高數(shù)課后習(xí)題難點(diǎn)9

第九章

1(1)如果二重積分JJ/(x,y)dxdy的被積函數(shù)f(x,y)是兩個(gè)函數(shù)￡(x)及￡(y)的

D

乘積，即f(x,y)=f|(x).方(y),積分區(qū)域止｛(x,y)a&Wb,c<y<d\,證明這個(gè)

二重積分等于兩個(gè)單積分的乘積，即

JJ/i(xyf2(y)dxdy=[(x)Jx]-[/f2(y)dy]

D

證明加⑴/⑴公功=力(x)/(y)dy=[if/(DAGMUx，

D--

而ff\(x)-f2(y)dy=力(x)ff2(y)dy,

故JJ/i(x)/(y)dxdy=f[力。)f以乎心妙.

D

由于fASHy的值是一常數(shù)，因而可提到積分號(hào)的外面，于是得

fiWxdy=\/力(%)知｛(fiWy]

D

(2)如果三重積分JJJ/(x,y,z)dxdydz的被積函數(shù)fix,y,z)是三個(gè)函數(shù)fI(x)、

Q

￡(y)、￡(z)的乘積，即f(x,y,z)=￡(x)-￡(y)-￡(z),積分區(qū)域Q={(x,y,

z)|a<x<b,c<y<d,l<z<ni\,證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積，即

JJ\f\(x)f2(y)f3(z)dxdydz=j*(x)dx/f2(y)dyf3(z)dz.

Q-

證明JJJ/,(x%")人(z)dxdydz=￡[，(『j](x)f2(y)f3(z)dz')dy]dx

Q"

=(/GV2G')『&z)dz)dy]dx=，[(力(幻『力⑵dz)(，/2(y)dy)Mx

(hpnetlnncdfb

=f[(J-⑵㈤(1.⑺助力⑴如=(f.(z)dz)(f.(y)dy)p；(x)Jx

=17i(x)"xf/2(y)dy『人(zMz.

2化二重積分/=jjf(x,y)da為二次積分(分別列出對(duì)兩個(gè)變量先后次序不同的兩

D

個(gè)二次積分)，其中積分區(qū)域〃是：

環(huán)形閉區(qū)域{(X,y)I1</+/<4}.

解

用直線x=_l和X=1可將積分區(qū)域〃分成四部分，分別記做幾2,hZ于是

/=JJ7(x，)')db+JJ/(x,y)dcr+J，(x,y)dcr+JJ/(x,y)dcr

D

。2034

=I；dx焙/(x，y)力+￡件瞎1f(x,y)dy

+卜［￡/a，y)d)'+fdxf^/(x,y)dy

3.利用二重積分的定義證明：

(1)\\da=(y(其中。為〃的面積)；

D

證明由二重積分的定義可知，

J/(羽y)dor=bmt/?，〃)△5

D1

其中A3表示第i個(gè)小閉區(qū)域的面積.

此處f(x,y)=l,因而f(。，力=1,所以，

IL/cr=limVACT,=\ima=a.

JJ25)J1270

DI

(2)y)da=ky)da(其中左為常數(shù));

DD

證明JW(x,y)db=Jjj;t妙&，如八。尸處小才/信⑺八%

D/=!i=\

=A!5t避)45=ky)dCF.

，'=1D

⑶JJf(%,y)dcr=jjy(x,y)db+J=(%,y)dcr,

DD,D2

其中止〃〃、〃為兩個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域.

證明將〃和2分別任意分為m和七個(gè)小閉區(qū)域八5和,

*1*2

〃1+〃2=〃，作和

n〃i〃2

=X，(務(wù)，%)△%+￡f(煤，%)A%?

i=\Z]=l，2=1

令各和八巴,的直徑中最大值分別為九和4,又則有

圖=鳴/“扁，”)△%+媽￡/(%，%)△4,

f=lq=1"i2=\

即jj/(x,y)dCT=jj/(x,y)dcr+jjy(x,y)db.

DD}D2

4求由曲面史*+2/及z=6-2*-〃所圍成的立體的體積.

解由卜=,+2『消去4得9+2/=6-29-咒即9+六2,故立體在Ry面

z=6-2x1-y2

上的投影區(qū)域?yàn)閂+/W2,因?yàn)榉e分區(qū)域關(guān)于x及y軸均對(duì)稱，并且被積函數(shù)關(guān)于

x,y都是偶函數(shù)，所以

V=jjf(6-2x2-},2)-(x2+2y2)]Jcr=jj(6-3x2-3y2)Jcr

DD

=12『(2-x2-y2)d),=8/-yj(2-x2)3dx=6TT.

5(1)求JJarctan)dcr,其中〃是由圓周/+/=4,x+y^l及直線尸0,尸x所圍成

DX

的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.

解在極坐標(biāo)下。={(9)104節(jié),14”2},所以

JJarctanL/cr=jjarctan(tanO')-pdpd6=^OpdpdO

DDD

(2)貝其中〃是由圓周f+4=l及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)

的閉區(qū)域；

解在極坐標(biāo)下￡>={(「,6)10“號(hào),04”1},所以

0只必收z，6守

6計(jì)算Q，其中Q是由錐面R、與平面z=h(R>0,力>0)所圍成

的閉區(qū)域.

解當(dāng)04z幼時(shí)，過(guò)(0,0,z)作平行于不勿面的平面，截得立體。的截面為

/+'=區(qū))24—z2

圓2：4'，故。的半徑為h,面積為后，于是

dxd

^^zdxdydzjzdzJ\y=述1「吃"=成2九2

Q=2於」)4

7計(jì)算下列三重積分：

(1)JJj(X24-y24-Z2)6/v,其中。是由球面f+J+jT所圍成的閉區(qū)域.

C

解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域?？杀硎緸?/p>

于是|Jj(x24-y24-^2)Jv=jJJr4-sin(pdrd(pdO

c。

=d6^m(pd(p^r4dr=^.

(2)JJJzdL其中閉區(qū)域O由不等式兀2+丁2+(1_42〈〃2,工2+/2±2所確定.

C

解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域?？杀硎緸?/p>

0<0<27i,Q<(p<^0<r<2acos(p,

于是口上八=JjJrcos^9'r2sin(pdrdcpd0

Qc

7T]

=2^-j^sin^cos^—(2^cos^)4t/^

S-7

二8的4I4sin^cos5(pd(p=y7ia^.

J6

(3)W^+y^dv,其中Q是由曲面4孑=25苛+力及平面z=5所圍成的閉區(qū)域;

c

解在柱面坐標(biāo)下積分區(qū)域C可表示為

0<6><2^,0<p<2,|p<z<5,

于是〕爐+產(chǎn))小=/珂"sgdz

=2"p3(5-|adp=8".

(4)jjj(x2+y2)Jv,其中閉區(qū)域O由不等式0<aWJd+y+z?,zX)所確定.

Q

解在球面坐標(biāo)下積分區(qū)域?？杀硎緸?/p>

0<0<27T,0<(p<^,a<r<A,

于是JJf(x2+y2)Jv=JJ/(r2sin29cos2(p+r2sin2^?sin20)r2sin(pdrd(pdd

CQ

=jJdepsiiP的夕,r4dr=^(A5-a5).

8求底面半徑相同的兩個(gè)直交柱面f+y2=R2及f+j：*所圍立體的表面積.

解設(shè)4為曲面2=配方相應(yīng)于區(qū)域Q：y+)%/?2上的面積.則所求表面積

為A=4A].

A=4]J「(等)2+(善)2/辦，=4jjJl+(—7===y)2+02^

iJVdx?加ylR2-X2

dX

=4^4^-x2(1Xdy=4R「點(diǎn)匕*=8R[Rdx=16R2.

9利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍成立體的質(zhì)心(設(shè)密度片1):

22

z=x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0.

解V=缶『小，『，dz=I%『(x2+y2)dy

=￡[x2(a-x)+^(a-x)3]dx

,,1a5

元J""=辦，『Z=R=|a,

C-cr

O

y=x=la.x,y對(duì)稱

之$肝小V"x『dy『'z=畀2,

c

所以立體的重心為.

10—均勻物體(密度。為常量)占有的閉區(qū)域Q由曲面和平面zH),Lxha,

lyl=a所圍成，

(1)求物體的體積；

解由對(duì)稱可知

24

=4(dx/(》2+y2)dy=4￡(ax+y)Jx=1a.

(2)求物體的質(zhì)心；

解由對(duì)稱性知亍=9=0.

m=療可辦廠zdz

C

=,(冗4+2x2y2+y4My

=H'(ax4+^a3x2+爭(zhēng)dx=看口2.

⑶求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

22+>22

解Iz=JJjpC^+y)dv=4p￡drdy￡(x+y)dz

Q.

=^p^dx￡(x4+2x2y2+y4)dy=4p-1|?6=pa6.

11.設(shè)面密度為常量〃的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片占有閉區(qū)域

O={(x,y,0)IR|W產(chǎn)于</?2，了“}，求它對(duì)位于Z軸上點(diǎn)M)(O,0,a)(a>0)處單位

質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F.

解引力F=(FX,Fy,Fz),由對(duì)稱性,6=0,而

F=G(Jda

xJJ(x2+y2+a2)3/2

哪x2+黑2嚴(yán)=_Ga￡deR9*嚴(yán)

=.i一一,J

J昭+q-^R\+a~

12.設(shè)均勻柱體密度為p,占有閉區(qū)域Q=｛Q,y,z）\x2+y2<R2,0侖幼｝,求它對(duì)

于位于點(diǎn)Mo（O,0,。）3〉力）處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力.

解由柱體的對(duì)稱性可知，沿x軸與y軸方向的分力互相抵消，故Fx=Fx=0,

=

4夢(mèng)（工）2產(chǎn)2人

=G“ST）以」）』+產(chǎn)篝02嚴(yán)

Gp[(a-^dz[月3/2

=2^Gpj^(a-z)f

------------1]<Jz

a-z次+m一>

=271Gp[h+{R2+(a-h)2-，腔+標(biāo)].

13選擇以下各題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論:

(1)設(shè)有空間閉區(qū)域

。產(chǎn){(x,y,z)|/+y+z2<^,z>0},

d={(x,y,z)|/+y+z~<^,xNO,y>0,z>0},

則有.

(A)ffjxdv=4ffjxdv；(B)jffydV=4jffydv;

C|C|Q

Q22

(0jj|zt/v=4jjjzJv;(J9)jj^xyzdv=4jj^xyzdv.

解（。.

提示：fix,y,z）=x是關(guān)于x的奇函數(shù)，它在關(guān)于yOz平面對(duì)稱的區(qū)域Q上

的三重積分為零，而在d上的三重積分不為零，所以（⑷是錯(cuò)的.類似地，（8）和

（〃）也是錯(cuò)的.

fix,y,z）=z是關(guān)于x和y的偶函數(shù)，它關(guān)于yOz平面和z念面都對(duì)稱的區(qū)

域d上的三重積分可以化為Q在第一卦部分d上的三重積分的四倍.

（2）設(shè)有平面閉區(qū)域外｛（x,力|-ci<x<a,x<y<a\,〃=｛（x,y）0<A<a,x<y<a\,

則

Jj盯+cosxsiny)dxdy=

D

(A)2[fcosxsinydxdy;(8)2^xydxdy;(04j|cosxsinydxdy;(〃)0.

A￡>]Di

解(4.-a±Wa關(guān)于y對(duì)稱

14計(jì)算j?)*+3x_6y+9)db,其中慶｛(不力|/^y<lt].

D

解因?yàn)榉e分區(qū)域〃關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱，所以

口3"0=Jj6ydb=0.

DD

JJ9db=9JJdb=9;rf?2.

DD

因?yàn)椤?db=Jk2db=3卜2+、2)46

DD乙D

所以jj(y2+3x-6y+9)Jcr=9^?2+^jj(x24-y2)J(T

DD

=9砒2+；『48(隹?pdp=9r[睦.

15在均勻的半徑為7?的半圓形薄片的直徑上，要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同

樣材料的均勻矩形薄片，為了使整個(gè)均勻薄片的質(zhì)心恰好落在圓心上，問(wèn)接上去

的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？

解設(shè)所求矩形另一邊的長(zhǎng)度為〃建立坐標(biāo)系，使半圓的直徑在x軸上，圓

心在原點(diǎn).不妨設(shè)密度為片lg/cm[

由對(duì)稱性及已知條件可知元=y=o,即

Jjydxdy=0,

D

從而f/etydy=o,

即「~[(R3-x2)-H2]dx=0,

LR2

亦即R3~R2-RH2=Q,

從而H=.RR.

因此，接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度為

16.求曲拋物線尸V及直線廠1所圍成的均勻薄片(面密度為常數(shù)〃)對(duì)于直

線尸一1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

解拋物線尸V及直線尸1所圍成區(qū)域可表示為

D={(x,y)|-1<^<1,x<y<l},

所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

/=JJ〃（y+l）2dxdy=4件，2（>+1）2辦=34][8-（/+1）3磔=靛〃.

D

17,設(shè)在矛處面上有一質(zhì)量為材的勻質(zhì)半圓形薄片，占有平面閉域用{（%

y）|/+/<^,y>0},過(guò)圓心0垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為力的質(zhì)點(diǎn)A8=a.求

半圓形薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)尸的引力.

解設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0,a）.薄片的面密度為〃=*—=2與.

L兀R2兀R?

2

設(shè)所求引力為代（&E,居）.

由于薄片關(guān)于y軸對(duì)稱，所以引力在x軸上的分量￡=0,而

F、=G憶喈2、3ndsm即「招廣/'叱

）4（/+儼+02）3/2尸J）】）（p2+q2）3/2產(chǎn)

=機(jī)〃Gfsin田。f32±2）3/2S=2〃中Gf.22嚴(yán)S

4GmM八R+^a^+R?R、

=-“2一（ln--------------L==T），

兀Ra{a2+R?

Fz=~G%2+黑2）3/2加=一切“4〃。/（02立2）3/2即

第十章

1計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分:

QeEdS,其中L為圓周x2+y2=a2,直線y=x及X軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇

形的整個(gè)邊界；

解其中

L=L]+L2+L3,

L\：x=x,y=O(O<x<?),

L<x=acost,y=asint(0<r<—),

L3：x=x,y=x(0<x?春〃)，

因而,e^^ds=[e，于ds+[e^^ds+[e^^ds,

?(L<?4Lj?￥>?)

____n___________________

=je"J12+02dx+pe。J(一〃sin/)2+(acosf)2力+/

=e〃(2+5)—2.a一定要小于B

2設(shè)螺旋形彈簧一圈的方程為x=^cosz,y=asint,z=kt,其中0W1W2石

它的線密度p(x,y,z)=x2+y2+z2,求：

(1)它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量A；(2)它的重心.

角不ds=^x2(t)+y，2(t)z2(t)dt=J*+〃2力.

⑴L=[(x2+y2)p(3,z)ds=^(X2+J2)(X2+J2+Z2)J5

=a2(a2+k2t2)yja2+k2dt=y2^a2+k2(3a2+4^r2Z:2).

(2)M=p(x,y,z)ds=￡(x2+y2+(a2+k2t2)y[a^k^dt

="|■萬(wàn)J〃2+攵2(3a：+4乃2%2),

元=A['02+)*+z2)ds=/acos/(a2+Z2t2)yja1+k2dt

6nak2

3a2+47r2k2，

y=-L^y(x2+y2+z2)ds=-^~asint(a2+k2t2)y/a2+k2dt

-6加女2

3a2+4/r2k2，

Z=A1z(x2+y2+z2)ds='Rktd+k2t2)yl正甫出

3成(a2+2乃2%2)

3/+4萬(wàn)2攵2

6加攵26如攵23成5+2兀2k2)

故重心坐標(biāo)為（■■).

3標(biāo)+4?攵2，3Q2+4-，3〃2+4%222

3求^xdx+ydy+(x+y-1)dz,其中「是從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,3,4)的

一段直線；

解r的參數(shù)方程為x=l+t,y=U2t,z=l+3t,t從0變到L

xdx+ydy+(^x+y—V)dz=口(l+f)+2(l+2f)+3(l+f+l+2z-1)]力

=j(6+14f)力=13.

求4dx-dy+ydz,其中「為有向閉折線48c4,這里的4,8,C

依次為點(diǎn)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);

解r=AB+BC+CA,其中

AB:x=x,y=l-x,z=0,x從1變至U0,

BC:x=0,y=l-z,z=z,z從。變到1,

CA:x=x,y=0,z=l-x,1從0變到1,

故^dx-dy+ydz=(dx-dy-^ydz-^jdx-dy+ydz+(dx-dy+ydz

=f”(D3+口-a-z)'+(l-z)M+[dx=1.

4一力場(chǎng)由沿橫軸正方向的常力F所構(gòu)成，試求當(dāng)一質(zhì)量為m

的質(zhì)點(diǎn)沿圓周/+/=/?2按逆時(shí)針?lè)较蛞七^(guò)位于第一象限的那一段時(shí)

場(chǎng)力所作的功.

解已知場(chǎng)力為尸=（爐1,0）,曲線L的參數(shù)方程為

x=Rcos8,y=Rsin”

夕從0變到于是場(chǎng)力所作的功為

n

W=^Fdr=^\F\dx=^\F\-（-RsinO）d0=-\F\R.

設(shè)z軸與力方向一致，求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從位置（Xi,yi,zi）

沿直線移到3,九Z2）時(shí)重力作的功.

解已知F=（0,0,mg）.設(shè)r為從3,乃,zi）到3,”,Z2）的直線,

則重力所作的功為

-

W=dr=0dx+Ody+mgdz=mgJdz=mg（z2Zi）?

5設(shè)「為曲線x=f,y=P,4戶上相應(yīng)于，從0變到1的曲線弧，

把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分[Pdx+。辦，+我也化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分.

解曲線「上任一點(diǎn)的切向量為

E,2/,3/）=（l,2x,3y）,

單位切向量為

1

(cosa,cosAcos/)=e(L2x,3y),

T41+2必+9廿

Pdx+Qdy+Rdz=j[Pcosa+Qcos￡+Rcosy]c/s

,fP+2xQ+3yR,

一1jl+4=+9y24s.

6利用曲線積分，求星形線x=acos3f,y=asii?f;所圍成的圖形的面積:

解A=j-ydx-0一asin3f.3acos2f?(-sinf)力

=3a2^sin4/cos2tdt='l^2■

7計(jì)算曲線積分!翥翳，其中L為圓周（x-1y+/=2,L的方

向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?

解尸=就丙0=號(hào)號(hào)當(dāng)入外0時(shí)

迤=空=/一）,2/一/=

dxdy2（，+）,2）22（7+廿）2,

在L內(nèi)作逆時(shí)針?lè)较虻摹晷A周

I:x=￡cos“y=^sin^[0<0<2

在以L和/為邊界的閉區(qū)域“上利用格林公式得

扔Zx+0dy=JJ卷-^-)dxdy=0,

L+l-Df

即<^Pdx+Qdy=-(^Pdx+Qdy=<^Pdx+dy.

jydx-xdy_/)心一皿=產(chǎn)一內(nèi)屋。一/cos2。1荏7T-

因此4fde-

*-2(x2+y2)32(%2+y2)—L2s22力

8[(2盯3_y2cosx)dx+(l-2ysinx+3x2y2)dy,其中L為在拋物線

2x=7?y2上由點(diǎn)(0,0)至lj令,1)的一段??；

解P=2x),3-y2cosx,2=l-2ysinx+3x2y2,

4^---=(-2ycosx+6xy2)-(6xy2-2ycosx)=0,

oxdy

所以由格林公式

PdX+Qdy=

LoA+OB1J修—普心辦，=0,

D7

其中L、04、0B、及。如圖所示.

故[Pdx+Qdy^ABPdx+Qdy

=50公+(Q-2y+亨丹爪箸

9證明x一,在整個(gè)孫,平面除去y的負(fù)半軸及原點(diǎn)的區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元

函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這樣的二元函數(shù).

解這里P=F^,。=/^.顯然，區(qū)域G是單連通的，P和。在G內(nèi)具

x'+yzx+y

有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且

3P二一2x)；=0。

dy(x2+y2)2dx'

所以嘩理在開(kāi)區(qū)域G內(nèi)是某個(gè)二元函數(shù)“(x,y)的全微分.

+22

“(X,y)=銬"雯=r~^f2y2dy=hn(x+y)+C.

注意(1,0)c

10當(dāng)z是X。)，面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，曲面積分Jj7(x,y,z)dS與二重積分有什

￡

么關(guān)系？

解Z的方程為z=0,(x,y)e。，

dS=Jl+z：+z；dxdy=dxdy,

故JJf(%,y,z)dS=^f(x,y,z)dxdy.

D

11計(jì)算/卜+V環(huán)，其中z是：

(1)錐面Z=J?可及平面Z=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面；

解將Z分解為2=為+無(wú)，其中

21：z=l,Dj：X24-J,2<1,dS=dxdy;

21：z=J-2+y2,%2+y2<i,dS="l+z：+z；d%dy=-J2dxdy.

Jk+VRSnjpx+yws+jjy+yws

E%工2

=J,x2+y2)dxdy+^x^+y2}dxdy

AD2

小”r3dr+可何r3dr

.V21+V2

=—H--—71—―--71.

222______

提示：dS=Jl+—^~^-+—r^dxdy=42dxdy.

一\/+%2+y2,

(2)錐面z2=3(d+y2)被平面.0及z=3所棧得的部分.

解Z：Z=V^J%2+y2,Dxy,f+Jq,

dS=J]+zj+z；dxdy=2dxdy,

因而jj(x2+y2)JS=^x2+y2yidxdy=^d3^r22rdr=^7i.

z

D1Y

6x

提示：dS=Jl+[,-------]2+[,-Y-d-x-d-y-=-2dxdy.

213(下+儼)2)3(下+歹2)

12計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：

(1)[卜2y2zdMy其中z是球面x2+y2+z2^2的下半部分的下側(cè);

解E的方程為Z=—JR2—x2-y2,。燈：f+y2，R,于是

^^y^zdxdy=-Jjx2y2(__冗2_y2)dxdy

E%

=jjd-j-co「夕產(chǎn)sin夕\//?2一戶.汨「

二.J/?'-八.

(2)JJzdxdy+xdydz+ydzdx,其中z是柱面x2+y2=l被平面z=0及

z=3所截得的第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；

解2在X。)，面的投影為零，故JJzdxdy=0.

z

2可表示為x=y][-y2,(y,Z)￡QK={(>,Z)I0<><1,04z?3},故

j卜儀=^yll-y2dydz=jdz^l-y2dy=3(丁-悶))

ZDyz

2可表示為y=Ji3,(z？x)eD^={(z,x)IO<z<3,0<￥<l},故

^ydzdx=^>Jl-x2dzdx=yjl-x2dx=3>jl-x2dx.

￡D.r

因止匕jjzdxdy+xdydz+ydzdx=2(3^\-x2dx)=6x^=1■乃.

解法二2前側(cè)的法向量為〃=(2x,2y,0),單位法向量為

1

(COS6Z,COS/?,COS/)=(x,y,0),

^x2+y2

由兩種曲面積分之間的關(guān)系,

jJzdxdy+xdydz+ydzdx=J?xcos2+ycosp+zcosy)dS

EZ

提示：[ps表示曲面的面積.

(3)^f(x,y,z)+x]dydz+[2f(x,y,z)+y]dzdx+[f(x,y,z)+z]dxdy,其中

工

/(北乂名)為連續(xù)函數(shù),2：是平面4y+2=1在第四卦限部分的上側(cè)；

解曲面Z可表示為z=l-x+y,(x,y)eDp={(x,y)IO<x<l,0<y<x-l},

2上側(cè)的法向量為n=(l,-l,1),單位法向量為

由兩類曲面積分之間的聯(lián)系可得

/(尤，乂z)+xM)0z+[2/(x,乂z)+y]dzdx+[f(x,乂z)+z]dxdy

z

=jj[(/+x)coscr+(2/+y)cos￡+(/+z)cos7]JS

z

=!?/+幻心+(2/+)>(-專)+(/+?？ㄉ?/p>

=為卜7+*=古JJdS=\\dxdy=^.

x'%

(4)(^xzdxdy4-xydydz+yzdzdx,其中2是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=l

所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).

解工=工]+￡2+23+24,其中

Si：x=0,Dyz:0<y<l,0<z<l-y,

無(wú)：y=0,D^:0<zl,0<x<l-^,

區(qū)：z=0,Dxy\0<x<l,0<y<l-x,

，4：z=l-x-y,Dxy:0<r<l,0<^<l-x,

于是^xzdxdy=|j+jp-jj+jj=0+0+0+^xzdxdy

ZZ]z2s3L4E4

=^x(y-x-y)dxdy=fxdx]，(lr-y)dy==.

由積分變?cè)妮啌Q對(duì)稱性可知

<^xydydz.=<^yzdzdx==.

因此^xzdxdy+xydydz+yzdzdx=3><擊=*

z

解S=Z14-S2+Z3+Z4,其中為、L2>區(qū)是位于坐標(biāo)面上的三塊;

，4：z=l-x-y9Dxy:0<x<l,0<)?<l-x.

顯然在勿、工2、區(qū)上的曲面積分均為零，于是

丹adxdy+xydydz+yzdzdx

=j^xzdxdy+xydydz+yzdzdx

Jj(xycosa+yzcos/?+xzcosy)dS

%

V3JjXy+yz+%z)dS=3U【xy+(x+y)(l-x-y)Wxdy=/.

Dxy

13設(shè)u(x,y,z)、v(x,y,z)是兩個(gè)定義在閉區(qū)域。上的具有二階連續(xù)

偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，雪，”依次表示〃(x,y,z)、v(x,y,z)沿E的外法線方向

onon

的方向?qū)?shù).證明

?小一必〃)dxdydz=曲〃等-以器)dS,

cz

其中Z是空間閉區(qū)間。的整個(gè)邊界曲面，這個(gè)公式叫作林第二公式.

證明由第一格林公式(見(jiàn)書(shū)中例3)知

夢(mèng)霖+就普"辦以

=朔豕一肝)dxdydz,

dxdxdydydz及

Q

即票+整需M"

可豕一J%當(dāng)黑+黑)小如

將上面兩個(gè)式子相減，即得

/嘿+整的嚓+第靜…

到噎?景s.

2

14利用高斯公式推證阿基米德原理：浸沒(méi)在液體中所受液體的壓力

的合力(即浮力)的方向鉛直向上，大小等于這物體所排開(kāi)的液體的重力.

證明取液面為xOy面,z軸沿鉛直向下，設(shè)液體的密度為0,在物

體表面E上取元素dS上一點(diǎn)，并設(shè)Z在點(diǎn)(x,y,z)處的外法線的方向余

弦為coscz,cos/7,cosy,則dS所受液體的壓力在坐標(biāo)軸x,y,z上的分量

分別為

-p^.cosadS,-pzcos/3dS,-pzcosydS,

Z所受的壓力利用高斯公式進(jìn)行計(jì)算得

Fx=可-pzcosadS=j||0Jv=0,

4=可-/cos及/S=jj|(Wv=O,

ZQ

4/cos渣=JJj-Rv=-pj|pv=-/?IQI,

n

其中ie為物體的體積.因此在液體中的物體所受液體的壓力的合力，

其方向鉛直向上，大小等于這物體所排開(kāi)的液體所受的重力，即阿基

米德原理得證.

15利用斯托克斯公式，計(jì)算下列曲線積分：

⑴4(y-z)dz+(z-x)dy+(x—y)dz,其中「為橢圓f+yD'+京=1

(a>0,。>0),若從x軸正向看去，這橢圓取逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

解設(shè)Z為平面工+壬=1上「所圍成的部分，則E上側(cè)的單位法

ab

向量為

b

〃=(cosa,cos民cosy)=(0,r

yla2+b2da1+b2

cosacos夕cos/

于是j(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz="言言ydS

工y-zz-xx-y

=jj(-2cosa-2cos/?-2cos/)t/S--^===JJdS

22

-2(〃+/7)ffV^+Z?dxdy=2(Q+A)/^辦,--2m(a+h).

a2+b2pJJaa%

xy

提示:2(即24-加)的面積元素為4=、1+也b)2公力=業(yè)a2止+b公2辦，.

aaa

(2)(^3ydx-xzdy+yz2dz,其中「為圓周x'+y1=2z,z=2,若從z軸的

正向看去，這圓周是取逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

解設(shè)Z為平面z=2上「所圍成的部分的上側(cè)，則

dydzdzdxdxdy

^3ydx-xzdy-\-yvdz=J且且。

dxdydz

3y-xzyz2

2

=J?z2+x)dydz-(z+3)dxdy=一5乃x2=-204

16利用斯托克斯公式把曲面積分“rotA.〃dS化為曲線積分，并計(jì)算積分值,

其中A、E及〃分別如下：

222

(1)A=yi^xyj^xzk,S為上半球面z=A/l-x-y,的上側(cè),〃是工的

單位法向量；

解設(shè)2的邊界「：」+『二1,"0,取逆時(shí)針?lè)较?，其參?shù)方程為

x=cos"產(chǎn)sin"z=0(04/2區(qū)

由托斯公式

JjrotAnJS=Pdx+Qdy+Rdz=4y2dx+xydy+xzdz

=『白也2。(-sin6)+cos2esine]de=0.

(2)4=。-z)i+)⑵rzA,2為立方體0<x<2,0<y<2,0<z<2的表面外側(cè)

去掉xOy面上的那個(gè)底面,〃是2的單位法向量.

角用jjrotAnJ5二Pdx+Qdy+Rdz

^(y-x)dx+yzdy+(-xz)dz=ydx=f2Jx=-4

16選擇下述題中給出的四個(gè)結(jié)論中一一個(gè)正確的結(jié)論：

設(shè)曲面2是上半球面:x2+y2+z2=/?2(z>0),曲面心是曲面2在

第一卦限中的部分，則有.

⑷“MS=4j]xdS;(8)JJydS=4J"

(O-4jjxJS;(￡))JJqzdS-4JJxyzdS.

E%S%

解(C).

17求力F=yi+^+xk沿有向閉曲線「所作的功，其中r為平面x+)，+z=l被三個(gè)坐標(biāo)面所截成

的三角形的整個(gè)邊界，從z軸正向看去，沿順時(shí)針?lè)较?

解設(shè)￡為平面x+y+z=l在第一卦部分的下側(cè)，則力場(chǎng)沿其邊界L(順時(shí)針?lè)较?所作的功

為

w=

曲面￡的的單位法向量為〃=1,l)=(cosa,cos力cosy),由斯托克斯公式有

cosacos/?cos/

yzx

IJ?-l—1-l)dS=百JpS=>/3~(V2)2sin^=3

Lg232

18計(jì)算下列曲面積分：

(1)K『噂f