高考數(shù)學（理）6年高考試題精解精析4數(shù)列

12012高考試題】

一、選擇題

1.12012高考真題重慶理1】在等差數(shù)列｛%｝中,a2=l,%=5則｛許｝的前5項和￡=

A.7B.15C.20D.25

【答案】B

【解析】因為a：=1，4=5,所以%+生=生+4=6，所以數(shù)列的前5項和

.=5應(yīng)：生)=53：&)=?6=1工選B.

一--2.

［2012高考真題浙江理71設(shè)S“是公差為d(dW)的無窮等差數(shù)列｛an｝的前n項和，則下

列命題錯誤的是

A.若d<0,則數(shù)列｛Sn)有最大項

B.若數(shù)列｛Sn｝有最大項，則d<0

C.若數(shù)列｛S/是遞增數(shù)列，則對任意〃eN*,均有S“>0

D.若對任意“eN*,均有S“>0,則數(shù)列(Sn｝是遞增數(shù)列

【答案】C

【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：一1,0,1,2,3,....滿足數(shù)列｛S,,｝是遞增數(shù)列，

但是S“>0不成立.故選C。

3.12012高考真題新課標理5］已知｛4｝為等比數(shù)列，a4+a7=2,a5a6=-8,則q+qo=

()

(A)7(B)5(C)-5(。)-7

【答案】D

【解析】因為｛4｝為等比數(shù)列，所以％a=%柒=-8，又4+a-=2,所以

—4,ci-=-2a。=-2,ct~—4.右ra?！?,a-——2,a】=—8,a］?！?)

a1+q。=—,；右a。=-2,a-=4,解a］。=~&勾=1,f乃有a,—4io=-1?卜

選D.

4.［2012IWJ考真題上海理18】設(shè)%=—sin,S=6!!+a+??,+a,在S］,S,,…，S］。。

Ilclll1X2llW

n25

中，正數(shù)的個數(shù)是()

A.25B.50C.75D.100

【答案】D

【解析招10M024時，a”>0,當時，a,<0,但其絕對值要小于10〃024

時相應(yīng)的值，當51W“$74時，4>0，當76W〃W99時，a*V0,但其絕對值要小于

51W〃W74時相應(yīng)的值，.".當1W〃口00時，均有S%>。.

5.12012高考真題遼寧理6】在等差數(shù)列｛斯｝中，已知明+匈=16,則該數(shù)列前11項和5“=

(A)58(B)88(C)143(D)176

【答案】B

【解析】在等差數(shù)列中，：q+%=&+%=16".%=1四；+&)=88,答案為B

6.【2012高考真題四川理12】設(shè)函數(shù)/(x)=2x-cosx,｛%｝是公差為至的等差數(shù)列，

8

/(%)+/(〃2)+…+/(4)=5乃，則"(。3)]2—+1〃5=()

1

2

萬n132

A、0B、一7T~8-D、—兀~

1616

【答案】D

【解析】/（a）-f（a:）----/（勾）=（20一cosq）-（2q-cos。：）-----（2a-cosa）=5,T，即

2（q+a,4---卜生）一（cosq+cosa,4---卜cosq）=57r，而｛a.｝是公差為—的等差數(shù)列,

-'''*8

代入2（q+/4----Fa5）-（cosax+cos----Fcosa5）=5乃，即10a3-[cos（a3-二）

+cos（a3--）+COS673+cos（生+三）+cos（生+勺]=5幾,V（2cos-+2cos—+1）cosa3

S8448

不是冗的倍數(shù)，二10生=5x生=1.二"（E）f-卅5=（2X1-0）L（1-；）仁+：）

13萬

=—,故選D.

16

7.(2012高考真題湖北理7]定義在(-8,0)U(0,+8)卜.的函數(shù)/(x),如果對于任意給定的等比

數(shù)列｛”"｝,｛/(??)｝仍是等比數(shù)列，則稱/(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在

(-8,0)U(0,+8)上的如下函數(shù)：

①，(工)=工2；②/(x)=2*；③/(x)=JTi；④/(x)=ln|x|.

則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)''的/(x)的序號為

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【解析1等比數(shù)列性質(zhì)，44+2=城1，①f以)/(0?*2)=叼，=iJ=尸以_J；

②f(4)f(az)=242J=24-J工2A-=f'Qz)；

③戶4〕f(味)=他a—|=他』=/D

④/(4)/(4+2)=1nHi1n或扣㈣用/=/(4“)?選C

8.12012高考真題福建理2】等差數(shù)列｛a。｝中，ai+as=10,a4=7,則數(shù)列｛a0｝的公差為

A.lB.2C.3D.4

【答案】B.

【解析】由等差中項的性質(zhì)知的="!&=5,又?.?%=7,.."=%-。3=2.故選8.

9.【2012高考真題安徽理4】公比為次等比數(shù)列｛怎｝的各項都是正數(shù)，且%%=16,則

log2al6=()

(4)4(5)5(C)6(D)7

【答案】B

[解析]]=16=。；=16<=>a7=4n4]6=a?xq"=32=log2iz16=5.

10.12012高考真題全國卷理5】已知等差數(shù)列｛aQ的前n項和為Sn，a$=5,S5=15,則數(shù)列

的前100項和為

1009999101

(A)—(B)—(C)—(D)—

101101100100

【答案】A

【解析】由%=545=15,得q=Ld=1，所以a*=1+(〃-1)=%所以

--―,又

冷(〃+1)nw+1

11111111.1100

axaz/作皿1223100101101101

二、填空題

11.12012高考真題浙江理13】設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列出｝的前n項和為S”若S2=3az+2,

S4=3a4+2,貝IIq=o

【答案】-

2

【解析】將=3%+2,S,=34+2兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用a,q表示的式子.

即[,""；?+~::兩式作差得：a夕二+?/=34式一—1),即：2夕:一？一3=0,

I巧+巧g+巧g-+4/=3令夕+2…一?

解之得：夕=；或g=-1(舍去).

12.12012高考真題四川理16】記[劃為不超過實數(shù)元的最大整數(shù),例如，[2]=2,[1.5]=1,

L+t-]

[-0.3]=-lo設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列｛x“｝滿足玉=a,x?+1=[—產(chǎn)](〃wN*),現(xiàn)有下列

命題：

①當。=5時，數(shù)列*“｝的前3項依次為5,3,2；

②對數(shù)列｛4｝都存在正整數(shù)k,當nNk時總有xn=Xk；

③當〃21時，xn>4a-1；

④對某個正整數(shù)k,若小，則%=[6]。

其中的真命題有。(寫出所有真命題的編號)

【答案】①③④

AA

5+三3+[=]

1解析】當a=5時，X[=a=5x2-―二:=3,x,=[——1二]=2,故①正確；同樣驗

證可得③④正確，②錯誤.

13.【2012高考真題新課標理16]數(shù)列｛*｝滿足%+|+(-1)%“=2〃一1,則｛%｝的前60項

和為

【答案】1830

【解析】由。,出+(-1)"%=2〃一1得，

%+2=(-1)"%+1+2〃+1=(_1)"[(-1)'1您+2〃_1]+2“+1

=一勺+(-l)H(2n-l)+2n+l,

即?！?2+%=(一1)"(2〃-1)+2〃+1,也有a.+3+%+1=一(一1)"(2〃+1)+2\+3,兩式相加

得%+an+i+。“+2+〃〃+3=-2(—1)〃+4〃+4,設(shè)k為整數(shù)，

則a4k+\+。4k+2+。4?+3+。4k+4=-2(—1)4A+I+4(4%+1)+4=16Z+10,

1414

于是§60=+a4*+2+。虱+3+。4H4)=+'10)=1830

K=0K=0

14.12012高考真題遼寧理14】已知等比數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，且a；=4O,2(4+%+2)=5區(qū)山，

則數(shù)列｛%｝的通項公式恁=。

【答案】2*

【解析】a：=二(qq)*=a/,二q=4二.a”=q

2(%+a1>;)=5az,二Q+g：)=5aliq,/.2(1+q：)=5/解得g=2或g==(舍去)，二a：=

15.12012高考真題江西理12］設(shè)數(shù)列｛a0｝,｛、｝都是等差數(shù)列,若為+仇=7,a3+b3=21,

貝I」45+4=°

【答案】35

［解析】設(shè)數(shù)列｛4｝,｛b?｝的公差分別為d,h,則由%+打=21,得4+仇+2(》+d)=21,

即23+4)=21—7=14,所以8+1=7,

所以%+仇=6+仇+4(b+d)=7+4x7=35,

16.12012高考真題北京理10］已知｛%｝等差數(shù)列S“為其前n項和。若q=g，S2^a3,則

%=O

【答案】a、=l,S?=-n:+—n

*"44

【解析】因為S：=生=>/+生=生nq+q+d=q+2dnd=勾=7，

:

所以a、=ai+d=l,Sn=na1+n(n-l)d=—n+—>7.

4417.

【2012高考真題廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列｛an｝滿足ai=l,a3=a^-4,則af.

【答案】2/1-1

【解析】由%=的2—4得到l+2d=(l+d)2—4,即/=4,應(yīng)為同｝是遞增的等差數(shù)列，

所以d=2,故?！ǘ?〃-1。

18.【2012周考真題重慶理12】lim,—

…J/+5n_n

【答案】|

［解析］—=如-一

J*+5n—ni"(J”，+5〃-%)(、/，「+5〃+力

—?51?*?5D55〉

19.【2012高考真題上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項、工為公比的等比數(shù)列,

2

體積分別記為匕，匕，…，匕，…，則1加（匕+匕+…+匕）=。

”一＞8

Q

【答案】-O

7

【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項，,為公比的等比數(shù)列，

8

???匕+丫2+…+匕=To="^8（1一謫1），，lim（K+匕+…+匕）=/8

78"+7

-8

nir.

a.=ncos-+1

20.【2012高考真題福建理14］數(shù)列｛a0｝的通項公式2,前n項和為S”，則

$2012=一

【答案】3018.

【解析】因為函數(shù)T=cosx的周期是4,所以數(shù)列｛a｝的每相鄰四項之和是一個常數(shù)6,

">0P

所以昂12=言匕6=3018.

三、解答題

21【2012高考江蘇20］（16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列｛4｝和也,｝滿足:

%+bn

%+insN*,

+b?2

b（卜Y

（1）設(shè)。用=1+。，〃￡N*,求證：數(shù)列%是等差數(shù)列;

（2）設(shè)么+1=五?%，〃eN*,且｛4｝是等比數(shù)列,求生和。的值.

a?

二數(shù)列，工是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)'：aq>0,2>0,二.+4yq+&「.

???IVML『、￡0?(*)

設(shè)等比數(shù)列缶」的公比為g，由4>0知g>0,下面用反證法證明尸1

若g>L貝IJ4=&<a.W點，...當”>lo”上時，點，與（*）矛盾。

Q-6

若0vgvL貝IJ4=生>1,?,?當〃>log。!時，a『]=q/vl,與（*）矛

QF

盾。

.J綜上所述，g=l?！?4=用（〃三JV*l,1<<^/2.

又???％+]=V2?%=包?%eN*）,...也｝是公比是也的等比數(shù)列。

ana\a\

5

若苗。形，則——>1,于是々4。

a\

又由%M=/%+""即％=’+耳，得2=巴士紇匹1。

hvh2,打中至少有兩項相同，與仿vb2Vb3矛盾。.??”]=近。

??/?〃=V2o

/.a{=b2=V2o

【解析】（1）根據(jù)題設(shè)a2=和鼠i=l+%，求出為=J1-主，從而

r、2r、2

證明出一區(qū)=1而得證.

（2）根據(jù)基本不等式得到1</_]=:「久、，0，用反證法證明等比數(shù)列｛aj的公比

在；+b；

從而得到&=勾mw-V*I的結(jié)論，再由-=0?%=走?知@J是公比是近的等比

4%,q

數(shù)列.最后用反證法求出6=4=近.

22.12012高考真題湖北理181（本小題滿分12分）

已知等差數(shù)列｛%｝前三項的和為-3，前三項的積為8.

（I）求等差數(shù)列｛%｝的通項公式;

（II）若出，為，4成等比數(shù)列，求數(shù)列｛I*｝的前“項和?

【答案】（I）設(shè)等差數(shù)列也）的公差為d,則%=a-d,4=4-2d

由題意得"：-3d=-3解得勾=2：：丁

l4（&-rf）（4-2d）=S.|a=T|d=3.

所以由等差數(shù)列通項公式可得

a.=2-3（”1）=-3〃-5,或a.=-4-3（，-1）=3”7.

故&=-3改一5,或4=3〃-7.

（H）當/=-3〃+5時、4，%，為分別為T，T，2,不成等比數(shù)列;

當%=3〃-7時，%，％，q分別為-1，2,-4,成等比數(shù)列，滿足條件.

〃H

故,,|%|=|3w-7|=(f-3+7,=1,2,

[3〃-7,n>3.

記數(shù)列14J的前"項和為"

當〃=1時，S}HOj=4；當，=2時，S:=|d.|-1a:*=5；

當n23時，

S.=S：-|q-qj-------隆」=5-(3x3—7)—(3乂4?7)一…〒(37-7)

當”二時，滿足此式.

=5,(?!-2][2-(3>I-7I]=3.；:

[41〃=L

綜上，S.=、'3.11

,-?*-—?-10;?>1.

23.【2012高考真題廣東理191(本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列同}的前n項和為Sn，滿足2s“=%+|-2向+1,neN,，且a”a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值；

(2)求數(shù)列歸仃的通項公式.

1113

(3)證明：對一切正整數(shù)n,有一+—+-+—<三.

q%an2

【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學生的運算求解

能力與推理論證能力，難度一般.

19.

(1)在2S.=".“-23+l中

令兀=1得：2壬=%-2”+1

,

令〃=2得：25,=a1-2+1

解得：4=2al+3,4=6al+13

又2(4+5)?+fls

解得％=1

(2)由2sli=

25川=%-1得

乂/=1,0]=5也滿足％=3,+2,

所以“y=3442’對FwN?成立

4?產(chǎn)2'"=3(a.+2')

:.aB+2*=3"

(法二)V4川=3"'一2"'>2*3。一2?“=2a.

..<--1-<—1—I

“72八

巧界之2時，—-<?

*2a2

25.[2012高考真題四川理20]（本小題滿分12分）已知數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為5“，且

a2a?=S2+Sn對一切正整數(shù)n都成立。

(I)求q,4的值;

(H)設(shè)外＞0,數(shù)列｛愴也｝的前〃項和為7；,當〃為何值時，7；最大？并求出方的最大

%

值。

【答案】本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項和公式，以及對數(shù)運算等基礎(chǔ)知

識，考查邏輯推理能力，基本運算能力，以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想

(I)取信a1.0a2a1,S:?S(二2al?%.①

取0?2.得■2a,?2a2,②

由②■①.得ax(ci,-at)?a2.③

(1)若=0.由①知如=0.

(2)若內(nèi)?0,由③如%■明■I?④

山①、④解W.%■A?I?%=2?丘；成a1■I-々，叫?2-H.

保上可得,5a0■0；或%0后?I,%/,2；或％■I=2-6

...............................................................................................................................5分

(II)當5>0時,由(I)知叫■6+1■丘*2.

當。>2B上*(2?6)0,?S,+S.,(2-S,?Sf,9

所以(I?&)<>??(2*75)(1,.1，即a.nJ2a^(n^2),

所以4?5(萬尸?(&\1)?(。尸.

令A(yù)=k竽,則”,I?喻。尸“=?--I)lg2?第.

所以散列16.1是單通通雙的等票數(shù)列(公差為-'口),從而

，>與>???>與,1g券>3?0.

O

當"N8時，6.W4?*修<"0.

故n=7時.工取得收入值,□7?.的外大侑為

T,-⑼=7超唉..........................125)

LLJi

26.12012高考真題四川理22](本小題滿分14分)

已知。為正實數(shù)，〃為自然數(shù)，拋物線y=—f+三與x軸正半軸相交于點A,設(shè)/(〃)

為該拋物線在點A處的切線在y軸上的截距。

(I)用。和〃表示f(n)；

(II)求對所有〃都有刨」＞J—成立的a的最小值;

/(?)+1n3+l

比較支]27/(I)-/(H)

(III)當0<a<l時,JX的大小，并說明理由。

k=\4/(0)-/(l)

【答案】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力、邏輯推

理能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、

化歸與轉(zhuǎn)化由特殊到一般等數(shù)學思想

(I)由巳知得.交點4的上標為(片.0)?對y?卜?求導(dǎo)得?一筋.則M物戰(zhàn)在

點4處的切找方程為y在ety?-后，?/.制”Q-??.

(H)由(1)知〃n)=a",她|例f;成立的充要條件是a"M21+I.

人A)七I八?1

即知，a-M2/+1對所彳n成立.特別地，取"=2得到aM，萬

當<1=/I7.e*3時.

a->4-=(I+3)"=1+C：?3?C?3'+C：?3'+…

汪I+C：?3+Cj?3,+C：-3，

?1+2nJ+；n[5(e-2)1+(2n-5)]

>2n>>I.

當”=04，2時,顯然(VT7)*A2n'+I.

故a=J17時Lj?產(chǎn)11對所有自然數(shù)n都成立.

所以滿足條件的。的最小值為g.....................................

(明由(i)知所)=心則t而%百=i丁」.黯鉗

下面證明.y--------1-------->a.AJL-ZL*1

臺/W-f(2k)>4儂)-RI),

首先證明；當o<*<I時，一二

x-Jf4

衣函數(shù)*(?：)=—*)*I,0<x<1.

則g'(N)=--Z-).

43

27

當0v，v于時力V。；當年<*vI時,<J(x)>0.

故虱X)在區(qū)間(0,1)上的最小值式Gi=g信)n0.

所以，當。<*<1時,,(*)?o，口]得一!~^*當.

JK-X4

由0<av1知0vJ<1(*wN?).因此丁從而

a-a4

7

￡涓二/(2*)=EIZ4T

27.[2012高考真題廣東理19](本小題滿分14分)

設(shè)數(shù)列同｝的前n項和為Sn，滿足2s“=。用-2向+1,ndN,，且a”az+5,a3成等差數(shù)列.

(4)求ai的值；

(5)求數(shù)列｛a#的通項公式.

1113

(6)證明：對一切正整數(shù)n,有一+—+…+—〈一.

?i%a?2

【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學生的運算求解

能力與推理論證能力，難度一般.

19.

(1)在2S?=j-27,1中

令o=1得：2sl=4-2'+1

令村=2得：2S[=%-2'+l

解得：a1=2a,+3,ai=6a,+13

乂2(4+5)=%+%

解得q=1

(2)由2sl.=41

257=。川-2川41得

乂%=1,%=5也滿足4=3叫+2'

所以J=3a.+2"對nwN”成立

。.八+2"~=3(a.+2?)

(3)

(法一)Va.=3'-2w=(3-2)(3--,4-3--1x2+3"'x2'+…+2'-')N3^

(法二)V3--2…>2-z■2a,

29.12012高考真題重慶理21】(本小題滿分12分,(I)小問5分，(II)小問7分.)

設(shè)數(shù)列舊|的前〃項和S,,滿足5川=a2Sn+a{,其中的WO.

(I)求證：|a“|是首項為1的等比數(shù)列；

(ID若。2>-1，求證：sn<-(ai+a2),并給出等號成立的充要條件.

【答案】

1

()證法一小$，=*?,,叫叫4...Wo,…,.

IM?>?*0.故％?I.N

又也明設(shè)條件如

-明§?.!?叫?;”jS.?叫.

兩式相減得S.4-S.”=-S.).即■"刈.”.

由叫-0.知"e~0,因此咄

飾上.—■??,對所書nWN?成立.從而|".|是首以為I,公比為%的等比數(shù)列.

O.

修法二:川數(shù)學打制法證明?a；'.NN*.

當n?I時,由&■0tsi+,.楣叫?叫■.為4a,.UPa,?a,a,,再由/.0.相、.I,

所以精祀成立?

filftn>*時.結(jié)論成立.即％"。：',那么

.S..「S,?(W)Tjd-o,(St-S,,)-a,a,.a：.

這就是說,當"■k4I時,結(jié)論也成立

因此|a.|是苜鵬為I.公比為%的等比數(shù)列

綜上可網(wǎng)/才任■:n€N..a..

證法二:用數(shù)學歸靖法證明a.?M

當…1時.由&>0rsi???■?>°i?????>-的h%140.掰.■I.

所以結(jié)論成立.

假設(shè).■女時.結(jié)論成立,即,?。；',那么

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上.時,靖論也成立

這M兒說,當“-1

a；1.因此|o.l是ITX為?,公比為叫的等比數(shù)列

你上可得.對任意n〈N'a.'

(口)比貨一:當…1或2時,?然瓦?如，等號成立。

役””>一目?，”?由⑴知如……鼠所以■神不等式化為

,■中I.H(…).

R?l.a,2

當，?1時，上園不”式的等?*立”…，……同機

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?；??；"《■?。；(，?1.2.….i>-I).

上面不等式對，從I到。-I求和四

2(%?若")<(n-1)(1?0；)?

由此網(wǎng)I?叫?…?a；<(I?a；).

珠上?當5)-??。時?有S.Wy(<>i?a.).當且僅當n?1.2或5?IB”；、；

啦.

證法二:當“=1或2時.必然S..號■(%.a.).等號成立.當%=I時.S.，一孕。

?4).等號也成立.

當a"I時,由(I)知S.■a,?a；\下證：

rrj<f<>??；').("3.%>-1且”1).

當-I<a,<?時,上面不等式化為(“-2)?；+楨，-柳丁<?-2(“>2).令4明)

?(0-2)aJ?na3-/UJ；".

當一［<啊<o時.1_?;?，)0,故

加力=(n-2)W+n%(l-+)<(n-2)|ai|-<n.2

即所要證的不等式成立.

當。<叫一時,對由求導(dǎo)得廣加)?M(n-2)aT-6-I)&，一).、

其中期3(一河J-y-<,)二??”(*

*5)是(°J)上的誠函敷.故■(%)>.")=0'從而二一…:7<'<0>

5)?…所露:北篌d°,—

當,>?此令&v6<1,由巳證的結(jié)論知

30.[2012高考真題江西理17](本小題滿分12分)

已知數(shù)列履仆的前n項和S“=-^n2+kn,keN*,且S.的最大值為8.

(1)確定常數(shù)k,求an；

9-2%

(2)求數(shù)列｛｝的前n項和Tn?

2"

【答案】

解:(1)當n=*WN.時,S.=-yn*+An取攝大值，即8==-+足+好=J■2,

故爐=16,因此A=4,

Q7Q

從而Q.=5■-S“i=爹-"(n=2)?又名=S]=5,所以a,二彳-幾

(2)因為6.=9丁"=自，

所以T.=2T,-T.=2+1++-+*-令=4-占-+=4-

31.12012高考真題安徽理21]（本小題滿分13分）

數(shù)列｛》,,｝滿足：須=0,xn+1=_X；+x“+c(〃eN*)

（I）證明：數(shù)列｛x,J是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；

（II）求c的取值范圍，使數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)歹U。

【答案】本題考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的

關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用知識分析問題的能力，推理論證和運算求解能力.

【解析】（D必要條件

當c<0時，Xz=-X：+x”+c</=數(shù)列｛/｝是單調(diào)遞減數(shù)列.

充分條件

數(shù)列｛x”｝是單調(diào)遞減數(shù)列=>Xj>X,=-x｛+X]+c=c<x；=0,

得：數(shù)列｛X,｝是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0.

（II）由（I）得：c>0,

①當c=0時，an=a1=0,不合題意；

2

②當c>0時，x2=c>x｝,x3=-c+2c>馬=c=0<。<1，

x=cx

x〃+i~n~n>0=<c<1=0=%<xn<\[c,

X"+2-x“+i=-（琮|一片）+（XM+1-X?）=一（x“+i—X”）（x,+i+Xn-1）o

當cW；時，x,<正<；=乙+七用_1<0=七+2_七小與乙+1一七同號，

由X2—X|=c>0nx,,+2-x“>0=x?+1>x?，

limx=lim（-x；+x+c）=limx-4c.

“T8n+1“一>8n"Toon

當c>L時，存在N，使/>'=>赤+與+1>1=>4+2一4+1與/+1一工可異號，與數(shù)列｛%｝

42

是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，

得：當0<cW，時，數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列。

4

32.[2012高考真題天津理18](本小題滿分13分)

已知｛?！埃堑炔顢?shù)列，其前n項和為Sn，｛a｝是等比數(shù)列，且q=d=2,4+a=27,

S4-fo4=10.

(I)求數(shù)列求,｝與步”｝的通項公式;

(II)記T“=a,a+an_xb24----卜。仇,neN*,證明T“+12=-2an+10/?,,(?eA/*).

【答案】

(【)解：諛等工數(shù)例｛<1.｝的公不為」?當比數(shù)列｛2｝的公比為八由“二八得

b.m24/’.S.=8+6J.，；1條”?利v二:8用,

X?6,/-2^=10.|^>2.

所以q=3”-l.b,=2'.ne、二

(II)證明：(方法一)

由(【)得

，+2'*+2'*+…+2。4,①

29=2，.+2J+…+2"O；+2"4②

由②-①.得

。?-2(3?-l)+3x2,+3x2*+-+3x2*+2*,:

I2/1一\

=-^^~+2*':-6?+2=10x2'-6/1-10,

1-2

fJ5-2a.+IO6.-l2=-2(3>i-l)+IOx2*-!2=IOx2'_6n-IO.故

T,+12=-2a,+lOfr,.neN*.

(方法一：數(shù)學打納法)

(1)當”=1時,7；+12=^+12=16.-2j+KW>：=16.故等式成立：

(2)假設(shè)當”=Z時等式成立,即7；+12--2a,+l他.則3”=*+1時行：

=4.A+。也+a,.,6,?--+°也“

=4“4+V(她+%網(wǎng)+…+

=4.抑+"

=4“A+</(-2q+106,-12)

=2q“-4(q“-3)+1他7-24

=-2仇”.吸“-12.

即7；.,+12--^.,+106,.,.閃此”=A+1時谷式也成立.

由(1)和(2).可知對任意“eN,T"+l2=-2ajlObjX.K

33.【2012高考真題湖南理191(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛%｝的各項均為正數(shù)，記4(n)=勾+02+......+%，B(〃)=做+的+....+%+”C(〃)

=03+04+......+。”+2，n=l,2,.......

(1)若m=1,七=5,且對任意”6N*,三個數(shù)A(〃)，B("),C(")組成等差數(shù)列，求

數(shù)列｛斯｝的通項公式.

(2)證明：數(shù)列｛斯｝是公比為〃的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意〃eN*,三個數(shù)A

(〃)，B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.

【答案】解(1)對任意”CN,三個數(shù)/初8(瞰C(”)是等差數(shù)列，所以

B(tri)-A(n')=C(n)-B(ri),

即anA-ax=亦即an_z-=a:=4.

故數(shù)列｛4｝是首項為1，公差為4的等差數(shù)列.于是4=1+(〃-l)x4=4〃一3.

(II)(1)必要性：若數(shù)列｛4｝是公比為g的等比數(shù)列，則對任意〃eN*,有

““T=4”由4>0知，A(〃),B(〃),C(〃)均大于0,于是

B(n)_a2+a3+...+an+i_q(a｛+a2+…+%)_

—r=----------------------=------------------------=q>

A(〃)％+%+―+〃〃q+g+i+Q”

C(n)_a3+&+...+an+2_q(a2+a3+...+an+I)

-7T=---------=----------=q,

B(n)%+%+.??+a〃+[。2+〃3+?一+〃〃+1

即駟=及D=q,所以三個數(shù)A(〃),Bgc(〃)組成公比為q的等比數(shù)列.

A(n)B(n)

(2)充分性：若對于任意〃EN*,三個數(shù)4(〃),8(〃),。(〃)組成公比為9的等比數(shù)列，

則

8(〃)=qA(n),C(n)=qB(n)，

于是C(〃)一8(4)=g[5⑺T(〃)L得4_：一生=q(a"i一初即

=%一％

由〃=1有5(1)=q,4(D：即%=qa、,從而一ga.=0.

因為4>0,所以&幺=空=9,故數(shù)列｛4｝是首項為4,公比為g的等比數(shù)列，

a?ia\

綜上所述，數(shù)列｛4｝是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nGN*,三個數(shù)

月(4B(ri),C(ri)組成公比為q的等比數(shù)列.

【解析】

【2011年高考試題】

1.(2011年高考四川卷理科8)數(shù)列｛4｝的首項為3,也“｝為等差數(shù)列且

bn=an+1-an(neN*).若則4=-2,仇0=12,則4=()

(A)0(B)3(C)8(D)11

答案：B

解析：由已知知，=2〃-&a--%=2"-&由裳加法

(生一6)+Q-生)+…+(勾-&)=-6H-I+-2+0+2+4+6=0=4=q=3.

2.(2011年高考全國卷理科4)設(shè)S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若q=l,公差4=2,

S--S“=24,貝此=

(A)8(B)7(C)6(D)5

【答案】D

(解析】S?+2—Sk=a*?+a?+]=q+(女+2—l)d+%+(fc+1—Y)d

=2q+(2k+l)d=2xl+(2k+l)x2=4k+4=24nk=5故選D。

3.(2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列｛4｝前9項的和等于前4項的和.若%=1,4+%=0,

貝(jk—?

【答案】10

9-j_____d=4+____di

【解析】由題得，2~2:.d=~k=lO

l+（Jt-l）J+l+3J=06

5.（2011年高考湖北卷理科13）《九章算術(shù)》"竹九節(jié)''問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下

各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積

為升

解析：設(shè)從上往下的9節(jié)竹子的容積依次為公,公，……，毒，公差為d,則有a；-a：-a廣a=3,

c--a廠敦=4.即4atU04聯(lián)立解得：a.=—即第5節(jié)竹子的容積—.