廣東省佛山市南海區(qū)重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三1月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

年度廣東佛山市重點(diǎn)中學(xué)高三1月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a<x<3}，若?x∈A，都有x∈B，則a的取值范圍為（）A．（－∞，0]B．（－∞，0）C．[0，2]D．（2，3）3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則a=（）A．－1B．－2C．2D．14．假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有5件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品．現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱，然后從該箱中隨機(jī)取出1個(gè)零件，若取到的是次品，則這件次品是從第一箱中取出的概率為（）A．B．C．D．5．已知，則（）A．B．C．D．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，若AB⊥AF2，則λ=（）A．5B．4C．3D．27．斐波那契數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，an=an－1＋an－2（n≥3），其每一項(xiàng)稱為“斐波那契數(shù)”．如圖，在以斐波那契數(shù)為邊長(zhǎng)的正方形拼成的長(zhǎng)方形中，利用下列各圖中的面積關(guān)系，推出eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)是斐波那契數(shù)列的第________項(xiàng)．（）A．2022B．2023C．2024D．20258．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ex，?x1，x2∈[1，2]，|g（x1）－g（x2）|>k|f（x1）－f（x2）|（k為常數(shù)）成立，則常數(shù)k的取值范圍為（）A．（－∞，e）B．（－∞，e]C．（－∞，2e2）D．（－∞，2e2]二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面ADD1A1的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A．NP∥DC1B．MN∥平面ACPC．D1C⊥平面MNPD．PM與BC1所成的角是60°10．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x－1與拋物線C：y2=4x相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．|AB|=8B．OA⊥OBC．△AOB的面積為2eq\r(2)D．線段AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為411．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），f（2－x）=f（x＋4），若，則（）A．f（x）是周期函數(shù)B．C．f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知單位向量滿足，則與的夾角為________．13．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線y=2x＋1相切，則a=________．14．已知正四面體A－BCD的棱長(zhǎng)為6，P是四面體A－BCD外接球球面上的動(dòng)點(diǎn)，Q是四面體A－BCD內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的取值范圍是________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知數(shù)列{an}滿足a1=2，且（n≥2，n∈N*）．（1）證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{an}的前n項(xiàng)和Sn.16.如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，，AB=1.（1）若，求△ABC的面積；（2）若，求tan∠CAD.17．為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且上場(chǎng)順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員M對(duì)乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為．（注：比賽結(jié)果沒有平局）（1）求甲隊(duì)明星隊(duì)員M在前四局比賽中不出場(chǎng)的前提下，甲、乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；（2）求甲、乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；（3）若已知甲、乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)的概率．18．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有表有廣，而上有表無(wú)廣芻，草也，甍，屋蓋也”．翻譯為“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部有長(zhǎng)沒有寬為一條棱；芻甍為茅草屋頂”，現(xiàn)將一個(gè)正方形折疊成一個(gè)“芻甍”，如圖1，E，F(xiàn)，G分別是正方形的三邊AB，CD，AD的中點(diǎn)，先沿著虛線段FG將等腰直角三角形FDG裁掉，再將剩下的五邊形ABCFG沿著線段EF折起，連接AB，CG，就得到了一個(gè)“芻甍”，如圖2.（1）若O是四邊形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：AO∥平面GCF；（2）若二面角A—EF—B的大小為，求直線AB與平面GCF所成角的正弦值．19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1=3，a2＋a3=36，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足3Sn＋n2=3nbn＋n，.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若存在正整數(shù)n，使得成立，求實(shí)數(shù)M的取值范圍．2024年度廣東佛山市重點(diǎn)中學(xué)高三1月調(diào)研數(shù)學(xué)試卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．答案D解析因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選D．2．答案B解析若?x∈A，都有x∈B，則A?B，由已知可得a<0．故選B．3．答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以h（0）=a＋1=0，即a=－1．故選A．4．答案D解析設(shè)事件A表示“從第一箱中取出1個(gè)零件”，事件B表示“取出的零件是次品”，則．故選D．5．答案A解析由，得，則，即．故選A．6．答案C解析因?yàn)?，所以點(diǎn)A，B，F(xiàn)1共線，設(shè)|AF1|=t，則|AF2|=2a－t=4－t，所以，解得t=2，即|AF1|=|AF2|=2，不妨設(shè)，則直線AB的方程為，聯(lián)立解得或則，因?yàn)?，所以．故選C．7．答案C解析依題意，a1=a2=1，an＋2=an＋1＋an，有an＋1=an＋2－an，于是，而，因此，則eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)=a2024，所以eq\f(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,2023),a2023)是斐波那契數(shù)列的第2024項(xiàng)．故選C．8．答案C解析顯然x1≠x2，不妨設(shè)x1>x2，因?yàn)閒（x）=lnx，g（x）=ex在定義域上單調(diào)遞增，則g（x1）－g（x2）>k[f（x1）－f（x2）]，即g（x1）－kf（x1）>g（x2）－kf（x2）．令h（x）=g（x）－kf（x），x∈[1，2]，則h（x1）>h（x2），即函數(shù)h（x）在[1，2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，又，則在[1，2]上有解，則xex>k在[1，2]上有解．令m（x）=xex，x∈[1，2]，則m′（x）=（1＋x）ex>0，所以m（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以m（x）max=m（2）=2e2，所以k<2e2，即常數(shù)k的取值范圍為（－∞，2e2）．故選C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．答案ABD解析連接A1C1，A1D，則NP是△A1C1D的中位線，∴NP∥DC1，故A正確；連接AC，AD1，B1D1，B1A，則MN∥AD1，MN?平面ACD1，AD1?平面ACD1，∴MN∥平面ACD1，即MN∥平面ACP，故B正確；平面MNP即為平面B1AD1，顯然D1C不垂直于平面B1AD1，故C錯(cuò)誤；連接BD，∵PM∥B1D1∥BD，∴∠DBC1或其補(bǔ)角為PM與BC1所成的角，又∠DBC1=60°，故D正確．故選ABD．10．答案ACD解析由得y2－4y－4=0，所以Δ=16＋16=32>0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1＋y2=4，y1y2=－4，所以x1＋x2=y1＋1＋y2＋1=4＋2=6，，則，A正確；因?yàn)?，所以O(shè)A⊥OB不成立，B錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)（0，0）到直線x－y－1=0的距離為，所以，C正確；因?yàn)?，所以線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線x=－1的距離為4，D正確．故選ACD．11．答案ACD解析因?yàn)?x∈R，f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2），所以f（x＋1）＋f（x－1）=f（2），所以f（x＋3）=f（x－1），即f（x＋4）=f（x），所以f（x）是周期為4的周期函數(shù)，A正確；在f（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）中，令x=－1，得f（2）＋f（0）=f（2），則f（0）=0，因?yàn)閒（2－x）=f（4＋x）=f（x），所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，C正確；因?yàn)閒（0）=0，所以f（2）=f（0）=0，所以f（2022）=f（2）=0，B錯(cuò)誤；由函數(shù)的對(duì)稱性與周期性可得，因?yàn)閒（x＋3）＋f（x＋1）=f（2）=0，即f（x＋3）=－f（x＋1），所以，則，D正確．故選ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．答案解析由題意得，又，得，設(shè)向量與的夾角為θ，則，因?yàn)棣取蔥0，π]，所以．13．答案1解析以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為x2＋y2=b2，直線y=2x＋1的一般式為2x－y＋1=0，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得，又橢圓的離心率為，∴解得14．答案解析如圖，AE是正四面體A－BCD的高，由對(duì)稱性知其外接球與內(nèi)切球的球心重合，為O，且在AE上，E是底面正三角形BCD的中心，，設(shè)外接球的半徑為R，即OA=OB=R，由OB2=OE2＋BE2，得，解得，因此內(nèi)切球的半徑為，顯然有|OP－OQ|≤PQ≤OP＋OQ，即R－r≤PQ≤R＋r，又，所以．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．解（1）當(dāng)n≥2時(shí)，由可得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即．（2），則，兩式相減得，所以.16．解（1）因?yàn)?，由余弦定理得AC2=AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，所以7=1＋BC2＋BC，即BC2＋BC－6=0，解得BC=2，所以．（2）設(shè)∠CAD=θ，在△ACD中，由正弦定理得，所以，①在△ABC中，，由正弦定理，得，即.②由①②得，即，所以，整理得，所以．17．解（1）事件B為“甲、乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝”，事件Aj為“甲隊(duì)第j局獲勝”，其中j=1，2，3，4，Aj相互獨(dú)立．又甲隊(duì)明星隊(duì)員M前四局不出場(chǎng)，故，j=1，2，3，4，，所以．（2）設(shè)事件C為“甲隊(duì)3局獲得最終勝利”，事件D為“前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員M上場(chǎng)比賽”，因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，所以，，由全概率公式，知．（3）由（2），得．18．解（1）證明：取線段CF的中點(diǎn)H，連接OH，GH，如圖，由題圖1可知，四邊形EBCF是矩形，，∴O是線段CE的中點(diǎn)，∴OH∥EF且，又AG∥EF且，∴AG∥OH且AG=OH，∴四邊形AOHG是平行四邊形，∴AO∥HG，又AO?平面GCF，HG?平面GCF，∴AO∥平面GCF.（2）由題圖1可知，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在題圖2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，∴∠AEB即為二面角A－EF－B的平面角，∴∠AEB=120°，以E為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，如圖，設(shè)CB=2EB=2EA=4，則B（2，0，0），F(xiàn)（0，4，0），，∴．設(shè)平面GCF的法向量為，由得取，則z=2，故，∴，∴直線AB與平面GCF所成角的正弦值為．19．解（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則3q＋3q2=36，即q