（課標(biāo)全國(guó)版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 專題八 能力提升檢測(cè)卷 原卷版+解析

專題八能力提升檢測(cè)卷選擇題（本題共16個(gè)小題，每小題3分，共48分）1．以下命題中真命題的序號(hào)是()①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；③當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓．A．①③B．②③C．①②D．①②③2.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽(yáng)馬”(四棱錐B-A1ACC1)體積最大時(shí)，“塹堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面積為()A.eq\r(2)＋1 B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2) D.eq\f(\r(3)＋3,2)3.把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形)，則皮球的半徑為()A．10eq\r(3)cm B．10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm4．已知△ABC的邊長(zhǎng)都為2，在邊AB上任取一點(diǎn)D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點(diǎn)D的變化，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D．π5.3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層堆疊累積的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)(即“積層造型法”)．過(guò)去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用(比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等)．已知利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型．該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10eq\r(2)cm，母線與底面所成角的正切值為eq\r(2).打印所用原料密度為1g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(取π＝3.14，精確到0.1)()A．609.4g B．447.3gC．398.3g D．357.3g6．已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行 B．異面、平行C．平行、相交 D．異面、相交7．設(shè)α，β為不重合的兩個(gè)平面，m，n為不重合的兩條直線，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥αB．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)．則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG10．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是()A．α∥β，m?α，n?β?m∥nB．α⊥γ，β⊥γ?α∥βC．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥βD．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n?α∥γ11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)12.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①② B．①③C．②③ D．③④13.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)14.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，AE⊥PC，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是()A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC15.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在BC′上，且BM＝2MC′，則下列向量中與eq\o(OM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))16.如圖，在四棱錐C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6eq\r(2)，異面直線CD與AB所成的角為30°，點(diǎn)O，B，C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的半徑為()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C.eq\r(21)D.eq\r(42)二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）17．在棱長(zhǎng)為4的密封正方體容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，晃動(dòng)此正方體，則小球可以經(jīng)過(guò)的空間的體積為________．18．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則A1P＋PC的最小值為________．19．在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E為棱BC上一點(diǎn)，且平面DAE⊥平面BCD，則DE＝________.20．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up7(→))，eq\o(VM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up7(→))，eq\o(VN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up7(→)).則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．三、解答題（本題共4個(gè)小題，每小題10分，共40分）21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.22.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝eq\r(3)，且FO⊥平面ABCD.(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.23.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是該四棱錐的高，PB與平面PAD所成的角為45°，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：PE⊥AF；(2)若BC＝2AB，PE與AB所成角的余弦值為eq\f(2\r(17),17)，求二面角D-PE-B的余弦值．24．如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC＝6eq\r(2).如圖2，將圖1中△DAC沿AC折起，使得點(diǎn)D在平面ABC上的正投影G在△ABC內(nèi)部，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DB，DE，三棱錐D-ABC的體積為12eq\r(2).對(duì)于圖2的幾何體．(1)求證：DE⊥AC；(2)求DB與平面DAC所成角的余弦值．專題八能力提升檢測(cè)卷選擇題（本題共16個(gè)小題，每小題3分，共48分）1．以下命題中真命題的序號(hào)是()①若棱柱被一平面所截，則分成的兩部分不一定是棱柱；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；③當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓．A．①③B．②③C．①②D．①②③【答案】A【解析】①正確；②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故不正確；③當(dāng)球心到平面的距離小于球面半徑時(shí)，球面與平面的交線總是一個(gè)圓，正確．綜上可得，只有①③正確．2.我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽(yáng)馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”，即三棱柱ABC-A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，當(dāng)“陽(yáng)馬”(四棱錐B-A1ACC1)體積最大時(shí)，“塹堵”(三棱柱ABC-A1B1C1)的表面積為()A.eq\r(2)＋1 B.eq\r(3)＋1C.eq\f(2\r(2)＋3,2) D.eq\f(\r(3)＋3,2)【答案】C【解析】由題意知，△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，設(shè)AC＝x，則BC＝eq\r(1－x2)(0<x<1)，則VB-A1ACC1＝eq\f(1,3)S四邊形A1ACC1·BC＝eq\f(1,3)×1×x×eq\r(1－x2)＝eq\f(1,3)×xeq\r(1－x2)≤eq\f(1,3)×eq\f(x2＋1－x2,2)＝eq\f(1,6)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(1－x2)，即x＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)VB-A1ACC1最大)，此時(shí)三棱柱ABC-A1B1C1的表面積S＝2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＋2×eq\f(\r(2),2)×1＋1×1＝eq\f(1,2)＋eq\r(2)＋1＝eq\f(3＋2\r(2),2)，故選C.3.把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形)，則皮球的半徑為()A．10eq\r(3)cm B．10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm【答案】B【解析】依題意，在四棱錐S-ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為20cm，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知點(diǎn)O到AB，BC，CD，AD的距離均為10cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10eq\r(2)cm，SA＝20cm，所以O(shè)到SA的距離d＝10cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心O，所以皮球的半徑r＝10cm.4．已知△ABC的邊長(zhǎng)都為2，在邊AB上任取一點(diǎn)D，沿CD將△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作BP⊥平面ACD，垂足為P，那么隨著點(diǎn)D的變化，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D．π【答案】C【解析】由題意知，平面BCD⊥平面ACD，且BP⊥平面ACD，那么隨著點(diǎn)D的變化，BP⊥CD始終成立，可得在平面ABC中，BP⊥CP始終成立，即得點(diǎn)P的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分，由題知隨著點(diǎn)D的變化，∠BCD的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，可得點(diǎn)P的軌跡是以BC為直徑的圓的eq\f(1,3)，即得點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為eq\f(1,3)×2π×1＝eq\f(2π,3).5.3D打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層堆疊累積的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)(即“積層造型法”)．過(guò)去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用(比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等)．已知利用3D打印技術(shù)制作如圖所示的模型．該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10eq\r(2)cm，母線與底面所成角的正切值為eq\r(2).打印所用原料密度為1g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(取π＝3.14，精確到0.1)()A．609.4g B．447.3gC．398.3g D．357.3g【答案】C【解析】如圖是幾何體的軸截面，因?yàn)閳A錐底面直徑為10eq\r(2)cm，所以半徑為OB＝5eq\r(2)cm.因?yàn)槟妇€與底面所成角的正切值為tanB＝eq\r(2)，所以圓錐的高為PO＝10cm.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，DE＝eq\r(2)a，則eq\f(\f(\r(2),2)a,5\r(2))＝eq\f(10－a,10)，解得a＝5.所以該模型的體積為V＝eq\f(1,3)π×(5eq\r(2))2×10－53＝eq\f(500π,3)－125(cm3)．所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(500π,3)－125))×1＝eq\f(500π,3)－125≈398.3(g)．6．已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，則直線MN與直線EF、平面ABB1A1的位置關(guān)系分別為()A．平行、平行 B．異面、平行C．平行、相交 D．異面、相交【答案】B【解析】∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別為AC，B1C1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為BC，B1B的中點(diǎn)，∴EF?平面BCC1B1，MN∩平面BCC1B1＝N，N?EF，∴由異面直線判定定理得直線MN與直線EF是異面直線．取A1C1的中點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖，則PN∥B1A1，PM∥A1A，∵AA1∩A1B1＝A1，PM∩PN＝P，∴平面PMN∥平面ABB1A1，∵M(jìn)N?平面PMN，∴直線MN與平面ABB1A1平行．7．設(shè)α，β為不重合的兩個(gè)平面，m，n為不重合的兩條直線，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥αB．若m?α，n?β，m∥n，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥βD．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，則m⊥α【答案】D【解析】對(duì)于A，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m與α有可能相交，也有可能m?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若m?α，n?β，m∥n，則α與β有可能相交，也有可能平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥α，n∥β，m⊥n，則α與β有可能平行，也有可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又知n⊥α，所以m⊥α，故D正確．故選D.8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O，M，N分別是線段BD，DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM與AC，MN的位置關(guān)系是()A．與AC，MN均垂直B．與AC垂直，與MN不垂直C．與AC不垂直，與MN垂直D．與AC，MN均不垂直【答案】A【解析】因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因?yàn)锳C⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因?yàn)镺M?平面BDD1B1，所以O(shè)M⊥AC.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以O(shè)M2＋MN2＝ON2，所以O(shè)M⊥MN.故選A.9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1C的中點(diǎn)．則下列敘述中正確的是()A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(H，I分別為AA1，BC的中點(diǎn))，∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG.10．若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中正確的是()A．α∥β，m?α，n?β?m∥nB．α⊥γ，β⊥γ?α∥βC．α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥βD．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n?α∥γ【答案】C【解析】對(duì)于A，由α∥β，m?α，n?β，可知m，n無(wú)公共點(diǎn)，則m與n平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由α⊥γ，β⊥γ，可知α與β可能平行，也可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又知α∥β，所以n⊥β，故C正確；對(duì)于D，如圖所示，α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，但α與γ相交，故D錯(cuò)誤．故選C.11．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形，若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)【答案】B【解析】如圖，取正三角形ABC的中心O，連接OP，則∠PAO是PA與平面ABC所成的角．因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的體積為eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，因?yàn)橹本€與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAO＝eq\f(π,3).12.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①② B．①③C．②③ D．③④【答案】B【解析】∵SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，∴SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG，故①正確；同理可得GF⊥平面EGS，又∵SE?平面EGS，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，得GF⊥SE，故③正確．故選B.13.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【答案】D【解析】連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1(或其補(bǔ)角)即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，則A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).14.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，AE⊥PC，垂足為E，點(diǎn)F是PB上一點(diǎn)，則下列判斷中不正確的是()A．BC⊥平面PACB．AE⊥EFC．AC⊥PBD．平面AEF⊥平面PBC【答案】C【解析】對(duì)于A，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，而BC?底面圓面，則PA⊥BC，又由圓的性質(zhì)可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則BC⊥平面PAC.所以A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)可知BC⊥AE，由題意可知AE⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC?平面PCB，所以AE⊥平面PCB，而EF?平面PCB，所以AE⊥EF，所以B正確；對(duì)于C，由B項(xiàng)可知AE⊥平面PCB，因而AC與平面PCB不垂直，所以AC⊥PB不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B項(xiàng)可知，AE⊥平面PCB，AE?平面AEF，由面面垂直的判定定理可得平面AEF⊥平面PBC.所以D正確．15.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點(diǎn)為O，點(diǎn)M在BC′上，且BM＝2MC′，則下列向量中與eq\o(OM,\s\up6(→))相等的向量是()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(7,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))B．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))【答案】C【解析】因?yàn)锽M＝2MC′，所以eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC′,\s\up6(→))，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA′,\s\up6(→)).16.如圖，在四棱錐C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6eq\r(2)，異面直線CD與AB所成的角為30°，點(diǎn)O，B，C，D都在同一個(gè)球面上，則該球的半徑為()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C.eq\r(21)D.eq\r(42)【答案】C【解析】由條件可知AB∥OD，所以∠CDO為異面直線CD與AB所成角，故∠CDO＝30°，而OD＝6，故OC＝OD·tan30°＝2eq\r(3)，在直角梯形ABOD中，易得OB＝6，由于OB，OC，OD兩兩垂直，以O(shè)B，OC，OD為相鄰的三條棱，補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球半徑R即為所求的球的半徑，由(2R)2＝(2eq\r(3))2＋62＋62＝84，故R＝eq\r(21).二、填空題（本題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）17．在棱長(zhǎng)為4的密封正方體容器內(nèi)有一個(gè)半徑為1的小球，晃動(dòng)此正方體，則小球可以經(jīng)過(guò)的空間的體積為________．【解析】先考慮小球不能經(jīng)過(guò)的空間的體積．(1)當(dāng)小球與正方體一頂點(diǎn)處的三個(gè)面都相切時(shí)，球面與該頂點(diǎn)處的三個(gè)面之間形成的空隙，小球始終無(wú)法經(jīng)過(guò)，其體積為13－eq\f(1,8)×eq\f(4π,3)×13＝1－eq\f(π,6).正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，共形成8個(gè)無(wú)法經(jīng)過(guò)的空隙，總體積為8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,6)))＝8－eq\f(4π,3).(2)小球只與正方體過(guò)同一條棱的兩個(gè)面相切時(shí)，在該棱處能形成一個(gè)高為2的小柱體，其體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(π,4)))×2＝2－eq\f(π,2)，正方體共有12條棱，則12個(gè)小柱體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,2)))×12＝24－6π.所以小球可以經(jīng)過(guò)的空間的體積為64－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(4π,3)))－(24－6π)＝32＋eq\f(22π,3).【答案】32＋eq\f(22π,3)18．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則A1P＋PC的最小值為________．【解析】如圖①，連接A1B，由已知數(shù)據(jù)可得BC1＝2，A1B＝2eq\r(2)，則A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)＝A1B2，∴∠A1C1B＝90°.將△BCC1沿BC1展平在平面A1BC1內(nèi)，連接A1C，如圖②，則A1P＋PC的最小值為線段A1C的長(zhǎng)．在△A1C1C中，A1C1＝2，CC1＝eq\r(2)，易知∠A1C1C＝135°，由余弦定理得，A1C2＝A1Ceq\o\al(2,1)＋CCeq\o\al(2,1)－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝22＋(eq\r(2))2－2×2×eq\r(2)×cos135°＝4＋2＋4＝10，∴A1C＝eq\r(10)，即A1P＋PC的最小值為eq\r(10).【答案】eq\r(10)19．在四面體ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，AD＝1，E為棱BC上一點(diǎn)，且平面DAE⊥平面BCD，則DE＝________.【解析】過(guò)A作AH⊥DE，∵平面ADE⊥平面BCD，且平面ADE∩平面BCD＝DE，∴AH⊥平面BCD，∴AH⊥BC，又AD⊥BC，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，∵AE＝eq\f(3×4,5)，AD＝1，∴DE＝eq\f(13,5).【答案】eq\f(13,5)20．已知V為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up7(→))，eq\o(VM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up7(→))，eq\o(VN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up7(→)).則VA與平面PMN的位置關(guān)系是________．【解析】如圖，設(shè)eq\o(VA,\s\up7(→))＝a，eq\o(VB,\s\up7(→))＝b，eq\o(VC,\s\up7(→))＝c，則eq\o(VD,\s\up7(→))＝a＋c－b，由題意知eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up7(→))，∴eq\o(VA,\s\up7(→))，eq\o(PM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))共面．又∵VA?平面PMN，∴VA∥平面PMN.【答案】平行三、解答題（本題共4個(gè)小題，每小題10分，共40分）21．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明：(1)因?yàn)镻A＝PD，E為AD的中點(diǎn)，所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)镻D?平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因?yàn)镻D?平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG.因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，所以FG∥BC，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四邊形DEFG為平行四邊形．所以EF∥DG.又因?yàn)镋F?平面PCD，DG?平面PCD，所以EF∥平面PCD.22.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝eq\r(3)，且FO⊥平面ABCD.(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.證明：取BC中點(diǎn)H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(xiàn)(0,0，eq\r(3))，B(1,2,0)．eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－2，－2,0)，eq\o(CF,\s\up7(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－1，－2，eq\r(3))．(1)設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(CF,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0，,x＋\r(3)z＝0，))取z＝1，得n＝(－eq\r(3)，eq\r(3)，1)．又四邊形BDEF為平行四邊形，∴eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－1，－2，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，eq\r(3))＝(－3，－4，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up7(→))·n＝3eq\r(3)－4eq\r(3)＋eq\r(3)＝0，∴eq\o(AE,\s\up7(→))⊥n，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2)eq\o(AF,\s\up7(→))＝(－3,0，eq\r(3))，∴eq\o(CF,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝－3＋3＝0，eq\o(CF,\s\up7(→))·eq\o(AE,\s\up7(→))＝－3＋3＝0，∴eq\o(CF,\s\up7(→))⊥eq\o(AF,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))⊥eq\o(AE,\s\up7(→))，即CF⊥AF，CF⊥AE，又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴CF⊥平面AEF.23.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA是該四棱錐的高，PB與平面PAD所成的角為45°，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，E是BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：PE⊥AF；(2)若BC＝2AB，PE與AB所成角的余弦值為eq\f(2\r(17),17)，求二面角D-PE-B的余弦值．解：(1)證明：由題可知AD，AB，AP兩兩垂直，且∠BPA＝45°，∴AP＝AB.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)AP＝AB＝b，BE＝a，則A(0,0,0)，B(0，b,0)，E(a，b,0)，P(0,0，b)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，\f(b,2)))，∴eq\o(PE,\s\up7(→))＝(a，b，－b)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)，\f(b,2))).∴eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝0，∴PE⊥AF.(2)設(shè)AP＝AB＝2，則BC＝4，故D(4,0,0)，B(0,2,0)，E(a,2,0)，F(xiàn)(0,1,1)，P(0,0,2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(PE,\s\up7(→))＝(a,2，－2)，eq\o(AF,\s\up7(→))＝(0,1,1)．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(PE,\s\up7(→)),|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(PE,\s\up7(→))|)))＝eq\f(2\r(17),17)，得eq\f(4,2·\r(a2＋8))＝eq\f(2\r(17),17)，解得a＝3(負(fù)值舍去)，∴E(3,2,0)．設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，又eq\o(PD,\s\up7(→))＝(4,0，－2)，eq\o(ED,\s\up7(→))＝(1，－2,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(