2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)一》預(yù)測試題7(答案解析)

書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟！住在富人區(qū)的她2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)一》預(yù)測試題（答案解析）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹慎購買！第壹卷一.綜合考點題庫(共50題)1.設(shè)A為四階實對稱矩陣，且A^2+A=O.若A的秩為3，則A相似于

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

這是一道常見的基礎(chǔ)題，由Aα=λα，α≠0知A^nα=λ^nα，那么對于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是實對稱必有A～A，而A即是A的特征值，那么由r(A)=3，可知(D)正確

2.設(shè)隨機變量X，Y不相關(guān)，且EX=2，EY=1，DX=3，則E［X(X+Y-2)］=

A.A-3

B.3

C.-5

D.5

正確答案：D

本題解析：

3.設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，f(0)=f(1),且f(x)在[0,1]上的最小值為—1.證明：

正確答案：

本題解析：

4.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

5.設(shè)二維隨機變量(X，Y)的概率密度為

求常數(shù)A及條件概率密度.

正確答案：

本題解析：

6.設(shè)數(shù)列{an}單調(diào)減少，無界，則冪級數(shù)的收斂域為

A.A(-1，1］

B.［-1，1)

C.［0,2)

D.(0,2］

正確答案：C

本題解析：

7.設(shè)隨機變量X與Y的概率分布分別為

，

且P{X^2=Y^2}=1.

(Ⅰ)求二維隨機變量(X，Y)的概率分布；

(Ⅱ)求Z=XY的概率分布；

(Ⅲ)求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY.

正確答案：

本題解析：

8.設(shè)函數(shù)z=f(xy，yg(x))，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處取得極值g(1)=1.求

正確答案：

本題解析：

所以，令x=y=1，且注意到g(1)=1，g'(1)=0，得

9.設(shè)某種商品的需求函數(shù)是Q=a-bP,其中Q是該產(chǎn)品的銷售量，P是該產(chǎn)品的價格，常數(shù)a>0,b>0，且該產(chǎn)品的總成本函數(shù)為已知當(dāng)邊際收益MR=56以及需求價格彈性，出售該產(chǎn)品可獲得最大利潤，試確定常數(shù)a和b的值，并求利潤最大時的產(chǎn)量。

正確答案：

本題解析：

10.設(shè)隨機變量X的概率分布為P{X=1}=P{X=2}=，在給定X=i的條件下，隨機變量Y服從均勻分布U(0，i)(i=1，2).

(Ⅰ)求Y的分布函數(shù)FY(y)；

(Ⅱ)求EY.

正確答案：

本題解析：

11.設(shè)二元函數(shù)

A.①正確，②不正確

B.①不正確，②正確

C.①與②都正確

D.①與②都不正確

正確答案：A

本題解析：

12.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

13.若函數(shù)z=z(x，y)由方程確定，則=_________.

正確答案：1、-dx.

本題解析：

暫無解析

14.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

15.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

16.設(shè)α1=(1，2，-1，0)^T，α2=(1，1，0，2)^T，α3=(2，1，1，α)^T.若由α1，α2，α3生成的向量空間的維數(shù)為2，則α=________.

正確答案：1、6.

本題解析：

暫無解析

17.已知AX=B有解

（I）求常數(shù)a,b.(II)求X.

正確答案：

本題解析：

18.設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間［0，1］上

A.A當(dāng)f'(x)≥0時，f(x)≥g(x)

B.當(dāng)f'(x)≥0時，f(x)≤g(x)

C.當(dāng)f"(x)≥0時，f(x)≥g(x)

D.當(dāng)f"(x)≥0時，f(x)≤g(x)

正確答案：D

本題解析：

由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，則直線y=f(0)(1-x)+f(1)x過點(0，f(0))和(1，f(1))，當(dāng)f"(x)≥0時，曲線y=f(x)在區(qū)間［0，1］上是凹的，曲線y=f(x)應(yīng)位于過兩個端點(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x)故應(yīng)選(D).

(方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，

則F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1)，F(xiàn)"(x)=f"(x).當(dāng)f"(x)≥0時，F(xiàn)"(x)≥0，則曲線y=F(x)在區(qū)間［0，1］上是凹的.又F(0)=F(1)=0，從而，當(dāng)x∈［0，1］時F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故應(yīng)選(D).

(方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x，

則F(x)=f(x)［(1-x)+x］-f(0)(1-x)-f(1)x

=(1-x)［f(x)-f(0)］-x［f(1)-f(x)］

=x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η)(ξ∈(0,x)，η∈(x,1))

=x(1-x)［f'(ξ)-f'(η)］

當(dāng)f"(x)≥0時，f'(x)單調(diào)增，f'(ξ)≤f'(η)，從而，當(dāng)x∈［0，1］時F(x)≤0，即f(x)≤g(x)，故應(yīng)選(D).

19.設(shè)隨機變量X~U(0,3)，隨機變量Y服從參數(shù)為2的泊松分布，且X與Y協(xié)方差為-1，則D(2X-Y+1)=（）

A.1

B.5

C.9

D.12

正確答案：C

本題解析：

公式運算，由X?~U(0，3)，Y?~?P(2)可得，D(X)=3/4?，D(Y)=?2，故D(2X-Y+1)=?D(2X-Y)=4D(X)+?D(Y)-4Cov(X，Y)=3+2+4=9

20.

A.Ap隨著μ的增加而增加

B.p隨著σ的增加而增加

C.p隨著μ的增加而減少

D.p隨著σ的增加而減少

正確答案：B

本題解析：

21.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

22.設(shè)總體X的概率密度為其中θ∈(0,+∞)為未知參數(shù)，X1，X2，X3為來自總體X的簡單隨機樣本，令T=max(X1，X2，X3).

(Ⅰ)求T的概率密度；

(Ⅱ)確定a，使得aT為θ的無偏估計.

正確答案：

本題解析：

23.設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，，S(x)是冪級數(shù)的和函數(shù).

(Ⅰ)證明：S"(x)-S(x)=0；

(Ⅱ)求S(x)的表達式.

正確答案：

本題解析：

【分析】利用冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)的性質(zhì)，驗證(Ⅰ)成立；解微分方程求出S(x)，注意初值條件的使用.

24.曲線y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4的拐點是

A.A(1，0)

B.(2，0)

C.(3,0)

D.(4,0)

正確答案：C

本題解析：

(方法一)圖示法：由曲線方程y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4可知，該曲線和x軸有四個交點，即x=1，x=2，x=3，x=4，且在x=2取極大值，x=4取極小值，則拐點只能在另外兩個點上，由下圖不難看出(3，0)為拐點，故應(yīng)選(C).

(方法二)記g(x)=(x-1)(x-2)^2(x-4)^4，則y-(x-3)^3g(x)

設(shè)g(x)在x=3處的泰勒展開式為g(x)=a0+a1(x-3)+…

則y=a0(x-3)^3+a0(x-3)^4+…

由該式可知y"(3)=0，y'"(3)=a0·3！≠0

因為a0=g(3)≠0.由拐點的第二充分條件知，(3，0)為拐點

25.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

26.將長度為1m的木棒隨機地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

設(shè)木棒截成兩段的長度分別為X和Y.顯然X+Y=1，即Y=1-X，然后用公式

【求解】Y=1-X，則DY=D(1-X)=DX.

Cov(X，Y)=Cov(X，1-X)=Cov(X，1)=Cov(X，X)=0-DX=-DX.

答案應(yīng)選(D).

27.設(shè)二維離散型隨機變量(X，Y)的概率分布為

(Ⅰ)求P{X=2Y)；

(Ⅱ)求Cov(X-Y，Y).

正確答案：

本題解析：

28.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

29.下列是

是可對角化的充分而非必要條件是

A.有三個不相等的特征值

B.有三個線性無關(guān)的特征向量

C.有三個兩兩無關(guān)的特征向量

D.的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交

正確答案：B

本題解析：

充分而非必要條件，即選中的答案可以推出矩陣A可對角化，但是A可對角化推不出選項中的答案，A為充要條件，C選項是必要而非充分條件，D既不充分也不必要，B正確。

30.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

31.設(shè)隨機變量X的概率密度為

對X進行獨立重復(fù)的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現(xiàn)時停止，記Y為觀測次數(shù).

(Ⅰ)求Y的概率分布；

(Ⅱ)求EY.

正確答案：

本題解析：

【分析】令A(yù)={對X進行一次觀測得到的值大于3}.

【評注】本題類似于我們在2000年出的幾何分布考題.從建模到用冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)求和會有不少考生感到困難，本題要比2000年的難一些.

32.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

33.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為，其中為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，則E(X)=

A.A0

B.0.3

C.0.7

D.1

正確答案：C

本題解析：

34.曲線的漸近線的條數(shù)為

A.A0

B.1

C.2

D.3

正確答案：C

本題解析：

由，得y=1是曲線的一條水平漸近線且曲線沒有斜漸近線，由，得x=1是曲線的一條垂直漸近線，由，得x=-1不是曲線的漸近線，所以曲線有兩條漸近線，故應(yīng)選(C).

35.若A，B為任意兩個隨機事件，則

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：C

本題解析：

36.

正確答案：

本題解析：

37.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

38.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則P{X

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：A

本題解析：

X～E(1)，Y～E(4)且相互獨立，所以(X，Y)的概率密度

利用公式可以計算出結(jié)果.

【求解】

39.設(shè)，.

已知線性方程組Ax=b存在2個不同的解.

(Ⅰ)求λ，a；

(Ⅱ)求方程組Ax=b的通解.

正確答案：

本題解析：

【解】(Ⅰ)因為方程組Ax=b有2個不同的解，所以r(A)=r(A)故

知λ=1或λ=-1

當(dāng)λ=1時

顯然r(A)=1，r(=2，此時方程組無解，λ=1舍去.

當(dāng)λ=-1時，對Ax=b的增廣矩陣施以初等行變換：

因為Ax=b有解，所以a=-2.

(Ⅱ)當(dāng)λ=-1，a=-2時，

所以Ax=b的通解為

，其中k為任意常數(shù)

40.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：B

本題解析：

41.已知二次型f(x1，x2，3x)=x^TAx在正交變換x=Qy下的標準形為，且Q的第3列為.

(Ⅰ)求矩陣A；

(Ⅱ)證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣.

正確答案：

本題解析：

42.已知函數(shù)f(x，y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，計算二重積分.

正確答案：

本題解析：

43.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D

正確答案：D

本題解析：

44.

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

D.見圖D