工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第六版)課后習(xí)題答案課件

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第六版)課后習(xí)題答案課件緒論與基本概念行列式及其性質(zhì)矩陣的運(yùn)算與性質(zhì)向量組的線性相關(guān)性線性方程組解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)特征值與特征向量二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形contents目錄緒論與基本概念01CATALOGUE向量空間研究向量及其線性組合性質(zhì)的空間。線性變換保持向量加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉性的變換。矩陣?yán)碚撘跃仃嚍檠芯抗ぞ?，探討線性方程組、向量空間及線性變換的理論。線性代數(shù)的研究對(duì)象030201矩陣的定義與性質(zhì)由數(shù)值組成的矩形陣列，具有相應(yīng)的加法、數(shù)乘及乘法運(yùn)算規(guī)則。向量的定義與性質(zhì)具有大小和方向的量，可用矩陣表示，滿足向量加法和數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則。特殊矩陣與向量如零矩陣、單位矩陣、對(duì)角矩陣、對(duì)稱矩陣等，以及零向量、單位向量等。矩陣與向量的基本概念123用矩陣表示線性方程組，簡(jiǎn)化表達(dá)形式。線性方程組的表示探討解的存在性、唯一性及解的表示方法。線性方程組的解的性質(zhì)通過(guò)矩陣的秩判斷線性方程組的解的情況。矩陣的秩與線性方程組的關(guān)系線性方程組與矩陣表示習(xí)題一答案解析習(xí)題二答案解析習(xí)題三答案解析習(xí)題四答案解析課后習(xí)題答案解析詳細(xì)解析第一章課后習(xí)題一的解題思路與步驟。詳細(xì)解析第一章課后習(xí)題三的解題思路與步驟。詳細(xì)解析第一章課后習(xí)題二的解題思路與步驟。詳細(xì)解析第一章課后習(xí)題四的解題思路與步驟。行列式及其性質(zhì)02CATALOGUE行列式的定義與性質(zhì)行列式的定義由n個(gè)數(shù)按一定規(guī)則排成的n行n列的數(shù)表稱為n階行列式。行列式的性質(zhì)行列式具有線性性、交換性、結(jié)合性、對(duì)行和列的可分性等基本性質(zhì)。行列式的計(jì)算方法主要包括降階法、拆項(xiàng)法、升階法、范德蒙德行列式等。特殊行列式的計(jì)算對(duì)于某些具有特殊結(jié)構(gòu)的行列式，如箭型行列式、兩條線型行列式等，可以采用特定的方法進(jìn)行計(jì)算。行列式的計(jì)算Cramer法則是利用行列式解決線性方程組的一種方法，通過(guò)計(jì)算系數(shù)行列式和常數(shù)項(xiàng)行列式，可以得到方程組的解。Cramer法則行列式在矩陣運(yùn)算、向量空間、特征值等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，是解決這些問(wèn)題的重要工具之一。行列式的應(yīng)用Cramer法則與行列式應(yīng)用VS本書提供了詳細(xì)的課后習(xí)題答案，方便讀者進(jìn)行自我檢查和鞏固所學(xué)知識(shí)。答案解析針對(duì)部分難度較大的習(xí)題，本書還提供了詳細(xì)的答案解析，幫助讀者深入理解解題思路和方法。習(xí)題答案課后習(xí)題答案解析矩陣的運(yùn)算與性質(zhì)03CATALOGUE矩陣的加法兩個(gè)矩陣只有當(dāng)它們是同型矩陣時(shí)才能進(jìn)行加法運(yùn)算，即它們具有相同的行數(shù)和列數(shù)。加法運(yùn)算是將對(duì)應(yīng)位置的元素相加。矩陣的數(shù)乘數(shù)乘運(yùn)算是指一個(gè)數(shù)與矩陣相乘，具體操作是將該數(shù)與矩陣中的每一個(gè)元素相乘。矩陣的乘法兩個(gè)矩陣相乘，要求第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)。乘法運(yùn)算的過(guò)程是，將第一個(gè)矩陣的每一行與第二個(gè)矩陣的每一列對(duì)應(yīng)相乘后相加，得到的結(jié)果矩陣中的元素就是這些乘積的和。矩陣的加法、數(shù)乘與乘法矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行和列互相交換所產(chǎn)生的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT。要點(diǎn)一要點(diǎn)二逆矩陣對(duì)于n階方陣A，如果有一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=I（I為單位矩陣），則稱A是可逆的，B是A的逆矩陣，記為A^(-1)。矩陣的轉(zhuǎn)置與逆矩陣矩陣的分塊與初等變換將一個(gè)矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為原矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。矩陣的分塊初等變換包括三種，分別是對(duì)調(diào)兩行（列）、以數(shù)k≠0乘某一行（列）中的所有元素、把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。初等變換課后習(xí)題答案解析由于篇幅原因，這里無(wú)法給出所有課后習(xí)題的答案解析。但是，可以通過(guò)參考教材、教輔或者在線資源來(lái)獲取詳細(xì)的答案解析和解題思路。同時(shí)，也鼓勵(lì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中多思考、多總結(jié)，形成自己的解題方法和技巧。向量組的線性相關(guān)性04CATALOGUE給定向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$，對(duì)于任意一組實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_s$，稱向量$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$為向量組$A$的一個(gè)線性組合。若向量$beta$可以表示為向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$的一個(gè)線性組合，即存在一組實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_s$使得$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$，則稱向量$beta$可由向量組$A$線性表示。向量組的線性組合向量組的線性表示向量組的線性組合與線性表示向量組的線性相關(guān)若存在不全為零的實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_s$，使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s=0$，則稱向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性相關(guān)。向量組的線性無(wú)關(guān)若只有當(dāng)$k_1=k_2=ldots=k_s=0$時(shí)，才有$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s=0$，則稱向量組$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$線性無(wú)關(guān)。向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)極大無(wú)關(guān)組：若向量組$A$的部分組$A_0:alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$滿足$A_0$線性無(wú)關(guān)；稱向量組$A_0$是向量組$A$的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。若向量組$A$中任意添加一個(gè)向量$alpha_j$（$jnotin{i1,i2,ldots,ir}$），則新向量組線性相關(guān)。向量組的秩：向量組的秩是指向量組中極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)。記作$r(A)$。向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組課后習(xí)題答案解析線性方程組解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)05CATALOGUE齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)齊次線性方程組一定有解，至少有一個(gè)零解。如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則它只有零解。如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則它有非零解，且解空間的維數(shù)等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩。非齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)01非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。02如果非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)向量可由系數(shù)矩陣的列向量線性表示，則它有唯一解。03如果非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)向量可由系數(shù)矩陣的列向量線性表示，則它有無(wú)窮多解。04如果非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)向量不能由系數(shù)矩陣的列向量線性表示，則它無(wú)解。求解線性方程組是工程數(shù)學(xué)中的基本問(wèn)題之一，它在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如電路分析、信號(hào)處理、圖像處理、最優(yōu)化問(wèn)題等。在電路分析中，通過(guò)列寫電路方程可以求解電路中的電流和電壓。這些方程通常是線性方程組，可以通過(guò)高斯消元法、克拉默法則等方法求解。在信號(hào)處理和圖像處理中，經(jīng)常需要解決線性方程組問(wèn)題。例如，在圖像恢復(fù)中，可以通過(guò)求解一個(gè)包含噪聲和模糊效應(yīng)的線性方程組來(lái)恢復(fù)原始圖像。線性方程組的應(yīng)用舉例課后習(xí)題答案解析課后習(xí)題是鞏固和加深對(duì)所學(xué)內(nèi)容理解的重要途徑。通過(guò)解析課后習(xí)題答案，可以幫助學(xué)生檢查自己的學(xué)習(xí)效果和發(fā)現(xiàn)存在的問(wèn)題。在解析課后習(xí)題答案時(shí)，應(yīng)注意解題思路和方法的正確性、規(guī)范性和簡(jiǎn)潔性。同時(shí)，還應(yīng)關(guān)注解題過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤和疏漏，以便及時(shí)糾正和改進(jìn)。特征值與特征向量06CATALOGUE特征向量的計(jì)算求解特征多項(xiàng)式|λE-A|=0，得到特征值λ，將λ代入方程組(λE-A)X=0，求解得到特征向量X。特征值的性質(zhì)n階方陣A有n個(gè)特征值（包括重根），不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量的概念及計(jì)算相似矩陣設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱B是A的相似矩陣，或說(shuō)A和B相似。矩陣對(duì)角化的條件n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。相似對(duì)角化的步驟求出A的特征值和特征向量，構(gòu)造可逆矩陣P，使得P^(-1)AP為對(duì)角矩陣。相似矩陣及矩陣對(duì)角化的條件實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化及正交變換實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交。實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，必存在正交矩陣Q，使得Q^TAQ為對(duì)角矩陣。正交變換在實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的過(guò)程中，通過(guò)施密特正交化方法將線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，得到正交矩陣Q，該過(guò)程稱為正交變換。實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)解析方法根據(jù)特征值與特征向量的定義及性質(zhì)，結(jié)合相似矩陣、矩陣對(duì)角化及實(shí)對(duì)稱矩陣的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解析。注意事項(xiàng)在求解過(guò)程中要注意特征值和特征向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及相似矩陣和正交變換的特殊性質(zhì)。同時(shí)，對(duì)于復(fù)雜的題目可以嘗試使用數(shù)學(xué)歸納法等方法進(jìn)行證明。課后習(xí)題答案解析二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形07CATALOGUE二次型是指n個(gè)變量的二次多項(xiàng)式，其一般形式為$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$。只含有平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，即$f(x_1,x_2,...,x_n)=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$為二次型的特征值。通過(guò)正交變換或配方的方法，可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。正交變換保持向量的長(zhǎng)度和夾角不變，因此可以通過(guò)求解二次型的特征值和特征向量，得到正交變換矩陣，從而將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。配方的方法則是通過(guò)完成平方的方式，逐步消去交叉項(xiàng)，得到標(biāo)準(zhǔn)形。二次型的定義標(biāo)準(zhǔn)形的定義求標(biāo)準(zhǔn)形的方法二次型的概念及標(biāo)準(zhǔn)形的求法正定二次型的定義：對(duì)于任意非零向量$X$，都有$f(X)>0$，則稱二次型$f(X)$為正定二次型。正定矩陣的定義：對(duì)于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，則稱矩陣$A$為正定矩陣。其中$A$為二次型矩陣。判定方法：判定正定二次型或正定矩陣的方法有多種，如順序主子式法、特征值法、定義法等。其中，順序主子式法是指按照矩陣的主對(duì)角線順序取子式，若所有順序主子式都大于零，則矩陣為正定矩陣；特征值法是指求解矩陣的特征值，若所有特征值都大于零，則矩陣為正定矩陣；定義法則是直接根據(jù)正定二次型或正定矩陣的定義進(jìn)行判定。正定二次型與正定矩陣的判定幾何應(yīng)用二次型可以描述平面或空間中的二次曲線或二次曲面，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等。通過(guò)求解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和特征值，可以得到這些曲線的形狀、大小和方向等信息。優(yōu)化問(wèn)題在多元函數(shù)的極值問(wèn)題中，經(jīng)常需要求解二次型的最大值或最小值。通過(guò)求解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和特征值，可以得到函數(shù)的最優(yōu)解以及對(duì)應(yīng)的極值。工程應(yīng)用在結(jié)構(gòu)力學(xué)、振動(dòng)分析等領(lǐng)域中，經(jīng)常需要用到二次型和正定矩陣的概念。例如，在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，可以通過(guò)求解結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的特征值和特征向量，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型等信息。二次型的應(yīng)用舉例010203習(xí)題一解析本題要求求解一個(gè)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和特征值。首先寫出二次型的矩陣形式，然后求解特征值和特征