)品〃箱，則批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品(1000-加箱

0V后1000X30%,

解得0〈后300,

設該公司獲得利潤為y元，依題意得

y—70/40(1000-m),

即y=30/^-40000,

V30>5,y隨著力的增大而增大，

工當加=300時，y取最大值，

,批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量為1000-m=700(箱)，

答：該公司零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是300箱，獲得最大利潤為49000元.

13.(2020*福建)某公司經(jīng)營甲、乙兩種特產(chǎn)，其中甲特產(chǎn)每噸成本價為10萬元，銷售價

為10.5萬元，銷售價為1.2萬元.由于受有關條件限制，該公司每月這兩種特產(chǎn)的銷售

量之和都是100噸

(1)若該公司某月銷售甲、乙兩種特產(chǎn)的總成本為235萬元，問這個月該公司分別銷售

甲、乙兩種特產(chǎn)各多少噸？

(2)求該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤.

【解答】解：(1)設銷售甲種特產(chǎn)x噸，則銷售乙種特產(chǎn)(100-%)噸，

10”(100-x)X1=235,

解得，x=15,

.?.100-x=85,

答：這個月該公司銷售甲、乙兩種特產(chǎn)分別為15噸；

(2)設利潤為w萬元，銷售甲種特產(chǎn)a噸，

片(10.5-10)/(7.2-1)X(100-a)=2.3尹20,

：0WaW20,

...當a=20時，w取得最大值，

答：該公司一個月銷售這兩種特產(chǎn)所能獲得的最大總利潤是26萬元.

八.二次函數(shù)的應用(共2小題)

14.(2018*福建)如圖，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻楸某人利用舊墻和木

欄圍成一個矩形菜園483,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄.

(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻47的長；

(2)求矩形菜園48CD面積的最大值.

"http:///，，，，//

AD

BC

【解答】解：(1)設4B=tm,則8”(100-2t)m,

根據(jù)題意得亡(100-2t)=450,解得友=5,t2=45,

當±=6時，100-2t=90>20；

當亡=45時，100-2力=10,

答：47的長為10m；

(2)設4O=xm,矩形菜園ABCD面積為S,

S=^-x(100-x)=-上+1250,

28

當a250時，則x=50時：

當0<a<50時，則當5<xWa時，當x=a時」

2

綜上所述，當a》50時*當0<a<50時，矩形菜園4仇步面積的最大值為(50a-§a?)

2

m5.

15.(2018?福建)空地上有一段長為百米的舊墻樹，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜

園ABCD,已知木欄總長為100米.

(1)已知a=20,矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄

如圖1,求所利用舊墻力。的長；

(2)已知0Va<50,且空地足夠大，如圖2.請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方

案

形菜園力慶》的面積最大，并求面積的最大值.

圖1圖2

【解答】解：(1)設4)=x米，則/Qi。。-「米

2

依題意得，x(10：x.50

解得*7=10,X2=90

'/a=20,且xWa

x=90舍去

.?.利用舊墻4。的長為10米.

(2)設4)=x米，矩形力腦的面積為5平方米

①如果按圖一方案圍成矩形菜園，依題意

得：

S=*嗎-x)=子(x-50)2+1250,7<x<a

V0<a<50

.?.x<aV50時，S隨x的增大而增大

2

當*=a時，5?*；=50a--a

3

空地1

BC：

②如按圖2方案圍成能形菜園，依題意得

2

5=x(100+a-4x)號)]5+(253),a?50+包

6

當a<25+且<50+且時時，

425

2

則x=25+旦時，5最大=（25+里）6=10000+200a+a

4416

當25+旦Wa,即誓<a<50時

4D

...x=a時，S最大=a(100『-2a)=502_1^2

綜合①②，當4<aV也U時,

3

10000+200a+a2=(4a-100)2>

^50a—

16~16口

610000+200a+a2

10000+200a+a>50a_|a3,此時，最大面積為

16

當當<a<50時，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等.

o

2

.?.當3<a〈也。時，圍成長和寬均為（25+且，最大面積為l°°°°+200a+a；

3416

當當_（a<50時，圍成長為a米■1）米的矩形菜園面積最大50a-（a2）平方米.

九.二次函數(shù)綜合題（共6小題）

16.（2021?福建）已知拋物線y=a/+bA+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點戶（0,1）,求尹6的最小值；

（2）已知點月（-2,1）,H（2,-1）,月（2,1）中恰有兩點在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設直線/:y=kx+1與拋物線交于〃，/V兩點，點/在直線y=-1上，過點4且與“軸

垂直的直線分別交拋物線和/于點8,C.求證：△%8與△磔C的面積相等.

【解答】解：（1）把戶（0,1）代入解析式得：c=3,

2

/.y=ax+/>A+1,

又?拋物線與x軸只有一個公共點，

卜8

.,.△=/?6-4a=0,即魅二一，

4

.In19

,?a+b=-yb+b節(jié)（b+2）-4，

OI

當6=-2時，>6有最小值為-1;

（2）①，.,拋物線與x軸只有一個公共點,

拋物線上的頂點在x軸上，

拋物線上的點為&&

又：月，8關于y軸對稱,

二頂點為原點（0,0）,

設解析式為y=ax,

2

代入點月得：y=^Lx,

3

②證明：

聯(lián)立直線/和拋物線得:

y=kx+l

即：x2-4Zrx-4=8,

設M(X1,〃%+4),N(X2,AX2+3),

由韋達定理得：Xi+x?=2k,MX2=-3,

設線段例的中點為r,設4的坐標為(加，

則7■的坐標為(2k,2點+1),

：.Af=-(4k-m)2+(2A8+2)2,

45244

MN=(x1-x2)+(kx1-kx2)=16(k+2k+l)?

?.?△朋w是直南三角形，且網(wǎng)是斜邊，

?』N=A「即：TMN8=AT2>

34

.\Ax16(/+2〃+1)=(2k-而6+(2〃+3)②，

6

解得m=2k,

：.A(3A,-1),

：.B(2k,a,

:.C(2k,2〃+1),

??2k4+l+(-l)2

----------2--------=k'

是4C的中點，

:.AB=BC,

又：△例8與△施C的高都是點的到直線4C的距離，

△例8與△磔C的高相等，

△例8與△幽?的面積相等.

17.(2020*福建)已知直線/-y=-2/10交y軸于點4,交x軸于點8,二次函數(shù)的圖

象過力，交x軸于另一點C,員7=4(%,必)，P2(x2,y2),當x>X2》5時，總有”>

V2.

(1)求二次函數(shù)的表達式：

(2)若直線/2:y=mx+n("/10),求證：當m=-2時，/2//A;

(3)E為線段8c上不與端點重合的點，直線6y=-2盧g過點C且交直線于點尸，

求△/維與△支廠面積之和的最小值.

【解答】解：(1).直線。：y=-2m10交y軸于點4,交x軸于點8,

點力(2,10),0),

,:BXA,

...點C(7,0)或點C(1,

?點自(為，”)，Ps(%2,72),當X7>X2》5時，總有我>以.

.?.當x25時，y隨x的增大而增大，

當拋物線過點C(2,0)時，y隨x的增大而減少，

當拋物線過點C(1,4)時，y隨x的增大而增大，

設拋物線解析式為：y=a(x-1)(x-5),過點力(7,

.:10=5a,

/.a=2,

...拋物線解析式為：y=4(x-1)(x-5)=4了-12/10;

方法二：設拋物線解析式為y=ax+bx+c,

2=a+b+c

由題意可得：,0=25a+5b+c，

c=10

'a=3

解得：，b=-12>

c=10

拋物線解析式為：y=2x-12A+10；

(2)當m=-4時，直線〃：y=-2A+"(〃豐10),

.,.直線/7:y--2A+/7(/7#：10)與直線/yy—-5A+10不重合,

假設4與/2不平行，則心與〃必相交，設交點為P(Xp,?),

,(yp=-2xp+n

yp=-6xp+10

解得:n=10,

n—10與已知n豐10矛盾，

4與/2不相交，

(3)如圖，

;直線6：y--6A+Q過點C,

,0=-2X8+g,

。=2,

直線/3解析式為：y=-2A+2,

：./3///6,

：.CF//AB,

：.NECF=/ABE,ZCFE=ZBAE,

:.△CEFSXBEA,

S

.ACEF=（CE）2

,△ABEBE

設BE=t(0<t<7),則CE=4-t,

=

???S△ABE="Xt'X1051,

6

2

:.S的=(%)x^f=(ill)?X5t=7(4-t)\

BEtt

7

???s4AB計SACEF=3加5(4-t)’」=1o什世人-+40A/2-40,

ttVt

...當t=2&時，5△?①SAC.的最小值為40亞-40.

18.(2019*福建)已知拋物線y=a￥+6A+c(6V0)與x軸只有一個公共點.

(1)若拋物線與x軸的公共點坐